Notas de Aula de Fundamentos de Matemáti a - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Me âni a - UDESC

Prévia do material em texto

Notas de Aula de Fundamentos de Matemáti
a -
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Me
âni
a -
UDESC
Eduardo Lenz Cardoso
4 de Novembro de 2016
2
Conteúdo
Parte I: Fundamentos de Análise
Parte II: Cál
ulo Numéri
o
Parte III: Equações Diferen
iais
Parte IV: Material Complementar
I Fundamentos de Análise 9
1 Introdução 11
1.1 Con
eitos Bási
os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 A�rmações do tipo Se-Então . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 A�rmações do tipo Se-e-somente-se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Operadores Lógi
os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 E Lógi
o (AND) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Não Lógi
o (NOT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Ou lógi
o (OR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Provas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Prova Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Contra-Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Teoria de Conjuntos 19
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Quanti�
adores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Negação de quanti�
adores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 União de quanti�
adores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Operações 
om Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Números Reais 25
3.1 Algumas Propriedades dos números reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Funções 29
4.1 Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 RN 37
5.1 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3
4 CONTEÚDO
5.2 Conjuntos abertos e fe
hados em RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Espaços Vetoriais 47
6.1 Transformações Lineares e Fun
ionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2 Transformação Linear de Espaços Finito Dimensionais . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.4 Mudança de Base Apli
ada a Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.5 Formas lineares, bilineares e quadráti
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7 Produto Interno 67
7.1 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2 Projeção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3 Ortogonalização de Gramm-S
hmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.4 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8 Autovalores e Autovetores 77
8.1 Autovalores e Autovetores Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.2 Multipli
idade de Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.3 Subespaços Próprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.4 Problema Generalizado de Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . 87
9 Continuidade 91
10 Sequên
ias 95
10.1 Sequên
ias de Cau
hy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.2 Espaço Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11 Série de Fourier 101
II Cál
ulo Numéri
o 107
12 Con
eitos Bási
os de Cál
ulo Numéri
o 109
12.1 Representação de números naturais em diferentes bases . . . . . . . . . . . . . . 109
12.2 Representação da parte fra
ionária de um número real . . . . . . . . . . . . . . 111
12.3 Representação de Números em Computadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12.4 Epsilon da Máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12.5 Valores espe
iais reservados pela norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.6 Pre
isão e A
urá
ia (Exatidão) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.7 Propagação de Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.8 Di
as Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
13 Des
rição Bási
a de um Algoritmo 119
13.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
CONTEÚDO 5
14 Raízes de Equações 123
14.1 Método da Bise
ção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
14.2 Método Regula Falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
14.3 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
14.4 Método da Se
ante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
15 Operações Bási
as 
om Matrizes 131
15.1 Multipli
ação por um es
alar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
15.2 Soma de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
15.3 Transposta de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
15.4 Multipli
ação de Matriz por um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
15.5 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
15.6 Produto de duas Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
15.7 Norma p de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
15.8 Traço de Uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
15.9 Complexidade de um Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16 Triangularização de uma Matriz Quadrada 141
16.1 Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
16.1.1 Pivotamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
16.2 Cál
ulo de Determinante de uma matriz obtida por triangularização . . . . . . . 144
16.3 Solução de um Sistema de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
16.3.1 Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
17 De
omposição LU 149
17.1 Cal
ulo de Determinante por De
omposição LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
17.2 Inversa de uma Matriz por De
omposição LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
18 Método de Cholesky 155
18.1 De
omposição LDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
19 Condi
ionamento de uma Matriz 159
19.1 Matrizes de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
20 Métodos Iterativos para a Solução de Sistemas Lineares 163
20.1 Método de Gauss-Ja
obi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
20.2 Método de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
20.3 Método do Gradiente - Steepest Des
ent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
20.4 Método dos Gradientes Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
20.4.1 Pré-Condi
ionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6 CONTEÚDO
21 Sistemas de Equações Lineares Complexas 177
22 Solução de Sistemas Não-Lineares 181
23 Solução de Problemas de Autovalores e Autovetores 183
23.1 Método da Potên
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
23.1.1 Método da Potên
iaInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
23.2 Método de Ja
obi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
23.3 Método QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
23.3.1 Utilizando a De
omposição QR para Solu
ionar Sistemas de Equações
Lineares Mal-Condi
ionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
23.4 De
omposição Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
23.5 OPCIONAL - Método de Leverrier-Faddev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
24 De
omposição em Valor Singular 207
24.1 Relação entre SVD, Rank e Espaço Nulo de um Operador . . . . . . . . . . . . 209
24.2 Compressão de Imagens Utilizando o SVD - Low-Rank Matrix Approximation . 210
25 Problema de Mínimos Quadrados 215
25.0.1 Es
alonamento das Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
25.1 Problema de Mínimos Quadrados De�nido por uma Equação não Linear dos
Coe�
ientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
26 Derivada Numéri
a 221
26.1 Diferenças Finitas Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
26.2 Cál
ulo do Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
27 Integração Numéri
a 227
27.1 Regra dos Trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
27.2 Regra de Simpson de Segunda Ordem (Primeira Regra de Simpson) . . . . . . . 228
27.3 Regra de Simpson de Ter
eira Ordem (Segunda Regra de Simpson) . . . . . . . 229
27.4 Integração por Quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
27.4.1 Quadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
27.4.2 Integrais duplas e triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
27.4.3 Relação entre os pontos de quadratura e os polin�mios de Legendre. . . . 236
28 Transformada Dis
reta de Fourier - DFT 239
28.1 In�uên
ia da taxa de amostragem - aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
28.2 DFT 
omo um Filtro Digital - Spe
tral Leakage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
28.2.1 Janelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
CONTEÚDO 7
III Equações Diferen
iais 253
29 Equações diferen
iais 255
29.1 Classi�
ação e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
29.2 Equações Diferen
iais 
omo Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
29.3 Equações Diferen
iais Par
iais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
30 Método dos Resíduos Ponderados 263
IV Material Complementar 277
31 Exemplos de implementação dos algoritmos no S
ilab 279
8 CONTEÚDO
