Slides Matamatica financeira e analise de investimento

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PARTE I
MATEMÁTICA FINANCEIRA
E JUROS COMPOSTOS
PARTE I -
JUROS 
COMPOSTOS
EMENTA - Regime de capitalização de juros; 
juros simples e juros compostos; cálculo das 
taxas de juros; tipos de taxas; introdução a IRR; 
valor presente e valor futuro; formulações; 
aplicações práticas.
OBJETIVO DAS AULAS - As aulas descrevem os
fundamentos da matemática financeira, as 
formulações de cálculo tas taxas de juros e do 
valor rpesente e valor futuro. Os conceitos e 
formulações são desenvolvidos através de 
exercícios e casos práticos.
I - JUROS 
COMPOSTOS
BIBLIOGRAFIA:
ASSAF N., Alexandre. Matemática Financeira e Suas
Aplicações. 13a ed. SP: Atlas, 2016. (Caps: 1, 2 e 6)
ASSAF N., Alexandre & LIMA, Fabiano Guasti.
Investimentos no Mercado Financeiro Usando a 
Calculadora Financeira HP 12C. 2a ed. SP: Atlas, 2013.
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
A Matemática 
Financeira trata, 
em essência, do 
estudo do valor 
do dinheiro no 
tempo
O dinheiro cresce 
no tempo devido 
aos juros
Nunca se deve 
somar valores 
monetários de 
diferentes datas 
sem considerar os 
juros do período.
TAXAS DE JUROS
• TAXA PERCENTUAL
• TAXA UNITÁRIA
TAXA UNITÁRIA TAXA PERCENTUAL
1,8% 0,018
14,25% 0,1425
112,8% 1,128
1.840% 18,4
DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA
+ + + + 
tempo
I----------I----------I----------I----------I----------I----------I
- - -
REGRAS BÁSICAS
REGRAS BÁSICAS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA:
Prazo e taxa devem estar expressos na mesma
unidade de tempo.
TAXA DE JUROS PERÍODO
2,0% a.m. Mês
12,0% a.a. Mês
REGIMES DE 
CAPITALIZAÇÃO
DOS JUROS
Empréstimo: 
$ 1.000,00
Prazo: 
5 anos
Taxa de Juros:
10% a.a.
EXEMPLO
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
ANO SALDO 
INICIO ANO
JUROS SD FINAL Δ SD
INI ANO 1 - $1.000,0 -
ANO 1 $1.000,0 $100,0 $1.100,0 $100,0
ANO 2 $1.100,0 $100,0 $1.200,0 $100,0
ANO 3 $1.200,0 $100,0 $1.300,0 $100,0
ANO 4 $1.300,0 $100,0 $1.400,0 $100,0
ANO 5 $1.400,0 $100,0 $1.500,0 $100,0
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
ANO SALDO INICIO 
DE CADA ANO
JUROS DE 
CADA ANO
SD FINAL DE 
CADA ANO
INI ANO 1 - - $1.000,0
ANO 1 $1.000,0 $100,0 $1.100,0
ANO 2 $1.100,0 $110,0 $1.210,0
ANO 3 $1.210,0 $121,0 $1.331,0
ANO 4 $1.331,0 $133,1 $1.464,1
ANO 5 $1.464,1 $146,4 $1.610,5
QUADRO COMPARATIVO
JUROS/ANO SD JUROS/ANO SD
INI ANO 1 - $1.000,0 - $1.000,0
FIM ANO 1 $100,0 $1.100,0 $100,0 $1.100,0
FIM ANO 2 $100,0 $1.200,0 $110,0 $1.210,0
FIM ANO 3 $100,0 $1.300,0 $121,0 $1.331,0
FIM ANO 4 $100,0 $1.400,0 $133,1 $1.464,1
FIM ANO 5 $100,0 $1.500,0 $146,4 $1.610,5
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
LINEAR
CAPITALIZAÇÃO 
COMPOSTA
FÓRMULAS 
DE JUROS 
SIMPLES
J = Valor dos juros 
expressos em $
C = Capital (Valor 
Presente).
i = Taxa de juros n = Prazo
IMPORTANTE - n e 
i mesma unidade
de tempo
JUROS SIMPLES
Juros de cada período
são calculados sobre
o Capital Inicial
aplicado.
Juros não rendem 
juros, mesmo que 
não pagos.
Crescimento linear ou 
progressão 
aritmética.
FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES: Capital, 
Taxa, Prazo e Juros
J = C . i . n C = J / ( i . n )
i = J / ( C . n ) n = J / ( C . i )
EXEMPLOS
1 – Um capital de $120.000,00 é aplicado a taxa de 
juros simples de 1,5% a.a. durante 4 meses. 
CALCULAR o valor dos juros acumulados no 
período.
Solução:
C = $120.000,00 J = C x n x i
i = 1,5% a.m. J = 120.000,00 x 4 x 0,015
n = 4 meses J = $7.200,00
J = ?
EXEMPLOS
2 - Uma pessoa tomou um empréstimo pagando
uma taxa de juros simples de 2,2% a.m. durante
10 meses. Ao final do período foram calculados
$88.000,00 de juros incorridos na operação. 
DETERMINAR o valor do empréstimo.
Solução:
i = 2,2% a.m. C = J / ( i x n )
n = 10 meses C = 88.000,00 / (0,022 x 10)
J = $88.000,00 C = $400.000,00
C = ?
EXEMPLOS
3 - Um capital de $150.000,00 foi aplicado num Fundo 
de Investimento por 7 meses, produzindo um 
rendimento financeiro (juros) de $15.750,00. PEDE-SE 
apurar a taxa de juros definida nesta operação.
Solução:
C = $150.000,00 i = J / (C x n)
n = 7 meses i = 15.750,00 / (150.000,00 x 7)
J = $ 15.750,00 i = 0,015 ( 1,5% a.m. )
i = ?
EXEMPLOS
4 – Uma aplicação de $250.000,00, rendendo uma taxa 
de juros simples de 1,4% a.m. produz, ao final de um 
certo período juros totais de $38.500,00. Calcular o 
prazo da operação.
Solução:
C = $250.000,00 n = J / ( C x i )
i = 1,4% a.m. n = 38.500,00 / ( 250.000,00 x 0,014)
J = $38.500,00 n = 38.500,00 / 3.500,00 
n = ? n = 11 meses
FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES:
Montante e Capital
M = C + J M = C ( 1 + i . n )
C = M / ( 1 + i . n )
C M
_____________________________
n
EXEMPLOS
5 – Uma pessoa aplica $60.000,00 à taxa de juros
simples de 1,8% a.m. durante 5 meses. Determinar o 
valor acumulado ao final desse período
Solução:
C = $60.000,00 M = C x ( 1 + i x n )
i = 1,8% a.m. M = 60.000,00 x ( 1 + 0,018 x 5 )
n = 5 meses M = 60.000,00 x 1,09
M = $65.400,00
EXEMPLOS
6 – Uma dívida de $500.000,00 irá vencer em 4 meses. 
Caso a empresa devedora resolva liquidar a dívida
antecipadamente (hoje), o credor oferece um desconto
de 2,4% a.m. C
alcular o valor que o devedor pagaria caso decidisse
antecipar a liquidação da dívida.
Solução:
M = $500.000,00 C = M / (1 + i x n )
n = 4 meses C = 500.000,00 / (1 + 0,024 x 4)
i = 2,4% a.m. C = 500.000,00 / 1,096
C = ? C = $456.204,38
EXEMPLOS
7 - Determinar a taxa mensal de juros simples que 
faz com que um capital triplique de valor em 3 
anos.
Solução: M = C x (1 + i x n )
M = 3 M/C = (1 + i x n )
C = 1 3 = ( 1 + 36 x i)
n = 3 anos 36 i = 2
(36 meses) i = 2 / 36 = 0,05555 (5,55% a.m.)
i = ?
FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES
Taxas Proporcional e Equivalente
TAXA PROPORCIONAL
Poupança: 6% a.a. Juros simples mensais
Prazo da Taxa: Ano
Prazo de Capitalização: Mês
TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES
2% a.m. equivalente em juros simples a 24% a.a.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS - Juros Simples
1 – Calcular a taxa mensal 
proporcional de juros de:
• 8,8% a.q. Resp: i = 2,20% 
a.m.
• 15,8% a.a. Resp: i = 1,3167% 
a.m.
• 19,8% ao biênio Resp: i = 0,825% 
a.m.
2 – Calcular a taxa trimestral 
proporcional a juros de:
• 5,6% a.q. Resp: i = 4,2% 
a.t.
• 12,5% para 7 meses Resp: i = 5,36% 
a.t.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS - Juros Simples
3 – Qual o capital que produz 
$18.000,00 de juros simples, à taxa 
de 3% a.m., pelo prazo de:
•80 dias Resp: C = 
$225.000,00
•3 meses e 20 dias Resp: C = 
$163.636,36
4 – Se o valor atual de um título é 
igual a 4/5 de seu valor nominal e 
o prazo da aplicação for de 15 
meses, qual a taxa de juros simples 
considerada na operação? Resp: i = 
1,6666 . . . % a.m.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS - Juros Simples
5 – Uma mercadoria é oferecida 
numa loja por $130,00 a vista, ou nas 
seguintes condições: 20% de entrada 
e um pagamento de $106,90 em 30 
dias. Calcular a taxa linear mensal de 
juros que está sendo cobrada. 
Resp: i = 2,79% a.m.
6 – Uma aplicação de $15.000,00 é 
efetuada pelo prazo de 3 meses à 
taxa de juros simples de 26% a.a. Que 
outra quantia deve ser aplicada por 2 
meses à taxa linear de 18% a.a. para 
se obter o mesmo rendimento 
financeiro. Resp: C = $32.500,00
EXERCÍCIOS PROPOSTOS - Juros Simples
7 – Uma pessoa tem uma dívida
composta dos seguintes pagamentos:
- $22.000,00 de hoje a 2 meses;
- $57.000,00 de hoje a 5 meses;
- $90.000,00 de hojea 7 meses.
8 - O devedor deseja trocar essas
obrigações equivalentemente por
dois pagamentos iguais, vencíveis o 
primeiro ao final do 6o. mês e o 
segundo no 8o mês. Sendo de 3,7% 
a.m. a taxa de juros simples 
CALCULAR o valor desses pagamentos
na data de hoje. Resp. $88.098,38
JUROS COMPOSTOS
Como os 
Juros são 
formados
Há Juros s/ 
Juros?
Juros 
Compostos X 
Juros Simples
FORMULAÇÕES DE JUROS COMPOSTOS
PV - Valor Presente (Capital)
FV - Valor Futuro (Montante)
PV = FV / ( 1 + i )n - FV = PV x ( 1 + i )n
J = FV - PV - J = PV . [( 1 + i )n - 1]
Ilustração: Aplicação = $1.000,00
Juros Compostos = 10% pp
EXEMPLOS
1 – Se uma pessoa deseja obter $40.000,00 dentro de 
um ano, quanto deverá depositar hoje em uma
poupança que rende 1,1% a.m. de juros compostos.
Solução:
FV = $ 40.000,00 PV = FV / (1 + i)n
i = 1,1% a.m. PV = $40.000,00 / (1 + 0,011)12
n = 1 ano (12 meses) PV = $40.000,00 / 1,140286
PV = ? PV = $35.078,91
CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C
EXEMPLOS
2 – Determinar a taxa mensal composta de juros
de uma aplicação de $40.000,00 que produz um 
montante de $43.894,63 ao final de um 
quadrimestre.
Solução:
PV = $40.000,00 FV = PV x (1 + i)n
FV = $43.894,63 FV/PV = (1 + i)n
n = 4 meses 43.894,63/40.000,00 = (1 + i)4
i = ? 1,097366 = (1 + i)4 
i = 2,35%a.m. 
CALCULADORA FINANCEIRA HP 12 C
EXEMPLOS
3 - Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa
data produz, à taxa composta de juros de 2,4% a.m., um 
montante de $26.596,40 em certa data futura. Calcular
o prazo da operação.
Solução:
PV = $22.000,00 FV = PV . (1 + i)n
FV = $26.596,40 FV/PV = (1 + i)n
i = 2,4% a.m. 26.596,40/22.000,00 = (1 + 0,024)n
n = ? 1,208927 = (1,024)n
n = 8 meses
TAXAS DE JUROS 
EQUIVALENTES 
Taxa Equivalente Composta - iq= [(𝟏 + 𝒊)
𝟏 /𝒒 ] - 1
q = número de períodos de capitalização
Exemplo: quais as taxas de juros compostos
mensal e trimestral equivalentes a 15% a.a.
Taxa Equivalente Mensal = 1,1715% a.m.
Taxa Equivamente Trimestral = 3,5558% a.t.
TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL
Taxa Efetiva - if = (1 + i)
q - 1
q: número de períodos de capitalização
(1 + ia.a.) = (1 + ia.t.)
4 = (1 + ia.q))
3 = (1 + ia.m.)
12 = (1 + ia.d.)
360
Exemplo:
- 2% a.m. - Efetiva: 26,82% a.a.
- 2% a.m. - Efetiva: 12,62% a.s.
- 2% a.m. - Efetiva: 19,51% p/ 9 meses
Taxa Nominal – Prazo de Capitalização x Prazo da Taxa de Juros
EXEMPLOS
1 – Sendo de 18% a.a. a taxa nominal (linear) de 
juros cobrada por uma instituição, calcular o custo
efetivo anual, admitindo que o período de 
capitalização dos juros seja:
Mensal Resp: 19,56% a.a.
Trimestral Resp: 19,25% a.a.
Semestral Resp: 18,81% a.a.
EXEMPLOS
Taxa Efetiva e Números de Períodos de Capitalização - Taxa Nominal = 18% a.a.
PER DE CAPITAL. QTD PERÍODOS EFETIVA ANUAL
ANUAL 1 18,0% a.a.
SEMESTRAL 2 18,81% a.a.
QUADRIMESTRAL 3 19,10% a.a.
TRIMESTRAL 4 19,25% a.a.
MENSAL 12 19,56% a.a.
DIÁRIO 360 19,72% a.a.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a) 2,3% a.m. para 
um ano. 
Resp: 31,37% a.a.
b) 0,15% ao dia
para 23 dias
Resp: 3,51% p/ 23 
dias
c) 7,45% a.t. para 
um ano
Resp: 33,30% a.a.
d) 1,87% 
equivalente a
20 dias para um 
ano
Resp: 39,58% a.a.
1 - Capitalizar as seguintes taxas:
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
2 – Se um investidor deseja ganhar 18% ao
ano de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa de 
juro que deverá exigir de uma aplicação se o 
prazo de capitalização for igual a:
a) 1 mês Resp: 1,39% a.m.
b) 1 trimestre Resp: 4,22% a.t.
c) 7 meses Resp: 10,14% p/ 7 meses
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3 - Calcular a taxa equivalente
composta mensal das 
seguintes taxas:
2,9% p/ 26 dias
Resp: 3,35% a.m.
3,55% p/ 34 dias
Resp: 3,13% a.m.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4 – Com relação à formação das taxas de juros
compostos, PEDE-SE:
a) Em 77 dias uma aplicação rendeu 8,3% de juros
compostos. Apurar as taxas mensal e anual
equivalentes. Resp: 3,16% a.m. – 45,18% a.a. 
b) Um banco cobra atualmente 18,6% a.a. de juros. 
Para uma operação de 136 dias determinar a taxa 
efetiva (equivalente) que será cobrada. Resp: 6,66% 
para 136 dias
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
c) Uma empresa está cobrando juros de 3% para 
vendas a prazo de 28 dias corridos. Determinar a taxa 
efetiva mensal e anual da venda a prazo. 
Resp: 3,22% a.m.; 46,23% a.a.
d) Determinar a taxa equivalente para 44 dias de 
109,3% a.a. 
