Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, a`s 17:40 Exercı´cios Resolvidos de Fı´sica Ba´sica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica, Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal da Paraı´ba (Joa˜o Pessoa, Brasil) Departamento de Fı´sica Baseados na SEXTA edic¸a˜o do “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Contents 37 As Equac¸o˜es de Maxwell – [Capı´tulo 37, pa´gina 316] 2 37.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 37.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 37.2.1 As Equac¸o˜es de Maxwell: Uma Lista Proviso´ria – (1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 37.2.2 Campos Magne´ticos Induzidos – (3/5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 37.2.3 Corrente de Deslocamento – (6/15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 37.2.4 Equac¸o˜es de Maxwell: a Lista Completa – (16/20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jasongallas @ yahoo.com (sem “br” no final...) (listaq3.tex) http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Pa´gina 1 de 5 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, a`s 17:40 37 As Equac¸o˜es de Maxwell – [Capı´tulo 37, pa´gina 316] 37.1 Questo˜es Q 37-3. Por que e´ ta˜o fa´cil mostrar que “um campo magne´tico varia´vel produz um campo ele´trico”, mas e´ ta˜o difı´cil mostrar de um modo simples que “um campo ele´trico varia´vel produz um campo magne´tico”? I Porque os campos magne´ticos devidos a campos ele´tricos varia´veis sa˜o extremamente fracos. Isto deve- se ao coeficiente µ0�0 ≡ 1c2 do termo dΦE/dt na lei de Ampe`re-Maxwell ser muito pequeno em relac¸a˜o ao outro termo da equac¸a˜o. A constante c representa a ve- locidade da luz. 37.2 Problemas e Exercı´cios 37.2.1 As Equac¸o˜es de Maxwell: Uma Lista Pro- viso´ria – (1/2) E 37-1. Verifique o valor nume´rico da velocidade escalar da luz usando a Eq. 37-1 e mostre que a equac¸a˜o esta´ dimen- sionalmente correta. (Veja o Apeˆndice B.) I No Apeˆndice B, pa´g. 321, encontramos que µ0 = 1.256 637 061 43× 10−6 H/m, ε0 = 8.854 187 817 62× 10−12 F/m. Portanto, c = √ 1 µ0�0 = 2.997 935× 108 m/s. O Apeˆndice B informa que o valor experimental de c e´ c = 2.997 924 58× 108 m/s. Na˜o deixe de fazer a ana´lise dimensional pedida! E 37-2. (a) Mostre que √ µ0/�0 = 377 Ω. (Esta grandeza e´ chamada de “impedaˆncia do va´cuo”.) (b) Mostre que a frequ¨eˆncia angular correspondente a 60 Hz e´ igual a 377 rad/s. (c) Compare os itens (a) e (b). Voceˆ acha que esta coincideˆncia tenha influido ma escolha de 60 Hz para os geradores de corrente alternada? Lembre-se de que na Europa usam 50 Hz. I (a)√ µ0 �0 = √ 1.256 637 061 43× 10−6 H/m 8.854 187 817 62× 10−12 F/m = 376.730 Ω. (b) f60 = 2pi ω = 2pi 60 = 376.991 Hz. Por outro lado, f50 = 314.159 Hz. (c) Espac¸o reservado para sua resposta: 37.2.2 Campos Magne´ticos Induzidos – (3/5) E 37-3. Para a situac¸a˜o do Exemplo 37-1, quais as possı´veis distaˆncias onde o campo magne´tico induzido se reduz a` metade do seu valor ma´ximo? I Seja R o raio da placa do capacitor e r a distaˆncia a partir do eixo do capacitor. Para pontos tais que r ≤ R a magnitude do campo magne´tico e´ dada por B(r) = µ0�0r 2 dE dt enquanto que para r ≥ R ela e´ dada por B(r) = µ0�0R 2 2r dE dt . O campo magne´tico ma´ximo ocorre nos pontos em que r = R sendo enta˜o seu valor dado por qualquer uma das fo´rmulas acima: Bmax = µ0�0R 2 dE dt . Existem dois valores de r para os quais B(r) = Bmax/2: um menor do que R e um maior. O valor http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Pa´gina 2 de 5 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, a`s 17:40 menor do que R pode ser encontrado resolvendo-se em termos de r a equac¸a˜o B(r) = µ0�0r 2 dE dt = µ0�0R 4 dE dt ( ≡ Bmax 2 ) . O resultado e´ r = R/2 = 55/2 = 27.5 mm. O valor que e´ maior do que R e´ obtido resolvendo-se para r a equac¸a˜o B(r) = µ0�0R 2 2r dE dt = µ0�0R 4 dE dt . O resultado e´ r = 2R = 2× 55 = 110 mm. 37.2.3 Corrente de Deslocamento – (6/15) E 37-6. Prove que a corrente de deslocamento num capacitor de placas paralelas pode ser escrita como id = C dV