Apostila MatFin Atuária 1_2020

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CAPÍTULO 1
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Prof. Samuel Hazzan
1.CAPITAL E JURO
Capital ( indicado por ) é qualquer valor monetário que é emprestado de um elemento a outro durante certo tempo.
Do ponto de vista do devedor, juro ( indicado por ) é o valor pago pelo uso do capital; do ponto de vista do credor, juro é o ganho proporcionado pelo empréstimo feito.
Taxa de juros ( ou de juro, indicada por ) é o valor do juros em uma unidade de tempo.
Exemplos:
2%a.m. ( 2% ao mês) significa que o juro é 2% do capital por mês
18%aa ( 18% ao ano) significa que o juro é 18% do capital ao ano.
Quando o empréstimo é pago de uma só vez, chamamos de montante à soma do juro com o capital. O montante é indicado por .
2. FÓRMULAS BÁSICAS
· 
Montante: 
· 
Juro no período da taxa: 
· 
Taxa de juros no período do empréstimo: 
Esta última relação decorre do seguinte:
	.
Exemplo:
Um capital de R$ 12 000,00 é aplicado durante um mês à taxa de 1,5%a.m.
· 
Juro: 
· 
Montante: 
Exemplo
Um capital de R$20 000,00 foi aplicado durante 3 meses gerando um montante de R$21 000,00. Qual a taxa de juros no período ( trimestre)?
Temos:
	
3. FLUXO DE CAIXA DE UMA OPERAÇÃO
É um gráfico em que no eixo horizontal se coloca o tempo. Uma seta para cima indica que houve uma entrada de dinheiro no instante de tempo indicado; uma seta para baixo indica uma saída de caixa no momento indicado.
Exemplo
Um banco emprestou R$5 000,00 para uma pessoa, por um ano, e recebeu de juro R$1 000,00.
O fluxo de caixa do tomador do empréstimo é:
 5 000	
							 6 000
O fluxo de caixa do emprestador ( banco) é:
							 6 000
 5 000							
4. REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
a)Capitalização simples ( juros simples)
Os juros gerados em cada período são iguais e valem o produto do capital pela taxa.
Exemplo:
Um capital de R$8 000,00 é aplicado à taxa de 10%a.a. a juros simples durante 3 anos:
· O juro do primeiro ano é: 8 000(0,10) = 800
· O juro do segundo ano é: 8 000(0,10) = 800
· O juro do terceiro ano é: 8 000(0,10) = 800
· Juro total: 800 + 800 + 800 = 2 400
· Montante: 8 000 + 2 400 = 10 400
b)Capitalização composta ( juros compostos)
O juro do primeiro período de agrega ao capital gerando o montante da data 1.Daí para frente o juro de cada período é o produto da taxa pelo montante do início do período e esse juro se agrega ao montante do início dando origem ao montante do final do período ( e início do período seguinte).
Exemplo:
Um capital de R$8 000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 10%a.a. durante 3 anos:
· Juro do 1º ano: 8 000(0,10) = 800. Montante da data 1: 8 000 + 800 = 8 800.
· Juro do 2º ano: 8 800(0,10) = 880. Montante da data 2: 8 800 + 880 = 9 680.
· Juro do 3º ano: 9 680(0,10) = 968. Montante da data 3: 9 680 + 968 = 10 648.
EXERCÍCIOS
1)Um capital de R$8 000,00 é aplicado nas seguintes condições:
		 Taxa		Prazo
a) 5%a.s.		1 semestre
b) 3,5%a.t.		1 trimestre
c) 0,05%a.d		1 dia
Obtenha o juro e montante em cada caso.
Resp: a)R$400,00 e R$ 8 400,00
 b)R$280,00 e R$ 8 280,00
 c)R$4,00 e R$8 004,00
2)Um investidor aplica um capital e recebe um ano depois um montante em cada uma das situações dadas abaixo. Calcule a taxa de juros em cada caso:
a)Capital: 1 000 Montante: 1 150
b)Capital: 5 000 Montante: 5 200
c)Capital: 3 970 Montante: 4 085
Resp: a)15%a.a.	b)4%a.a.	c)2,90%a.a.
3)Qual a taxa de juros obtida em cada situação abaixo:
	
	Montante
	Capital
	Prazo
	a)
	1000
	400
	1 ano
	b)
	7 500
	6 000
	1 semestre
	c)
	3 300
	3 200
	1 bimestre
	d)
	2 230
	2 190
	1 mês
Resp: a)150%a.a.	b)25%a.s.	c)3,13%a.b.	d)1,83%a.m.
4)Um capital de R$20 000,00 é aplicado à taxa de 15%a.a. durante 4 anos.
a)Qual o montante no regime de juros simples?
b)Qual o montante no regime de juros compostos?
Resp: R$32 000,00		b)R$34 980,13
CAPÍTULO 2
JUROS SIMPLES
Prof. Samuel Hazzan
1.FÓRMULA DOS JUROS SIMPLES
 Seja o capital aplicado, a taxa de juros por período e o número de períodos de aplicação ( expresso de acordo com a taxa). Assim:
· 
Juro no 1º período: 
· 
Juro no 2º período: 
· 
Juro no 3º período: 
· ...................................
· 
Juro no n´esimo período: 
Assim, o total dos juros é: , isto é:
	 
Exemplo:
Um capital de R$12 000,00 é aplicado a juros simples durante 1 ano à taxa de 2%a.m.
Qual o juro e o montante?
Como a taxa de juros é mensal, tem que ser expresso em meses, isto é, .
· 
Juro: 
· 
Montante: 
2.JURO EXATO E JURO COMERCIAL
Em situações em que o prazo é dado em dias, a taxa diária da operação pode ser obtida através de duas convenções:
· Considerando o ano civil com 365 ( ou 366) dias e cada mês com seu número exato de dias. O juro assim calculado é dito juro exato.
· Considerando que cada mês tenha 30 dias e por consequência o ano tenha 360 dias. O juro assim calculado é dito juro comercial.
Exemplo:
Um capital de R$15 000,00 é aplicado por 86 dias à taxa de 30%a.a.
Temos:
· 
Juro exato: .
· 
Juro comercial: .
3.OPERAÇÕES COM HOT MONEY
São operações de empréstimo de banco para empresas, com característica de curtíssimo prazo ( em geral de um só dia, podendo haver renovações).
A fórmula utilizada é a de juros simples em que a taxa é geralmente dada ao mês comercial.
Exemplo:
Uma empresa recebe um empréstimo tipo hot money de R$200 000,00 por um dia à taxa de 2%a.m. Qual o montante?
Temos,
	
