fisica - Gravitacao - Velocidade de Escape

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Problema: 
A figura ilustra um planeta de massa M e raio R, no interior do qual foi cavado um túnel até o seu centro. Uma 
massa m está no fundo desse poço. Determine a velocidade de escape dessa massa, em função de G, M, m e 
R. 
 
 
Resolução do prof. Renato Brito 
Inicialmente, calcularemos o trabalho negativo realizado pela força gravitacional, tanto no percurso AB (dentro do 
planeta) quanto no percurso BC (fora do planeta). 
A B C
vA
R
8
8
 
 
F
D
0
0 R
2
G.M.m
R
Área 1 Área 2
Renato Brito
 
 
O trabalho realizado pela força gravitacional no percurso AB é negativo ( força se opõe ao deslocamento) e seu 
módulo é dado pela área 1 no gráfico acima: 
AB =  área 1 =  
2
G.M.m
R
b h G.M.mR
2 2 2R


    
BC = Epot grav B  Epot grav C = 
G.M.m G.M.m
R 
   
    
   
 =  
G.M.m G.M.m
0 
R R
 
    
 
 
Assim, o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o projétil, em todo percurso AC, é dado por: 
AC = AB + BC = 
G.M.m G.M.m
 
2R R
   
3G.M.m
2R
 
 
Pelo Teorema da energia cinética, a soma dos trabalhos realizados por todas as forças que agem sobre o projétil, 
desde a posição inicial (A) até a posição final (C) nos dará o “ganho” de energia cinética do projétil nesse 
percurso: 
total iF = Ecin F  Ecin i 
Gravidade AC = Ecin C  Ecin A  
2
Am.(v )3G.M.m 0
2R 2
    A
3G.M
v
R
 
Pronto, acabamos de determinar a velocidade de escape desejada. 
 
Outro problema interessante é determinar a energia potencial gravitacional do projétil, quando se encontra 
na posição A ( no centro do planeta). 
Para isso, podemos escrever o teorema do trabalho realizado pelas forças conservativas: 
Força Conservativa = gravidade iF = Epot i  Epot F 
(pode parecer estranho, mas realmente é a Epot inicial menos a Epot final mesmo. Esse fato estranho só ocorre ao calcularmos o trabalho da 
força conservativa em função da sua respectiva energia potencial ) 
Força Conservativa = gravidade iF = Epot i  Epot F 
 gravidade AC = Epot A  Epot C 
 
3G.M.m
2R
 = Epot A  
G.M.m
 
 
 
 
 = Epot A  0  Epot A = 
3G.M.m
2R
 
 
É natural que você possa estar se perguntando: para que serve conhecer (decorar) o valor da EpotA 
determinado anteriormente ? 
 
Ora, podemos agora voltar ao problema do início da página anterior e resolvê-lo de uma forma mais simples: 
 
Pela conservação da energia mecânica, temos: 
 
Epot A + Ecin A = Epot C + Ecin C 
 
3G.M.m
2R
 + 
2
Am.(v )
2
 = 
G.M.m
 
 
 
 
 + 0 
3G.M.m
2R
 + 
2
Am.(v )
2
 = 0  A
3G.M
v
R
 