Números Complexos 1

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Números Complexos
2002
UNIDADE 1 / JAN
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA – Profº. Jodeclan
Números Complexos
NÚMEROS COMPLEXOS
Introdução
	Quando vamos resolver uma equação do tipo x2 + 1 = 0, vamos encontrar x = . Observem que encontramos uma impossibilidade: 
"A raiz quadrada de um número negativo".
	Mais tarde o símbolo passou a ser indicado pela letra i . A partir daí surge formalmente o que se chamou de números complexos ou imaginários
	Assim: 
 = i.
	i …… unidade imaginária	 e i2 = - 1.
Exercícios de Aula:
1º) Resolva a equação: x2 + 9 = 0
 Resolução:
2º) Resolva a equação: x2 - 6x + 13 = 0
 Resolução:
Forma Algébrica
	Chamamos de número complexo na FORMA ALGÉBRICA, todo número na forma a + bi, onde a e b são, números reais e i é a unidade imaginária (i2 = - 1)
	Usamos a letra Z quando nos referimos a um NÚMERO COMPLEXO. Assim: Z = a + bi
	a = Re (Z) , parte real de Z
	b = Im (Z) , parte imaginária de Z
Em particular:
1º) Se b = 0 então Z é um número real.
 Ex.: - 5 = - 5 + 0i
2º) Se a = 0 e b é diferente de zero, então Z é um imaginário puro. 
 Ex.: 2i = 0 + 2i
Exercícios de Aula:
1º) Determine m para que Z = -3 + (m2 - 5m + 6) i seja um número real.
	Resolução:
2º) Determine a para que Z = (a2 + a - 2) + (a + 1) i seja um imaginário puro.
	Resolução:
Igualdade de Números Complexos
	Dois números complexos, na forma algébrica são iguais quando suas partes reais e imaginárias forem respectivamente iguais.
	Assim:	Z = a + bi
		W = c + di
 Z = W a = c e b = d. 
Exercícios de Aula:
1º) Calcular a e b de modo que: 
	(2a - b) + 3i = - 2 + ( - a + b) i
	Resolução:
2º) (U. E. LONDRINA) Sejam os números complexos W = (x - 1) + 2i e V = 2x + (y - 3) i, onde x, y ℝ. Se W = V, então:
a) x + y = 4			
b) x . y = 5
c) x - y = - 4			
d) x = 2y
e) y = 2x
Operações na Forma Algébrica
Adição
Dados os complexos Z = a + bi e W = c + di. A soma Z + W será um complexo, tal que:
 Z + W = (a + c) + (b + d)i.
 
Subtração
Dados os complexos Z = a + bi e W = c + di. A diferença Z - W será um complexo, tal que:
 Z - W = (a - c) + (b - d)i.
Multiplicação
Dados os complexos Z = a + bi e W = c + di. O produto Z . W será um complexo, tal que:
 Z . W = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Não esquecer que 	i2 = - 1
	
	Exercício:
	Sendo Z = 3 + 2i e W = 2 + 4i calcule Z . W
	
	Resolução
Conjugado de um Número Complexo
	Chamamos de conjugado do número complexo Z = a + bi, com a e b reais, o número complexo = a - bi
Exemplos:
Z = 2 - 3i	 	 = 2 + 3i
W = - 3i 	 	 = 3i
U = - 1 + i	 	 = - 1 - i
Divisão
Dados os complexos Z = a + bi e W = c + di para efetuarmos a divisão de Z por W, basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador
Assim temos:
.
Exercício de Aula:
Efetue a divisão Z = 1 - 3i por W = 1 + i
Resolução
Potências de i
		Calculemos algumas potências de i:
i0 = 1
i1 = i
i2 = - 1
i3 = i2 . i = - i
i4 = i2 . i2 = 1
i5 = i4 . i = i
		Notamos que, a partir de i4, as potências de i vão repetindo os quatro primeiros resultados.
		Assim: in = ir onde r é o resto da divisão de n por 4.
		OBS.: 	(1 + i)2 = 2i Alerta: (1 + i)120 i120
			(1 - i)2 = - 2i	 
Representação Geométrica de um Número Complexo
		Representaremos cada número complexo Z = a + bi pelo ponto de coordenadas (a, b) e será chamado de Afixo ou Imagem do Número Complexo.
		Dessa forma, o número complexo Z = 2 + 3i, por exemplo, será representado pelo ponto P (2, 3).
 Im (Z)
 3 P (2, 3)
		 