Caso houvesse renovação, o capital do próximo dia seria R$200 133,33.
			EXERCÍCIOS
1)Obtenha os juros simples obtidos nas aplicações abaixo:
	Capital		Taxa		Prazo
a) 20 000		2%a.m.	5 meses
b) 100 000	80%a.a.	2 anos
c) 40 000		5%a.m.	2 anos
d) 35 000		20%a.t.	2 anos e meio
Resp: a)R$2 000,00 b)R$160 000,00	c)R$48 000,00	d)R$70 000,00
2)Qual o montante de uma aplicação de R$5 000,00 a juros simples durante um ano e meio à taxa de 2,5%a.t?
Resp:R$5 750,00
3)Qual o montante de uma aplicação de R$16 000,00 a juros simples, durante 5 meses à taxa de 80%a.a.?
Resp: R$21 333,33
4)Um fogão é vendido à vista por R$1 200,00 ou a prazo com 20% de entrada mais uma parcela de R$1 100,00 após 2 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?
Resp: 7,29%a.m.
5)Uma geladeira é vendida à vista por R$2 100,00 ou a prazo com 25% de entrada mais uma parcela de R$1 650,00 após 3 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?
Resp: 1,59%a.m.
6)Durante quanto tempo um capital de R$12 000,00 deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 2%a.m, para gerar um montante de R$18 000,00?
Resp: 25 meses
7)Uma empresa recebe um empréstimo tipo hot money de R$800 000,00 por um dia à taxa de 2%a.m. No dia seguinte o empréstimo é renovado por mais um dia à taxa de 2,2%a.m.
a)Qual o montante final?
b)Qual a taxa de juros no período ( dois dias)?
Resp: a) R$801 120,39	b)0,14%a.p.
8)Uma taxa de hot Money de 2,5%a.m. válida por 1 dia e renovada por mais 3 dias acumula qual taxa no período?
Resp: 0,3338%a.p.
CAPÍTULO 3
DESCONTOS SIMPLES
Prof. Samuel Hazzan
1.DESCONTO COMERCIAL SIMPLES
Descontar um título em um banco significa antecipar seu recebimento mediante um desconto em seu valor de face. Geralmente os títulos que são descontados pelas empresas são as duplicatas, as promissórias e os cheques pré-datados.
A prática bancária corrente utiliza como método de cálculo o desconto comercial simples que passaremos a descrever.
Seja o valor nominal do título, a taxa de desconto e o prazo até o vencimento do título ( expresso na unidade de tempo da taxa de desconto).
O desconto dado ao título é dado por:
		
A diferença entre o valor nominal e o desconto é denominada valor descontado do título e é indicada por . Caso haja outros encargos como taxa de serviço e impostos o valor recebido pela empresa, chamado valor líquido (), é o valor descontado menos os encargos.
Na ausência de encargos o valor líquido é igual ao valor descontado.
Exemplo:
Uma duplicata de R$12 000,00 é descontada por uma empresaem um banco, 3 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2%a.m.
· 
O desconto é 
· 
O valor descontado ou valor líquido é: 
· O fluxo de caixa do banco na operação é:
							 12 000
 11 280
· 
A taxa de juros da operação é que em juros simples corresponde a uma taxa mensal de 
· 
Caso haja, por exemplo, uma taxa de serviço de R$100,00 e paga no início, o valor líquido recebido pela empresa será e a taxa de juros no período será 
2.DESCONTO DE UM CONJUNTO DE TÍTULOS
Caso a empresa desconte um conjunto de títulos, o valor líquido recebido pela empresa será igual à soma dos valores líquidos de cada título.
Exemplo
Uma empresa leva a um banco o seguinte conjunto de duplicatas a serem descontadas à taxa de 2%a.m.
	Duplicata
	Valor
	Prazo até o vencimento
	A
	5 000,00
	2 meses
	B
	7 000,00
	3 meses
	C
	8 000,00
	72 dias
Temos:
· 
· 
· 
· 
Valor líquido total: 
EXERCÍCIOS
1)Uma duplicata de R$90 000,00 é descontada por uma empresa em um banco à taxa de desconto de 3,5%a.m, dois meses antes do vencimento.
a)Qual o desconto?
b)Qual o valor líquido recebido pela empresa?
c)Qual a taxa efetiva de juros da operação?
Resp: a)R$6 300,00		b)R$83 700,00	c)7,53%a.p.
2)Uma promissória de R$12 000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do vencimento à taxa de desconto de 1,8%a.m.
a)Qual o valor líquido recebido pela empresa?
b)Qual a taxa efetiva de juros no período?
Resp: a)R$11 568,00		b)3,73%a.p.
3)Uma promissória de R$90 000,00 é descontada em um banco 40 dias antes de seu vencimento à taxa de 50%a.a.
a)Qual o desconto?
b)Qual o valor líquido recebido pela empresa sabendo que o banco cobra também uma taxa de serviço igual a 2% do valor da promissória e que é paga na data 0?
Resp: R$5 000,00		b)R$83 200,00
4)Um cheque pré-datado de R$2 400,00 é descontado por uma empresa em um banco 75 dias antes do vencimento à taxa de 1,9%a.m.
a)Qual o valor líquido recebido pela empresa?
b)Qual a taxa mensal de juros simples da operação?
Resp: R$2 286,00		b)1,99%a.m.
5)Ao descontar uma duplicata de R$3 100,00 em um banco, uma empresa recebeu um valor líquido de R$2 914,00, três meses antes do vencimento do título. Qual a taxa de desconto utilizada pelo banco?
Resp: 2%a.m.
6)Um banco desconta duplicatas a uma taxa de desconto de 5%a.m.
Qual a taxa efetiva mensal de juros simples se os prazos de vencimento forem:
a)um mês		b)Dois meses
Resp: a) 5,26%a.m.		b)5,56%a.m.
7)Uma empresa desconta em um banco o seguinte conjunto de duplicatas, à taxa de desconto de 2%a.m.Qual o valor líquido recebido pela empresa?
	Duplicata
	Valor
	Prazo até o vencimento
	D
	12 000
	2 meses
	E
	8 000
	48 dias
	F
	10 000
	96 dias
Resp: R$28 624,00
8)Uma empresa desconta hoje em um banco duas duplicatas de mesmo valor, vencíveis daqui a um e dois meses. Sabendo que a taxa de desconto é de 1,6%a.m. e que a empresa necessitou de um valor líquido de R$20 000,00, qual o valor de cada duplicata?
Resp: R$10 245,90
CAPÍTULO 4
JUROS COMPOSTOS
Prof. Samuel Hazzan
1.FÓRMULA DO MONTANTE
Consideremos um capital aplicado à taxa , durante períodos de tempo ( expressos na unidade de tempo da taxa. Calculemos o montante no regime de juros compostos.
Temos
· 
Montante após 1 período: 
· 
Montante após 2 períodos: 
· 
Montante após 3 períodos:
Generalizando,
· 
Montante após n períodos: ou simplesmente:
			