Resp: 9,45% p/ 44 dias
EX. 4 (Cont.)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
5 – Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $68.700,00 que produz
um montante de $81.084,90 ao final de 8 meses. Resp: 2,09% a.m.
6 – Uma loja está oferecendo uma mercadoria no valor de $900,00 com desconto
de 12% para pagamento a vista. Outra opção de compra é pagar os $900,00 após
30 dias sem desconto. Calcular o custo efetivo da venda a prazo. Resp: 13,64% 
a.m.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7 – Uma empresa tem observado um crescimento exponencial médio de 10% ao
ano na demanda física de seus produtos. Mantida essa tendência, ao longo do 
tempo, determine em quantos anos dobrará a demanda. Resp: 7,27 anos.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
8 – Uma empresa levanta um empréstimo de $25.000,00 a ser pago em 3 
prestações crescentes em PA de razão igual ao primeiro termo. O primeiro
pagamento deve ser efetuado no fim de 3 meses, o segundo no fim de 4 meses e o 
terceiro no fim de um ano.
Para uma taxa de juros de 3,5% a.m. apurar o valor desses pagamentos. 
Resp: 1o Pagamento = $5.399,36;
2o Pagamento = $10.798,72
3o Pagamento = $16.198,08
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9 – Um investidor efetuou no passado uma aplicação num título cujo vencimento
se dará daqui a 4 meses, sendo seu montante de $36.670,00. O banco procura o 
aplicador e oferece trocar esse título por outro vencível daqui a 9 meses, 
apresentando valor de resgate de $41.400,00. Sendo de 2,1% a.m. a taxa corrente
de juros de mercado, é interessante para o investidor a troca dos títulos? Resp:
Interessante. 
Qual a rentabilidade da nova aplicação proposta pelo banco? 
Resp: 2,46% a.m.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
10 - Um investidor aplicou $240.000,00 em Fundo de Investimento, apurando as 
seguintes taxas efetivas mensais de retorno:
Mês 1: 0,9376% PEDE-SE calcular:
Mês 2: 0,9399% a) montante do investimento ao
Mês 3: 0,8283% final do mês 4; $248.759,21
Mês 4: 0,8950% b) taxa de retorno acumulada do período; 3,65% ao período
c) taxa média equivalente mensal 0,90% a.m.
INTRODUÇÃO A IRR
Conceito de Taxa Interna de Retorno (IRR)
Taxa Média Equivalente Composta
PV = $100 $120,0
$100,0 FV = $120,0
IRR 20%
INTRODUÇÃO A IRR
Exemplo: Para um empréstimo de $11.500,00, um
banco exige o pagamento de 2 prestações mensais, iguais e
consecutivas de $6.000,00 cada.
DETERMINAR o custo mensal da operacão.
PV = $11.500,00
PMT = $6.000,00 PMT = $6.000,00
PLANILHA DA IRR
DATA SD AMORT JUROS PMT
MÊS 0 $11.500,00 - - -
MÊS 1 5.831,76 5.668,24 331,76 $6.000,00
MÊS 2 - 5.831,76 168,24 $6.000,00
11.500,00 = 
𝟔.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
(𝟏+𝒊)
+ 
𝟔.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
(𝟏+𝒊)𝟐
11.500 CHS PV
6.000 PMT
IRR ( i ) = 2,885% a.m. 2 n
i (2,885%)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
• 1 – Um imóvel no valor de $470.000,00 é vendido nas seguintes condições:
• Entrada: $190.000,00;
• 2 parcelas mensais, iguais e sucessivas de $96.000,00;
• Uma parcela ao final do 5o mês de $180.000,00.
• Determinar a taxa de juros (% a.m.) embutida no financiamento do imóvel. 
Resp: 9,78% a.m.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
• 2 – Uma pessoa deve a outra a importância de $12.400,00. Para a liquidação da 
dívida, propõeos seguintes pagamentos: $3.500,00 ao final de 2 meses; $4.000,00 
ao final de 5 meses; $1.700,00 ao final de 7 meses e o restante em um ano. Sendo
de 3% a.m. a taxa efetiva de juros cobrada do empréstimo, pede-se calcular o valor 
do último pagamento.
• Resp: $6.085,47
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
• 3 - Sabe-se que a taxa nominal (linear) de uma aplicação financeira é de 12% a.a. com 
capitalização mensal. PEDE-SE determinar:
• a) Quanto valerá uma aplicação de $10.000,00 após 5 meses; Resp.: 10.510,10
• b) Taxa efetiva anual da aplicação financeira; Resp.: 12,68% a.a.
• 4 – Um banco concede um empréstimo de $120.000,00 para ser pago em 4 PMT ao final dos 
meses 3, 5, 6 e 8. As três primeiras prestações tem o mesmo valor, porém o último pagamento, 
previsto para o final do mês 8, é igual ao dobro das parcelas anteriores. A taxa de juros cobrada
pelo banco é de 1,5% a.m. CALCULAR o valor de cada um dos pagamentos.
• Resp.: PMT3 = PMT5 = PMT6 = $26.232,14 - PMT8 = $52.464,28 
TAXA OVER 
DE CURTO 
PRAZO
Taxa OVER
É uma taxa de juros nominal, 
com capitalização diária, e válida
somente para dias úteis, e não
corridos.
Características
Taxa over ao mês
Taxa Linear
Válida somente para dias úteis.
TAXA OVER 
DE CURTO 
PRAZO
TAXA OVER E TAXA EFETIVA
De Over para Efetiva (EFE):
EFE (i) = [ (1 + taxa over/30 dias)d.u. ] - 1
De Efetiva para Over:
OVER = [ (1 + taxa efetiva)1/d.u. - 1 ] x 30
EXEMPLOS
Conversão de Taxa Over em Taxa Efetiva
1 – Uma taxa over está definida em 2,4% a.m. Sabendo
que no mês considerado existem 22 dias úteis, calcular
a taxa efetiva.
Solução:
Taxa over: 2,4% a.m.
d.u. = 22
EFE ( i ) = [ (1 + 0,024/30)22 ] - 1 
EFE ( i ) = 1,77% a.m.
EXEMPLOS
Conversão de Taxa Efetiva em Taxa Over
2 - Para uma taxa efetiva de 1,4% a.m., determinar a 
taxa over mensal (a.m.o), sabendo-se que no período
existem 21 dias úteis.
Solução:
Efetiva = 1,4% a.m. - d.u. = 21
Over = [(1 + 0,014)1/21 – 1] x 30 = 1,9868% a.m.o
EXEMPLOS
3 - Um título está pagando a taxa efetiva de 1,22% a.m. 
PEDE-SE transformar a remuneração do título em taxa 
over mensal admitindo a existência de 22 dias úteis.
Solução:
(𝟏, 𝟎𝟏𝟐𝟐)𝟏/𝟐𝟐 = 0,05513%
x 30
Taxa Over Mensal 1,654% a.m.o
PARTE II
PARTE II - MATEMÁTICA FINANCEIRA E 
APLICAÇÕES FINANCEIRAS
EMENTA – Matemática Financeira e 
inflação; taxa de juros nominal e real; 
taxa over anual; desvalorização da 
moeda; aplicações em títulos de renda 
fixa; taxas prefixadas e pós-fixadas, 
IRRF e ganhos líquidos.
OBJETIVO DAS AULAS - Desenvolver 
os conceitos e cálculos da matemática 
financeira em condições de inflação e 
rendimentos de aplicações em títulos 
de renda fixa. É dado destaque a 
adaptações do conhecimento teórico a 
situações práticas.
II - MATEMÁTICA FINANCEIRA E APLICAÇÕES 
FINANCEIRAS
ASSAF N., Alexandre. 
Matemática Financeira e 
Suas Aplicações. 13ª ed. SP: 
Atlas, 2016. (Caps. 4, 6 e 11)
ASSAF N., Alexandre & 
LIMA, Fabiano Guasti. 
Investimentos no Mercado 
Financeiro Usando a 
Calculadora Financeira HP 
12C. 2ª ed. SP: Atlas, 2013
BIBLIOGRAFIA
MATEMÁTICA FINANCEIRA E INFLAÇÃO
ÍNDICES DE PREÇOS – Permite 
medir as variações nos níveis 
gerais de preços de um período 
para outro. Representam os 
preços de determinada cesta de 
produtos.