Parte I
Fundamentos de Análise
9
Capítulo 1
Introdução
Os 
on
eitos apresentados aqui servirão para que o leitor seja 
apaz de 
ompreender um texto
da área de me
âni
a 
omputa
ional, bem 
omo entenda a lógi
a por trás das implementações
omputa
ionais que serão dis
utidas ao longo do 
urso de mestrado.
O texto é organizado de maneira a introduzir os 
on
eitos fundamentais em uma sequên
ia
lógi
a. Para isto, iremos ini
iar 
om uma revisão de 
on
eitos e nomen
laturas bási
as da
matemáti
a. Após, será apresentado o 
on
eito de 
onjunto e todas as propriedades de interesse
neste 
urso, uma dis
ussão sobre os números reais e suas propriedades, 
on
eitos sobre funções
e uma dis
ussão sobre o RN e suas propriedades. Com esta revisão de 
on
eitos fundamentais,
iremos estudar em detalhes os espaços de funções para, após, nos 
on
entrarmos na de�nição
dos problemas a serem estudados na dis
iplina e na sua implementação numéri
a.
É importante salientar que este material é de apoio e não pretende substituir a bibli-
ogra�a bási
a sobre os assuntos abordados. Para tanto, sugiro fortemente que o leitor
onsulte sempre que possível livros 
lássi
os da área, 
omo por exemplo os livros: Optimization
by Spa
e Methods de David. G. Luemberger, Engineering Mathemati
s de Stroud and Booth,
Mathemati
al Methods for Physi
s and Engineering (3rd edition): A Comprehensive Guide de
K.F. Riley, Advan
ed Engineering Mathemati
s de Kreyszig e Introdução à Análise Linear-1,
2 e 3 de Donald Kreider.
Os quatro primeiros 
apítulos são fortemente baseados no livro Matemáti
a Dis
reta:
uma Introdução de Edward R. S
heinerman. Os demais 
apítulos são um apanhado de um
vasto número de livros e das notas de aula.
11
12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ�O
1.1 Con
eitos Bási
os
Para ini
iar, vamos relembrar alguns 
onjuntos bási
os
N = {0, 1, 2, 3, ....}
N∗ = {1, 2, 3, 4, ....}
Z = {0, 1,−1, 2,−2, ...}
Z∗ = {1,−1, 2,−2, ...}
Q = {m
n
: m,n ∈ Z, n 6= 0}
Q = {m
n
∣∣∣m ∈ Z e , n ∈ Z∗}
onde N é o 
onjunto dos números naturais, Z dos números inteiros (do alemão Zhalen) e Q dos
números ra
ionais (de Quotient). Com estes 
onjuntos bási
os, podemos 
onstruir de�nições
mais avançadas, 
omo por exemplo:
De�nição: Número par
Um número par é um número natural divisível por 2.
Observem que a de�nição de par depende de 3 
on
eitos prévios: número natural, divisível
e 2. Alguns são óbvios, 
omo o 2 (que já é ne
essário para de�nirmos o 
onjunto N) mas
alguns que pare
em óbvios para nós nem sempre são tão 
laros 
omo pare
em. Vamos de�nir
o 
on
eito de divisível:
De�nição: Divisível
Sejam a e b inteiros. Dizemos que a é divisivel por b se existe um inteiro c tal
que bc = a. Dizemos também que b divide a, ou que b é um fator de a, ou que b é
um divisor de a. A notação 
orrespondente é b| a.
Desta forma, sempre partimos de 
on
eitos primitivos (axiomas) para obtermos 
on
eitos
derivados, por meio de inferên
ias lógi
as. O importante é dominar os 
on
eitos fundamentais e,
om algumas ferramentas da matemáti
a, 
onstruir o 
onhe
imento na nossa área de interesse.
Desta forma, tendo o 
on
eito de divisível e de inteiro, podemos es
rever:
De�nição: Número par (de�nição alternativa)
Um número natural a é par se 2| a
onde lemos que 2 é divisor de a ou que 2 divide a.
Com esta idéia bási
a sobre 
omo devemos pro
eder para 
onstruirmos 
on
eitos mais avan-
1.1. CONCEITOS BÁSICOS 13
çados, devemos agora de�nir algumas ferramentas muito utilizadas na bibliogra�a té
ni
a da
nossa área. Uma forma de de�nirmos 
on
eitos derivados é pelo estabele
imento de um Teo-
rema (ou os seus equivalentes). Um teorema nada mais é do que uma a�rmação de
larativa
sobre matemáti
a, para a qual existe uma PROVA (uma a�rmação de
larativa é algo 
omo
"vai 
hover"ou "o Interna
ional é melhor do que o grêmio"). Assim, podemos dizer que um
teorema é uma a�rmação sobre algo que sabemos ser verdade e sabemos provar. Por sua vez,
uma Conje
tura não tem prova, 
omo por exemplo, "todo o inteiro par maior do que 2 é a soma
de dois primos"(
onje
tura de Goldba
h, 1742). Podemos rodar um programa de 
omputador
por 500 anos sem que isto se veri�que falso, mas para um matemáti
o isto não é uma prova
(para apli
ações de engenharia, pode servir, desde que se mostre que as nossas trabalharemos
na faixa de valores veri�
ados pelo programa). Atualmente, a a�rmação é verdadeira para a
faixa [4, 4 ∗ 1018].
Existem alguns termos utilizados em textos matemáti
os, 
omo por exemplo
• Teorema: quando é importante :0)
• Resultado: mesma 
oisa, só que é menos importante
• Fato: teorema de importân
ia limitada (1+1=2)
• Proposição: Um teorema de importân
ia limitada
• Lema: Um teorema 
ujo objetivo é ajudar a provar um outro teorema
• Corolário: Resultado 
om uma prova rápida, onde usamos resultados já provadosem
outros teoremas
• Alegação: Equivale a um lema.
Como os 
on
eitos mais importantes que devemos utilizar estarão na forma de um teorema
(ou um sin�nimo), devemos entender 
omo eles são apresentados e quais são os 
on
eitos bási
os
envolvidos nas provas que deveremos ler. Vamos avaliar dois tipos de apresentação de teoremas:
se-então e se-e-somente-se.
1.1.1 A�rmações do tipo Se-Então
São a�rmações que apresentam a seguinte estrutura: "Se A, então B", onde A é uma hipótese
e B uma 
on
lusão. Vamos a um exemplo:
✞✝ ☎✆Teorema: Se x e y forem pares então x+ y é par.
Podemos observar que A seria a parte "Se x e y forem pares"e que B seria "então x+y é par".
Desta forma, temos uma impli
ação em somente um sentido, de tal forma que o simbolismo grá-
�
o para este tipo de estrutura é A⇒ B. No entanto, nada é dito sobre, por exemplo, a soma
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ�O
de dois impares também resultar em um par. Por isto, é importante sempre pensarmos na ló-
gi
a (booleana mesmo) destas a�rmações. Assim, podemos 
onstruir a seguinte tabela verdade:
A B A⇒ B
V V Possível
V F Impossível
F V Possível
F F Possível
que pode ser veri�
ada 
om a seguinte a�rmação: "Se eu ganhar na Mega-Sena, todos
os alunos de FM1 serão aprovados". Neste 
aso, a hipótese A é "ganhar na Mega-Sena"e a
on
lusão B seria a aprovação de todos os alunos de Fundamentos da Matemáti
a. Vamos
avaliar a tabela verdade:
1) A mas não B: Isto viola a a�rmação, pois se eu ganhar os alunos tem que passar. Por
isto (lembrem-se que estamos falando de matemáti
a, onde não tem enganação !) esta situação
onsta 
omo impossível;
2) A e B: Situação em que A se veri�
a e, portanto, B o
orre;
3) B mas não A: Pode ser que eu não ganhe, mas os alunos sejam muito bons e, portanto,
serão aprovados de qualquer forma;
4) Nem A nem B: Pode ser que eu não ganhe, mas os alunos reprovem por falta de 
ompe-
tên
ia, sem qualquer relação 
om o resultado da Mega-Sena.
Observem que a situação IMPOSSÍVEL basta para mostrar que um teorema é falso (veremos
isto mais para frente quando estudarmos os tipos de prova).
É interessante também veri�
ar que a situação não A mas B, 
omo no 
aso da soma de dois
ímpares resultar em um par, é possível e o teorema não a�rma que isto não possa o
orrer.
Este tipo de a�rmação pode ser es
rita de formas alternativas, 
omo por exemplo:
"A impli
a em B"
"Sempre que A, temos B"
"A é su�
iente para B"
"A é 
ondição su�
iente para B"
1.1.2 A�rmações do tipo Se-e-somente-se
São a�rmações que apresentam a seguinte estrutura: "Se A então B e se B então A". Vamos
a um exemplo
✞✝ ☎✆Teorema: Um inteiro x é par se e somente se x+ 1 é impar.
que poderia ser lido 
omo "Se um inteiro x é par, então x+1 é impar, e se x+1 é impar, então
x é par (observem 
omo �
a redundante..). Neste teorema, temos então que A seria "x é par"e
B seria "x+1 é impar". Para indi
ar este 
aminho em duas vias, utilizamos a notação A⇔ B,
1.2. OPERADORES LÓGICOS 15
om a seguinte tabela verdade:
A B A⇔ B
V V Possível
V F Impossível
F V Impossível
F F Possível
E um exemplo bem 
onhe
ido é a frase "Um ponto x de uma função 
ontínua é um máximo
lo
al se e somente se a primeira derivada neste ponto for nula e a segunda derivada for negativa".
Observem que nesta frase temos as seguintes partes: A é "Um ponto x de uma função 
ontínua
é um máximo lo
al"e a parte B é "primeira derivada neste ponto for nula e a segunda derivada
for negativa". Assim, do 
ál
ulo I, sabemos que estas 
ondições só o
orrem juntas e, portanto,
hamamos B de "
ondição ne
essária e su�
iente"para A. Outras formas utilizadas são:
"A sse B"
"A i� B"
"A é equivalente a B".
1.2 Operadores Lógi
os
1.2.1 E Lógi
o (AND)
Observem que no exemplo da seção anterior utilizamos duas 
ondições para montar o B: "pri-
meira derivada neste ponto for nula e a segunda derivada for negativa". O e que está unindo as
ondições "primeira derivada neste ponto for nula"
om "segunda derivada for negativa"é um
operador lógi
o (E, AND ou ∧) e tem a seguinte tabela verdade
A B AeB
V V V
V F F
F V F
F F F
um exemplo: "Todo o inteiro 
ujo algarismo das unidades é zero é divisível por 2 e por 5".
1.2.2 Não Lógi
o (NOT)