Observações:
a)As calculadoras financeiras permitem calcular qualquer valor dessa fórmula dados os outros três.
A simbologia usada é a seguinte:
· 
A tecla indica o prazo ( expresso de acordo com a taxa)
· 
A tecla representa a taxa ( em porcentagem)
· 
A tecla ( de Present Value ) representa o capital e
· 
A tecla ( de Future Value) representa o montante.
A tecla não é utilizada nessa fórmula.
Antes de utilização das teclas financeiras, devem ser limpas as memórias, o que pode ser feito das seguintes formas: ou então .
Os valores positivos de ou representam entradas de caixa e os negativos representam saídas de caixa.
Exemplo:
Um capital de R$8 000,00 é aplicado a juros compostos durante 6 meses, à taxa de 1%a.m.. Qual o montante?
Temos:
	
Usando as teclas financeiras:
Exemplo:
Um capital de R$4 000,00 é aplicado a juros compostos durante 4 meses gerando um montante de R$4 200,00. Qual a taxa mensal de juros?
Temos:
	
Elevando os dois membros da equação acima a expoente , que é o inverso do expoente da incógnita, teremos:
	
	 
Usando as teclas financeiras:
 
A tecla ( de Change Sign) digitada após um número, muda seu sinal. Assim, resulta no valor - 4000.
2.PERÍODOS NÃO INTEIROS
Quando o prazo de aplicação não é inteiro, há duas convenções de cálculo para o montante: a convenção linear e a exponencial sendo que na prática essa última é a mais utilizada.
Suponhamos por exemplo um capital de R$5 000,00 aplicado à taxa de 10%a.a. durante 3 anos e meio ().
Convenção linear:
O capital é aplicado a juros compostos durante a parte inteira do período e o montante resultante é aplicado a juros simples durante a parte fracionária do período.
No exemplo dado, teremos:
	
Convenção exponencial
O capital é aplicado a juros compostos durante o prazo fracionário. No nosso exemplo:
	
Para que a calculadora HP12C utilize a convenção exponencial nas teclas financeiras é necessário que apareça a letra C no visor à direita. Caso não compareça o C no visor a calculadora estará operando com a convenção linear nas teclas financeiras quando o prazo é fracionário. A inserção ou eliminação do C é feita acionando-se as teclas e .
3.TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS COMPOSTOS
Duas taxas de juros são ditas equivalentes em juros compostos quando, aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, proporcionarem um mesmo montante.
Exemplo:
Qual a taxa anual equivalente em juros compostos a 3%a.m.?
Seja a taxa anual procurada, e adotemos um prazo padrão de 1 ano. Teremos:
· 
O montante com a taxa anual é 
· 
O montante com a taxa de 3%a.m. é 
Igualando os dois resultados, teremos:
	
Exemplo:
Qual a taxa mensal equivalente em juros compostos a 20%a.a.?
Seja a taxa mensal procurada, e adotemos um prazo padrão de 1 ano. Teremos:
· 
O montante com a taxa mensal é 
· 
O montante coma taxa de 20%a.a.. é 
Igualando os dois resultados, teremos:
	
	
4.VALOR ATUAL ( OU PRESENTE) DE UMA RENDA FUTURA
Se quisermos ter uma renda futura após um certo número de períodos à frente de uma determinada data, chamamos de valor atual de ao valor que precisamos aplicar nessa data, a uma determinada taxa e a juros compostos para termos na data um montante igual a .
Indicamos o valor atual por .
								R
 V
	 0 				 n
Assim, 
	 e portanto, 
Exemplo:
Uma pessoa tem uma dívida de R$20 000,00 vencível daqui a 3 meses. Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de 1%a.m. para gerar uma renda suficiente para pagar a dívida?
O valor procurado é o valor atual de R$20 000,00. Portanto:
	
5.OPERAÇÕES FEITAS EM DIAS ÚTEIS - CDI e LTN
Em algumas operações feitas em dias úteis (por exemplo títulos públicos) utiliza-se como convenção que o ano tem 252 dias úteis e a taxa em questão é denominada taxa over anual.
A fórmula do montante é a mesma vista anteriormente.
Os CDI´s (Certificados de Depósitos Bancários) são títulos emitidos por bancos para captação de dinheiro em outros bancos. As taxas são expressas sob a forma de taxa over anual e geralmente os empréstimos são feitos por apenas um dia ( operações overnight). A taxa média dos CDI´s é divulgada diariamente e costuma ser referência para outras operações no mercado financeiro ( por exemplo, CDB´s indexados ao CDI ).
As LTN´s (hoje conhecidas como Tesouro Pré-fixado) são um tipo de Título Público em que o valor final de resgate é sempre R$1 000,00 e o prazo de aplicação variável de alguns meses a alguns anos. A taxa de rendimento é expressa sob a forma de taxa over anual e o preço do título na compra ou venda é o valor atual dos R$1 000,00, calculadosà taxa over anual de rendimento.
6.JUROS COMPOSTOS COM TAXAS VARIÁVEIS
Até agora, vimos situações em que a taxa de juros era constante em todos os períodos. Todavia, é fácil generalizá-la quando a taxa é variável em cada período.
Consideremos um capital aplicado às seguintes taxas:
	 no primeiro período
	no segundo período
	 no terceiro período
	...............................
	 no enésimo período
Assim,
· O montante no final do primeiro período será:
	
· O montante no final do segundo período será:
	
· O montante no final do terceiro período será:
	
Generalizando,
· O montante no final do enésimo período será:
	