ÍNDICES MAIS UTILIZADOS NO 
BRASIL:
IBGE: IPCA e INPC
FGV: IGP-DI e IGP-M
DIFERENÇAS: 
Faixa de Renda
Período de Coleta
Área de Abrangência
MATEMÁTICA FINANCEIRA E INFLAÇÃO
TAXA DE INFLAÇÃO ( I ) A 
PARTIR DE ÍNDICES DE 
PREÇOS:
I = 
𝑷𝒏
𝑷𝒏−𝒕
- 1
MÊS IPCA ∆ MÊS ∆ TRIM ∆ SEM
DEZ/15 4.493,17 - - -
JAN/16 4.550,23 1,27% - -
FEV/16 4.591,18 0,90% - -
MAR/16 4.610,92 0,43% 2,62% -
ABR/16 4.639,05 0,61% - -
MAI/16 4.675,23 0,78% - -
JUN/16 4.691,59 0,35% 1,75% 4,42%
EXEMPLOS
Valores Monetários em Inflação
1 - Admita que uma pessoa tenha adquirido um imóvel por 
$60.000,00 em certa data, e vendido dois anos depois por 
$80.000,00. Calcular o retorno nominal e real (líquido da 
inflação) obtido na operação, supondo uma taxa de inflação no 
período igual a: a) 25%; b) 40%
Solução:
Ganho (Retorno) Nominal = 
$𝟖𝟎.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
$𝟔𝟎.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
- 1 = 33,33%
a) Valor Corrigido = $60.000 x 1,25 = $75.000,00
Retorno Corrigido (Real) = 
$𝟖𝟎.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
$𝟕𝟓.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
- 1 = 6,67%
b) Valor Corrigido = $60.000,00 x 1,40 = $84.000,00
Retorno Corrigido (Real) = 
$𝟖𝟎.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
$𝟖𝟒.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
- 1 = - 4,76%
EXEMPLOS
Comportamento Exponencial da Taxa de Inflação
2 – Sendo de 1,95%, 0,89% e 2,2% , respectivamente, as 
taxas de inflação dos três primeiros meses de um ano, 
pede-se calcular a taxa acumulada de inflação ao final 
do trimestre.
Solução:
INF Acumulada = [(1,0195) x (1,0089) x (1,022)] - 1 = 
5,12% a.t. 
TAXA NOMINAL 
E TAXA REAL
TAXA NOMINAL (NOM) - Valor correntes
TAXA REAL ( r ) - Resultado apurado líquido dos 
efeitos inflacionários
NOM ( i ) = [(1 + r) x (1 + INF)] – 1
REAL ( r ) = [ 
(𝟏+𝒊)
(𝟏+𝑰𝑵𝑭)
] - 1 
r = taxa real (líq. da inflação)
i = taxa nominal (aparente)
INF = taxa de inflação
EXEMPLO
Rendimentos Nominais e Reais 
1 - Uma pessoa aplica $400.000,00 num título à taxa nominal de 6,5% a.t. Sendo de
4% a inflação do período, demonstrar os rendimentos nominal e real auferidos pelo
aplicador, e também as respectivas taxas de retorno.
Solução:
Valor de Resgate: $400.000,00 x 1,065 = $426.000,00
Valor Aplicado = ($400.000,00)
Rendimento Nominal $26.000,00
Rentabilidade Nominal: [$26.000,00/$400.000,00] – 1 = 6,5% a.t.
ou : [$426.000,00 / $400.000,00] - 1 = 0,065 (6,55%)
EXEMPLO
EX. 1 – Cont.
Rendimento Nominal = $26.000,00
Perda pela Inflação no Trimestre:
$400.000,00 x 4% = ($16.000,00)
Rendimento Real $10.000,00
Rentabilidade Real: [ 
$𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
$𝟒𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒙 𝟏,𝟎𝟒
] = 2,4% a.t. - 0,79% a.m.
TAXA REAL ( r) = [
𝟏+𝑵𝑶𝑴
𝟏+𝑰𝑵𝑭
] – 1 = [ 
𝟏+𝟎,𝟎𝟔𝟓
𝟏+𝟎,𝟎𝟒
] - 1 = 2,4% a.t.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – A taxa nominal de juros de um empréstimo é de 12% a.a. Tendo ocorrido uma
variação de 5,4% nos índices gerais de preços neste mesmo período, determinar
a taxa real anual de juros do empréstimo. Resp.: 6,26% a.a.
2 – Uma aplicação de $38.600,00 pelo prazo de 7 meses, gera um resgate de 
$48.400,00. Sendo os juros reais de 1,5% a.m., calcular a taxa de correção
monetária mensal e a taxa nominal de juros dessa operação. 
Resp: NOM = 25,39% p/ 7 meses; ou: 3,28% a.m.
Correção Monetária (INF) = 1,76% a.m.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3 – Os Índices Gerais de Preços referentes 
ao primeiro semestre de 20X6 são 
apresentados a seguir:
DATA IGP
31.12.X5 148,70
31.01.X6 150,07
28.02.X6 152,15
31.03.X6 153,98
30.04.X6 157,21
31.05.X6 158,13
30.06.X6 162,01
PEDE-SE CALCULAR:
a) Evolução dos preços no semestre
b) Evolução mensal dos preços
c) Se as inflações de JUL e AGO de X6
forem, respectivamente, de 1,13% e 
0,97%, determinar o índice de preços
que deve vigorar em cada um desses
meses.
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
EX. 3 – CONT.
RESP.:
INF Sem = 8,95%
INF (Jan) = 0,92% INF (Fev) = 1,39%
INF (Mar) = 1,20% INF (Abr) = 2,10%
INF (Mai) = 0,58% INF (Jun) = 2,45%
IGP (Jul) = 163,84
IGP (Ago) = 165,43
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
4 – Um financiamento em moeda estrangeira (US$) cobra juros
de 8% a.a. mais variação cambial. Sendo de 4,5% a variação
cambial do dólar e de 6,8% a taxa de inflação da economia no 
período, PEDE-SE calcular a taxa real de juros com base no dólar
e na inflação.
RESP.: 
MoedaEstrangeira Inflação da Economia
Taxa Real de Juros ( r ) = 8% a.a. Taxa Real de Juros = 5,67%
Taxa Nominal de Juros = 12,86% a.a.
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
5 – Um financiamento em moeda estrangeira (US$) cobra juros
de 8,0% a.a. mais variação cambial. Sendo de 4,5% a variação
cambial do dólar e de 6,8% a inflação da economia, PEDE-SE 
calcular a taxa real de juros com base no dólar e na inflação da 
economia. Resp.: Real (R$) = 5,67%; Real (US$) = 8,0% a.a.
6 – Um banco oferece duas alternativas de rendimentos para 
uma aplicação em títulos de sua emissão:
Taxa prefixada de 12% a.a.;
Taxa pós-fixada: 6% a.a. de juros mais correção monetária.
Qual a taxa de correção monetária anual que determina os
mesmos rendimentos para as duas alternativas. Resp.: Correção
Monetária = 5,66% a.a.
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
7 – Um banco anuncia pagar 14,5% para aplicações em títulos de 
sua emissão. É projetada uma inflação de 7,2% a.a. e a taxa de 
ativos livres de risco da economia é de 6% a.a.
PEDE-SE calcular para o período de 1 ano:
Taxa efetiva nominal de juros da aplicação; Resp.: 14,5% a.a.
Taxa real de juros (líquida da inflação). Resp.: 6,81% a.a.
Taxa de risco real embutida na remuneração do título. 
Resp.: 0,764% a.a.