Simplesmente inverte o signi�
ado lógi
o do operador. Por exemplo "todo número par não é
impar"pode ser visto 
omo A ⇒ not(B) ou, SE par ENT�O N�O impar. A tabela verdade é
simplesmente:
16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ�O
A na˜oA
V F
F V
e o simbolo alternativo é ¬
1.2.3 Ou lógi
o (OR)
É um operador que admite a possibilidade de ao menos uma a�rmação ser verdadeira, ou em
outras palavras, se um elemento for satisfeito então a 
ondição 
onjunta é satisfeita. Um exem-
plo seria "se a primeira derivada for nula em um ponto x, então este ponto é de mínimo ou
de máximo ou uma in�exão". Observem que nesta a�rmação temos: A vale "se a primeira
derivada for nula em um ponto x"e B vale "este ponto é de mínimo ou de máximo ou uma
in�exão". Assim, B será válido se ao menos uma 
ondição for satisfeita (não pre
isamos que
todas sejam satisfeitas ao mesmo tempo). A tabela verdade para este operador é:
A B AouB
V V V
V F V
F V V
F F F
e o símbolo alternativo é ∨.
1.3 Provas
Uma prova é uma argumentação que mostra, de maneira irrefutável, que uma a�rmação é ver-
dadeira. Para entendermos uma prova, pre
isamos 
ompreender a linguagem utilizada para
es
rever um texto matemáti
o e as impli
ações da lógi
a dis
utida nas seções anteriores. Exis-
tem várias maneiras de provar ou de refutar uma a�rmação.
1.3.1 Prova Direta
A prova direta é uma forma de mostrar que uma a�rmação é verdadeira ou falsa através de
uma 
ombinação de axiomas e teoremas (nas suas mais variadas formas) já 
onhe
idos.
Vamos analizar a prova direta de duas proposições do tipo Se-Então (A⇒ B). :
Proposição 1. A soma de dois inteiros pares é par.
Prova: Sejam x e y inteiros pares: 
omo x é par, sabemos que 2|x. De forma análoga, 2| y.
Portanto, existem inteiros a e b que satisfazem x = 2a e y = 2b, tal que x+y = 2a+2b = 2(a+b).
Assim, existe um inteiro c tal que x+ y = 2c e, portanto, c = a+ b, tal que 2|c.
-
1.3. PROVAS 17
Proposição 2. Sejam a, b e c inteiros. Se a| b e b| c, então a| c.
Prova: Como a| b, existe um inteiro x tal que b = ax. Da mesma forma, existe um inteiro
y tal que c = by. Portanto, existe um inteiro z tal que c = az, pois c = (ax)y = axy = az.
Para provarmos uma a�rmação do tipo Se-e-Somente-Se, temos que realizar o ra
io
ínio nos
dois sentidos, na forma
A ⇒ B
A ⇐ B
Proposição 3. Seja x um inteiro. Então x é par se e somente se x+ 1 é impar
Prova:
⇒ supondo que x é par, temos que 2|x. Logo, existe um inteiro a tal que x = 2a e, somando
1 em ambos os lados obtemos x+ 1 = 2a+ 1, que satisfaz a 
ondição de um número ímpar.
⇐supondo que x+ 1 é ímpar, pela de�nição temos que existe um inteiro b tal que x + 1 =
2b+ 1. Subtraindo 1 de ambos os lados, obtemos x = 2b, que é a 
ondição para x ser par (por
de�nição).
1.3.2 Contra-Exemplo
Mais fá
il do que 
onstruir é destruir. Assim, podemos refutar uma a�rmação se mostrarmos
que ela falha em uma determinada situação. Para a lógi
a matemáti
a, basta um 
aso inválido
para refutar a validade da a�rmação 
omo um todo (ao 
ontrário de mostrar que fun
iona em
uma situação espe
í�
a, que não é su�
iente).
Vamos a um exemplo:
Proposição 4. Sejam a e b inteiros. Se a| b e b| a, então a = b.
Prova por 
ontra-exemplo: Se es
olhermos a = −6 e b = 6, temos que −6| 6 e 6| − 6 mas
obviamente −6 6= 6. Assim, a a�rmação é in
orreta.
Refutação Direta: Se a| b então existe um inteiro x tal que b = ax. Da mesma forma, existe
um inteiro y tal quea = by. Assim, substituindo a segunda expressão na primeira, obtemos
b = (by)x e 
onsiderando que b é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por b, tal
que xy = 1. Este resultados pode ser obtido 
om x = −1 e y = −1, no entanto, nesta situação
teremos b = −1a e a = −1b, tal que b = −a ou a = −b.
Observem que a refutação direta é mais geral do que simplesmente indi
ar um ponto falho
na teoria, mas devemos enfatizar que ambas são sufu
ientes para refutar a a�rmação 
omple-
tamente.
18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ�O
Como literatura 
omplementar, sugiro o material
http://www.i
.uni
amp.br/ anamaria/
ursos/MC348/2010-2/livro-apost-03.pdf
Capítulo 2
Teoria de Conjuntos
2.1 Introdução
Um 
onjunto é uma 
oleção de objetos distintos e bem de�nidos. O 
on
eito de 
onjuntos
(sets) foi introduzido por Georg Cantor, que utilizou a seguinte de�nição "Um 
onjunto é um
ajuntamento em um 
onjunto de objetos de�nidos e distintos de nossa per
epção e do nosso
pensamento - que são 
hamados de elementos do 
onjunto". No entanto, esta de�niçãoo 
are
e
de uma formalidade matemáti
a e pode ser 
onsiderada um axioma. O mais importante do
axioma é que um 
onjunto tem elementos e que dois 
onjuntos são iguais se e somente se 
ontém
os mesmos objetos.
Assumindo que o 
on
eito de 
onjunto é primitivo, assim 
omo o de objeto e o 
on
eito de
"perten
er", indi
amos que um elemento x perten
e (faz parte de) um 
onjuto A 
om a notação
x ∈ A
e um 
onjunto pode ser de�nido extensivamente
A = {2, 4, 6, 8, 10}
ou 
ompreensivamente
A = {x ∈ N, x > 1 e x ≤ 1000}
onde a primeira parte da de�nição é 
hamada de domínio, x ∈ N, e a segunda parte é 
hamada
de 
ondição (observem o uso do operador lógi
o e). Sendo dois 
onjuntos A e B, dizemos que
A está 
ontido em B (A ⊆ B) se e somente se todo elemento de A for elemento de B:
A ⊆ B sse ∀x ∈ U x ∈ A⇒ x ∈ B
onde se lê: A está 
ontido em B se e somente se, para todo x (perten
ente ao universo),
x perten
e a A impli
a em x perten
er a B. O 
on
eito de universo é um artifí
io para
onsiderarmos todos os possíveis elementos existentes (no es
opo do problema).
Observem que esta de�nição é de 
onhe
imento geral, mas novamente utilizamos uma série
19
20 CAPÍTULO 2. TEORIA DE CONJUNTOS
de símbolos e 
on
eitos que devem ser bem de�nidos. Em espe
ial, vamos de�nir os quanti�-
adores.
2.2 Quanti�
adores
Na de�nição de ⊆ utilizamos o 
on
eito de para todo,∀, que é um quanti�
ador universal. Esta
de�nição impli
a em 
onsiderarmos todos os possíveis valores, na forma
∀x ∈ A, a�rmação sobre x
om as seguintes variações:
• "todo inteiro é par ou ímpar"
• "todos os inteiros são pares ou ímpares"
• "
ada inteiro ou é par ou é ímpar"
• "seja x um inteiro qualquer. Então x é par ou é ímpar"
Para provarmos uma a�rmação 
om "para todo", temos que mostrar que a a�rmação é
sempre válida, para qualquer o
orrên
ia de x.
Um outro quanti�
ador é o existe, ∃, que impli
a na existên
ia de ao menos uma o
orrên
ia
do elemento, na forma
∃x ∈ A, a�rmação sobre x
Este é um quanti�
ador existen
ial e pode ser es
rito nas seguintes variações:
• "Existe um número natural que é primo e é par"
• "Existe um x, membro de N, tal que x é primo e par"
É interessante notar que para provarmos uma a�rmação 
om Existe, basta mostrar que
uma o
orrên
ia da a�rmação é verdadeira (neste 
aso, o número 2 é par e primo e, portanto, a
a�rmação é válida).
2.2.1 Negação de quanti�
adores
Vamos 
onsiderar a seguinte a�rmação:
"Não existe inteiro que seja simultaneamente par e ímpar". Podemos representar esta
a�rmação das seguintes formas
1) ¬(∃x ∈ Z, x é par e é ímpar)
2) ∀x ∈ Z,¬(x é par e é ímpar)
2.3. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 21
onde na primeira versão lemos não ( existe x inteiro que é par e é impar) e na segunda
lemos para todo x inteiro não existe x par e ímpar. As duas a�rmações são equivalentes.
Mais um exemplo: "Nem todos os inteiros são primos":
1)¬(∀x ∈ Z, x é primo)
2) ∃x ∈ Z,¬(x é primo)
que signi�
am: não (todo x inteiro é primo) e existe x inteiro não primo.
2.2.2 União de quanti�
adores
É possível agrupar quanti�
adores para �ns de breviedade de notação. Vamos a alguns exem-
plos:
"Para todo o x, existe um y tal que x+y=0"...∀x, ∃y, x+ y = 0
"Existe um y, tal que para todo o x, temos x+y=0"...∃y, ∀x, x+ y = 0
No entanto, devemos ter muito 
uidado 
om a sequên
ia dos quanti�
adores. Vamos provar
a primeira a�rmação:
Proposição 5. ∀x, ∃y, x+ y = 0
Prova: Seja um x arbitrário e seja y = −x.Então x+ y = x− x = 0.
No entanto, uma pequena alteração pode mudar totalmente o sentido da a�rmação, 
omo
por exemplo
Proposição 6. ∃y, ∀x, x+ y = 0
Contra-Exemplo: dado um y = 2 podemos es
olher x = 10, que viola a 
ondição e, portanto,
invalida a a�rmação.
2.3 Operações 
om Conjuntos
Com as de�nições das seções anteriores, podemos fo
ar 
om mais profundidade no 
on
eito de
onjunto e suas operações.
União de Conjuntos:
Sejam dois 
onjuntos A e B. A união de A e B é o 
onjunto de todos os elementos que estão
em A ou em B, tal que
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
22 CAPÍTULO 2. TEORIA DE CONJUNTOS
Interseção de Conjuntos:
Sejam dois 
onjuntos A e B. A interseção de A e B é o 
onjunto de todos os elementos que
estão em A e em B, tal que
A ∩ B = {x : x ∈ Ax∧ ∈ B}
Com as seguintes propriedades (
omutativas, asso
iativas e distributivas):
1. A ∪B = B ∪A
2. A ∩B = B ∩A
3. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
4. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
5. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
e, em relação ao 