			 2		 Re (Z)
		O plano onde representamos os números complexos é conhecido como PLANO DE ARGAND-GAUSS e o eixo Ox será chamado de EIXO REAL e o eixo Oy será chamado de EIXO IMAGINÁRIO
		Assim: O ponto P (a, b) é a imagem ou afixo do número complexo Z = a + bi.
Módulo de um Número Complexo
		Dado o número complexo Z = a + bi, chamamos de módulo de Z e indicamos por | Z | ou à distância entre a origem do plano de Gauss e o afixo de Z.
 Im (Z)
 b
 0 a Re (Z)
|Z| = = 
Propriedades
1ª) | Z | = | |
2ª) | Z . W | = | Z | . |W |
3ª) 
4ª) | Zn | = | Z |n
5ª) | Z + W | | Z | + | W | 
NB.: O estudo das propriedades é recomendado para aqueles alunos que irão prestar o exame vestibular para os cursos de maior concorrência.
Argumento de um Número Complexo
		Sendo Z = a + bi um número complexo não nulo e P o afixo de Z no plano de Gauss de origem O, chamamos de ARGUMENTO do número complexo Z a medida do arco com centro em O tomado a partir do semi-eixo real positivo até a semi-reta no sentido ANTI-HORÁRIO. (o mesmo conceito de coeficiente angular)
		Assim: Im (z)
 P (a, b) Z = a + bi
		 
 0 Re (z)
 Im (z)
 P
 
 0 Re (z)
Im (z)
 
			 Re (z)
 
 P (a, b)
Forma Trigonométrica de um Número Complexo
		Sendo e ( 0 < 2) respectivamente o módulo e o argumento do número Z = a + bi, a forma trigonométrica de Z é:
 Z = (cos + i sen ).
 Im
 b Z = a + bi
 
 0 a Real
		Da trigonometria concluímos que:
cos = 	 e	sen = 
 = 
Produto e Divisão (Forma trigonométrica)
Sendo:	Z1 = 1 (cos 1 + i sen 1) e
		Z2 = 2 (cos 2 + i sen 2)
Z1 . Z2 = 1 . 2 [ cos ( 1 + 2 ) + i sen ( 1 + 2 )
Potenciação (Fórmula de Moivre)
Sendo: 	Z = ( cos + i sen ), tem se:
		Zn = n (cos n + i sen n )
		n 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFBA) Existe um número real x tal que o quociente é um número imaginário puro. Determine o simétrico de x.
02. (FAAP-SP) Calcule .
 
