lista-eletro-2016

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Eletromagnetismo I
Professor: Renio dos Santos Mendes
Estagiária: Michely Rosseto
Horário de monitorias: Terças-feiras das 9:00 s 11:00 e as quartas-feiras das 13:30 s 15:30 (Sala 38 do bloco G-56).
Livro texto: Introdução Eletrodinâmica (Introduction to Electrodynamics), David J. Griffiths (3 ed.) - caṕıtulos 1, 2,
3, 4, 5 e 7.
Provas (novas datas): 08/12/2016 (ińıcio s 19:30 na sala 112 do bloco G56) e 09/02/2017 (ińıcio s 19:30 na sala 112
do bloco G56).
Exame (nova data): 16/02/2017 (ińıcio s 19:30 na sala 112 do bloco G56).
Esta lista está dividida por seções: i) Problemas de revisão, neste tópico vocês encontram problemas que abrangem
todo o conteúdo, de forma a revisar conceitos fundamentais. ii) Exemplos, vocês estudaram exerćıcios selecionados e
resolvidos pelo autor. iii) Problemas em geral, é posśıvel encontrar alguns problemas basicamente selecionados a partir
do livro texto.
Análise vetorial
Problemas de revisão
1. Produtos escalar e vetorial
a) Diga o significado geométrico do produto escalar.
b) Diga o significado geométrico do produto vetorial.
c) Diga o significado geométrico de A · (B×C).
d) Via um desenho, o mais básico do eletromagne-
tismo, ilustre o vetor posição relativa:
r− r′ = (x− x′)x̂+ (y − y′)ŷ + (z − z′)ẑ
2. Gradiente, divergente e rotacional
a) Diga o significado geométrico do gradiente.
b) Diga o significado geométrico do divergente.
c) Diga o significado geométrico do rotacional.
3. Teorema fundamental do cálculo
a) De maneira simplificada, enuncie o teorema funda-
mental do cálculo para funções de uma variável.
b) Apresente o teorema fundamental do cálculo para
integrais de linha. Faça um desenho ilustrativo.
c) Apresente o teorema da divergência (teorema de
Gauss). Faça um desenho ilustrativo.
d) Apresente o teorema de Stokes, juntamente com
um desenho ilustrativo.
e) Ilustre um tipo de integração por partes usando
funções com mais de uma variável.
4. Sistema de coordenadas
a) Discuta o que é um sistema de coordenadas carte-
sianas.
b) Defina coordenadas polares em termos das coorde-
nadas cartesianas.
c) Defina coordenadas ciĺındricas em termos das co-
ordenadas cartesianas.
d) Defina coordenadas esféricas em termos das coor-
denadas cartesianas.
e) Escreva alguns elementos infinitesimais de área em
coordenadas ciĺındricas e esféricas.
f) Escreva os elementos infinitesimais de volume em
coordenadas cartesianas, ciĺındricas e esféricas.
5. Delta de Dirac
a) Diga o que é a “função”delta de Dirac. Faça um
gráfico ilustrando-a.
b) Em termos da função delta de Dirac em uma di-
mensão, escreva a função delta de Dirac em três di-
mensões.
c) Explique como a função delta de Dirac pode ser
relacionada com a densidade de massa (ou carga) de
part́ıculas.
6. Algumas identidades
Considere o vetor separação rrr = r− r′
a) Mostre que ∇ 1|r−r′| = −
r−r′
|r−r′|3 .
1
b) Mostre que ∇ · r−r
′
|r−r′|3 = 0, se r ̸= r
′.
c) Use o teorema da divergência para argumentar que
∇ · r−r
′
|r−r′|3 = 4πδ
3(r− r′).
d) A partir desses resultados, conclua que
∇2 1|r−r′| = −4πδ
3(r− r′).
a) Qual a relação entre ∇×F = 0 ∀ r,
∫ b
a F · dl indepen-
dente da trajetória para quaisquer a e b,
∮
F · dl = 0
para qualquer circuito fechado e F = −∇V para algum
V ?
b) Qual a relação entre ∇ · F = 0 ∀r,
∫
S F · da é inde-
pendente da superf́ıcie S para qualquer fronteira de S,∮
F·da = 0 para qualquer superf́ıcie fechada e F = ∇×A
para algum A?
c) Dado um campo vetorial F, quando podemos es-
crever F = −∇V +∇×A para algum V e algum A?
d) O que é o teorema de Helmholtz?