Exemplo:
Em março, abril e maio um fundo de renda fixa rendeu as seguintes taxas: 0,85%, 0,72% e 0,77% respectivamente.
a)Qual o montante no final de maio de uma aplicação de R$10 000,00 no início de março?
b)Qual a taxa acumulada de rendimento no trimestre?
Temos:
a)
b)
7.TAXA NOMINAL E EFETIVA QUANDO O PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO NÃO COINCIDE COM O DA TAXA
Quando o período da taxa referida ( taxa nominal) não coincide com o período de capitalização, a convenção adotada é a de que a taxa no período de capitalização ( chamada taxa efetiva) seja proporcional à taxa nominal.
Exemplo:
Um capital de R$6 000,00 é aplicado por 6 meses à taxa nominal de 24%a.a. com capitalização mensal dos juros. Qual o montante?
Temos:
· Taxa nominal: 24%a.a.
· 
Taxa efetiva: 
Assim,
	O montante é .
EXERCÍCIOS
1)Calcule o montante das aplicações abaixo no regime de juros compostos:
	Capital		Taxa		Prazo
a) 4 000		5%a.m.	10 meses
b) 60 000		3%a.m.	2 anos
c) 80 000		15%a.t.	2 anos e meio
Resp: a)R$6 515,58		b)R$121 967,65	c)R$323 644,62
2)Um capital de R$5 000,00 é aplicado a juros compostos por 1 ano e meio à taxa de 1%a.m.
a)Qual o montante?
b)Qual o juro?
Resp: a)R$5 980,74		b)R$980,74
3)Qual o capital que aplicado a juros compostos durante 7 meses, à taxa de 0,8%a.m dá um montante de R$18 000,00?
Resp: R$17 023,50
4)Um capital de R$2 000,00 é aplicado a juros compostos durante 5 meses gerando um montante de R$3 000,00. Qual a taxa mensal de juros?
Resp: 8,45%a.m.
5)Uma geladeira é vendida à vista por R$2 500,00 ou a prazo com 20% de entrada mais uma parcela de R$2 100,00 após 3 meses. Qual a taxa mensal de juros do financiamento?
Resp: 1,64%a.m.
6)Um banco empresta a uma empresa R$80 000,00 a juros compostos pelo prazo de 30 dias à taxa de 40%a.a.
Qual o montante?
Resp: R$82 274,89
7)Resolva o exercício anterior considerando um prazo de 72 dias.
Resp: R$85 568,83
8)Um investidor aplicou R$12 000,00 em um CDB a juros compostos à taxa de 10%a.a. pelo prazo de 30 dias.
a)Qual o montante?
b)Qual o IR sabendo que é igual a 22,5% do juro?
c)Qual o montante líquido?
d)Qual a taxa líquida no período?
Resp: a)R$12 095,69		b)R$21,53	c)R$12 074,16	d)0,62%
9)Resolva o exercício anterior considerando um prazo de 65 dias.
Resp: a)R$12 208,29		b)R$46,87	c)R$12 161,42	d)1,35%a.p.
10)Em juros compostos qual a taxa anual equivalente a:
a)2%a.m.		b)10%a.t.
Resp: a)26,82%a.a.	b)46,41%a.a.
11)Em juros compostos qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas:
a)25%a.a	b)32%a.a	c)18,5%a.a.
Resp: a)1,88%a.m.	b)2,34%a.m.		c)1,42%a.am
12)Em juros compostos qual a taxa quadrimestral equivalente a 5%a.t?
Resp: 6,72%a.q.
13)Um investidor tem duas opções para aplicar seu capital de R$50 000,00 pelo prazo de 6 meses:
I)Receber um montante de R$53 700,00
II)Aplicar a juros compostos à taxa de 1,1%a.m.
Qual a melhor opção?
Resp: A primeira
14)Quanto devo aplicar hoje a juros compostos e a taxa de 1%a.m para fazer frente a uma dívida de R$65 000,00 daqui a 4 meses?
Resp: R$62 463,72
15)Uma pessoa tem uma dívida de R$5 000,00 vencível daqui a 1 mês e outra de R$8 000,00 vencível daqui a 2 meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de 1%a.m para fazer frente a esses compromissos?
Resp: R$12 792,86
16)Quanto devo aplicar hoje à taxa de 0,9%a.m para gerar quatro rendas mensais de R$7 000,00 cada começando daqui a um mês?
Resp: R$27 381,16
17)Um banco empresta R$40 000 000,00 a outro banco através de um CDI de um dia à taxa over anual de 8%aa. Qual o montante?
Resp: R$40 012 217,92.
18)Qual a taxa de rendimento diário de um CDB que rende 95% do CDI caso a taxa do CDI seja 8,5%aa?
Resp: 0,0308%
19)Idem ao exercício anterior com uma taxa de 120% do CDI.
Resp: 0,0389%
20)Uma LTN ( Letra do Tesouro Nacional) vence daqui a 156 dias úteis gerando um valor de resgate de R$1 000,00. Qual o preço pago hoje por esse título sabendo que a taxa over anual ( ano de 252 dias uteis) de rendimento foi 10%a.a?
Resp: R$942,71
21)Resolva o exercício anterior considerando uma taxa over anual de 9%a.a.
Resp: R$948,05
22)Em um certo dia útil vigorou a taxa over anual de 9,4%a.a ( ano de 252 dias uteis).
Qual a taxa por dia útil .
Resp:0,0357%a.d.u
23)Em janeiro fevereiro e março um fundo de investimentos rendeu 2%, 4% e 6% respectivamente.
a)Qual o montante no final de março de uma aplicação de R$30 000,00 no início de janeiro?
b)Qual a taxa de rendimento acumulado no trimestre?
Resp: a) R$33 733,44		b)12,44%
24)Em cada um dos 6 primeiros meses de um ano um fundo rendeu 0,8% e em cada um dos últimos 6 meses do mesmo ano o fundo rendeu 0,9%.
a)Qual o montante ao final do ano de uma aplicação de R$ 120 000,00 no início do ano?
b)Qual a taxa acumulada de rendimento no ano?
Resp: a) R$132 828,55	b)10,69%
25)Em setembro um fundo de ações rendeu 10% e em outubro do mesmo ano o fundo rendeu - 10%. Qual a taxa de rendimento acumulado no bimestre?
Resp: - 1%
26)Um CDB indexado ao CDI rendeu em um dia útil a taxa de 0,034%. Se esta taxa se mantiver nos próximos 100 dias uteis, qual a taxa de rendimento acumulada no período?
Resp:3,46%
CAPÍTULO 5
INFLAÇÃO E TAXA REAL DE JUROS
Prof. Samuel Hazzan
1.TAXAS DE INFLAÇÃO
Uma das formas geralmente utilizadas para se medir a inflação consta em se definir uma cesta básica de produtos, com quantidades determinadas, e calcular a evolução do preço médio dessa cesta de um mês para outro.
Assim, seja o preço médio da cesta básica em um mês 0 e o preço dessa cesta no mês seguinte ( mês 1). A taxa de inflação do mês 1 é igual à variação porcentual do preço da cesta básica do mês 1 em relação ao mês 0, isto é:
	
Exemplo:
Em janeiro o preço de uma cesta básica era R$400,00 e em fevereiro do mesmo ano o preço passou a R$404,00.
A taxa de inflação de fevereiro foi:
	
2.TAXA ACUMULADA DE INFLAÇÃO
Seja a taxa de inflação de um certo mês e a taxa de inflação do mês seguinte.
A taxa de inflação acumulada (indicada por ) dos dois meses é a variação porcentual do preço da cesta básica no mês 2 em relação ao preço da mesma cesta no mês 0 ( que é o mês que antecede o primeiro).
Assim,
	
e	
Como e
	
	Logo:
	
De modo análogo pode-se generalizar a fórmula anterior caso tenhamos taxas mensais sucessivas de inflação . A taxa acumulada resultante será:
	
Exemplo:
A taxa acumulada de inflação de 3 taxas mensais sucessivas iguais a 1%, 1,5% e 0,9% será;
	
