Números Complexos

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Lista de exercícios: Números Complexos – Prof ºFernandinho 
 
01. Qual é o valor de 𝑥, com 𝑥 𝜖 ℛ, para que o complexo 𝑍 = (𝑥 − 2𝑖). (2 + 𝑥𝑖) seja real? 
 
02. Para 𝑖 = √−1, calcule os valores reais de 𝑎 e 𝑏 tais que |
𝑎 − 𝑖 𝑖
𝑖3 𝑖26
| = 3 + 𝑏𝑖 
 
03. Se 𝑖 é a unidade imaginária, então quanto vale o determinante |
𝑖 𝑖2 𝑖3
𝑖4 𝑖5 𝑖6
𝑖7 𝑖8 𝑖9
| ? 
 
04. Se 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 1, calcule o valor de 𝑓(1 − 𝑖). 
 
05. Se 𝑦 = 2𝑥, sendo 𝑥 =
1+𝑖
1−𝑖
 e 𝑖 = √−1, qual é o valor de (𝑥 + 𝑦)2? 
 
06. Determine o valor da expressão 𝐸 = (1 + 𝑖)20 + (1 − 𝑖)20 
 
07. Sendo 𝑖 = √−1 a unidade imaginaria do conjunto dos números complexos, calcule o valor da expressão 
(1 + 𝑖)6 − (1 − 𝑖)6 
 
08. Qual é o valor do número complexo definido por (
1−𝑖
1+𝑖
)
25
? 
 
09. Se 𝑎 =
1
1+𝑖
, 𝑏 =
1−𝑖
1+𝑖
 𝑒 𝑐 = (𝑏 − 𝑖)2, onde 𝑖 é a unidade imaginária, calcule 𝑎𝑐. 
 
10. Sejam os números complexos 𝑈 = 1 + 𝑖 e 𝑉 = 1 − 𝑖. Calcule o valor de 
𝑈52
𝑉51
. 
 
11. Calcule a soma 𝑆 = 𝑖 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 + ⋯ + 𝑖50 
 
12. Calcule o produto 𝑃 = 𝑖. 𝑖2. 𝑖3. 𝑖4 … 𝑖30 
 
13. Sendo 𝑖 a unidade imaginária, determine o valor de 𝑦 =
𝑖+ 𝑖2+𝑖3+ 𝑖4+⋯+𝑖502
𝑖+ 𝑖2+ 𝑖3+ 𝑖4+⋯+𝑖103
 
 
 
14. Dados os números complexos 𝑍 = 3 + 2𝑖 e 𝑊 = −3 − 𝑖, calcule o valor de (𝑍 + 𝑊)18. 
 
15. Calcule o valor da expressão 𝑦 =
(1+𝑖)10
(1−𝑖)5
 
 
16. Qual é o conjugado do número complexo 𝑍 =
2−𝑖
𝑖
 
 
17. Determinar 𝑥 real positivo de modo que o número complexo 𝑍 =
2−𝑥𝑖
1+2𝑥𝑖
 seja imaginário puro. 
 
18. Sabendo que 𝑥 é um número real e que a parte imaginária do número complexo 𝑍 =
2+𝑖
𝑥+2𝑖
 é zero, calcule o 
valor de 𝑥. 
 
19. Determine "𝑎" real de modo que o número complexo 𝑍 =
1+2𝑖
2+𝑎𝑖
 seja real. 
 
 
20. Determinar o número complexo 𝑍 tal que: 
𝑍
1−𝑖
+
𝑍−1
1+𝑖
=
5
2
+
5
2
𝑖 
 
21. Determinar 𝑍 ∈ 𝐶, tal que: �̅� = −2. 𝑍. 𝑖 
 
22. Determinar os números complexos 𝑍 tais que: 𝑍. �̅� + 𝑍 − �̅� = 13 + 6𝑖 
 
23. Determinar 𝑍 ∈ 𝐶, tal que: 𝑍2 = 𝑖. 
 
24. Determine 𝑍 ∈ 𝐶, tal que: |𝑍| + 𝑖. 𝑍 = 1 − 3𝑖 
 
25. Determine 𝑍 ∈ 𝐶, tal que: 𝑍 + |𝑍| = 2 + 𝑖 
 
26. Se 𝐴 e 𝐵 representam no plano de Argand – Gauss as imagens das raízes complexas da equação de terceiro 
grau 𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥 = 0 e 𝐶 representa no mesmo plano a imagem da raiz real desta equação, então qual será o 
perímetro do triângulo 𝐴𝐵𝐶? 
 
27. Quanto vale o módulo do número complexo 𝑍 = 𝑖2014 − 𝑖1987? 
 
28. Sejam 𝑥 e 𝑦 números reais tais que 𝑥 + 𝑦𝑖 = √3 + 4𝑖, onde 𝑖 é a unidade imaginária. Qual é o valor de 𝑥. 𝑦? 
 
29. Seja 𝑍 o produto dos números complexos √3 + 𝑖 e 
3
2
+
3√3
2
𝑖. Determine o módulo e o argumento (em graus) 
do complexo 𝑍. 
 
30. Obtenha o módulo e o argumento do número complexo 𝑍 =
1+𝑖
1−𝑖
−
1−𝑖
1+𝑖
. 
 
31. Qual é o argumento do número complexo (
1+𝑖
1−𝑖
)
5
? 
 
32. Seja 𝑍 um número complexo tal que 𝑍 = (
2
1−𝑖
)
4
, onde 𝑖 é a unidade imaginária. Determine o valor do módulo 
e do argumento principal de 𝑍. 
 