Exemplos
Refaça todos os exemplos do caṕıtulo 1.
Problemas em geral
1. Produto vetorial
Use o produto vetorial para encontrar os componentes
do vetor unitário n̂, perpendicular ao plano mostrado
na Fig. 1.
3
1
2
z
y
x
b
n̂
Figura 1: Vetor unitário n̂
2. Identidades vetoriais
Demonstre as seguintes identidades
a) A · (B×C) = B · (C×A) = C · (A×B).
b) A× (B×C) = B(A ·C)−C(A ·B).
c) ∇ · (fA) = f(∇ ·A) +A · (∇f).
d) ∇× (fA) = f(∇×A)−A× (∇f).
3. Vetor distância relativa
Encontre o vetor separação rrr , a partir do ponto fonte
(2, 8, 7) até o ponto de observação (4, 6, 8). Determine
sua magnitude (r ) e construa o vetor unitário r̂rr .
4. Matriz de rotação
a) Prove que a matriz de rotação bidimensional abaixo
preserva produtos escalares. (Ou seja, mostre que AyBy+
AzBz = AyBy +AzBz .)(
Ay
Az
)
=
(
cosϕ sinϕ
− sinϕ cosϕ
)(
Ay
Az
)
b) Que restrições os elementos (Rij) da matriz de
rotação abaixo devem satisfazer a fim de preservar o
comprimento de A ( Para todos os vetores A)? AxAy
Az
 =
 Rxx Rxy RxzRyx Ryy Ryz
Rzx Rzy Rzz

 AxAy
Az

5. Transformação de vetores
a) Como os componentes de um vetor se transfor-
mam sob uma translação de coordenadas (x = x,
y = y − a,z = z)? Veja a Fig. 2
z z
y
y
x
x
a
Figura 2: Sistema de coordenadas
b) Como os componentes de um vetor se transformam
sob uma inversão de coordenadas (Fig. 3)?
2
z
x
y
x
z
y
Figura 3: Sistema de referência
c) Como o produto vetorial de dois vetores se trans-
forma sob inversão? [O produto vetorial de dois veto-
res é chamado de pseudovetor, devido a este com-
portamento ‘anmalo’]. O produto vetorial de dois
pseudovetores é um vetor ou um pseudovetor? Iden-
tifique duas grandezas pseudovetoriais na mecânica
clássica.
d) Como o produto escalar triplo de três vetores se
transforma sob inversões?
6. Gradiente e divergente
Considere que rrr seja o vetor separação de um ponto
fixo (x′, y′, z′) até o ponto (x, y, z) e que r é o seu
comprimento. Mostre que
a) Qual é a fórmula geral para ∇(r n)?
b) Esboce a função vetorial, v = r̂/r2, e calcule seu
divergente.
7. Gradiente
Suponha que f é uma função de apenas duas variáveis
(y e z). Mostre que o gradiente ∇f = (∂f/∂y)ŷ +
(∂f/∂z)ẑ transforma-se como um vetor sob rotações.
[Dica: (∂f/∂y) = (∂f/∂y)(∂y/∂y) + (∂f/∂z)(∂z/∂y) e a
fórmula análoga para (∂f/∂z). Sabemos que y = y cosϕ +
z sinϕ e z = −y sinϕ + z cosϕ; ‘resolva’ estas equações para
y e z (as funções de y e z) e calcule as derivadas necessárias
(∂y/∂y), (∂z/∂y) etc.]
8. Regras de produtos
a) Se A e B são duas funções vetoriais, o que a ex-
pressão (A · ∇)B significa? (Ou seja, quais são suas com-
ponentes x, y e z em termos das componentes cartesianas de
A, B e ∇?)
b) Calcule (r̂ · ∇)r̂, em que r̂ é um vetor unitário.
9. Segundas derivadas
a) Prove que o divergente de um rotacional é sempre
zero.
b) Prove que o rotacional de um gradiente é sempre
zero.
10. Integração por partes
a) Mostre que∫
S f(∇×A) · da =
∫
S [A× (∇f)] · da+
∮
C fA · dl.
b) Mostre que∫
V B · (∇×A)dτ =
∫
V A · (∇×B)dτ +
∮
S(A×B) · da.