3.PRINCIPAIS ÍNDICES DE INFLAÇÃO
· IPC - Índice de Preços ao Consumidor
· IPA - Índice de Preços por Atacado
· INCC - Índice Nacional do Custo da Construção
· IGP - Índice Geral de Preços
· IPCA - Índice de Preços ao Consumidor -Amplo
4.TAXA REAL DE JUROS
A taxa real de juros é a que vigora descontando-se o efeito inflacionário.
Sejam o capital aplicado, a taxa de juros ea taxa de inflação expressa na mesma unidade de tempo da taxa de juros.
Após um período de tempo (teremos:
· 
Montante da aplicação: 
· 
Capital corrigido monetariamente pela inflação: 
· 
Ganho real no período: ( que pode ser positivo, negativo ou nulo)
A taxa real de juros ( indicada por ) é a o ganho real expresso como porcentagem do capital corrigido, isto é:
	
Simplificando teremos:
	
	 e portanto chegamos ao resultado:
	 ( conhecida como Fórmula de Fischer para a taxa real)
Exemplo:
Em um certo ano um fundo de investimento rendeu 12% enquanto que a inflação no mesmo período foi de 6%. Qual a taxa real?Temos,
	
5.EMPRÉSTIMOS COM JUROS E CORREÇÃO MONETÁRIA
É uma modalidade de cálculo geralmente utilizada em empréstimos de longo prazo.
A ideia consiste em se calcular o valor ( ou valores ) a ser(em) pago(s) utilizando-se a taxa real de juros e corrigindo-se posteriormente o valor(es) a ser(em) pago(s) com a taxa de correção monetária contada da data do recebimento do empréstimo até a data de pagamento.
Exemplo:
Um empréstimo de R$150 000,00 feito a uma empresa, pelo prazo de 2 anos, tem as seguintes características contratuais: pagamento único com juros compostos à taxa de 8%a.a ( taxa real) + correção monetária pelo IGP acumulado no período.
a)Qual o montante antes da correção?
b)Qual o montante corrigido supondo que o IGP acumulado no período seja 15,4%?
Temos:
a)
b)Montante corrigido: 
6.TAXA SELIC - LETRAS FINANCEIRAS DO TESOURO (LFT´s) e NOTAS DO TESOURO NACIONAL ( NTN´S - PRINCIPAL)
Taxa Selic é a taxa referencial de juros da economia no Brasil.
E a taxa com que o BC empresta dinheiro (ou toma dinheiro emprestado) aos bancos diariamente com garantia de títulos públicos.
É dada ao ano ( ano de 252 dias uteis - taxa over anual).
As LFT´s ( Letras Financeiras do Tesouro) hoje chamadas de Tesouro Selic, são títulos públicos que rendem diariamente a taxa Selic.
As NTN´s Principal ( hoje chamadas de Tesouro IPCA) são títulos que rendem juros reais com taxa anunciada no momento da compra mais correção monetária pelo IPCA entre a data de compra e a de resgate.
Chamando de a taxa de inflação entre a data da emissão do título e a data da compra e de a taxa real anual estipulada na data da compra, então, conforme veremos em aula, o preço do título é dado por:
		 
em que é o prazo em anos desde a compra até o vencimento do título.
O valor final de resgate é o valor de 1 000 corrigido monetariamente pelo total do IPCA entre a data de emissão e de vencimento do título.
7. ESTRUTURA A TERMO DAS TAXAS DE JUROS ´TAXA FORWARD
 A estrutura a termo das taxas de juros descreve a relação entre as taxas ( em geral anuais) e os correspondentes prazos de vencimento. Costuma ser expressa em forma de gráfico em que no eixo x aparecem os prazos de vencimento e no eixo y as correspondentes taxas de juros.
Dadas duas taxas de juros, por exemplo 10%aa para vencimento de 2 anos e de 8% para aplicações com vencimento em 1 ano, a taxa a termo para o segundo ano, é a taxa anual que iguala os montantes em 2 anos quando um mesmo capital C é aplicado com a taxa de 10%aa em 2 anos com as taxas de 8%aa em 1 ano e taxa no segundo. Isto é:
		 e portanto,
 
EXERCÍCIOS
1)Em abril o preço médio de uma cesta básica foi R$567,00 e em maio o preço médio passou a R$570,00. Qual a taxa de inflação de maio?
Resp: 0,53%
2)Em janeiro , fevereiro e março as taxas de inflação foram: 0,76%, 0,45% e 0,6%. Qual a taxa acumulada no período?
Resp: 1,82%
3)Uma taxa de inflação de 1%a.m. acumula que taxa em 12 meses?
Resp: 12,68%
4)Uma taxa de inflação de 2%a.m. acumula que taxa em 12 meses?
Resp: 26,82%
5)Qual taxa mensal constante de inflação que acumula 5% em 10 meses?
Resp: 0,49%
6)Qual taxa mensal constante de inflação que acumula 6,5% em 12 meses?
Resp: 0,53%
7)Um investidor aplicou R$5 000,00 e recebeu um ano depois um montante de R$6 000,00. No mesmo período a taxa de inflação foi de 12%
a)Qual a taxa anual de juros recebida?
b)Qual a taxa real anual?
c)Qual o ganho real no período?
Resp: a)20%a.a.	b)7,14%a.a.	c)R$400,00
8)Um investidor aplicou R$20 000,00 em um fundo de renda fixa e recebeu dois anos depois um montante de R$23 000,00. No primeiro ano a taxa de inflação foi de 6,5% e no segundo foi de 6%.
a)Qual a taxa real no período ( biênio)
b)Qual o ganho real no biênio?
Resp: a)1,87%a.b	b)R$422,00
9)O que significa um investidor ter um ganho real nulo em um período de aplicação?
10)Um investidor aplicou R$80 000,00 em uma carteira de ações, reaplicou os dividendos recebidos nas ações dessa carteira mas, um ano depois, diante da queda da bolsa e necessitando de dinheiro vendeu a carteira por R$60 000,00. No mesmo período a taxa de inflação foi de 15%.
a)Qual a taxa real da aplicação?
b)Qual a perda real?
Resp: a) - 34,78%	b)R$32 000,00
11)Um investidor adquiriu uma LFT por R$2 879,34.Supondo que em cada um dos próximos dias a taxa Selic esteja em 10%aa ( taxa over anual):
a)Qual o valor da LFT 1 dia útil depois?
b)Qual o valor da LFT 2 dias uteis depois?
c)Qual o valor da LFT 25 dias uteis depois?
Resp: a)R$2 880,43 b)R$2 881,52 c)R$2 906,69
12)Uma NTN Principal, com prazo de vencimento de 15 anos, foi adquirida 3 anos após a emissão a uma taxa real de 5%aa.Considerando que o IPCA acumulado nestes 3 anos foi de 19%
a)Qual o preço pago na compra do título.
b)Qual o valor final de resgate no vencimento supondo que a taxa acumulada de inflação da data da compra até a de resgate seja 75%?
Resp: a)R$662,64 b)R$2 082,50
13)Suponha que a taxa de juros para aplicações de 2 anos seja 12,5%aa e a taxa para aplicações de 1 ano seja 11%aa. Calcule a taxa forward ( taxa a termo) para o 2º ano.
Resp: 14,02%aa
14)Dada a tabela abaixo de rendimento de títulos em função do prazo de aplicação, calcule as taxas forward para o 2º, 3º e 4º anos .
	Prazo de aplicação
	Taxa anual
	1 ano
	7%
	2 anos
	7,6%
	3 anos
	8,5%
	4 anos
	10,2%
CAPÍTULO 6
VALOR ATUAL E TAXA INTERNA DE RETORNO
Prof. Samuel Hazzan
1.VALOR ATUAL OU PRESENTE
Consideremos um conjunto de valores monetários nas datas e uma taxa de juros (expressa na mesma unidade de tempo das datas). Chamamos de valor atual na data 0 (ou valor presente do conjunto) à soma dos valores atuais dos valores monetários , isto é, indicando por o valor atual , então:
	