03. (PUC-SP) Qual deve ser o valor de kR, de modo que o número complexo Z= seja real?
04. (FUVEST-SP) Ache os valores reais de x de modo que a parte real do número complexo Z= seja negativa (i é a unidade imaginária).
05. (FATEC-SP) Determine o argumento do número complexo Z=, em que n é natural e i é a unidade imaginária.
06. (FATEC-SP) Represente, geometricamente, no plano de Argand-Gauss o conjunto dos afixos dos números complexos Z tais que =3.
07. (EFEI-MG) Determine, sobre a reta y=x+1, os números complexos com módulo .
08. (FATEC-SP) Determine o menor natural não-nulo n de modo que seja um número real.
09. (PUC-SP) Dado o número complexo Z=, qual é o menor valor de nN, de modo que seja um número real?
10. (UNESP) Sendo Z=cos10+i.sen10, qual é o menor natural n tal que Z.=1?
11. (FUVEST-SP) Determine os números complexos , tais que =1 e =1.
12. (ESPM-SP) Qual é, na forma algébrica, a raiz sexta do número complexo Z=-64i, sendo que essa raiz tem afixo no terceiro quadrante?
13. (UFMG) De todos os números complexos Z de módulo 2, determine aqueles que satisfazem a igualdade 
14. (MAUÁ-SP) Dado o número complexo Z=4+i, determine as raízes quadradas do número W=.
15. (UFBA) Determine a soma das soluções de .
16. Analise as afirmativas abaixo.
00 – i10 + 2i20 = 1.
11 – As raízes da equação x2-2x+2=0 são 1+i; 1-i.
22 – Se o produto (2+mi)(3+i) é um imaginário puro, então m vale 5.
33 – (1-i)20 = -210.
44 – i4n + i4n+1 + i4n+2, com n IN é igual a –1.
17. As afirmações abaixo referem-se a números complexos.
00 – Se z=i93, então R (z)=0.
11 – O complexo conjugado de (1+i)3 é 1-i.
22 – Sendo z=a+bi com a e b números reais se z+2=9-4i, então |z|=5.
33 – O inverso do número complexo 2+i é .
44 – O conjugado de é 28.
18. Analise as afirmativas abaixo.
00 – Asolução da equação |z|+z=2+i é um número complexo de módulo .
11 – Sendo z=cos+i sen, então z12 é igual a .
22 – A menor determinação positiva do argumento de –2+2i é 240º.
33 – A expressão em forma trigonométrica do número complexo –1-i é 2(cos + i sen).
44 – (2+2i)5=512.
19. Sobre o número complexo z, é correto afirmar que:
00 – O produto de z pelo seu conjugado é 2.
11 – O seu módulo é 1.
22 – A sua forma trigonométrica é cos.
33 – z é raiz da equação x3+1=0.
44 – O conjugado do conjugado de z é um número real.
20. Com relação ao número i.
01) O seu oposto é –i.
02) O seu inverso é –1.
04) i1984 é um número real.
08) 08) É raiz da equação x2+1=0.
16) É um número positivo.
32) i-16 é igual a 1.
21. (SANTA CASA-SP) Resolvendo a equação 2x2 + 6x + 9 = 0 obtém-se:
a) { - 3i, 3i}	b) 
c) 	d) 
e) { i}
22. (UNICAP) Se (unidade imaginária), tem-se que i2=-1; considere io=1 e 11=i. Assinale as afirmações verdadeiras e as afirmações falsas.
00) i3 = -i e i4 = 1. 
11) i127 = i.
22) i127 = -i.
33) i127 = 1.
44) i127 = = -1.
23. (UNICAP) Considere os números complexos Z = 9 + 7i, Z1 = 3 - 2i e seus respectivos conjugados e considere que | Z | representa a norma do complexo Z. Então: Assinale as afirmativas verdadeiras e as afirmativas falsas.
00) Z. Z1 = 3i + 13;
11) ;
22) ;
33) ;
44) .
24. (UNICAP) Seja z = a + bi, onde a e b são números reais não nulos, i a unidade imaginária e o conjugado de . Assinale as afirmativas verdadeiras e as afirmativas falsas.
00) .
11) , qualquer que seja a e b. 
22) .
33) | z | = a2 + b2, quaisquer que sejam a e b. 
44) .
25. (UFPE) Os itens que representam corretamente o número complexo . Assinale as afirmativas verdadeiras e as afirmativas falsas.
00) .
11) .
22) .
33) .
44) .
26. (UNICAP) Sejam x e y reais e Z = x + iy com norma |Z|. Assinale as afirmativas verdadeiras e as afirmativas falsas.
00) | Z + i | = | Z - i | representa, no plano cartesiano, a equação de uma parábola. 
11) Sendo Z o conjugado de Z, então Z Z = 1 representa, no plano cartesiano, a equação de uma circunferência de centro na origem e raio 1. 