dt . I A corrente de deslocamento e´ dada por id = �0A dE dt , onde A e´ a a´rea de uma das placas e E e´ a magnitude do campo ele´trico entre as placas. O campo entre as placas e´ uniforme, de modo que E = V/d, onde V e´ a diferenc¸a de potencial entre as placas e d e´ a separac¸a˜o das placas. Portanto id = �0A d dV dt = C dV dt , uma vez que �0A/d e´ a capacitaˆncia C de um capacitor de placas paralelas “cheio de va´cuo”. E 37-7. Dispo˜e-se de um cacitor de placas paralelas de 1 µF. Como seria possı´vel obter uma corrente de desloca- mento (instantaˆnea) de 1 A no espac¸o entre as placas? I Para tanto basta variar o potencial entre as placas a uma taxa de dV dt = id C = 1 A 10−6 F = 106 V/s. E 37-8. Para a situac¸a˜o do Exemplo 37-1, mostre que a densi- dade de corrente de deslocamento Jd para r ≤ R, e´ dada por Jd = �0 dE dt . I Considere uma a´rea A, normal a um campo ele´trico E. A densidade de corrente de deslocamento e´ uniforme e normal a` a´rea. Sua magnitude e´ dada por Jd = id/A. Nesta situac¸a˜o temos id = �0A dE dt , de modo que Jd = 1 A �0A dE dt = �0 dE dt . P 37-14. Em 1929, M.R. Van Cauwenberghe conseguiu medir diretamente, pela primeira vez, a corrente de desloca- mento id entre as placas de um capacitor de placas par- alelas, submetido a uma diferenc¸a de potencial alter- nada, como esta´ sugerido na Fig. 37-1. Ele usou pla- cas circulares cujo raio efetivo era de 40 cm e cuja capacitaˆncia era de 100 pF. A diferenc¸a de potencial aplicada tinha um valor ma´ximo Vm de 174 kV na frequ¨eˆncia de 50 Hz. (a) Qual foi a corrente de deslo- camento ma´xima obtida entre as placas? (b) Por que foi escolhida uma diferenc¸a de potencial ta˜o elevada? (A delicadeza destas medidas e´ tal que elas so´ foram real- izadas diretamente mais de 60 anos depois de Maxwell ter enunciando o conceito de corrente de deslocamento!) I (a) Use os resultados do Exercı´cio 37-6, com V = Vm sin(2pift). A derivada em relac¸a˜o ao tempo e´ dV/dt = 2pifVm cos(2pift), de modo que id = 2pifCVm cos(2pift), sendo a corrente de deslocamento ma´xima dada por id max = 2pifCVm = 2pi(50)(100× 10−12)(174× 103) = 5.47× 10−3A. (b) A corrente de deslocamento ma´xima e´ diretamente proporcional a` ma´xima diferenc¸a de potencial aplicada. Um valor grande de Vm produz um valor de id max mais facilmente mensura´vel do que com Vm menor. P 37-15. O capacitor na Fig. 37-8 consistindo em duas placas cir- culares de raio R = 18 cm esta´ ligado a uma fonte de fem E = Em senωt, onde Em = 220 V e ω = 130 rad/s. O valor ma´ximo da corrente de deslocamento e´ http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Pa´gina 3 de 5 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, a`s 17:40 id = 7.6 µA. Despreze a distorc¸a˜o do campo ele´trico nas bordas das placas. (a) Qual e´ o valor ma´ximo da corrente i? (b) Qual e´ o valor ma´ximo de dΦE/dt, onde ΦE e´ o fluxo ele´trico na regia˜o entre as placas? (c) Qual e´ a separac¸a˜o d entre as placas? (d) Determine o valor ma´ximo do mo´dulo deB entre as placas a uma distaˆncia r = 11 cm do centro. I (a) Para qualquer instante t, a corrente de desloca- mento id existente no espac¸o entre as placas e´ iguala` corrente conduc¸a˜o i nos fios. Portanto Imax = id max = 7.6µA. (b) Como id = �0(dΦE/dt),(dΦE dt ) max = id max �0 = 7.6× 10−6 A 8.85× 10−12 F/m = 8.59× 105 V·m/s. (c) De acoˆrdo com o Exercı´cio 37-6 id = �0A d dV dt . Na situac¸a˜o em questa˜o, a diferenc¸a de potencial atrave´s do capacitor coincide em magnitude com a fem do gerador, de modo que V = Em senωt e dV/dt = ωEm cosωt. Portanto id = �0AωEm d︸ ︷︷ ︸ ≡ id max cosωt. donde se tira facilmente que d = �0AωEm id max = (8.85× 10−12) pi (0.18)2(130)(220) 7.6× 10−6 = 3.39× 10−3 m, onde usamos o fato que A = piR2. (d) Use a lei de Ampe`re-Maxwell na forma ∮ B · ds = µ0Id, onde o caminho de integrac¸a˜o e´ um cı´rculo de raio r entre as placas, paralelo a elas. Id e´ a corrente de deslocamento atrave´s da a´rea limitada pelo cam- inho de integrac¸a˜o. Como a densidade da corrente de deslocamento e´ uniforme entre as placas, temos Id = (r2/R2)id, onde id e´ a corrente de deslocamento