TAXA OVER
ANUAL – a.a.o
- A PARTIR DE 1998 O MERCADO PASSOU A 
OPERAR COM TAXAS OVER ANUAIS
- CARACTERÍSTICAS BÁSICAS:
TAXA AO ANO CALCULADA EM DIAS ÚTEIS
NÚMERO DE DIAS ÚTEIS DO ANO: 252
TAXA EFETIVA (JUROS COMPOSTOS)
TAXA OVER
ANUAL – a.a.o
EXEMPLOS
1 – Sendo de 13,75% ao ano over (a.a.o) a taxa 
efetiva de um título, pede-se determinar a taxa 
de juros equivalente para um mês com 21 dias
úteis.
Solução:
i = [( 𝟏 + 𝑶𝒗𝒆𝒓)𝒏/𝟐𝟓𝟐 - 1 ]
i = [(𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟑𝟕𝟓)𝟐𝟏/𝟐𝟓𝟐 - 1 ]
i = 1,079% p/ 21 du 
TAXA OVER
ANUAL – a.a.o
2 – Sendo de 1,52% a taxa over efetiva mensal 
de um título, determinar sua equivalente over
anual, sabendo que existem 21 dias úteis no 
mês.
Solução:
EFE ( i ) = [( 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝟐)𝟐𝟓𝟐/𝟐𝟏] − 𝟏
EFE ( i ) = 19,84% a.a.o
TAXA OVER
ANUAL – a.a.o
3 – Um título está cotado no mercado a 
$978,88. O título é negociado com 37 dias úteis
(d.u.) para seu vencimento. O seu valor de 
resgate (valor nominal) é de $1.000,00. 
Determinar a rentabilidade anual (a.a.o) da 
operação. 
Solução: 
Taxa de Retorno = [
$𝟏.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
$𝟗𝟕𝟖,𝟖𝟖
]𝟐𝟓𝟐/𝟑𝟕 - 1 = 
15,648% a.a.o.
TAXA OVER
ANUAL – a.a.o
4 - Um título público é negociado no mercado
111 dias úteis antes de seu vencimento. O 
valor nominal (valor de face) do título é igual a 
$1.000,00 e a taxa de juro de mercado está
fixada em 13,5% a.a.o. CALCULAR o valor pago
pelo título.
Solução:
PU = [ 
𝟏.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
(𝟏,𝟏𝟑𝟓)𝟏𝟏𝟏/𝟐𝟓𝟐
] 
PU = $945,75 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
E TÍTULOS DE RENDA FIXA
• TÍTULOS DE RENDA FIXA - A forma dos rendimentos são
conhecidos previamente, desde o momento inicial da 
operação.
• MODALIDADES:
• Quanto as Taxas Quanto a Periodicidade
• de Juros dos Rendimentos
•
• Prefixados Rendimento Final
• Rendimento Periódico
•
• Pós-Fixados Rendimento Final
• Rendimento Periódico
IRRF NOS TÍTULOS DE RENDA FIXA
PRAZO ALÍQUOTA SO/ 
RENDIMENTO BRUTO
ATÉ 180 DIAS 22,5%
181 A 360 DIAS 20,0%
361 – 720 DIAS 17,5%
ACIMA DE 720 DIAS 15,0%
TAXA PRÉ COM RENDIMENTO 
FINAL
FORMULAÇÕES:
FV = PV x (1 + 𝒊𝒃)
IR = T x (PV x 𝒊𝒃)
FV = Valor do resgate (montante)
PV = Valor da aplicação (Capital)
IR = Valor ($) do imposto de renda
T = Alíquota de IR 𝒊𝒃 = taxa nominal bruta (antes do IR)
𝒊𝑳 = taxa nominal líquida (após dedução do IR) 
CÁLCULO DOS RENDIMENTOS – TÍTULO 
PREFIXADO
Alíquota de IRRF = 22,5% (de acordo com tabela) pago no resgate da aplicação.
Taxa de inflação no período = 0,55% a.m.
Remuneração = Equivalente à taxa prefixada efetiva de 15% a.a.
Prazo = 1 mês
Aplicação em titulo de renda fixa = $27.000,00
CÁLCULO DOS RENDIMENTOS – TÍTULO 
PREFIXADO
RENDIMENTO BRUTO DA APLICAÇÃO:
𝒊𝒃 = 𝟏𝟓% 𝒂. 𝒂. − 𝒊𝒃 = [(𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟓)
𝟏/𝟏𝟐 ] - 1 = 1,17% 
a.m.
VALOR BRUTO DO RESGATE (FV):
FV = $27.000,00 x 1,0117 = $ 27.315,90
Valor da Aplicação (PV) = ($ 27.000,00)
Rendimento Bruto Nominal = $ 315,90
CÁLCULO DOS RENDIMENTOS – TÍTULO 
PREFIXADO
RENTABILIDADE REAL BRUTA (𝒓𝒃):
𝒓𝒃 = [ 
(𝟏+𝟎,𝟎𝟏𝟏𝟕)
(𝟏+𝟎,𝟎𝟎𝟓𝟓)
] - 1 = 0,6166% a.m.
Ou:
𝒓𝒃 = [ 
$𝟐𝟕.𝟑𝟏𝟓,𝟗𝟎
$𝟐𝟕.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒙 𝟏,𝟎𝟎𝟓𝟓
] - 1 = 0,6166% a.m.
Valor de Resgate = $27.315,90
Valor Corrigido:
$27.000,00 x 1,0055 = $27.148,50
Rendimento Bruto Real = $167,40 - 0,6166% x $27.148,50
CÁLCULO DOS RENDIMENTOS – TÍTULO 
PREFIXADO
RENDIMENTO LÍQUIDO DA APLICAÇÃO (𝒊𝑳):
Valor Bruto de Resgate = $27.315,90
Valor da Aplicação = $27.000,00
Rendimento Bruto = $315,90
IR: 22,5% x $315,90 = ($71,08) 
Rendimento Líquido = $244,92
𝒊𝒃 = [ 
$𝟐𝟕.𝟑𝟏𝟓,𝟗𝟎
$𝟐𝟕.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
] – 1 = 1,17% a.m. RENTABILIDADE REAL LÍQUIDA:
𝒊𝑳 = [𝒊𝒃 x (1 – T) ] 𝒓𝑳 = [ 
(𝟏+𝟎,𝟎𝟎𝟗𝟎𝟔𝟕𝟓)
(𝟏+𝟎,𝟎𝟎𝟓𝟓)
] - 1 = 0,3548% a.m. 
𝒊𝑳 = [1,17% x (1 – 0,225) = 0,90675% a.m.
CÁLCULO DOS RENDIMENTOS – TÍTULO 
PREFIXADO
TAXA NOMINAL BRUTA - 𝒊𝒃 = 1,17% a.m. (15,0% a.a.)
TAXA NOMINAL LÍQUIDA - 𝒊𝑳 = 0,90675% a.m.
TAXA REAL BRUTA - 𝒓𝒃 = 0,6166% a.m.
TAXA REAL LÍQUIDA - 𝒓𝑳 = 0,3548% a.m.
TÍTULO PREFIXADO COM RENDIMENTOS 
PERIÓDICOS
Alíquota de IRRF = 15,0% calculado sobre o rendimento nominal e pago por ocasião do 
resgate de cada parcela.
Remuneração = Rendimentos nominais trimestrais equivalentes à taxa efetiva de 18% a.a.
Prazo = 1 ano. 
Aplicação em titulo de renda fixa pós-fixado = $25.000,00
TÍTULO PREFIXADO COM RENDIMENTOS PERIÓDICOS
RENDIMENTOS TRIMESTRAIS:
Taxa de Juros: 18% a.a. ou 4,22% a.t.
Rendimento Nominal Bruto Trimestral:
$25.000,00 x 4,22% = $ 1.055,00
IR s/ Rendimento Trimestral:
$1.055,00 x 15% = ($ 158,25)
Rendimento Nominal Líquido = $ 896,75
$25.000,00
$896,75 $896,75 $896,75 $896,75
$25.000,00
TÍTULO PREFIXADO COM RENDIMENTOS 
PERIÓDICOS
RENTABILIDADE PERIÓDICA (TRIMESTRAL) DO TÍTULO:
25.000,00 = 
𝟖𝟗𝟔,𝟕𝟓
(𝟏+ 𝒊𝑳)
+ 
𝟖𝟗𝟔,𝟕𝟓
𝟏+ 𝒊𝑳 𝟐
+ 
𝟖𝟗𝟔,𝟕𝟓
𝟏+ 𝒊𝑳 𝟑
+ 
𝟖𝟗𝟔,𝟕𝟓 + 𝟐𝟓.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
𝟏+ 𝒊𝑳 𝟒
Taxa Rentabilidade Líquida (𝒊𝑳) = 3,58% a.t. (15,13% a.a.)