onjunto vazio, observamos que
1. A ∪ ∅ = A
2. A ∩ ∅ = ∅.
Para provarmos estas propriedades, podemos utilizar os 
on
eitos de união e interseção, 
omo
por exemplo:
Prove que A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C:
Da de�nição de união entre 
onjuntos, temos que B ∪ C pode ser es
rita 
omo
B ∪ C = {x : x ∈ B ∨ x ∈ C}
tal que o lado esquerdo da a�rmação que estamos tentando provar pode ser es
rito 
omo
A ∪ (B ∪ C) = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C)}.
Usando a propriedade asso
iativa do operador ou podemos es
rever
{x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∨ (x ∈ C)}
2.3. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 23
que equivale a
{x : (x ∈ A ∪ B) ∨ (x ∈ C)}
ou
(A ∪ B) ∪ C.
Observem que 
om este tipo de 
onstrução podemos provar várias propriedades de 
onjuntos.
Diferença de Conjuntos:
A diferença entre dois 
onjuntos é denotada por A − B e signi�
a que queremos todos os
elementos que perten
em a A mas não perten
em a B, tal que
A−B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.
Diferença Simétri
a de Conjuntos:
A diferença simétri
a entre dois 
onjuntos é denotada por A∆B e signi�
a que queremos todos
os elementos que estão em A e não em B E em B mas não em A, tal que
A∆B = (A−B) ∪ (B − A).
Produto Cartesiano de Conjuntos:
Sejam dois 
onjuntos A e B. O produto 
artesiano de A e B, denotado por A×B é o 
onjunto
de todos os pares ordenados (listas de dois elementos) formados tomando-se um elemento de A
juntamente 
om um elemento de B de todas as maneiras possíveis, tal que
A× B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}
24 CAPÍTULO 2. TEORIA DE CONJUNTOS
Como exemplo, vamos 
onsiderar A = {1, 2} e B = {3, 4}. Assim, pela de�nição a
ima,
temos que
A× B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
B × A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}
e, 
om isto, veri�
amos que o produto 
artesiano entre dois 
onjuntos não é uma operação
omutativa (A×B 6= B ×A).
Cardinalidade de um Conjunto (
ardinality)
A 
ardinalidade de um 
onjunto nada mais é do que o número de membros distintos que ele
ontém.
Assim, um 
onjunto A = {1, 1, 2, 3, 4} tem 
ardinalidade |A| = 4, pois 
ontamos somente os
elementos distintos. Note que as seguintes relaçõesentre 
ardinalidade e as operações de�nidas
a
ima podem ser obtidas:
A 
ardinalidade do produto 
artesiano é igual ao produto das 
ardinalidades
Sejam dois 
onjuntos A e B. Então, |A× B| = |A| |B|
e, voltando ao exemplo anterior, temos que |A| = 2 e |B| = 2, tal que |A×B| = 4, pois o
onjunto {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} tem quatro elementos (pares).
Capítulo 3
Números Reais
Os números reais, R, são utilizados para representar quantidades 
ontínuas e são a expansão
do 
onjunto dos números ra
ionais, pela 
onsideração dos númemeros irra
ionais (frações que
não podem ser obtidas pela divisão de dois inteiros). Assim, temos que
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R...
O 
onjunto dos números reais é obtido por meio de alguns axiomas, 
onhe
idos 
omo axiomas
de 
orpo. Assim, R é um 
onjunto não vazio onde podemos de�nir duas operações fe
hadas:
• Adição: + : R× R→ R ou (x, y)→ x+ y;
• Multipli
ação: ∗ : R× R→ R ou (x, y)→ x ∗ y;
om os axiomas asso
iados a soma:
• Asso
iatividade: (x+ y) + z = x+ y + z x, y, z ∈ R;
• Comutatividade: x+ y = y + x x, y ∈ R;
• Elemento Neutro: x+ 0 = x x, 0 ∈ R;
• Simétri
o: x+ (−x) = 0 x, 0 ∈ R;
e 
om os axiomas asso
iados a multipli
ação:
• Asso
iatividade: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ y ∗ z x, y, z ∈ R;
• Comutatividade: x ∗ y = y ∗ x x, y ∈ R;
• Elemento Neutro: x ∗ 1 = x 1, 0 ∈ R;
• Inverso Multipli
ativo: x ∗ x−1 = 1 x, 1 ∈ R x 6= 0;
além do axioma da distributividade, que estabele
e que x ∗ (y+ z) = x ∗ y+ x ∗ z x, y, z ∈ R.
Por �m, mas não menos importante, temos um 
onjunto de axiomas referentes ao 
on
eito
de Conjunto Ordenado (ou Corpo Ordenado), que dá origem ao 
on
eito de inequações. Para
25
26 CAPÍTULO 3. NÚMEROS REAIS
este �m, de�nimos um sub
onjunto P ⊆ R, que 
ontém os elementos positivos de R, atendendo
aos seguintes axiomas:
• A soma e o produto de números positivos são positivos;
• Para x ∈ P temos três alternativas: x = 0, x ∈ P , −(x) ∈ P ;
ou seja, R = 0∪P ∪ (−P ), onde o 
onjunto −P é 
onhe
ido 
omo 
onjunto dos números (reais)
negativos.
Uma vez que ordenamos os números reais, podemos observar que
• x > 0 se x ∈ P ;
• x < 0 se x ∈ −P ;
• x ≥ 0 se x ∈ P ∪ 0;
• x ≤ 0 se x ∈ −P ∪ 0;
e
• x > y ⇒ x− y > 0;
• x < y ⇒ x− y < 0;
• x ≥ y ⇒ x− y ≥ 0;
• x ≤ y ⇒ x− y ≤ 0;
dando origem ao 
on
eito de desigualdade, que é fundamental para de�nirmos intervalos de
números reais.
Um intervalo nada mais é do que um sub
onjunto de R, de�nido entre dois valores (�nitos
ou in�nitos). Desta forma, temos as seguintes possibilidades:
• (a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b};
• [a, b] = {x ∈ R : x ≥ a ∧ x ≤ b};
• (a, b] = {x ∈ R : x > a ∧ x ≤ b};
• [a, b) = {x ∈ R : x ≥ a ∧ x < b};
para intervalos �nitos e
• (a,+∞) = {x ∈ R : x > a};
• [a,+∞) = {x ∈ R : x ≥ a};
• (−∞, a) = {x ∈ R : x < a};
• (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a};
para intervalos in�nitos.
3.1. ALGUMAS PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS. 27
3.1 Algumas Propriedades dos números reais.
Vamos apresentar algumas de�nições importantes ao trabalharmos 
om números reais:
Cota superior e 
ota inferior:
Seja um 
onjunto S ∈ R. Dizemos que u ∈ R é 
ota superior de S se ∀s ∈ S, s ≤ u. Analoga-
mente, dizemos que v ∈ R é 
ota inferior de S se ∀s ∈ S, v ≤ s.
assim, de uso da de�nição a
ima, podemos também de�nir
Conjunto Limitado por baixo e Conjunto Limitado por Cima:
Se um 
onjunto S tem 
ota inferior, dizemos que ele é limitado por baixo ou limitado inferior-
mente. Analogamente, se o 
onjunto tem 
ota superior, dizemos que ele é limitado por 
ima
ou limitado superiormente.
Como exemplo, podemos 
itar o 
onjunto dos números naturais, que tem uma 
ota inferior, 0,
mas não tem 
ota superior. Avaliando as de�nições a
ima, podemos veri�
ar que um 
onjunto
limitado por 
ima, por exemplo, pode ter diversas 
otas superiores. Para veri�
armos esta
a�rmação, vamos 
onsiderar o 
onjunto A = [0, 1]. Qualquer número real maior ou igual a 1
será uma 
ota superior para o 
onjunto e qualquer número menor ou igual a 0 será 
ota inferior,
pois a de�nição espe
i�
a que as 
otas devem perten
er a R. Com isto em mente, podemos
de�nir os 
on
eitos de Supremo e de In�mo:
Supremo de um 
onjunto / In�mo de um 
onjunto:
Se um 
onjunto S é limitado por 
ima, 
hamamos de supremo de S ou sup(S) a menor de suas
otas superiores. Analogamente, se S é limitado por baixo, 
hamamos de in�mo ou inf(S) a
maior de suas 
otas inferiores.
omo exemplos, podemos 
itar os seguintes 
onjuntos:
1) A = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}
Neste 
aso, temos que o 
onjunto está de�nido entre 0 e 1, in
lusive. Assim, A 
ontém
in�nitas 
otas superiores, pois qualquer número real na faixa [1,∞) satisfaz a de�nição 3.1. No
entanto, 1 é a menor das 
otas superiores e, portanto, é o supremo do 
onjunto. O mesmo vale
para o extremo esquerdo do intervalo. Assim: inf(A) = 0 e sup(A) = 1.
2) B = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1}
O que muda no segundo exemplo é o fato de o limite superior do intervalo agora ser de�nido
por um intervalo aberto. Neste 
aso, as 
otas superiores estarão na faixa (1,∞) e o supremo
será o menor valor deste intervalo. Assim, sup(B) = 1, mas 
om uma diferença que é muito
importante na práti
a da me
âni
a 
omputa
ional:
sup(A) ∈ A
sup(B) /∈ B
28 CAPÍTULO 3. NÚMEROS REAIS
ou seja, no segundo 
aso o supremo não está 
ontido no 
onjunto.
Valor Absoluto de um número real:
Seja um número a ∈ R. O valor absoluto (ou em módulo) de a é dado por
|a| =
{
+a se a > 0
−a se a < 0
assim, se a = −1, temos que |a| = −(−1) = 1. Com esta de�nição, podemos estabele
er as
seguintes relações:
1. |−a| = |a| , ∀a ∈ R
2. |ab| = |a| |b| , ∀a, b ∈ R
3. |a| ≤ k ⇔ a ∈ [−k, k], ∀a, k ∈ R
4. − |a| ≤ a ≤ |a| , ∀a ∈ R.
Teorema 1. Desigualdade Triangular
Sejam a, b ∈ R,
|a + b| ≤ |a|+ |b|
e este teorema é tão utilizado, que vamos apresentar a prova para que �que bem 
lara a impli
a-
ção desta desigualdade: Sabendo que − |a| ≤ a ≤ |a| e que − |b| ≤ b ≤ |b| , podemos somar estas
duas de�nições, obtendo − |a|−|b| ≤ a+b ≤ |a|+|b| . Da de�nição de que |a| ≤ k ⇔ a ∈ [−k, k],
veri�
amos que k, nesta expressão, assume a forma de |a| + |b|, e, portanto, a a�rmação pode
ser es
rita 
omo |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Como exemplo, vamos utilizar a = 1 e b = −2. Neste 
aso |1− 2| = |−1| = 1 e |1|+ |−2| =
1 + 2 = 3. Como 1 < 3, veri�
amos que a desigualdade triangular faz sentido.
Capítulo 4
Funções
De forma bem simplória, podemos defnir uma função 
omo sendo uma entidade que transforma
uma quantidade em outra.
De maneira mais formal, temos a seguinte de�nição:
Função:
Uma relação f é 