Em outras palavras, o valor atual é o valor que aplicado na data 0 gera os valores nas datas .
Caso haja um valor monetário na data 0, como seu valor atual é o próprio , o valor atual do conjunto deve incorporar também esse valor.
Exemplo:
Um executivo pretende ter rendas de R$90 000,00 , R$120 000,00 e R$120 000,00 daqui a 1, 2 e 3 anos respectivamente. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de 10%a.a. para atingir seu objetivo?
 
			 90 000 120 000 120 000
		0	 1		 2		 3
O valor procurado é o valor atual dessas rendas à taxa de 10%a.a, isto é:
	
Resolução pela calculadora financeira HP12C:
Outro modo:
.
2.ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE PAGAMENTO PELO VALOR ATUAL
Quando o comprador dispõe de duas ou mais alternativas de pagamento e consegue aplicar seus recursos à taxa , a melhor alternativa de pagamento é a de menor valor atual, calculado à taxa .
Exemplo:
Se um comprador consegue aplicar seu dinheiro à 1%a.m. qual sua melhor alternativa de pagamento:
I)Comprar um carro em 12 prestações mensais de R$3 000,00 cada sem entrada ou 
II)Comprar o mesmo carro em 24 prestações de R$1 570,00 cada sem entrada
Temos:
a)Valor atual da alternativa I:
b)Valor atual da alternativa II:
Portanto, a melhor alternativa é a II pois tem menor valor atual.
3.TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
Consideremos um empréstimo feito na data 0 com múltiplos pagamentos nas datas . A taxa interna de retorno do empréstimo ou taxa e juros do empréstimo, é a taxa de juros que iguala o valor atual dos pagamentos com o valor do empréstimo.
De modo análogo, consideremos um investimento convencional simples em que há uma saída de caixa na data 0 e entradas de caixa nas datas .
A taxa de juros não negativa que iguala o valor atual das entradas de caixa com o investimento inicial é chamada de taxa interna de retorno do investimento.
· Se a TIR de um investimento convencional for maior que a taxa mínima de atratividade, o projeto deve ser aceito.
· Se a TIR de um investimento convencional for menor que a taxa mínima de atratividade, o projeto não deve ser aceito.
De um modo mais geral, quando tivermos um investimento empresarial não convencional simples, a taxa interna de retornoé a taxa de juros não negativa que iguala o valor atual das entradas de caixa com o valor atual das saídas.
Exemplo:
Em um empréstimo bancário, os fluxos de caixa do ponto de vista do banco são dados abaixo em milhares de reais. Qual a TIR?
			 50			70			80
0		 1		 2			 3 (meses)
 190
Resolução pela calculadora HP12C
EXERCÍCIOS
1)Uma construtora prevê pagamentos de pagamentos de R$2 000 000,00 , R$2 500 000,00 e R$3 000 000,00 daqui a um, dois e três anos respectivamente. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de 8%a.a para fazer frente aos pagamentos?
Resp: R$6 376 695,63
2)Um executivo pretende ter 10 rendas mensais de R$7 000,00 cada, começando daqui a 3 meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de 0,8%a.m. para atingir seu objetivo?
Resp: R$65 956,53
3)Um conjunto de sofás é vendido por R$1 000,00 de entrada mais 4 prestações mensais de R$700,00 cada.
Se um comprador consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,5%a.m. quanto deverá dispor hoje para fazer frente aos pagamentos?
Resp: R$3 698,07
4)Resolva o exercício anterior supondo que haja 5 prestações mensais de R$700,00 cada.
Resp: R$4 347,85
5)Cada unidade de um produto é encontrada no mercado de acordo com as seguintes condições de pagamento:
Alternativa I)Três parcelas mensais de R$1 800,00 cada, sendo a primeira dada como entrada
Alternativa II)Quatro parcelas mensais de R$1 400,00 cada, sendo a primeira um mês após a compra.
Qual a melhor alternativa de pagamento de um comprador que aplica seus recursos à taxa de 0,9%a.m.?
Resp: Alternativa I
6)Um microcomputador é encontrado a venda mediante as seguintes condições de pagamento:
I)à vista por R$4 100,00
II)Duas parcelas mensais de R$2 100,00 cada sem entrada
III)Três parcelas mensais de R$1 760,00 cada, sendo a primeira como entrada.
Qual a melhor forma de pagamento de um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 3%a.m.?
Resp: Alternativa II 
7)Certa matéria prima é vendida em 3 parcelas mensais iguais sem acréscimo, sendo a primeira um mês após a compra ou à vista com 2% de desconto sobre o preço anunciado.
Qual a melhor alternativa de pagamento de um comprador que consegue aplicar seus recursos à taxa de 1%a.m.?
Resp :À vista
8)Um empréstimo bancário de R$40 000,00 deve ser pago da seguinte forma:
R$12 000,00 após 1 mês
R$14 000,00 após 2 meses e
R$R$16 000,00 após 4 meses
Qual a taxa interna de retorno ( taxa de juros) do empréstimo?
Resp: 2%a.am.
9)Um empréstimo de R$250 000,00 deve ser pago em 4 prestações mensais de R$80 000,00 cada sendo a primeira 4 meses após a liberação do crédito. Qual a taxa interna de retorno ( taxa de juros) do empréstimo?
Resp: 4,61%a.m.
10)Uma matéria prima é vendida por R$600,00 o quilograma, em 3 parcelas mensais iguais sem acréscimo, sendo a primeira um mês após a compra ou à vista com 5% de desconto sobre o preço anunciado. Qual a taxa de juros do financiamento?
Resp: 2,61%a.m.
CAPÍTULO 7
SEQUÊNCIAS UNIFORMES
Prof. Samuel Hazzan
1.VALOR ATUAL DA SEQUÊNCIA UNIFORME
Sequência uniforme é uma sequência de valores monetários iguais nas datas .
Seja cada um desses valores. Calculemos o valor atual dessa sequência.
		 R		 R		 R ... R
		 
 0		 1		 2	 3 ... 		 n
Temos;
	
O segundo membro desta fórmula é a soma de uma progressão geométrica (PG) finita cujo primeiro termo é e cuja razão é . Aplicando a fórmula da soma da PG finita , obteremos, após simplificação, para o valor:
		