TAXA PRÉ X TAXA PÓS
CDB DO BANCO A:
Rendimentos: Taxa Efetiva de Juros de 14% a.a.
CDB DO BANCO B:
Rendimentos: 107% CDI
CDI Projetado 12,25% a.a. (Taxa efetiva)
Prazo da Aplicação: 70 dias 
Demonstrar a melhor alternativa de investimento
Retorno (A) = [ (𝟏, 𝟏𝟒)𝟕𝟎/𝟑𝟔𝟎 ] – 1 = 2,58% p/ 70 dias
Retorno (B) = 12,25% x 107% = 13,11% a.a.
𝟏, 𝟏𝟑𝟏𝟏 𝟕𝟎/𝟑𝟔𝟎 - 1 = 2,42% p/ 70 dias
.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – Em 82 dias, um CDB rendeu 6,12% 
antes do IR. A alíquota do IR é de 20%. 
Apurar a taxa líquida mensal e anual 
equivalentes. Resp.: 1,76% a.m. - 23,3% 
a.a.
2 – Um investidor aplica em título 
prefixado pelo prazo de 6 meses, 
recebendo juros efetivos de 9,5% a.a. A 
expectativa do investidor é de obter um 
ganho real (acima da inflação) de 1,0% no 
semestre. Determinar qual deve ser a taxa 
máxima de inflação do semestre. Resp.: 
3,60% a.s.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3 – Um título de renda fixa está sendo negociado à taxa 
prefixada bruta de 2,1% a.m.; o IR é de 20% calculado sobre os 
rendimentos nominais e pagos no resgate. A inflação estimada 
do período é de 0,9% a.m. Determinar:
Rentabilidade nominal 
líquida do IR - Resp.: 1,68% 
a.m.
Rentabilidade reallíquida 
do IR - Resp.: 0,77% a.m.
Remuneração pelo risco 
embutida na taxa real, 
admitindo uma taxa pura 
(livre de risco) de 0,5% a.m. 
- Resp.: 0,27% a.m.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4 – Admita uma carteira formada de três títulos de renda fixa, conforme 
demonstrados abaixo:
PEDE-SE determinar o valor presente dessa carteira.
Resp.: $50.760,52
TÍTULO PRAZO DE 
RESGATE
VALOR DE 
RESGATE
TAXA DE 
JUROS
A 114 DIAS $10.923 1,16% a.m.
B 171 DIAS $12.920 1,24% a.m.
C 212 DIAS $31.180 1,40% a.m.
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
5 – Admita que o custo mensal de captação de um CDB 
corresponda a uma taxa over mensal de 1,8% para um 
período de 22 dias úteis. O banco acrescenta um spread de 
10,0% a.a. (taxa efetiva) para repassar esse dinheiro. PEDE-SE 
calcular a taxa efetiva mensal de juros dessa operação de 
crédito do banco. Resp.: 2,136% a.m.
6 – a) Para um mês com 22 dias úteis, e admitindo uma taxa 
efetiva de juros de 1,22% a.m., PEDE-SE calcular a taxa over
mensal. Resp.: 1,654% a.m.o
b) Sendo de 13,75% a.a.o. a taxa SELIC, determinar a taxa 
para o mês de setembro que possui 21 dias úteis. Resp.: 
1,0794% 
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
7 - Uma empresa capta no mercado um empréstimo de 
$90.000,00 para ser resgatado em 44 dias, à taxa nominal 
(linear) de 18% a.a.
No entanto, a condição formalizada pelo banco é a de liberar
o valor do empréstimo em parcelas, de acordo com o 
seguintes cronograma de desembolso:
Valor da Parcela a Liberar Dias para Liberação
$40.000,00 no ato
$30.000,00 4 dias
$20.000,00 8 dias
O custo de oportunidade do tomador de recursos é de 1,0% 
a.m. Diante dessas condições estabelecidas, PEDE-SE calcular
o custo efetivo mensal do empréstimo. Resp.: 1,57% a.m. -
20,5% a.a.
PARTE III
FLUXOS DE CAIXA E 
ANÁLISE DE 
INVESTIMENTOS
EMENTA - Fluxos de caixa; modelos e formulações; 
fator de valor presente e fator de valor futuro; 
fluxos de caixa convencionais; fluxos com entrada e 
carência; métodos de análise de investimentos; IRR 
e NPV; aplicações práticas.
OBJETIVO DAS AULAS - Estudar os conceitos, 
modelos e formulações dos fluxos de caixa, e os
métodos de análise de investimentos. As aulas dão
destaque a aplicações práticas dos modelos de caixa
e discute ainda sua limitações e conflitos. 
FLUXOS DE CAIXA E 
ANÁLISE DE 
INVESTIMENTOS
BIBLIOGRAFIA
ASSAF N., Alexandre. Matemática Financeira e 
Suas Aplicações. 13ª ed. SP: Atlas, 2016. (Caps.: 7, 
8 e 10)
ASSAF N., Alexandre & LIMA, Fabiano Guasti. 
Investimentos no Mercado Financeiro Usando a 
Calculadora Financeira HP 12C. 2ª ed. SP: Atlas, 
2013
MODELOS DE FLUXOS DE CAIXA
Postecipados
Período de Ocorrência Antecipados
Diferidos
Periodicidade Periódicos
Não Periódicos
Duração Limitados (Finitos)
Indeterminados (Indefinidos)
Valores Constantes
Variáveis
VALOR PRESENTE E FATOR DE VALOR PRESENTE
MODELO PADRÃO DE FLUXOS DE CAIXA:
- Postecipado
- Periódico
- Limitado
- Valores Constantes
PV PMT PMT PMT PMT PMT PMT
__________ __________ __________ ________ . . . . . ________
0 1 2 3 4 n-1 n
VALOR PRESENTE E FATOR DE VALOR PRESENTE
FORMULAÇÕES:
PV = 
𝑷𝑴𝑻
(𝟏+𝒊)
+ 
𝑷𝑴𝑻
(𝟏+𝒊)𝟐
+ 
𝑷𝑴𝑻
(𝟏+𝒊)𝟑
+ . . . + 
𝑷𝑴𝑻
(𝟏+𝒊)𝒏
PV = PMT x [ 
𝟏
(𝟏+𝒊)
+ 
𝟏
(𝟏+𝒊)𝟐
+ 
𝟏
(𝟏+𝒊)𝟑
+ . . . + 
𝟏
(𝟏+𝒊)𝒏
]
FATOR DE VALOR PRESENTE – FPV (i, n)
FPV (i, n) = 
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)− 𝒏
𝒊
PV = PMT x FPV
APLICAÇÕES 
PRÁTICAS
1 – Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais
e consecutivos de $4.000,00.`Para uma taxa de juros de 2,6% a.m. 
até que preço compensa adquirir o aparelho a vista.
Solução:
PMT = $4.000,00 PV = PMT x FPV (i, n)
i = 2,6% a.m. PV = 4.000,00 x FPV (2,6%, 7)
n = 7 meses PV = 4.000,00 x 
𝟏 − (𝟏+𝒊)− 𝒏
𝒊
PV = ? PV = 4.000,00 x 
𝟏 − (𝟏 + 𝟎,𝟎𝟐𝟔)− 𝟕
𝟎,𝟎𝟐𝟔
PV = 4.000,00 x 6,325294 = $25.301,17
APLICAÇÕES 
PRÁTICAS
2 – Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos
trimestrais, iguais e sucessivos de $700,00, sendo a taxa de juros
de 1,7% a.m.