hamada de função desde que (a, b) ∈ f e (a, c) ∈ f impliquem em b = c.
Nesta de�nição utilizamos o 
on
eito de relação. Uma relação nada mais é do que um 
onjunto
de pares ordenados, na forma
R = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)}
onde podemos ver os pares 
omo sendo (entrada, saida) da função. Assim, o que a de�nição
de função está dizendo, é que se apli
armos as entradas da função e observarmos as saídas, não
poderemos ver um resultado diferente para uma mesma entrada. Assim, a relação
R = {(1, 2), (1, 4), (2, 7)}
não é uma função, pois para uma mesma entrada, 1, tivemos duas respostas diferentes 2 e 4.
Assim, de forma alternativa, poderíamos es
rever
Função (de�nição alternativa):
Uma relação f é 
hamada de função desde que f(a) = b e f(a) = c impliquem em b = c.
assim, por exemplo, podemos de�nir uma função 
omo
f = {(x, y) : x, y ∈ Z, y = x2}
que, em termos de pares ordenados teria a forma
f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), ...}.
29
30 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES
✬
✫
✩
✪
Funções Multivaloradas (Polídromas):
Algumas "funções"
omo por exemplo raiz quadrada ou funçõestrigonométri
as inversas apre-
sentam mais de um valor para o mesmo argumento de entrada. Neste 
aso, mesmo sendo muito
omuns, não podemos utilizar a nomen
latura de função. O 
orreto seria 
hamar de relação,
onforme vimos anteriormente. Contribuição de Barbara Haens
h S
hneider.
É importante entender o 
on
eito de função e 
omo ela se rela
iona 
om a teoria de 
onjun-
tos que revisamos anteriormente. Para isto, vamos estudar as seguintes de�nições:
Domínio de uma função:
Seja uma função f . O 
onjunto de todos os primeiros elementos possíveis dos pares ordenados
de f é 
hamado de domínio de f ou domf . Em notação matemáti
a:
domf = {a : ∃b, (a, b) ∈ f}
ou, de forma mais direta:
domf = {a : f(a) definido}
assim, na de�nição f = {(x, y) : x, y ∈ Z, y = x2} o domínio é Z.
Imagem e 
ontradomínio de uma função:
Seja uma função f . O 
onjunto de todos os possíveis segundos elementos dos pares ordenados
de f é 
hamada de imagem de f ou im f . Em notação matemáti
a:
im f = {b : ∃a, (a, b) ∈ f}
ou, de forma mais direta:
im f = {b : b = f(a) para alguma ∈ domf},
ou mais diretamente ainda, a imagem é a própria saída da função. O 
ontradomínio da função,
por sua vez, é um 
onjunto mais amplo, que 
ontém a imagem. Por exemplo, a imagem de
f = {(x, y) : x, y ∈ Z, y = x2} são os quadrados perfeitos e o 
ontradomínio é Z.
f : A→ B
Seja f uma função e sejam A e B 
onjuntos. Dizemos que f é uma função de A para B se
domf = A e se im f ⊆ B, onde B é o 
ontradomínio. Alternativamente, dizemos que f é uma
apli
ação de A em B.
Assim, a função seno é uma função que mapeia o 
onjunto dos reais no 
onjunto dos reais, pois
f = {(x, y) : x, y ∈ R, y = sen(x)}, e, portanto, temos que domf = R e im f = [−1, 1] ⊆ R .
31
a1
a2
f(a1)
f(a2)
f é um-a-um
a1
a2
f(a1)
f não é um-a-um
Figura 4.1: Função um-a-um
Funções inversas:
Seja uma função f : A → B= {(a1, b1), (a2, b2), ....}. A inversa da função, denotada por f−1 é
obtida pela inversão dos termos de 
ada um dos pares que formam a relação, tal que
f−1 = {(b1, a1), (b2, a2), ...}
É importante salientar que a inversa da função f : A → B não é ne
essaria-
mente uma função f−1 : B → A. Para entendermos isto, vamos 
onsiderar os 
onjuntos
A = {1, 2, 3, 6, 8} e B = {2, 4, 5, 4, 7} e a função f : A→ B= {(1, 4), (2, 5), (3, 4), (6, 2), (8, 5)}.
Neste 
aso, a inversa de f será dada por f−1 = {(4, 1), (5, 2), (4, 3), (2, 6), (5, 8)} que não é
uma função pois temos os pares (4, 1) e (4, 3), bem 
omo (5, 2) e (5, 8). Ainda, temos que
domf−1 = {4, 5, 2} 6= B. No entanto, esta 
ondição não é geral e podemos ter situações em
que a inversa é uma função e, ainda, mapear os 
onjuntos na forma esperada.
Função um-a-um (injetiva):
Uma função f é 
hamada de um-a-um se (x, b), (y, b) ∈ f ⇔ x = y. Em outras palavras,
f(x) = f(y) se e somente se x = y.
Assim, temos que uma função um-a-um é aquela que mapeia 
ada valor distinto
de A em um valor distindo de B.
Um exemplo bastante simples de uma função um-a-um é um polin�mio linear 
om forma
ax+ b. Se a função for injetiva, temos que satisfazer a 
ondição
ax+ b = ay + b
e, se a 6= 0, podemos subtrair b dos dois lados e depois dividir por a. Neste 
aso, provamos que
x = y. Um exemplo de uma função que não é injetiva é a função f = {(x, y) : x, y ∈ R, y = x2}.
Neste 
aso, teriamos que veri�
ar se igualdade
a2 = b2
32 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES
f é sobre f não é sobre
Figura 4.2: Função sobre
impli
a em a = b, o que obviamente não o
orre para ∀a, b ∈ R (podemos pensar no 
aso óbvio
onde a = −1 e b = 1). Uma observação interessante, é que se a função fosse de�nida no
onjunto dos números naturais, então o resultado seria diferente. Porque ?
Com esta de�nição, podemos então a�rmar que:
Seja f uma função. A relação inversa f−1 é uma função se e somente se f for injetiva. Neste
aso, temos que domf = im f−1e im f = domf−1.
A seguinte de�nição também é muito importante para entendermos vários resultados futuros:
Sobre:
Uma função f : A → B é dita sobre B desde que, para todo b ∈ B, exista um a ∈ A tal que
f(a) = b, ou seja, im f = B. Em linguagem matemáti
a:
∀b ∈ B, ∃a ∈ A, f(a) = b
Portanto, para que a função seja sobre, todo elemento de B deve ter um 
orres-
pondente em A, ou de forma mais direta, temos que a
essar todos os elementos de
B.
Assim, dado f : A → B, para que f−1seja uma função é ne
essário que f seja injetiva
(um-a-um). Com isto, se f ainda for sobre B, então podemos a�rmar que f−1 : B → A. Neste
aso:
Bijeção:
Seja f : A→ B. f é 
hamada de uma bijeção se é ao mesmo tempo injetiva e sobre.
Exemplo: Sejam A o 
onjunto dos números inteiros pares e B o 
onjunto dos inteiros ím-
pares. Vamos mostrar que f(x) = x + 1 é uma bijeção. Primeiro, vamos mostrar que f é
um-a-um. Para isto, basta mostrarmos que
x+ 1 = y + 1
4.1. COMPOSIÇ�O DE FUNÇÕES 33
e, des
ontando 1 dos dois lados, mostramos que
x = y.
Para veri�
armos se é sobre, temos que sele
ionar um elemento de B, que pode ser es
rito na
forma genéri
a 
omo y = 2k + 1. Por de�nição, um elemento de A pode ser es
rito na forma
x = 2k, tal que a função a ser estudada pode ser es
rita na forma
f(x) = x+ 1 = 2k + 1
que mostra que f é sobre e, portanto f é uma bijeção.
Observem que se os 
onjuntos A e B forem �nitos, podemos estabele
er as seguintes rela-
ções:
Prin
ípio da Casa do Pombo:
Sejam A e B 
onjuntos �nitos e seja f : A→ B.
• Se |A| > |B|, então f não é um-a-um.
• Se |A| < |B|, então f não é sobre.
Isto é fá
il de entender, pois se |A| > |B| então os primeiros b elementos de A serão levados
para diferentes elementos de b. Após isto, não há elementos em B aos quais podemos apli
ar
os elementos restantes de A.
Da mesma forma, se |A| < |B|, então sabemos que não existem elementos su�
ientes em A
para 
obrir todos os elementos em B.
Tarefa:
Domínio Contradomínio f um a um ? sobre ? Bijeção ?
Z Z x→ x3
R R x→ x3
Z N x→ |x|
Z Z x→ x2
! Justi�que 
ada uma das a�rmações !
4.1 Composição de Funções
Sejam duas funções f : A → B e g : B → C. É possível de�nirmos uma função que mapeie
diretamente de A para C, 
om notação
(g ◦ f)(a) = g[f(a)], a ∈ A
34 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES
e que 
hamamos de 
omposição de g e f . Observem que a notação indi
a que apli
amos f(a)
(f está mais próximo e a) e depois apli
amos g no resultado desta operação. Ainda, temos que
dom (g ◦ f)(a) = domf
pois não estamos modi�
ando a entrada do pro
esso. O mais importante diz respeito ao a
o-
plamento entre f e g, pois a saída de f deve ser uma entrada válida para g. Isto pode ser
garantido 
om
im f ⊆ domg
e, muito importante, devemos lembrar que
(g ◦ f) 6= (f ◦ g).
Vamos a dois exemplos:
1) Sejam f : Z → Z e g : Z → Z, 
om f(x) = x2 + 1 e g(x) = 2x − 3. Para 
al
ularmos
(g ◦ f)(4), pro
edemos da seguinte forma:
f(4) = (4)2 + 1 = 17
g(f(4)) = 2 ∗ 17− 3 = 31
ou, de modo geral
(g ◦ f) = 2(x2 + 1)− 3 = 2x2 + 2− 3 = 2x2 − 1.
2) Com as mesmas funções do exemplo 1, podemos ver que
(f ◦ g) = (2x− 3)2 + 1 = 4x2 − 12x+ 10
de modo que a 
omposição de funções não satisfaz a propriedade 
omutativa. No entanto,
satisfaz a propriedade asso
iativa.
Propriedade Asso
iativa:
Sejam f : A→ B, g : B → C e h : C → D, então
h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f
Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {6, 7, 8, 9} e C = {10, 11, 12, 13, 14}. As funções
f : A→ B e g : B → C são de�nidas por
f : {(1, 6), (2, 6), (3, 9), (4, 7), (5, 7)}
g : {(6, 10), (7, 11), (8, 12), (9, 13)}
4.1. COMPOSIÇ�O DE FUNÇÕES 35
f g
a
f(a) g(f(a))
g o f
Figura 4.3: Composição de funções.
então
(g ◦ f) = {(1, 10), (2, 10), (3, 13), (4, 11), (5, 11)}
onde utilizamos o seguinte ra
io
ínio:(1, 6) é um par de f na forma (a, b) que serve 
omo
entrada para g que tem a forma (b, c). Assim, a 
omposição retorna um par na forma (a, (, c))
onde o b deve ser igual. Assim, b = 6 está presente em f nos pares (1, 6) e (2, 6), tal que isto