to- tal entre as placas e R e´ o raio da placa. As linhas de campo sa˜o cı´rculos no eixo das placas, de modo que B e´ paralelo ao vetor ds. A magnitude do campo e´ constante ao longo da trajeto´ria circular, de modo que∮ B · ds = 2pirB. Logo, 2pirB = µ0 ( r2 R2 ) id dando B = µ0idr 2piR2 . O campo magne´tico ma´ximo e´ dado por Bmax = µ0id max r 2piR2 = (4pi × 10−7)(7.6× 10−6)(0.11) 2pi(0.18)2 = 5.16× 10−12 T. 37.2.4 Equac¸o˜es de Maxwell: a Lista Completa – (16/20) P 37-20. Uma longa barra cilı´ndrica condutora, de raio R, esta´ centrada ao longo do eixo x como mostra a Fig. 37-11. A barra possui um corte muito fino em x = b. Uma corrente de conduc¸a˜o i, aumentando no tempo e dada por i = αt, percorre a barra da esquerda para a dire- ita; α e´ uma constante de proporcionalidade (positiva). No instante t = 0 na˜o existe cargas nas faces do corte pro´ximo a x = b. (a) Determine o mo´dulo da carga nes- sas faces em func¸a˜o do tempo. (b) Use a Eq. I da Tabela 37-2 para determinar E no intervalo entre as faces em func¸a˜o do tempo. (c) Esboce as linhas deB para r < R, onde r e´ a distaˆncia ao eixo x. (d) Use a Eq. IV da Tabela 37-2 para determinar B(r) no intervalo entre as faces para r ≤ R. (e) Compare a resposta do item (d) com B(r) na barra para r ≤ R. I (a) No instante t a carga na face direita e´ dada por q = ∫ t 0 i dt = ∫ t 0 αt dt = 1 2 αt2. Para o mesmo instante, o valor da carga na face esquerda e´ −αt2/2. (b) Use uma superfı´cie Gaussiana com a forma de um cilindro, conceˆntrica com a barra condutora, com um extremo dentro do intervalo onde existe o corte e o outro dentro da barra a` esquerda do corte, (conforme ilustrado na figura a` direita). O campo ele´trico esta´ na direc¸a˜o positiva do eixo x de modo que precisamos apenas con- siderar as faces do cilindro. A magnitude do campo ele´trico na face esquerda e´ dado por ρJ , onde ρ e´ a re- sistividade da barra e J e´ a densidade de corrente. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Pa´gina 4 de 5 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, a`s 17:40 Denotemos porE a magnitude do campo na face direita. Ale´m disto, suponhamos que a densidade de corrente e´ uniforme na face esquerda e que o campo ele´trico e´ uni- forme na face direita. Neste caso,∮ E · dA = −ρJA+ EA, onde A e´ a a´rea de uma das faces. No´s supomos ainda que a resistividade e´ ta˜o pequena que nos permita de- sprezar o termo acima no qual ela aparece. A lei de Gauss fica EA = Q/�0, onde Q e´ a carga na barra e dentro da superfı´cie Gaussiana. A a´rea da face do cilin- dro Gaussiano e´ A = pir2, onde r e´ o raio, e a carga englobada pela Gaussiana e´ Q = (r2/R2)q, onde q e´ a carga na face da barra. Portanto E = q pi�0R2 = αt2 2pi�R2 , onde o resultado obtido no item (a), q = αt2/2, foi us- ado. (c) As linhas de campo magne´tico formam cı´rculos que sa˜o conceˆntricos com o eixo da barra (eixo x), estando em planos paralelos a`s faces da barra. (d) Use a lei de Ampe`re-Maxwell:∮ B · ds = µ0i+ µ0�0 dΦE dt . Como caminho de integrac¸a˜o escolha um cı´rculo que coincida com uma linha de campo magne´tico. Suponha que o raio do caminho de integrac¸a˜o seja r (com r < R) e que B seja a magnitude do campo para pontos sobre o caminho. Enta˜o ∮ B · ds = B2pir. Na regia˜o do corte a corrente e´ zero e apenas a corrente de deslocamento con- tribui no lado direito da equac¸a˜o de Ampe`re-Maxwell. Como temos dΦE dt = A dE dt = pir2 αt pi�0R2 = αtr2 �0R2 , a equac¸a˜o de Ampe`re-Maxwell nos fornece B2pir = µ0�0 αtr2 �0R2 . Portanto B = µ0αtr 2piR2 . O campo magne´tico dentro da barra, a uma distaˆncia r do seu eixo, e´ dado exatamente pela mesma expressa˜o. Neste caso, somente a corrente de conduc¸a˜o contribui no lado direito da lei de Ampe`re-Maxwell. Tome o cam- inho de integrac¸a˜o como sendo um cı´rculo centrado no eixo e paralelo a`s faces da barra. A corrente atrave´s do cı´rculo e´ (r2/R2)i e a equac¸a˜o de Ampe`re-Maxwell fornece B2pir = µ0 r2 R2 i, de modo que B = µ0ir 2piR2 = µ0αtr 2piR2 , onde substituimos i por αt. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Pa´gina 5 de 5
Compartilhar