22) |Z-i|=|Z| representa, no plano, a equação de uma reta. 
33) Se Z e W são dois números complexos, então |Z+w|>|Z|+|w|.
44) | Z . w | = | Z | . | w |. 
27. (UNICAP) Considerando o número complexo Z=1+i. Assinale as afirmativas verdadeiras e as afirmativas falsas.
00) o menor inteiro positivo n, para o qual se tem Zn real, é n = 4,
11) n = 6 é o menor inteiro positivo tal que Zn é real e positivo, 
22) Zn é real para todo n positivo e múltiplo de 4,
33) n = 2 é o menor inteiro positivo, tal que, a parte real de Zn é igual a zero, 
44) para n ímpar e positivo, Zn será um número complexo da forma a + bi, com a e b reais e distintos de zero.
28. (UNB) Considere z um número complexo, seu conjugado, sua forma polar. Julgue os itens abaixo.
00) A parte real de é zero.
11) 
22) 
33) para n inteiro positivo, se, e somente se, .
29. (FESP) Assinale as afirmativas verdadeiras e as falsas.
00) Se Z = 8 (cos 105o + i sen 105o) e W = 2 (cos 15o + i sen 15o), então .
11) , então (1 + i)8 = 16.
22) , então i127 = -i.
33) Seja Z um número complexo e seu conjugado. se , então o módulo de Z é .
44) O argumento do número complexo é .
30.(UFPE) Seja a unidade imaginária. Sobre a expansão de . Assinale as afirmativas verdadeiras e as falsas.
00) A soma dos coeficientes é -32i. 
11) O termo independente de x tem coeficiente 252 i.
22) Existem 5 termos com coeficientes imaginários puros.
33) Existem 4 termos com coeficientes reais positivos.
44) Existem 3 termos com coeficientes reais negativos.
31. (STA.CASA-SP) Seja a igualdade 1+(y+x)i=2y-x-4i, onde i é a unidade imaginária. Os números reais x e y, que satisfazem essa igualdade, são tais que:
a) y = 3x				b) x = 3y
c) x . y = -3				d) x - y = 2
e) x + y = 2
32. Determinar o valor de k de modo que o complexo z=(2k -6) + 2 i seja imaginário puro.
a) k = 2				b) k = - 3
c) k = 1				d) k = 3
e) k = 
33. Qual o valor de m para que o complexo z=5m+(3m-2)i seja um número real?
a) m = 3				b) m = 2
c) m = 				d) m = 
e) m = 
34. (FAFI-BH) Sendo Z1=2+3i e Z2=5+8i, então o valor de Z1.Z2 é:
a) 10 + 24i
b) 10 + 31i
c) 7 + 11i
d) –14 + 24i
e) –14 + 31i
35. (UFPA) Qual é o valor de m, real para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja imaginário puro?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
36. (FEI-SP) O valor de x para que o número complexo z = (3 – 6i).(2 – xi) seja um número real é:
a) x = -1
b) x = 2
c) x = -3
d) x = 1
e) x = -4
37. (MACK-SP) Determinando os valores reais de m e n de modo que se tenha 2.(m-ni)+(m+ni)i=0, podemos afirmar que a soma de m e n é igual a:
a) –1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
38. (MACK-SP) Sejam os números complexos Z1 e Z2, onde Z2=3i e Z1.Z2=-9+6i. Então Z1+Z2 vale:
a) 2+6i
b) 2-6i
c) -3+3i
d) -3-3i
e) 9i
39. (UCMG) O número complexo z, é tal que 5 z + = 12 + 16 i, é igual a:
a) -2 + 2i				b) 2 - 3i
c) 1 + 2i				d) 2 + 4i
e) 3 + i
40. (MACK-SP) Se Z é um número complexo e seu conjugado, então o número de soluções da equação =Z2 é:
a) o
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
41. (UFPA) A divisão dá como resultado o número:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) –1+3i
42. (ESAL-MG) O valor simplificado da expressão é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
43. (FEI-SP) Se , então o número complexo Z é:
a) 1-2i
b) -1+i
c) 1-i
d) 1+i
e) -1+2i
44. (UFSM-RS) A soma dos números complexos é:
a) 
b) 10+10i
c) -10-10i
d) 15+10i
e) 30+20i
45. (FEI-SP) Sabendo que é um número real e que a parte imaginária do número complexo é zero, então é:
a) -4
b) -2
c) 1
d) 2
e) 4
46. (FUVEST) O número complexo Z0 e o seu inverso têm o mesmo módulo. Conclui-se que:
a) Z e são conjugados.
b) .
c) Este módulo é 2.
d) Z e são reais.
e) Z2=1.
47. (UFBA) O quociente de Z=3+2i por W=1+i é:
a) 3+2i.
b) 3-i
c) 5-i
d) 
e) 
48. (Vunesp-SP) Considere o número complexo Z=i, onde i é a unidade imaginária. O valor de Z4+Z3+Z2+Z+ é:
a) -1
b) 0
c) 1
d) i
e) -i
49. (UFBA) [(1-i)3+i157](1+i5)-1 é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
50. (PUC-RJ) Se i= então a soma i0+i1+i2+...+i20 é igual a:
a) i
b) 1
c) 
d) i20.301
e) -i
51. (UNICAMP-SP) O valor de (1+i)10, onde i é a unidade imaginária, é:
a) 64 i
b) 128 i
c) 32 i
d) -32 i
e) nenhuma das anteriores
52. (FGV-SP) Sendo i a unidade imaginária, o valor de é:
a) i
b) 1
c) -1
d) -i
e) 2 i
53. (PUC-SP) Se f(z) = z2 - z + 1, então f (1 - i) é igual a:
a) i					b) - i + 1
c) i - 1				d) i + 1
e) - i
54. (MACK-SP) Dado f(z)=z4+i.z3-(1+2i)z2+3z+1+3i, o valor de f no ponto z=1+i é:
a) 1+i
b) 2(1+i)
c) 3+i
d) 7-i
e) 8+5i
55. (UNIFOR) Seja o complexo z=i(1-i)-2i, seu módulo é:
a) 1
b) 
c) 2
d) 
e) 3
56. (UFBA) O módulo do número 3.i3+4.i5-7i4+3 é:
a) 4
b) 15
c) 
d) 
e) 
57. (UFBA) O módulo de i.(1-i) é:
a) 1
b) 2
c) 
d) 3
e) 
58. (STA.CASA) Seja o número complexo z=1+2xi, onde xIR. Se o módulo de z é igual a 7, então x pertence ao intervalo:
a) ]-, 1[
b) [1, 3]
c) ]3, 5[
d) [5, 8]
e) ]8, +[
59. (UFAL) É dado um número complexo z=(x-2)+(x+3)i, onde x é um número real positivo. Se |z|=5, então:
a) z é um imaginário puro.
b) z é um número real positivo.
c) O ponto imagem de z é (-1, 2).
d) O conjugado de z é –1+2i.
e) O argumento principal de z é 180º.
60. (FUVEST) O produto de todos os números complexos com representação geométrica na reta y=x é módulo é igual a:
a) 8
b) 
c) -8i
d) i
e) +8 i
61. (UFV-MG) Dados os números complexos z=1+2i e w=4-3i, o valor da expressão z2+|w| é igual a:
a) 1+7i
b) 6-4i
c) 10+4i
d) 2+4i
e) 2-4i
62. (MACK-SP) z=, com x e y reais positivos, é um número complexo que z2=4i. então |z| vale:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
63. (UNIRIO) O afixo do número complexo Z é o ponto P, pertencente ao 3º quadrante e à reta x-y=1. Se |Z|=5, Z é igual a:
a) -3-4i
b) -3+4i
c) -4-3i
d) -4+3i
e) 4-3i
64. (UNIRIO) Considere um número complexo Z, tal que o seu módulo é 10, e a soma dele com o seu conjugado é 16. Sabendo que o afixo de Z pertence ao 4º quadrante, pode-seafirmar que Z é igual a:
a) 6+8i
b) 8+6i
c) 10
d) 8-6i
e) 6-8i
65. (UNIFOR) Seja o número complexo por z=(1-2i).(3-4i).(2+ai), no qual a IR. Se o argumento de z é 180º, então a é igual a:
a) -4
b) -2
c) -1
d) 1
e) 4
66. (JUNDIAI) Seja o número complexo O argumento principal do conjugado de z é:
a) 30º
b) 45º
c) 60º
d) 120º
e) 150º
67. (UFPE) Seja z o produto dos números complexos e . Então o módulo e o argumento de z são, respectivamente:
a) 4 e 30º
b) 12 e 80º
c) e 90º
d) 6 e 90º
e) e 270º
68. (Cesgranrio) Se z1 e z2 são números complexos representados pelos seus afixos no plano de Argand – Gauss abaixo, então z3=z1.z2 escrito na forma trigonométrica é:
a) (cos 225º + i sen 225º)
b) (cos 315º + i sen 315º)
c) 2(cos 45º + i sen 45º)
d) 2(cos 135º + i sen 135º)
e) 2(cos 215º + i sen 215º)
69. (UFPE) O número complexo escrito na forma algébrica a+bi é:
a) 2+i
b) -+i
c) --i
d) -i
e) 2-i
70. (UFJF) Escreva o número complexo z=-1-i na forma trigonométrica.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
71. (UNIFOR) Escreva o número complexo na forma trigonométrica.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
72. (Fatec-SP) Seja i tal que i2=-1. Se , então Z2 é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
73. (UFPI) Dados os complexos z=2(cos 30º + i sen 30º) e w=3.(cos 60º + i sen 60º) então z.w é igual a:
a) 3 (cos 180º + i sen 180º)
b) 6 (cos 90º + i sen 90º)
c) 9 (cos 90º + i sen 90º)
d) 3 (cos 90º + i sen 90º)
e) 4 (cos 90º + i sen 90º)
74. (UFPE) Seja Z=+i, onde i=. Um dos valores de n tal que Zn é real é:
a) 2
b) 6
c) 10
d) 3
e) 11
30
21
16
π
2
2
-
3
i
2
3
2
1
-
=
3
5
π
sen
 