gera duas saidas em g, pois temos (1, (, 10)) e (2, (, 10)).
Um 
on
eito muito Interessante é o de função identidade:
Função Identidade em um 
onjunto:
Seja A um 
onjunto. A função identidade em A é a função idA 
ujo domínio é A e satisfaz
idA = {(a, a)∀a ∈ A}
os seja, a imagem é sempre igual ao domínio.
sendo que as seguintes propriedades são observadas
Sejam dois 
onjuntos A e B e uma função f : A→ B, então
f ◦ idA = idB ◦ f = f
e
Sejam dois 
onjuntos A e B e uma função f : A→ B que é um-a-um e sobre, então
f ◦ f−1 = idB
f−1 ◦ f = idA
vamos a um exemplo para deixar estes 
on
eitos mais 
laros.
Exemplo: Considere os 
onjuntos A = {1, 2, 3} eB = {2, 4, 6} e a função f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)},
que nada mais é do que f = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B, y = 2x}. Neste 
aso, temos que
idA = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
36 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES
idB = {(2, 2), (4, 4), (6, 6)}
e a inversa da função é tal que
f−1 = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)} = {(y, x) : y ∈ B, x ∈ A, x = y
2
}.
Assim, ao apli
armos as de�nições a
ima, observamos que
f−1 ◦ f = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} = idA
f ◦ f−1 = {(2, 2), (4, 4), (6, 6)} = idB
e
f ◦ idA = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}
idB ◦ f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}.
Devemos observar que as funções identidade podem ser de�nidas 
omo
idA = {(x, x) : x ∈ A, x}
idB = {(y, y) : y ∈ B, y}
tal que
f ◦ idA = f(x) = 2x
idB ◦ f = y ◦ (2x) = 2x
e
f−1 ◦ cf = 1
2
(2x) = idA
f ◦ f−1 = 2(y
2
) = idB.
Capítulo 5
RN
Para ini
iarmos os nossos estudos sobre espaços vetoriais, iremos abordar o RN . No RN os
elementos são 
hamados de vetores e são formados por uma 
oleção de números reais, 
omo
por exemplo (2, 1) no R2 ou (1, 2, 3) no R3 (que em duas e três dimensões permitem uma repre-
sentação grá�
a que já é de 
onhe
imento de qualquer aluno de graduação). É importante que
os 
on
eitos aprendidos aqui sejam bem �xados, pois iremos re-utilizar estes 
on
eitos quando
formos estudar os espaços de funções, mais adiante. De maneira mais formal
RN :
RN é o 
onjunto das n-úplas ordenadas de números reais, na forma
RN = {u = (u1, u2, u3, ....., uN) : ui ∈ R, i = 1, ..., N}
Tendo em mente esta de�nição, podemos então de�nir um espaço vetorial sobre os reais, na
forma:
37
38 CAPÍTULO 5. RN
Espaço Vetorial sobre os reais:
Um espaço vetorial V sobre os reais é um 
onjunto 
ujos elementos 
hamamos de vetores, 
om
duas operações binárias: soma e multipli
ação por um es
alar, tais que:
• u+ v = v + u, ∀u,v ∈ V
• (u+ v) +w = u+ (v +w), ∀u,v,w ∈ V
• ∃0 ∈ V : 0+ u = u, ∀u ∈ V
• ∀u ∈ V, ∃v,u+ v = 0
• ∃1 ∈ V : 1u = u, ∀u ∈ V
• (α + β)u = αu+ βu, ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ V
• α(βu) = (αβ)u∀α, β ∈ R, ∀u ∈ V
• α(u+ v) =αu+ αv, ∀α ∈ R, ∀u,v ∈ V
Como exer
í
io, podemos veri�
ar todas as a�rmações a
ima 
onsiderando R2 .
De posse destas informações, podemos agora de�nir algumas operações de interesse no RN :
Produto interno:
Seja V espaço vetorial sobre os reais. Um produto interno é uma função de V × V → R, 
om
notação u,v→ u · v ou < u,v >
om as seguintes propriedades
• u · u > 0, ∀u ∈ V,u 6= 0
• u · v = v · u, ∀u,v ∈V
• (αu) · v = α(u · v), ∀α ∈ R, ∀u,v ∈ V
• (u+ v) ·w = u ·w + v ·w, ∀u,v,w ∈ V
sendo que no RN o produto interno 
an�ni
o é de 
onhe
imento geral, na forma
u · v = u1v1 + ... + unvn
mas isto não impli
a na existên
ia de somente esta implementação de produto interno. De
fato, temos que uAv, onde A é uma matriz positivo-de�nida (vamos de�nir formalmente o este
on
eito mais para frente) de dimensões N × N , também gera uma operação que atende aos
requisitos listados a
ima. Por exemplo,
(u1, u2)
[
5 −1
−1 5
](
v1
v2
)
= 5v1u1 − u1v2 − u2v1 + 5u2v2
39
e a primeira propriedade (positividade), teria a forma
u · u = 5u21 − 2u1u2 + 5u22
que é estritamente positiva para u 6= (0, 0). Assim, podemos dizer que no produto interno
an�ni
o, A assume a forma da identidade (
aso parti
ular).
Outro 
on
eito importante é o de norma. A norma nada mais é do que uma �medida� de
um elemento do espaço (vetor), sendo que, assim 
omo o produto interno, tem uma de�nição
geral e seus 
asos parti
ulares.
Norma
Dado um espaço vetorial V , uma norma é uma função de V → R, denotada por u → ‖u‖ e
que satisfaz as seguintes 
ondições:
• ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ , ∀u,v ∈ V (desigualdade triangular)
• ‖αu‖ = α ‖u‖ ∀u ∈ V, ∀α ∈ R
• ‖u‖ > 0, ∀u ∈ V,u 6= 0
e, quando um espaço vetorial tem uma norma asso
iada, este é dito espaço normado (veremos
isto em mais detalhes no 
apítulo sobre espaço de funções). Relembrando o R2, temos 
omo
norma usual
‖u‖ =
√
u21 + u
2
2
que satisfaz os requisitos listados na de�nição da norma. No entanto, podemos estender o
on
eito para
‖u‖P =
(
N∑
i=1
|ui|P
) 1
P
, p ∈ N∗, p par
que gera a norma usual (também 
hamada de norma-2 ou ‖‖2) quando p = 2 e in�nitas normas.
Um 
aso interessante é a norma 
om p→∞, também 
hamada de max, pois
‖u‖∞ = max1≤i≤N |ui|
retornando o maior valor (em módulo) do vetor.
É interessante notar que 
om o 
on
eito de norma podemos de�nir o 
on
eito de distân
ia
entre dois vetores, pois
Distân
ia
Seja V um espaço vetorial normado e u,v dois elementos deste espaço. De�nimos 
omo a
distân
ia entre u e v o es
alar
d(u,v) = ‖u− v‖
40 CAPÍTULO 5. RN
Se um espaço é normado e tem produto interno de�nido, então a seguinte de�nição se apli
a:
Teorema 2. Seja V ∈ RN um espaço vetorial normado 
om produto interno. Então
‖u‖2 =
√
u · u
e veri�
a-se a desigualdade de Cau
hy-S
hwartz
|u · v| ≤ ‖u‖2 ‖v‖2
5.1 Bases
Um 
on
eito fundamental quando lidamos 
om espaços vetoriais é o 
on
eito de Base, que está
rela
ionado ao 
on
eito de vetores linearmente independentes. Assim, é interessante ini
iarmos
om alguns 
on
eitos bási
os:
Combinação Linear:
Sejam V ⊆ RN um espaço vetorial e u um membro deste espaço. Se u puder ser es
rito na
forma
u =
N∑
i=1
αivi
onde αi ∈ R e vi ∈ V , então dizemos que u é obtido por meio de uma 
ombinação linear de
outros membros do espaço.
Vetores Linearmente Dependentes e Linearmente Independentes:
Sejam dois elementos u e v ∈ V ⊆ RN . Se u não puder ser es
rito por meio de uma 
ombinação
linear de v então dizemos que u e v são linearmente independentes. Alternativamente, se u
puder ser es
rito por meio de uma 
ombinação linear de v, dizemos que u e v são linearmente
dependentes.
Conjunto Linearmente Dependente e Linearmente Independente:
Seja V ⊆ RN um espaço vetorial e S um 
onjunto que 
ontém m elementos de V . Se nenhum
elemento de S puder ser es
rito por meio de uma 
ombinação linear dos outros elementos de
S, então o 
onjunto é dito linearmente independente. Neste 
aso, temos que
α1u1 + ....+ αmum = 0
se e somente se α1 = α2 = ... = αm = 0. Do 
ontrário, o 
onjunto é dito linearmente dependente.
Span (Gerador):
Seja V ⊆ RN um espaço vetorial e seja S = {u1,u2, ...,un} um 
onjunto de elementos de V .
Se 
ada vetor em V puder ser es
rito 
omo uma 
ombinação linear dos elementos de S, então
dizemos que S spans V , ou S gera V . Alternativamente, podemos dizer que v =
∑
n
i=1 αiui
onde v ∈V .
5.1. BASES 41
Tendo em mente estes 
on
eitos, podemos sele
ionar um sub
onjunto B de V , que seja line-
armente independente. Por exemplo, no R2 temos 
omo vetores linearmente independentes o
onjunto B = {(1, 0), (0, 1)}. Estes vetores são L.I, pois não é possível gerar (1, 0) =α(0, 1)
para quaisquer valores de α ∈ R. No entanto, outros vetores de R2 podem ser obtidos a partir
de uma 
ombinação linear de elementos de B, 
omo por exemplo:
• (2, 4) = 2(1, 0) + 4(0, 1)
• (33.5,−100) = 33.5(1, 0)− 100(0, 1).
Assim, podemos veri�
ar que o 
onjunto B ⊆ R2 
ontém os elementos que servem para 
ons-
truir quaisquer outros elementos de R2, de tal forma que B é 
onhe
ido 
omo base do espaço
R2(nesta 
aso parti
ular, também 
hamada de base 
an�ni
a)
Base:
Seja V ⊆ RN um espaço vetorial e B um 
onjunto de V . B é dito base de V se:
• B é linearmente independente
• B spans V
É importante salientar que:
• um espaço pode ter mais de uma base
• a 
ardinalidade de B de�ne a dimensão do espaço
• diferentes bases de um mesmo espaço terão a mesma 
ardinalidade
Vamos a um exemplo: Utilizando o R2 por uma questão de simpli
idade, podemos veri�
ar que
os 
onjuntos
B1 = {(1, 0), (0, 1)}
B2 = {(3, 1), (−2, 1)}
são linearmente independentes, pois
(1, 0) 6= α(0, 1), ∀α ∈ R
(3, 1) 6= α(−2, 1), ∀α ∈ R
e podemos gerar um dado elemento de R2 por meio de uma 
ombinação linear dos elementos
de B1 ou de B2. Por exemplo, (7, 9) pode ser gerado por
(7, 9) = α1(1, 0) + α2(0, 1)
(7, 9) = β1(3, 1) + β2(−2, 1)
42 CAPÍTULO 5. RN
tal que, para a primeira base podemos obter os 
oe�
ientes diretamente, pois
7 = α1e 9 = α2
e, para a segunda base temos
7 = 3β1 − 2β2
9 = β1 + β2
uja solução é β1 = 5, β2 = 4.
5.2 Conjuntos abertos e fe
hados em RN
Antes de ini