No caso da sequência ser formada por rendas, o valor atual é o valor que aplicado na data 0 gera as rendas.
No caso da sequência ser formada por prestações, o valor atual é o capital emprestado na data 0 correspondente às prestações.
A calculadora financeira HP12C permite encontrar os valores dessa fórmula mediante a seguinte notação:
Tecla representa o número de valores da sequência
Tecla representa a taxa de juros
Tecla representa o valor atual .
Tecla ( de payment) representa o valor .
Exemplo:
Um automóvel é vendido à vista por R$40 000,00 ou a prazo em 24 prestações mensais iguais sem entrada. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros for 2%a.m.?
Temos:
	
	 Logo:
	
	 .
Resolução pela calculadora financeira:
A pequena diferença de centavos se deve a arredondamentos. Observemos ainda que, o sinal negativo de se deve ao fato de a prestação ser para o comprador uma saída de caixa.
A fórmula dada considera que a 1ª prestação seja paga um período após a compra e para que isto seja considerado nas teclas financeiras, a calculadora deverá estar no modo ( acionando as teclas ).
Caso a primeira prestação esteja na data 0, a fórmula deduzida deverá ser aplicada com as (n-1) prestações restantes e o valor atual encontrado deverá ser adicionado à prestação da data 0.Nesse caso ao utilizarmos as teclas financeiras devemos posicionar a calculadora no modo ( acionando as teclas ), e aparecerá no visor a palavra .
Caso utilizemos o modo desaparecerá o do visor.
2.MONTANTE DA SEQUÊNCIA UNIFORME
Consideremos uma sequência uniforme de depósitos iguais a nas datas .
Cada depósito será aplicado a juros compostos da data considerada até a data final .
À soma dos montantes de cada depósito denominamos de montante da sequência uniforme.
Assim,
	
O segundo membro da relação acima é a soma de uma PG finita em que .
Aplicando a fórmula da soma da PG finita obteremos:
	
A calculadora financeira HP12C permite calcular, através das teclas financeiras, qualquer elemento da fórmula acima através da seguinte notação:
Tecla representa o número de valores da sequência
Tecla representa a taxa de juros
Tecla ( de payment) representa o valor .
Tecla representa o montante 
A fórmula é compatível com o modo das teclas financeiras.
Exemplo:
Um executivo aplica mensalmente R$5 000,00 em um fundo que rende 0,75%a.m., durante 40 meses. Qual seu montante logo após ter feito o último depósito?
Temos:
	