i
3
5
π
-
þ
ý
ü
î
í
ì
-
3
i
,
3
i
þ
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ü
î
í
ì
-
-
+
-
i
2
3
2
3
,
 
i
2
3
2
3
þ
ý
ü
î
í
ì
+
-
i
3
2
3
2
Z
W
3
1
3
2
2
3
3
2
-
z
Z
i
1
2i
1
-
+
i
2
3
2
1
-
-
U
i
2
3
2
1
+
i
2
3
2
1
+
-
i
2
3
2
1
-
i
3
i
1
+
+
2
i
4
+
5
i
2
+
4
i
1
+
2
i
2
+
9
i
3
+
i
1
Z
2i
+
=
di)
 
-
 
(c
 
.
 
di)
 
 
(c
di)
 
-
 
(c
 
.
 
bi)
 
 
(a
 
di
 
 
c
bi
 
 
a
+
+
=
+
+
i
-
1
20
 
e
 
i
1
5i
5
+
+
2
5
25
i
+
2i
α
i
2
+
+
Z
1
Z
1
i
Z
1
Z
=
+
i
2
1
2
5
-
i
2
3
-
2
3
i
-
M
2
i
2
i
-
2
i
1
+
2
i
-
1
1
-
i
1
i
1
200
-
-
4
1
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
i
i
2
3
15
|Z|
17
149
i
1
+
2
3
2
b
2
a
+
8
i
 
y
x
+
i.
2
1
2
3
z
-
-
i
3
+
(
)
i
3
1
2
3
+
6
6
y
z
z
2
1
x
0
-2
1
2
Z
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
6
11
π
isen
6
11
π
cos
2
3
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
2
3
π
isen
2
3
π
cos
z
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
3
4
π
isen
3
4
π
cos
z
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
3
5
π
isen
3
5
π
cos
z
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
3
4
π
isen
3
4
π
cos
z
2
W
Z
W
Z
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
2
5
π
isen
2
5
π
cos
z
i
3
4i
8
z
-
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
4
π
isen
4
π
cos
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
4
π
isen
4
π
cos
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
4
π
isen
4
π
cos
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
3
π
isen
3
π
cos
2
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
4
π
isen
4
π
cos
2
2
3i
1
i
Z
-
=
i
8
3
8
1
-
i
4
1
4
3
+
-
OP
i
8
3
8
1
+
-
i
4
1
4
3
+
8
1
-
3
1
-
r
a
r
b
2
b
2
a
+
(
)
(
)
[
]
2
1
2
1
2
1
2
1
 
sen
i
 
cos
 
Z
Z
q
-
q
+
q
-
q
r
r
=
N
i
i
x
3
1
-
-
i
i
i
3
4
20
4
3
5
5
+
+
-
+
-
+
+
1
3
4
i
ki
x
i
x
i
-
+
i
i
n
3
4
1
+
-
(
)
Z
i
-
+
1
2
5
(
)
1
-
i
n
1
1
-
+
+
i
i
i
i
*
Z
n
Z
Z
2
3
.
.
...
.
Z
n
Z
e
Z
1
2
1
 
-
Z
Z
1
2
1
=
,
Z
Z
1
2
+
Z
i
i
-
=
-
2
1
.
.
48
4
.
Z
Z
Z
i
4
8
8
3
=
-
+
z
i
5
1
5
2
-
8
2
16
)
1
(
16
)
1
(
1
-
-
+
-
+
i
i
4
5