iarmos a de�nição de 
onjuntos abertos e 
onjuntos fe
hados, pre
isamos de�nir
uma bola em RN . Vamos apresentar três de�nições distintas:
Bola aberta em RN :
Uma bola aberta de raio r e 
entro u é de�nida por
Br(u) = {v ∈ RN : d(u,v) < r}
Bola fe
hada em RN :
Uma bola fe
hada de raio r e 
entro u é de�nida por
Br(u) = {v ∈ RN : d(u,v) ≤ r}
Esfera em RN :
Uma esfera de raio r e 
entro u é de�nida por
Br(u) = {v ∈ RN : d(u,v) = r}
sendo que a úni
a diferença está na desigualdade/igualdade. Estas de�nições nada mais são do
que a espe
i�
ação de uma região no entorno de um ponto u, onde iremos 
onsiderar elemen-
tos �vizinhos� v, de a
ordo 
om alguma norma pré-de�nida. No que segue, iremos utilizar o
on
eito de bola aberta.
O 
on
eito de 
onjunto aberto e de fe
hado 
ausa muita 
onfusão. Não devemos pensar em
uma 
aixa aberta ou fe
hada, mas sim respeitar as de�nições que serão apresentadas a seguir:
Conjunto Aberto:
Um 
onjunto G ⊆ RN é aberto em RN se para todo o u ∈ G existe ǫ > 0 real tal que Bǫ(u) ⊆ G
Ou seja, um 
onjunto é aberto se qualquer ponto deste 
onjunto pode ser pertur-
5.2. CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS EM RN 43
bado por uma quantidade in�nitesimal ǫ em qualquer direção e ainda 
ontinuar no
onjunto (a bola toda deve estar 
ontida no 
onjunto).
Como exemplo, vamos 
onsiderar o 
onjunto A = {x : x ∈ (0, 1)}. Se de�nirmos uma
bola de raio ǫ em uma posição genéri
a x teremos Bǫ(x) = (x − ǫ, x + ǫ). Agora vamos
imaginar que ǫ tem valores na faixa min{x
2
, 1− x
2
} então, se nos aproximarmos de zero, teremos
Bǫ(x→ 0) = (x− x2 , x+ 1− x2 )→ (0, 1) ∈ A.
Outro exemplo: I = {x : x ∈ [0, 1]}. Se de�nirmos uma bola de raio ǫ em uma posição
genéri
a x teremos Bǫ(x) = (x− ǫ, x+ ǫ). Agora vamos imaginar que estamos em x = 0 e que
perturbamos em ǫ genéri
o. Termos um intervalo (−ǫ, ǫ) sendo que o extremo esquerdo deste
intervalo não está 
ontido em I.
O 
onjunto RN é aberto pois 
omo se extende ao in�nito, sempre podemos 
olo
ar uma
bola que 
onterá pontos no RN
Assim, para intervalos unidimensionais é fá
il de ver que se o intervalo for
aberto, então é possível 
hegar arbitrariamente perto do extremo aberto e ainda
de�nir uma bola in�nitesimal que esteja 
ontida no intervalo. Se o intervalo for
fe
hado, então podemos nos posi
ionar exatamente sobre o extremo e mostrar que
uma bola 
entrada neste ponto terá pontos fora do intervalo.
É interessante notar que o 
onjunto vazio ∅ é aberto (por va
uidade, pois se não tem pontos,
então não podemos de�nir a noção de uma bola).
Complemento de um Conjunto:
O 
omplemento ∁(V ) de um 
onjunto é de�nido por
∁(V ) = RN\V = {u ∈ RN : u 6= F}
e, 
omo exemplo, podemos 
itar ∁(I) = (−∞, 0) ∪ (1,∞), para I = [0, 1] e ∁(A) = (−∞, 0] ∪
[1,∞), para A = (0, 1). Dois 
omplementos interessantes são: ∁(∅) = RN e ∁(RN) = ∅.
Conjunto Fe
hado:
Um 
onjunto F ⊆ RN é fe
hado em RN se seu 
omplemento é aberto
Assim, 
onsiderando os exemplos 
om os quais estamos trabalhando, observamos que
1) O 
omplemento de A não é aberto, pois se posi
ionarmos a bola em 0] ou em [1 teremos
um pedaço da bola aberta fora do 
omplemento (dentro de A). Assim, A não é fe
hado;
2) O 
omplemento de I é aberto, pois é possível posi
ionar a bola em qualquer ponto do
omplemento e garantir que a bola estara 
ontida no 
omplemento (não possuirá pontos em I).
Assim, I é fe
hado.
44 CAPÍTULO 5. RN
Interessante notar que um 
onjunto pode ser aberto e fe
hado ao mesmo tempo. Por exem-
plo, ∅ é aberto e é fe
hado (pois o seu 
omplemento é aberto). Da mesma forma, RN também
tem 
omplemento aberto, sendo portanto fe
hado.
Um 
onjunto pode não ser aberto e nem fe
hado. Em exemplo seria o 
onjunto E = {x : x ∈
(0, 1]}. Este 
onjunto não é aberto, pois podemos posi
ionar a bola aberta em 1 e, 
om isto, ter
pontos da bola fora de E. O interessante é que o 
omplemento de E, ∁(E) = (−∞, 0] ∪ (1,∞)
também não é aberto, pois podemos 
olo
ar uma bola em 0 e ela 
onterá pontos de E. Assim,
E não é aberto e nem fe
hado.
Vizinhança, Ponto interior, ponto de fronteira e exterior:
Sejam u ∈ RN e A ⊆ RN :
• Uma vizinhança de u é um 
onjunto que 
ontém um sub
onjunto aberto que 
ontenha u
• u é um ponto interior de A se existe uma vizinhança de u
ontida em A
• u é um ponto de fronteira de A se toda a vizinhança de uestá 
ontida em A e em seu
omplemento
• u é um ponto exterior de A se existe uma vizinhança de u
ontida em ∁(A)
Tal que podemos estabele
er que se um 
onjunto I é aberto, então:
• todos os seus pontos são interiores
• I é uma vizinhança de todos os seus pontos
• I não 
ontém pontos de fronteira
e, se F é um 
onjunto fe
hado, então:
• F 
ontém todos os seus pontos de fronteira.
Ponto de A
umulação:
Um ponto u ∈ RN é um ponto de a
umulação de S ⊆ RN se toda vizinhança Bǫ(u) 
ontém
pelo menos um ponto de S diferente de u.
Como exemplo, podemos 
onsiderar:
• um 
onjunto S ⊆ R limitado superiormente 
om u = sup S /∈ S. Neste 
aso, ué ponto de
a
umulação de S, uma vez que existem ǫ > 0 e v ∈ S tal que v ∈ (u− ǫ,u+ ǫ);
5.2. CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS EM RN 45
• um 
onjunto A de�nido pelo intervalo (0, 1). Neste 
aso, qualquer ponto no intervalo
[0, 1] é ponto de a
umulação de A (observe que um ponto fora do 
onjunto pode ser de
a
umulação);
• N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....} não tem ponto de a
umulação, pois podemos 
onsiderar uma bola
om 
entro em qualquer número e 
olo
ar um raio pequeno o su�
iente para 
onter apenas
o 
entro da bola (lembrem-se que estamos trabalhando 
om números inteiros positivos e,
portanto, 0.00001 não faz parte de N;
• De modo geral, podemos a�rmar que 
onjuntos �nitos (
om número limitado de elemen-
tos) não possuem ponto de a
umulação, pois podemos de�nir uma vizinhança (real) que
não 
ontenha pontos do 
onjunto;
• Z não tem ponto de a
umulação (embora seja in�nito, 
omo o N);
• O 
onjunto (2, 3)∪{4} tem 
omo pontos de a
umulação [2, 3], pois podemos 
olo
ar uma
vizinhança em torno de {4} que não inter
epte pontos do 
onjunto (além do 4)
Desta forma, podemos de�nir o 
on
eito de Conjunto Fe
hado de uma forma alternativa
Conjunto Fehado (de�nição alternativa)
Um 
onjunto F ⊆ RNé fe
hado se e somente se 
ontém todos os seus pontos de a
umulação.
Teorema 3. Bolzano-Weierstrass no RN
Todo sub
onjunto ini�nito e limitado de RN tem pelo menos um ponto de a
umulação.
onde devemos observar que o sub
onjunto será limitado se for limitado superiormente E inferior-
mente. Este teorema pare
e meio óbvio se olharmos o exemplo que foi dis
utido anteriormente:
um 
onjunto S ⊆ R limitado superiormente 
om u = sup S /∈ S. Neste 
aso, u é ponto de
a
umulação de S. O mesmo pode ser dito para o inf S.
Vamos analizar novamente os nossos exemplos:
• Z é in�nito, mas é ilimitado (não tem limite superior e nem inferior);
• A = (0, 1) ∪ {2, 3, 4, 5, .....} é in�nito mas não é limitado superiormente. O teorema
não pode a�rmar nada sobre este 
aso, mas podemos observar que [0, 1] são pontos de
a
umulação !!
• A = {1, 2, 3} é �nito e, portanto, não tem pontos de a
umulação.
46 CAPÍTULO 5. RN
Capítulo 6
Espaços Vetoriais
Todos os 
on
eitos aprendidos 
om o RN podem ser estendidos para espaços mais gerais, onde
os membros (vetores) são funções. Embora possa pare
er algo muito vago em um primeiro
momento (pois estamos a
ostumados a pensar em vetores 
omo �e
has no R2 ou no R3 este
on
eito é muito útil para todas as nossas apli
ações em me
âni
a 
omputa
ional.
Como exemplo, vamos pensar em um 
onjunto de polin�mios, na forma
P = {1 + x2, 3x+ 4x3, 6− 3x+ 2x2 + x3}.
O 
onjunto P 
ontém elementos, que são polin�mios na forma a+bx+cx2+dx3 e é 
laro que P
é um sub
onjunto de todos os polin�mios de ter
eiro grau que existem (espaço de polin�mios).
A base para P é formada por um 
onjunto
B = {1, x, x2, x3}
e, por exemplo, 1 + x2 = 1(1, 0, 0, 0) + 0(0, x, 0, 0) + 1(0, 0, x2, 0) + 0(0, 0, 0, x3). Observem que
a base deste espaço tem 
ardinalidade 4, embora existam inúmeros polin�mios dentro deste
espaço.
Um outro exemplo que justi�
a o estudo de espaços de funções vem da solução de uma
equação diferen
ial, na forma
d2u
dx2
− k2u = 0, k > 0
onde x ∈ [0, 1]. Como sabemos, a solução da equação diferen
ial é uma família de funções u(x)
que satisfaz a equação diferen
ial para ∀x ∈ [0, 1]. Esta família de funções gera um espaço de
funções, que podem ser es
ritas a partir de um 
onjunto de funções base. Aqui, sabemos que
u(x) deve fazer parte de um espaço V , que 
ontém funções duas vezes diferen
iáveis no intervalo
[0, 1]. Este 
onjunto é dado por B = {ekx, e−kx} tal que qualquer elemento de V (solução da
eq. diferen
ial) terá a forma u(x) = α1e
kx + α2e
−kx
.
Da mesma forma que no RN , podemos estender o 
on
eito de norma para espaços de funções,
na forma
47
48 CAPÍTULO 6. ESPAÇOS VETORIAIS
‖u‖p =
(∫
|u|p
) 1
p
onde u são funções mensuráveis e p ≥ 1. Estas normas são 
onhe
idas 
omo Normas de
Lebesgue. Outas normas são possíveis, 
omo por exemplo a família de normas de Sobolev:
‖u‖m,p =