11. Coordenadas esféricas
a) Expresse os vetores unitários r̂, θ̂ e ϕ̂ em termos
de x̂, ŷ e ẑ. Verifique as suas respostas de várias ma-
neiras (r̂ · r̂ ?= 1, θ̂ · ϕ̂ ?= 0, r̂× θ̂ ?= ϕ̂, ...). Calcule também as
fórmulas inversas dando x̂, ŷ, ẑ em termos de r̂, θ̂, ϕ̂.
b) Verifique o teorema do divergente para a função
v1 = r2r̂, usando como volume, a esfera de raio R,
centrada na origem.
c) Faça o mesmo para v2 = (1/r2)r̂.
12. Coordenadas ciĺındricas
Expresse os vetores unitários ciĺındricos ŝ, ϕ̂, ẑ em
termos de x̂, ŷ, ẑ. ‘Inverta’ as fórmulas para chegar
a x̂, ŷ, ẑ em termos de ŝ, ϕ̂, ẑ.
13. Função delta de Dirac
a) Mostre que
x
d
dx
(δ(x)) = −δ(x)
[Dica: Use integração por partes.]
b) Assuma que θ(x) é a função degrau:
θ(x) ≡
1, se x > 00, se x ≤ 0
Mostre que dθ/dx = δ(x).
c) Calcule as seguintes integrais:
•
∫ 2
−2(2x+ 3)δ(3x)dx.
•
∫ 2
0 (x
3 + 3x+ 2)δ(1− x)dx.
•
∫ 1
−1 9x
2δ(3x+ 1)dx.
3
•
∫ a
−∞ δ(x− b)dx.
•
∫
todo o espaço(r
2 + r · a + a2)δ3(r − a)dτ , em que a é um
vetor constante e a é sua magnitude.
•
∫
V
|r − b|2δ3(5r)dτ , em que V é um cubo de lado 2,
centrado na origem e b = 4ŷ+ 3ẑ.
•
∫
V
(r4 + r2(r · c) + c4)δ3(r− c)dτ , em que V é uma esfera
de raio 6 com centro na origem, c = 5x̂+ 3ŷ + 2ẑ e c é
sua magnitude.
•
∫
V
r·(d−r)δ3(e−r)dτ , em que d = (1, 2, 3), e = (3, 2, 1)
e V é uma esfera de raio 1.5, centrada em (2,2,2).
d) Qual é a densidade volumétrica de carga de uma
casca esférica uniforme infinitesimalmente fina, de
raio R e carga total Q, centrada na origem?
14. Campos de rotacional nulo
O teorema de campos de rotacional nulo, ou irrotaci-
onais, satisfaz as seguintes condições equivalentes:
(a) ∇× F = 0 em todo o espaço.
(b)
∫ b
a F·dl é independente do caminho, para quaisquer
pontos extremos.
(c)
∮
F · dl = 0 para qualquer caminho fechado.
(d) F é o gradiente de uma funçãoe scalar, F = −∇V .
Mostre que (d) ⇒ (a), (a) ⇒ (c), (c) ⇒ (b), (b) ⇒ (c)
e (c) ⇒ (a).
15. Algumas identidades integrais
Mostre que
a)
∫
V
(∇T )dτ =
∮
s Tda. [Dica: Considere que v = cT , em que
c é uma constante, no teorema do divergente; use as regras de
produtos.]
b)
∫
V
(∇×v)dτ = −
∮
s v× da. [Dica: Substitua v por (v× c)
no teorema do divergente.]
c)
∫
V
[T∇2U + (∇T ) · (∇U)]dτ =
∮
s(T∇U) · da. [Dica: Consi-
dere que v = T∇U no teorema do divergente.]
d)
∫
V
(T∇2U − U∇2T )dτ =
∮
s(T∇U − U∇T ) · da. [Esta ex-
pressão é conhecida como teorema de Green, é decorrente
de c), que s vezes é chamada de identidade de Green.]
e)
∫
s ∇T × da = −
∮
P
Tdl. [Dica: Considere v = cT no teo-
rema de Stokes.]
16. Vetor área
A integral
a ≡
∫
s
da
é s vezes chamada de vetor área da superf́ıcie s.
Se s for plana, então |a| é a área (escalar) ordinária,
obviamente.
a) Encontre a área vetorial de uma meia-esfera de raio
R.
b) Mostre que a = 0 para qualquer superf́ıcie fechada.
c) Mostre que a é o mesmo para todas as superf́ıcies
que têm o mesmo contorno.
d) Mostre que
a =
1
2
∮
r× dl,
em que a integral é em torno da linha de contorno.