Solução:
PMT = $700,00 PV = PMT x FPV (i, n)
n = 12 trimestres PV = 700,00 x FPV (5,19%, 12)
i = 1,7% a.m. (5,19% a.t.) PV = $ 6.138,30
APLICAÇÕES 
PRÁTICAS
3 – Um empréstimo de $20.000,00 é concedido para pagamento
em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de $4.300,00. 
Calcular o custo mensal desse empréstimo.
Solução: PV = PMT x FPV (i, n)
PV = $20.000,00 20.000,00 = 4.300,00 x FPV (i, 5)
n = 5 20.000,00 = 4.300,00 x 
𝟏 − (𝟏+𝒊)− 𝟓
𝒊
PMT = $4.300,00 Taxa de juros ( i ) = 2,46% a.m.
i = ?
APLICAÇÕES 
PRÁTICAS
4 – Um empresa contraiu um empréstimo de $90.000,00 para ser 
pago em 6 PMT mensais e sequenciais de $16.284,90 cada. No 
entanto, quando do pagamento da 2ª prestação a empresa, 
passando por dificuldades financeiras, solicita ao banco que 
refinancie o saldo de sua dívida em 12 prestações mensais, iguais
e sucessivas, vencendo a primeira em 30 dias a partir dessa data.
A taxa de juro cobrada pelo banco no refinanciamento é de 3,5% 
a.m. CALCULAR o valor de cada prestação do refinanciamento
solicitado.
Solução:
- Taxa de Juro Cobrada no Empréstimo Original: 2,4% a.m. 
Após o pagamento da 2ª PMT restam ainda 4 pagamentos a serem
feitos, que equivalem a $61.411,24 de valor presente à taxa de 
2,4% a.m.
PMT do Refinanciamento: PMT = $ 6.355,08
VALOR FUTURO E 
FATOR DE VALOR 
FUTURO
FORMULAÇÕES:
FV = PMT x (1 + i) + PMT x (𝟏 + 𝒊)𝟐 + PMT x 
(𝟏 + 𝒊)𝟑 + . . . + PMT x (𝟏 + 𝒊)𝒏
FV = PMT + PMT x (1 + i) + PMT x (𝟏 + 𝒊)𝟐 + . . 
. + PMT x (𝟏 + 𝒊)𝒏
FATOR DE VALOR FUTURO – FFV (i, n)
FV = PMT x FFV (i, n)
FV = PMT x 
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
APLICAÇÃO 
PRÁTICA
1 – Uma pessoa irá necessitar de $22.000,00 daqui a um ano. 
Para tanto, está fazendo uma economia mensal de $1.250,00, a 
qual é depositada em uma conta de poupança que remunera os
depósitos a uma taxa de juros compostos de 4,0% a.m. 
Determinar se essa pessoal terá acumulado o montante
necessário ao final de um ano para fazer a viagem. 
Solução:
FV = ? FV = PMT x FFV x (4%, 12)
PMT = $1.250,00 FV = 1.250,00 x 
(𝟏,𝟎𝟒)𝟏𝟐 − 𝟏
𝟎,𝟎𝟒
i = 4,0% a.m. FV = 1.250,00 x 15,025805
n = 12 meses FV = $18.782,26
FCs ANTECIPADOS E DIFERIDOS
FLUXOS DE CAIXA ANTECIPADOS - Valores de caixa começam a ocorrer 
antes do final do primeiro período – Entrada
PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT
_______ _______ _______ _______ . . . _______
0 1 2 3 4 n – 1 n 
FLUXOS DE CAIXA DIFERIDOS - Valores de caixa começam a ocorrer 
após o final do primeiro período - Carência
PMT PMT PMT PMT PMT
_______ _______ _______ _______ . . . _______ 
0 1 2 3 4 n – 1 n
APLICAÇÕES PRÁTICAS
1 – FLUXO DE CAIXA ANTECIPADO 
70 70 70 70 70 70 70 70
_______ _______ _______ _______ _______ _______ _______
0 1 2 3 4 5 6 7
Antecipação = 1 Período - Taxa de juros = 4% pp.
PV = 70 + 
𝟕𝟎
𝟏,𝟎𝟒
+ 
𝟕𝟎
(𝟏,𝟎𝟒)𝟐
+ 
𝟕𝟎
(𝟏,𝟎𝟒)𝟑
+ 
𝟕𝟎
(𝟏,𝟎𝟒)𝟒
+ 
𝟕𝟎
(𝟏,𝟎𝟒)𝟓
+ 
𝟕𝟎
(𝟏.𝟎𝟒)𝟔
+ 
𝟕𝟎
(𝟏,𝟎𝟒)𝟕
PV = 70 + [70 x FPV (4%,7)]
PV = $490,14
APLICAÇÕES PRÁTICAS2 - FLUXO DE CAIXA ANTECIPADO
70 70 70 70 70 70 70 70 70
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
Antecipação = 2 Períodos - Taxa de Juros = 4% pp.
PV = 70 (1,04) + 70 + [70 x FPV (4%,7)]
PV = $ 562,94
APLICAÇÕES PRÁTICAS
3 - FLUXO DE CAIXA COM CARÊNCIA
100 100 100 100
______ ______ ______ ______ ______ ______
0 1 2 3 4 5 6
Carência = 2 Períodos - Taxa de Juros = 2,% a.m.
PV = 
𝟏𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟐𝟓)𝟑
+ 
𝟏𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟐𝟓)𝟒
+ 
𝟏𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟐𝟓)𝟓
+ 
𝟏𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟐𝟓)𝟔
PV = [100 x FPV (2,5%,4)] / (𝟏, 𝟎𝟐𝟓)𝟐
PV = 358,07
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
1 – Um veiculo, cujo preço a vista é de $ 30.000,00, está
sendo vendido nas seguintes condições:
a) Entrada de 30%;
b) Saldo em 6 prestações mensais (PMT) iguais e 
sucessivas, vencendo a primeira daqui a dois meses.
DETERMINAR o valor de cada prestação admitindo uma
taxa de juros de 2,0% a.m. - Resp. PMT = $3.824,02
2 – Um fluxo de caixa está definido em 12 prestações
mensais de $1.200,00 cada. Calcular o fluxo de caixa
equivalente para 5 prestações trimestrais e iguais, 
considerando uma taxa de juros de 1,5% a.m. -
Resp. PMT = $2.987,40
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3 – Um empréstimo no valor de $15.000,00 é concedido à taxa de juros de 
2,23% a.m. Os fluxos de caixa da operação são os seguintes:
15.000
______ _______ _______ _______ _______ (meses)
0 2.000 X 4.600 3.800 2.900
Para os dados da operação de empréstimo, PEDE-SE calcular o valor da 
parcela referente ao 2º mês (parcela X). - Resp. X = $2.782,00
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
4 – Uma empresa deve atualmente 18 prestações
mensais de $2.200,00 cada uma. Com o intuito de 
adequar seus desembolsos mensais com suas
disponibilidades de caixa, está propondo ao credor a 
transformação desse fluxo de caixa numa série de 8 
pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos.
Para uma taxa de juros de 2.4% a.m. DETERMINAR 
o valor de cada prestação trimestral que está sendo
proposta. - Resp. PMT = $5.411,68 
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
MÉTODO - TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR)
FCo = σ𝒋=𝟏
𝒏 𝑭𝑪𝒋
(𝟏+𝒊)𝒋
Exemplo:
Investimento: $30.000,00
2 pagamentos mensais e sucessivos de $15.500,00 cada.
30.000,00 = 
𝟏𝟓.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
(𝟏+𝒊)
+ 
𝟏𝟓.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
(𝟏+𝒊)𝟐
IRR ( i ) = 2,21% a.m.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
PLANILHA FINANCEIRA 
DE INTERPRETAÇÃO DA 
IRR
DATA SD AMOR
T
JUROS PMT
0 30.000,
00
- - -
1 15.164,
20
14.835,
80
664,20 15.500,
00
2 - 15.164,
20
335,80 15.500,
00
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
IRR X TAXA DE REINVESTIMENTO
1.000 1.000 1.000
________ ________ ________ 
1.952 1 2 3 (anos)
1952 = 
𝟏.𝟎𝟎𝟎
(𝟏+𝒊)
+ 
𝟏.𝟎𝟎𝟎
(𝟏+𝒊)𝟐
+ 
𝟏.𝟎𝟎𝟎
(𝟏+𝒊)𝟑
IRR ( i ) = 25,0% a.a.