∫
Ω
∑
|α|≤m
|Dαu|p


1
p
e, 
omo exemplo, podemos de�nir a norma ‖u‖1,2 em Ω ∈ [0, 1]× [0, 1]
‖u‖m,p =
[∫ 1
0
∫ 1
0
[
|u|2 +
∣∣∣∣dudx
∣∣∣∣2 +
∣∣∣∣dudy
∣∣∣∣2
]
dxdy
]1
2
e podemos veri�
ar que se m = 0 a norma de Sobolev se iguala a norma de Lebesgue.
Deve-se enfatizar que estas normas são de�nidas para apli
ações distintas. Assim, normas
de Sobolev são ne
essárias para des
revermos espaços de funções e derivadas su�
ientemente
ontínuas para alguma apli
ação, 
omo por exemplo na solução de equações diferen
iais par
iais.
Como exer
í
io, imagine o R2 equipado 
om normas Lp para p igual a 1, 2 e ∞ e desenhe um
�
ír
ulo� de raio 1 em torno da origem (lembrem-se que p = ∞ impli
a em sele
ionar o maior
valor). Lembre-se que o raio é sempre uma distân
ia (asso
iada a norma) que depende das
oordenadas do ponto em relação a origem (
entro do 
ír
ulo).
Desta forma, 
onhe
endo o espaço vetorial de solução do nosso problema e as propriedades
dos operadores envolvidos, saberemos tudo sobre as suas propriedades (se tem solução, quantas
tem, estrategias de solução, et
...).
6.1 Transformações Lineares e Fun
ionais
A relação entre elementos de dois 
onjuntos foi de�nida 
omo uma função. Observem que
desde o iní
io da nossa matéria, o 
on
eito de elemento tem sido estendido. Atualmente,
estamos 
onsiderando 
onjuntos 
ujos elementos são funções e iremos agora de�nir relações
entre funções. Um exemplo seria a seguinte equação diferen
ial:
− d
dx
(
a
du(x)
dx
)
= f(x)
onde a e f(x) são 
onhe
idos e u(x) deve ser en
ontrado. Uma outra maneira de es
rever esta
equação diferen
ial é na forma
T (u) = f
6.1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E FUNCIONAIS 49
ou
T : U → V
que pode ser lida 
omo: T = − d
dx
(
a d
dx
)
é um operador que rela
iona o espaço de funções que
ontém u, U, 
om o espaço de funções que 
ontém f , V . Assim, se 
onhe
ermos as proprieda-
des do operador, podemos estudar a solução de equações de forma mais geral. Vamos estudar
algumas de�nições pertinentes:
Transformação Linear:
T é uma transformação linear de um elemento no espaço U em um elemento do espaço V se
ada elemento u ∈ U 
orresponde a um elemento v ∈ V e se as seguintes propriedades são
observadas:
• T (αu) = αT (u) ∀u ∈ U, ∀α ∈ R, homogêneo
• T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2), ∀u1,u2 ∈ U , aditivo
e, se T1 e T2 são duas transformações lineares, T1T2 também será uma transformação linear
(pense em 
omposição de funções).
É interessante notar que podemos re-utilizar todos os 
on
eitos que aprendemos 
om fun-
ções e estender para o 
on
eito de operador. Por exemplo, os 
on
eitos de domínio e de imagem
são análogos, bem 
omo a de um-a-um (injetivo). No entanto, 
ostumamos 
hamar um opera-
dor injetivo de um monomor�smo (para 
ada u temos um v distinto) e "sobre"ou sobrejetivo
assume a 
onotação de epimor�smo (todo V é utilizado). Neste 
ontexto, se o operador for
um monomor�smo E um epimor�smo, então ele é dito um isomor�smo (bijeção) e, portanto,
é possível de�nir um operador inverso.
Vamos apresentar algumas de�nições adi
ionais:
Nú
leo de uma transformação (Kernel):
O nú
leo de uma transformação (também 
onhe
ido 
omo espaço nulo) é dado por
ℵ(T ) = {u : u ∈ U, T (u) = 0}
Exemplo: Vamos 
onsiderar a transformação T : U → V tal que T (u) = u1 + u2. O nú
leo
desta transformação é de�nido por
ℵ(T ) = {u ∈ U : u1 + u2 = 0}
tal que elementos que tenham a estrutura
(−u2, u2)
50 CAPÍTULO 6. ESPAÇOS VETORIAIS
ompõe o nú
leo desta transformação. Desta forma, v = (−1, 1) é base do nú
leo de T .
Transformação Linear:
Uma transformação Linear T : U → V é um-a-um (monomor�smo) se e somente se o espaço
nulo é trivial, isto é, ℵ(T ) = {0}.
Exemplo: Conforme já dis
utido, um operador um-a-um é aquele que gera saídas distintas
para entradas distintas. Desta forma, o operador do exemplo anterior não é um monomor�smo
e uma maneira de testar por isto é veri�
ar a estrutura do espaço nulo. Conforme visto no
exemplo, o espaço nulo neste 
aso não é trivial.
Exemplo: Vamos 
onsiderar a transformação linear T : U → V tal que T (u) = 7u. Neste
aso,
ℵ(T ) = {u ∈ U : u = 0}
A dimensão do subespaço ℜ(T ) = Im (T ) ⊆ V é 
hamada de Rank da transformação T : U → V
Exemplo: Do segundo exemplo a
ima temos que U eV ⊆ RN , O Rank da transformação será
da dimensão N (dimensão de V ).
A dimensão do espaço nulo é 
hamada de nullity de T . A soma do rank 
om o nullity é igual
a dimensão de U
Exemplo: Ainda 
om o mesmo exemplo, temos que o Rank de T é N e o nullity é zero.
Exemplo: Voltando a transformação T : U → V tal que T (u) = u1 + u2, temos que o rank da
transformação é igual a 1 e que a dimensão do espaçonulo é 1 (um parâmetro a). U 
orresponde
ao R2, o que está de a
ordo 
om a de�nição.
6.2 Transformação Linear de Espaços Finito Dimensionais
Sejam U e V dois espaços �nito dimensionais e T : U → V uma transformação linear. Se
{φ1,φ2, ....,φn} é base de U e {ϕ1,ϕ2, .....,ϕm} é base de V , podemos es
rever qualquer mem-
bro de U e V na forma
u =
n∑
i=1
αiφi
v =
m∑
j=1
βjϕj
6.2. TRANSFORMAÇ�O LINEAR DE ESPAÇOS FINITO DIMENSIONAIS 51
e, para 
ada u e v, temos que T (u) = v pode ser es
rito na forma
T (u) =
n∑
i=1
αiT (φi) =
m∑
j=1
βjϕj ,
e, 
omo T (φi) ∈ V, podemos es
rever
T (φi) =
m∑
j=1
tjiϕj
tal que
m∑
j=1
βjϕj −
n∑
i=1
αi
(
m∑
j=1
tjiϕj
)
= 0
ou
m∑
j=1
(
βj −
n∑
i=1
tjiαi
)
ϕj = 0
que pode ser es
rita na forma matri
ial
β = Tα
onde T é uma matriz de dimensões m × n, 
ontendo os termos tji. Baseados nesta dedução,
podemos veri�
ar que:
• A transformação entre dois espaços vetoriais �nitos pode ser representada pela apli
ação
do operador T nas bases de 
ada espaço;
• A matriz T é a forma �nito dimensional (dis
reta) do operador T
Estes resultados são utilizados a todo instante na me
âni
a 
omputa
ional, pois trabalhamos
om espaços �nito dimensionais para representar modelos dis
retos de problemas 
ontínuos
(in�nito dimensionais).
Vamos apresentar dois exemplos bem simples:
Exemplo 1:
Seja U o espaço dos polin�mios de ter
eiro grau e V o espaço dos polin�mios de primeiro grau.
Embora existam in�nitos polin�mios de primeiro e ter
eiro graus, as suas bases são �nitas,
tendo a forma
φ = {1, x, x2, x3}
ϕ = {1, x}
tal que um elemento de U tem a forma genéri
a u =
∑4
i=1 αiφi = α1 + α2x + α3x
2 + α4x
3
(n = 4) e um elemento de V tem a forma genéri
a v =
∑2
j=1 βjϕj = β1 + β2x (m = 2).
52 CAPÍTULO 6. ESPAÇOS VETORIAIS
Um operador linear que mapeia (transforma) entre U e V é o operador diferen
ial
D =
d2
dx2
e, portanto,
D : U → V
signi�
a que
D
(
4∑
i=1
αiφi
)
=
2∑
j=1
βjϕj
e, 
omo o operador D é linear, podemos passar para dentro do somatório em i, tal que
4∑
i=1
αiD(φi) =
2∑
j=1
βjϕj
e 
omo D(φi) ∈ V, podemos es
rever
D(φi) =
2∑
j=1
djiϕj
signi�
ando que estamos es
revendo este resultado na base de V . Vamos avaliar D(φi) para
i = 1..4, ou seja, {1, x, x2, x3}:
D(φ1) = D(1) = 0
D(φ2) = D(x) = 0
D(φ3) = D(x
2) = 2
D(φ4) = D(x
3) = 6x
mas 
omo queremos es
rever estes termos na base de V , observamos que
D(φ1) = d11 ∗ 1 + d21 ∗ x = 0 ∗ 1 + 0 ∗ x
D(φ2) = d12 ∗ 1 + d22 ∗ x = 0 ∗ 1 + 0 ∗ x
D(φ3) = d13 ∗ 1 + d23 ∗ x = 2 ∗ 1 + 0 ∗ x
D(φ4) = d14 ∗ 1 + d24 ∗ x = 0 ∗ 1 + 6 ∗ x
tal que
4∑
i=1
αiD(φi) =
2∑
j=1
βjϕj
pode ser es
rito 
omo
α1 (0 ∗ 1 + 0 ∗ x) + α2 (0 ∗ 1 + 0 ∗ x) + α3 (2 ∗ 1 + 0 ∗ x) + α4 (0 ∗ 1 + 6 ∗ x) = β1 ∗ 1 + β2 ∗ x
6.2. TRANSFORMAÇ�O LINEAR DE ESPAÇOS FINITO DIMENSIONAIS 53
de onde observamos que 
ada termo da base de V pode ser 
olo
ado em evidên
ia:
ϕ1 → α1 ∗ 0 + α2 ∗ 0 + α32 + α40 = β1
ϕ2 → α1 ∗ 0 + α2 ∗ 0 + α30 + α46 = β2
ou, na forma matri
ial
[
0 0 2 0
0 0 0 6
]

α1
α2
α3
α4


=
{
β1
β2
}
.
tal que
D =
[
0 0 2 0
0 0 0 6
]
é a forma dis
reta do operador diferen
ial que mapeia U em V . De fato, se 
onsiderarmos o
polin�mio
p(x) = 7 + 2x+ 15x2 − 0.5x3
e realizarmos a operação D : U → V, obteremos
[
0 0 2 0
0 0 0 6
]

7
2
15
−0.5


=
{
30
−3
}
ou seja, o polin�mio v = 30− 3x.
Exemplo 2:
Dado um vetor u = (x1, x2, x3) no R
3
, podemos apli
ar uma rotação em torno do eixo 3 para
obter um novo vetor v = (x
′
1, x
′
2, x
′
3). Esta transformação, também 
onhe
ida 
omo rotação, é
do tipo R : R3 → R3 e tem a forma
R(x1, x2, x3) = (x1 cos(θ)− x2 sin(θ), x1 sin(θ) + x2 cos(θ), x3).
Como sabemos que as bases do R3 formam o 
onjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, se seguirmos
o ra
io
ínio apresentado no exemplo anterior, veri�
amos que o operador dis
reto asso
iado a
esta transformação pode ser obtido 
om
R(1, 0, 0) = (cos(θ), sin(θ), 0)
R(0, 1, 0) = (− sin(θ), cos(θ), 0)
R(0, 0, 1) = (0, 0, 1)
54 CAPÍTULO 6. ESPAÇOS VETORIAIS
tal que
R =

 cos(θ) − sin(θ) 0sin(θ) cos(θ) 0
0 0 1

 .
De fato, 
 cos(θ) − sin(θ) 0sin(θ) cos(θ) 0
0 0 1




x1
x2
x3

 =


x1 cos(θ)− x2 sin(θ)
x1 sin(θ) + x2 cos(θ)
x3

 .
TAREFA: Veri�que se as transformações dos exemplos a
ima tem inversa e, se tiverem,
deduza a forma dis
reta do operador.
TAREFA: Seja o operador, já na forma dis
reta,
T =

 1 0 00 1 0
0 0 0


tal que T : R3 → R3. Qual é o kernel deste operador ?
Exemplo: Um polin�mio 
úbi
o tem a forma p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3
e é membro de
um espaço de dimensão 4, pois esta é a 
ardinalidade de sua base U = {1, x, x2, x3}. Vamos
hamar este espaço de P . Na forma matri
ial, temos
p = [1, x, x2, x3]


a0
a1
a2
a3


= Ua
onde diferentes valores de a 
ara
terizam elementos distintos do espaço (pensem nas 
omponen-
tes de um vetor) e U é formado por 
olunas que possuem vetores linearmente independentes.
Observem que uma 
oisa é o vetor (elemento do espaço dos polin�mios 
úbi
os) p ∈ P e outra
oisa é um dado valor que p(x) assume para um valor de x, que é um valor real. Isto �
a 
laro
se es
revermos a relação
p(s) = C(s)p
onde C(s) é 
hamado de operador de avaliação em s e é um fun
ional linear em P , pois mapeia
p para um número real. Assim,
p(s) = C(s)Ua = [1, s, s2, s3]


a0
a1
a2
a3


.
6.3. MUDANÇA DE BASE 55
É interessante notar que existem problemas práti
os onde temos os valores p(s) e queremos
determinar quais são os polin�mios p que estão asso
iados a estes valores. Assim, vamos
assumir que temos 4 valores distintos de s e seus 
orrespondentes p(s) 
onhe
idos. Portanto,
[1, si, s
2
i , s
3
i ]


a0
a1
a2
a3


= p (si) , i = 1..4
forma um sistema de equações na forma
E(S)a = v
onde S = {s1, s2, s3, s4} e v = {p (s1) , p (s2) , p (s3) , p (s4)} são vetores 
oluna e E é a matriz
onde 
ada linha 
ontém os valores das bases avaliadas em um dos pontos 
onhe
idos. Portanto,
ao realizarmos a operação
a = E−1(S)v
estamos realizando um pro
edimento de interpolação (re
uperação de uma função a partir de
um 
onjunto de valores) e o operador E−1 é 
hamado de Interpolação de Lagrange.
6.3 Mudança de Base
Se um espaço pode ter mais de uma base e se espaços �nito dimensionais admitem uma re-
presentação matri
ial, então é interessante investigar 
omo podemos rela
ionar as bases de um
determinado espaço. De forma geral, podemos de�nir uma operação
T : u∆ → uΦ, u∆,uΦ ∈V
onde u∆ =
∑N
i=1 αiδi é des
rito na base ∆ e uΦ =
∑N
j=1 βjφj é des
rito na base Φ. Enfatiza-se
que o elemento é um só, estando somente des
rito em bases diferentes. Assim,
T
(
N∑
i=1
αiδi
)
=
N∑
j=1
βjφj
impli
a em
N∑
i=1
αiT (δi) =
N∑
j=1
βjφj
e, 
omo T (δi) mapeia para a base Φ, podemos es
rever esta equação na forma
N∑
i=1
αi
N∑
j=1
rjiφj =
N∑
j=1
βjφj
56 CAPÍTULO 6. ESPAÇOS VETORIAIS
ou, na forma matri
ial


r11 ... r1N
.
.
.
.
.
.
.
.
.
rN1 ... rNN


T 

α1
.
.
.
αN

 =


β1
.
.
.
βN

 (6.1)
onde R é um operador que transforma os 
oe�
ientes utilizados para representar um elemento