Resolução pelas teclas financeiras:
EXERCÍCIOS
1)Um automóvel é vendido por R$38 000,00 à vista ou a prazo em 36 prestações mensais iguais sendo a primeira um mês após a compra .Sabendo que a taxa de juros cobrada é 2%a.m.
a)Qual o valor de cada prestação se não houver entrada?
b)Qual o valor de cada prestação se houver uma entrada igual a 20% do preço à vista?
Resp: a) R$1 490,85		b)R$1 192,68
2)Um automóvel usado é vendido em 12 prestações mensais de R$1 800,00 cada sem entrada. Qual o preço à vista sabendo que a taxa usada no financiamento foi 2%a.m.?
Resp: R$19 035,61
3)Um eletrodoméstico é vendido à vista por R$620,00 ou a prazo em n prestações mensais iguais sem entrada. Se a taxa de juros for de 5%a.m. qual o valor de cada prestação nos seguintes casos:
a)n = 12	b)n = 18 	c)n = 24
Resp: a)R$69,95	b)R$53,04	c)R$44,93
4)Um armário embutido é vendido por R$800,00 de entrada mais 5 prestações mensais de R$1 000,00 cada. Qual o preço à vista sabendo que a taxa usada no financiamento foi de 3%a.m.?
Resp: R$5 379,71
5)No exercício anterior, se houvesse 6 prestações mensais iguais fora a entrada, qual o valor de cada prestação?
Resp: R$845,40
6)Um fogão é vendido a prazo em 5 prestações mensais de R$250,00 cada , sendo a primeira dada como entrada. Qual o preço à vista se a taxa de juros do financiamento for 4%a.m.?
Resp:R$1 157,47
7)Um microcomputador é vendido por R$2 500,00 à vista ou a prazo em 4 prestações mensais iguais, sendo a primeira dada como entrada. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros for 1,8%a.m.?
Resp: R$641,82
8)Uma calculadora é vendida por R$300,00 em 3 prestações mensais iguais sem acréscimo, sendo a primeira dada como entrada. Para pagamento à vista há um desconto de 5% sobre o preço anunciado. Qual a taxa mensal de juros do financiamento?
Resp: 5,36%a.m.
9)Um empréstimo de R$80 000,00 deve ser pago em 12 prestações mensais de R$9 600,00 cada, sendo a primeiraum mês após o recebimento do empréstimo. Qual a taxa mensal de juros?
Resp: 6,11%a.m.
10)Chama-se coeficiente de um financiamento em prestações uniformes ao número que multiplicado pelo valor financiado dá a prestação. Na compra de um carro o coeficiente apresentado para 15 prestações mensais iguais sendo a primeira um mês após a compra foi 0,0772. Qual a taxa de juros que está sendo cobrada?
Resp: 1,89%a.m.
11)Um empréstimo de R$7 000,00 deve ser pago em 4 prestações mensais iguais sendo a primeira 5 meses após o recebimento do empréstimo. Qual o valor de cada prestação sabendo que a taxa de juros cobrada foi de 3%a.m.
Resp: 2 119,55
12)Uma televisão é vendida à vista por R$1 700,00 ou a prazo em 5 prestações mensais iguais sem entrada, sendo a primeira 3 meses após a compra. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros for de 1,9%a.m.?
Resp: R$373,42
13)Alberto deposita mensalmente R$1 900,00 , durante 36 meses, em um fundo que rende 0,76%a.m.
a)Qual seu montante logo após o último depósito?
b)Qual seu montante 6 meses após efetuar o último depósito?
Resp: a)R$78 332,39		b)R$81 972,90
14)Um executivo prevendo a complementação de sua aposentadoria, resolve fazer 240 depósitos mensais de R$500,00 ( expresso em termos reais) cada em um fundo que rende uma taxa real de 0,5%a.m.
Qual seu montante, em termos reais após o último depósito?
Resp: R$231 020,45
15)Em relação ao exercício anterior, se ele sacar x reais por mês desse fundo, durante 240 meses até esgotar seu saldo, qual o valor de x sabendo que o primeiro saque é feito um mês após o último depósito?
Considere os saques também expressos em termos reais.
Resp: R$1 655,10
32
n
)
1
(
1
i
C
Ci
C
M
+
=
+
=
2
1
1
1
2
)
1
(
)
1
(
i
C
i
M
i
M
M
M
+
=
+
=
+
=
3
2
2
2
3
)
1
(
)
1
(
i
C
i
M
i
M
M
M
+
=
+
=
+
=
n
n
i
C
M
)
1
(
+
=
i
n
i
C
M
)
1
(
+
=
n
i
PV
C
FV
PMT
f
FIN
CLEAR
f
M
REG
CLEAR
16
,
492
8
)
01
,
1
(
000
8
)
01
,
0
1
(
000
8
6
6
=
=
+
=
M
16
,
492
8
000
8
1
6
-
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
FV
PV
i
n
05
,
1
)
1
(
)
1
(
000
4
200
4
4
4
=
+
+
=
i
i
4
1
[
]
[
]
25
,
0
1
4
1
4
1
4
)
05
,
1
(
)
1
(
05
,
1
)
1
(
=
+
=
+
i
i
.
.
%
23
,
1
0123
,
0
1
)
05
,
1
(
25
,
0
m
a
i
=
=
-
=
%
23
,
1
200
4
000
4
4
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
i
FV
PV
CHS
n
CHS
J
C
M
+
=
PV
CHS
000
4
n
5
,
3
=
n
75
,
987
6
5
,
0
)
10
,
0
(
6655
655
6
655
6
)
10
,
1
(
000
5
2
3
1
=
+
=
=
=
M
M
82
,
979
6
)
10
,
1
(
000
5
5
,
3
=
=
M
STO
EEX
i
1
1
)
1
(
i
C
M
+
=
12
2
)
03
,
1
(
C
M
=
i
C
J
.
=
.
.
%
58
,
42
4258
,
0
1
)
03
,
1
(
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03
,
1
(
)
1
(
12
12
a
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C
i
C
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-
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=
+
12
1
)
1
(
i
C
M
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1
2
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20
,
1
(
C
M
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20
,
1
)
1
(
)
20
,
1
(
)
1
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12
1
12
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+
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C
i
C
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[
]
.
.
%
53
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1
0153
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0
0153
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1
1
20
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1
)
1
(
12
1
12
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12
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i
i
i
=
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+
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+
R
n
R
1
-
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C
M
i
n
V
R
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V
n
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)
1
(
n
i
R
V
)
1
(
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80
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411
19
)
01
,
1
(
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20
3
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V
C
1
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2
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3
i
n
i
1
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-
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C
M
C
C
M
C
J
i
)
1
(
1
1
1
i
C
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C
M
+
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+
=
)
1
)(
1
(
)
1
(
2
1
2
1
2
1
1
2
i
i
C
i
M
i
M
M
M
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+
=
+
=
+
=
)
1
)(
1
)(
1
(
)
1
(
3
2
1
3
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3
2
2
3
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i
i
C
i
M
i
M
M
M
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+
+
=
+
=
+
=
)
1
(
...
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1
)(
1
)(
1
(
3
2
1
n
n
i
i
i
i
C
M
+
+
+
+
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83
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235
10
)
0077
,
1
)(
0072
,
1
)(
0085
,
1
(
000
10
=
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M
.
.
%
36
,
2
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,
0
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000
10
83
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235
10
t
a
i
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-
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.
.
%
2
12
%
24
m
a
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97
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02
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1
(
000
6
6
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M
0
p
1
p
180
)
015
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0
.(
000
12
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J
j
1
0
1
0
0
1
-
=
-
=
p
p
p
p
p
j
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1
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,
0
1
400
404
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-
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j
1
j
2
j
AC
j
1
0
2
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p
p
j
AC
1
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1
2
0
1
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p
p
p
p
j
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0
1
0
1
1
1
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j
p
p
p
p
j
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2
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p
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Þ
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12
180
000
12
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M
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1
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1
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+
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j
j
j
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j
j
j
j
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,
,
3
2
1
1
)
1
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...
)
1
)(
1
)(
1
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2
1
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+
+
+
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n
AC
j
j
j
j
j
%
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3
0344
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0
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,
1
)(
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,
1
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1
(
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-
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AC
AC
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j
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1
(
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1
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j
C
C
j
C
M
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+
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.
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05
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0
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20
000
21
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M
M
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M
M
M
r
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1
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-
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M
M
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1
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1
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1
j
C
i
C
M
M
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j
i
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+
1
1
1
.
.
%
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5
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0
1
12
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0
1
1
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a
r
r
=
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Þ
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+
=
+
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174
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08
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1
(
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150
2
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M
84
,
903
201
)
154
,
1
(
960
174
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j
C
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n
j
V
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+
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+
n
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2
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2
(1,10)
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1,08
ffaa
+=Þ==
234
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ffef
n
R
R
R
R
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,
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3
2
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...,
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3
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2
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n
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R
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R
i
R
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1
(
...
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1
(
)
1
(
)
1
(
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3
2
2
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
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0
R
0
R
51
,
149
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)
10
,
1
(
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120
)
10
,
1
(
000
120
)
10
,
1
(
000
90
3
2
1
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+
+
=
V
51
,
149
271
10
000
120
000
120
000
90
0
0
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Þ
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ï
ï
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ï
ï
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ì
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CF
g
CF
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j
j
51
,
149
271
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120
000
90
0
0
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Þ
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
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ì
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i
N
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CF
g
CF
g
CF
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j
j
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3
0
0
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Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
NPV
f
i
N
g
CF
g
CF
g
j
j
12
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1
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1
0
0
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Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
NPV
f
i
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g
CF
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3
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2
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1
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.
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CF
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1
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1
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1
(
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1
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+
+
+
+
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)
1
(
1
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1
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1
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ê
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1
(
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.
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a
i
n
V
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ú
û
ù
ê
ë
é
-
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02
,
0
.
)
02
,
1
(
1
)
02
,
1
(
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40
24
24
R
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]
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,
18
000
40
R
=
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2
9139
,
18
000
40
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R
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2
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Þ
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ï
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PV
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7
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+
+
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-
...
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1
(
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1
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1
1
)
1
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1
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Ci
Ci
Ci
Ci
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+
+
+
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M
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232
232
0075
,
0
1
)
0075
,
1
(
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5
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ù
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ë
é
-
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M
41
,
232
232
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40
-
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Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
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J
880
14
880
2
000
12
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+
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M
27
,
060
1
86
)
365
30
,
0
(
000
15
=
=
J
00
,
075
1
86
)
360
30
,
0
(
000
15
=
=
J
33
,
133
200
33
,
133
1
)
30
02
,
0
(
000
200
=
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M
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J
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n
D
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02
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0
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12
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11
720
000
12
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V
t
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.
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38
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11
000
12
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.
.
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13
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2
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38
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11
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000
12
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-
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.
.
%
33
,
7
1
180
11
000
12
t
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-
=
800
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200
000
5
200
2
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5
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-
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V
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580
6
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000
7
420
3
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02
,
0
(
000
7
=
-
=
=
=
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B
V
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D
616
7
384
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8
384
30
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)
02
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0
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000
8
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liqC
C
V
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7
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4
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C
i