TAXA DE REINVESTIMENTO = 30% 𝑰𝑹𝑹𝑨𝑱 = 26,91% a.a.
TAXA DE REINVESTIMENTO = 20% 𝑰𝑹𝑹𝑨𝑱 = 23,09% a.a.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
MÉTODO - VALOR PRESENTE LÍQUIDO (NPV)
NPV = σ𝒋=𝟏
𝒏 𝑭𝑪𝒋
(𝟏+𝒊)𝒋
Exemplo:
250 320 380 280
________ ________ ________ ________
750 Taxa de Juros (Desconto) = 20% a.a.
NPV = [
𝟐𝟓𝟎
𝟏,𝟐𝟎
+
𝟑𝟐𝟎
(𝟏,𝟐𝟎)𝟐
+
𝟑𝟖𝟎
(𝟏,𝟐𝟎)𝟑
+
𝟐𝟖𝟎
(𝟏,𝟐𝟎)𝟒
] − 𝟕𝟓𝟎
NPV = $35,49
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
DECISÕES CONFLITANTES
Projeto NPV IRR
A $319,3 45,6%
B $377,1 42,0%
Intersecção de Fischer = 34,95% 
PROJETO INVEST. FC1 FC2 FC3 FC4
A - $1.300 $900 $750 $600 $600
B - $1.300 $300 $400 $1.350 $1.700
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – Estão sendo avaliadas 4 propostas de investimentos cujas informações básicas são apresentadas a 
seguir:
a) DETERMINAR o NPV e a IRR de cada projeto admitindo um custo de capital de 25% a.a. Quais 
propostas são economicamente atraentes.
a) Se o custo de capital subir para 35%, QUAIS propostas seriam aceitas. 
PROP. INVEST. FC1 FC2 FC3 FC4
A $390,0 $210,0 $180,0 $120,0 $100,0
B $580,0 $90,0 $130,0 $470,0 $710,0
C $260,0 $40,0 $40,0 $200,0 $200,0
D $850,0 $520,0 $410,0 $390,0 $390,0
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
RESP. EX 1:
PROP
.
IRR NPV A / R
A 24,3% a.a. - $ 4,4 R
B 22,1% a.a. $ 106,656 A
C 22,0% a.a. - $18,08 R
D 37,8% a.a. $ 187,824 A
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
2 – Uma empresa deve a um banco três pagamentos
vencíveis em 60, 90 e 100 dias, respectivamente de 
$4.700,00, $6.400,00 e $8.100,00. A dívida foi contraída
com uma taxa de juros mensal de 1,8%.
A empresa procura o banco para substituir sua dívida por 6 
pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro em 90 
dias e os demais sequencialmente. O banco define o valor 
de cada prestação em $3.432,20.
DETERMINAR o custo efetivo mensal cobrado pelo banco 
na renegociação da dívida. Resp.: 2,25% a.m.
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
3 – Certa alternativa de investimento requer um dispêndio
integral de capital de $150.000,0, estimando-se um 
retorno de $45.000,0, $60.000,0, $70.000,0, $80.000,0 e 
$100.000,0, respectivamente, ao final de cada um dos 
próximos 5 anos.
Admitindo-se que os 4 primeiros fluxos de caixa possam
ser reinvestidos, até o prazo final de vida da alternativa, às
taxas de 28%, 26%, 24% e 22%, respectivamente, PEDE-SE 
determinar a IRR dessa operação considerando as 
diferentes taxas de reinvestimento. 
Resp. IRR = 29,5% a.a.
4 – Uma empresa contrata um financiamento de 
$25.000,00 para ser pago em 6 PMT trimestrais, iguais e 
sucessivas no valor de $8.600,00 cada. A primeira PMT é 
liquidada com dois trimestres de carência. DETERMINAR a 
IRR dessa operação. Resp. IRR =14,65% a.t.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
5 – Abaixo são apresentados os fluxos de caixa dos investimentos W e Z. PEDE-SE
determinar a taxa de desconto que torna os NPVs dos investimentos iguais (intersecção de
Fischer). Resp.: 16,14% a.a.
6 – Uma indústria está avaliando a compra de uma máquina nova, mais moderna por $
28.000,00, tendo um valor residual de $ 4.200,00. A vida útil estimada da máquina é de 10
anos, e seus custos anuais de manutenção e operação somam a $ 1.000,00.
Para uma taxa de retorno mínima de 12% a.a. PEDE-SE determinar o Custo Equivalente
Anual dessa máquina. Resp. PMT = $ 5.716,20
INVEST ANO 0 ANO 1 ANO 2 ANO 3
W - $280 $ 70 $ 110 $ 260
Z - $280 $ 180 $ 120 $ 100
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7 – Abaixo dão apresentados os NPVs de 4 propostas de investimentos admitindo-se
diferentes taxas de desconto:
TAXA PROJ A PROJ B PROJ C PROJ D
0% $ 25,2 $ 50,0 $ 40,0 $ 50,0
4% $ 8,2 $37,0 $ 26,4 $ 30,1
8% ($ 0,2) $ 25,9 $ 14,9 $ 13,7
12% ($ 9,9) $ 16,3 $ 5,0 $ 0,0
16% ($ 18,1) $ 7,9 ($ 3,43) ($ 11,4) 
20% ($ 25,2) $ 0,5 ($ 10,8) ($ 21,0)
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
PEDE-SE:
Se a taxa de desconto mínima aceitável atingir a 16%, 
indicar as alternativas de investimento que podem ser 
aceitas;
Qual a alternativa que apresenta a maior rentabilidade
periódica (IRR);
Qual a IRR da alternativa D;
O projeto C é mais rentável (apresenta maior IRR) que o 
projeto D?;
A IRR do projeto B é maior ou menor que 20%?
A IRR do projeto A é menor que 8%?
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
8 – Uma empresa está avaliando a aquisição de uma nova 
máquina por $1.600.000,00. A estimativa é que essa
máquina eleve os fluxos de caixa da empresa em
$420.000,00 por ano ao final de cada um dos próximos 5 
anos. Não há previsão de valor residual. A taxa de 
desconto adequada para o investimento é de 12,5% a.a. 
Sabe-se aindaque ao final dos anos 2 e 4 serão necessários
investimentos de $50.000,00 na máquina para 
manutenção. 
PEDE-SE avaliar a atratividade econômica em se adquirir a 
nova máquina.
RESP. Não é interessante.
NPV = ($175.282,22) - IRR = 7,94% a.a.
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
9 – Admita os rendimentos de dois títulos:
Título A: negociado no mercado por $73.980,00 com prazo de 3 
anos. O título não prevê pagamento de juros durante sua vida
de 3 anos, devolvendo somente o seu valor nominal de 
$100.000,00.
Título B: negociado no mercado por $ 97.500,00. Este título
paga juros trimestrais de $9.620,00 durante sua duração de 3 
anos.
PEDE-SE:
Determinar a rentabilidade efetiva equivalente anual (IRR) 
de cada título. Resp. 𝑰𝑹𝑹𝑨 = 10,57% a.a.; 𝑰𝑹𝑹𝑩 = 
11,24% a.a.
Admita que os fluxos de caixa do título B possam ser 
reinvestidos pela taxa de juros de 2,48% a.t. Determinar a 
nova IRR do título B.
Resp.: IRR = 10,78% a.a.
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
10 – Admita um ativo que tenha sido adquirido por 
$140.000,00. Este ativo tem vida útil estimada de 7 anos e 
valor residual de $15.000,00 ao final da vida (7 anos). Os
custos e despesas operacionais do ativo atingem a 
$20.000,00 no primeiro ano, crescendo à taxa aritmética
constante de $10.000,00/ano.
Para uma taxa de juro de 12% a.a. determinar o Custo
Equivalente Anual deste ativo. Resp.: $74.704,40