33. Obtenha a forma trigonométrica do complexo 𝑍, tal que, 𝑖. �̅� + 2. 𝑍 − 1 + 𝑖 = 0. 
 
34. Obtenha a forma trigonométrica do complexo 𝑍 =
1+𝑖.√3
√3+𝑖
. 
 
35. Sendo 𝑍 = 2. (cos 30° + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 30°) e 𝑈 = 4. (cos 60° + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 60°), obtenha a forma algébrica de 
𝑍3
𝑈
. 
 
36. Sendo 𝑍 = 2. (cos
𝜋
3
+ 𝑖. 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
), calcule a forma algébrica do complexo 𝑍12. 
 
37. Considere o número complexo 𝑍 = cos
𝜋
6
+ 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
6
. Qual é o valor de 𝑍3 + 𝑍6 + 𝑍12? 
 
38. Sendo 𝑍 = −1 + 𝑖. √3, calcule 𝑍7. 
 
39. Calcule o valor de 𝑍 = (− √2 + √6. 𝑖)8. 
 
40. Determine o valor de 𝑍 = (3√2 + 𝑖. √6)12. 
 
41. Calcule o valor da expressão 𝐸 = (
1
2
+ 𝑖.
√3
2
)
100
 
 
 
42. Qual é o valor da potência (cos 60° + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 60°)601? 
 
43. Qual é o módulo e o argumento do complexo (√3 + 𝑖)
8
? 
 
44. Dê a forma algébrica do número complexo 𝑍12, sendo 𝑍 = cos
𝜋
16
+ 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
16
. 
 
45. a) Determinar o número 𝑍 tal que: 𝑖. 𝑍 + 2. �̅� + 1 − 𝑖 = 0. 
 b) Qual é o módulo e o argumento de 𝑍? 
 c) Determinar a potência de expoente 1004 de 𝑍. 
 
46. Determine o menor inteiro positivo 𝑛, tal que (1 + 𝑖. √3)
𝑛
seja um número real. 
 
47.Determine o menor valor natural de 𝑛, para o qual (√3 + 𝑖)𝑛 é: 
 
a) real e positivo. 
b) real e negativo. 
c) imaginário puro. 
 
48. Obtenha as raízes quadradas de 𝑍 = 5 − 12𝑖 
 
49. Obtenha as raízes cúbicas de 𝑍 = −27𝑖 
 
50. Resolva em 𝐶 a equação: 𝑍4 − 16 = 0 
 
 
Gabarito: 
 
01. 
𝑥 = 2 𝑜𝑢
𝑥 = −2 
 02. 
𝑎 = −4 𝑒
𝑏 = 1 
 03. 𝑍𝑒𝑟𝑜 04. 𝑓(1 − 𝑖) = −𝑖 05. – 9 
 
06. 𝐸 = −2048 07. − 16𝑖 08. – 𝑖 09. 𝑎𝑐 = −4 10. 1 − 𝑖 
 
11. 𝑆 = 𝑖 − 1 12. 𝑃 = 𝑖 13. 𝑦 = 1 − 𝑖 14. – 1 15. 𝑦 = 4 − 4𝑖 
 
16. �̅� = −1 + 2𝑖 17. 𝑥 = 1 18. 𝑥 = 4 19. 𝑎 = 4 20. 𝑍 = 3 + 2𝑖 
 
21. 𝑍 = 0 22. 
𝑍1 = 2 + 3𝑖 
𝑍2 = −2 + 3𝑖
 23. 
𝑍1 =
√2
2
+
√2
2
𝑖 
𝑍2 = −
√2
2
−
√2
2
𝑖
 24. 𝑍 = −3 + 4𝑖 25. 𝑍 =
3
4
+ 𝑖 
26. 4+2√5 27. √2 28. 2 29. 
|𝑍| = 6 
𝜃 = 90°
 30. 
|𝑍| = 2
𝜃 = 
𝜋
2
 
 
31. 𝜃 =
𝜋
2
 32. 
|𝑍| = 4
𝜃 = 𝜋
 33. 𝑍 = √2. (cos
7𝜋
4
+ 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 
7𝜋
4
) 34. 𝑍 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
+ 𝑖. 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
 
 
35. √3 + 𝑖 36. 𝑍12 = 4096 37. 𝑖 38. 𝑍7 = −64 + 64√3𝑖 
 
39. Z = − 2048 − 𝑖. 2048√3 40. Z = 212. 66 41. 𝐸 = −
1
2
− 𝑖.
√3
2
 
 
42. 
1
2
+ 𝑖.
√3
2
 43. 
|𝑍| = 256
𝜃 = 
4𝜋
3
 
 44. 𝑍12 = −
√2
2
+ 𝑖.
√2
2
 45. 
𝑎) 𝑍 = −1 − 𝑖 
𝑏) |𝑍| = √2 𝑒 𝜃 = 
5𝜋
4
𝑐) 𝑍1004 = −2502 
 
 
46. 𝑛 = 3 47. 
𝑎 ) 𝑛 = 0
𝑏 ) 𝑛 = 6
𝑐 ) 𝑛 = 3
 48. 
𝑍1 = 3 − 2𝑖 
𝑍2 = −3 + 2𝑖
 49. 
𝑍1 = 3𝑖 
𝑍2 = −
3√3
2
−
3
2
𝑖
𝑍3 =
3√3
2
−
3
2
𝑖 
 50. 
𝑍1 = 2 
𝑍2 = −2
𝑍3 = 2𝑖 
𝑍4 = −2𝑖