[Dica: Uma maneira de fazer isso é desenhar o cone subeten-
dido pelo laço na origem. Divida a superf́ıcie cnica em cunhas
triangulares infinitesimais, cada uma delas com vértice na ori-
gem e oposto ao lado dl, e explore a interpretação geométrica
do produto vetorial.]
e) Mostre que
∮
(c · r)dl = a × c, para qualquer vetor
constante c. [Dica: Considere que T = c · r na letra e) do
problema anterior.]
Eletrostática
Problemas de revisão
1. Lei de Coulomb e prinćıpio da superposição
a) Enuncie a lei de Coulomb considerando duas cargas
em posições quaisquer.
b) Parta da lei de Coulomb e do prinćıpio da super-
posição para concluir que a força F a que uma carga q
está sujeita, devido a um conjunto de cargas, é F = qE,
em que
E(r) =
1
4πϵ0
∑
i
qi
r− ri
|r− ri|3
,
r é a posição da carga q e ri é a posição da carga qi.
c) O que é carga de prova?
d)Argumente que E(r) =
∫
ρ(r′) r−r
′
|r−r′|3 dτ
′, E(r) =
4
1
4πϵ0
∫
σ(r′) r−r
′
|r−r′|3 da
′ e E(r) = 1
4πϵ0
∫
λ(r′) r−r
′
|r−r′|3 dl
′ são
as expressões para o campo elétrico quando se tem
uma distribuição volumétrica, superficial e linear de
cargas, respectivamente.
2. Potencial elétrico
a) Use a identidade ∇ 1|r−r′| = −
r−r′
|r−r′|3 para concluir
que E = −∇V se V (r) = 1
4πϵ0
∑
i
qi
1
|r−r′i|
+ cte.
b) Mostre que V (r) = −
∫ r
O
E ·dl′, em que O é um ponto
de referência.
c) Argumente que se pode ter V = U/q, em que U é
a energia potencial da carga q na presença das cargas
que geram o campo elétrico.
d) Use a identidade ∇ × ∇ψ = 0 para verificar que
∇×E = 0.
e) Use o teorema de Stokes para obter
∮
Γ E · dl = 0.
3. Lei de Gauss
a) Mostre que∮
S
r− r′
|r− r′|3
· da =
∮
S
rrr
r 3 · da =
∫ 2π
0
dϕ
∫ π
0
dθsenθ = 4π,
se o ponto representado por r′ está dentro da su-
perf́ıcie S e rrr = r− r′.
b) Verifique que∮
S
r− r′
|r− r′|3
· da =
∮
S
rrr
r 3 · da = 0,
se o ponto representado por r′ está fora da superf́ıcie
S e rrr = r− r′.
c) Conclua que∮
S
E · da =
1
4πϵ0
∑
i
qi
∮
S
r− r′i
|r− r′i|3
· da =
Qint
ϵ0
,
em que Qint é a carga dentro de S.
d) Use Qint =
∫
V
ρdτ e o teorema da divergência para
concluir que
∫
V
(∇ ·E− ρ
ϵ0
)dτ = 0.
e) Use o fato do volume V ser qualquer para obter
∇ ·E = ρ
ϵ0
.
4. Equações de Poisson e Laplace
a) Parta de ∇×E = 0 para concluir que E = −∇V .
b) Use esse resultado em ∇ ·E = ρ
ϵ0
para obter ∇2V =
− ρ
ϵ0
(equação de Poisson).
c) Se ρ = 0, verifique que ∇2V = 0 (equação de La-
place).
d) Use a identidade ∇2 1|r−r′| = −4πδ
3(r− r′) para mos-
trar que V (r) = 1
4πϵ0
∫ ρ(r′)
|r−r′|dτ
′ é solução de ∇2V = − ρ
ϵ0
.
5. Condutores
No contexto da eletrostática, mostre que:
a) E = 0 dentro de um condutor;
b) V = cte em um condutor;
c) ρ = 0 dentro de um condutor;
d) a carga se acomoda na superf́ıcie de um condutor.
6. Energia eletrostática
a) Argumente que
W =
1
8πϵ0
n∑
i=1
n∑
j=1
qiqj
|ri − rj |
,
com i ̸= j, é a energia eletrostática armazenada em
um conjunto de n cargas pontuais.
b) Mostre que
W =
1
2
n∑
i=1
qiV (ri),
em que V (ri) é o potencial das outras n−1 cargas sobre
a i-ésima carga.
c) Use
∑
i
qi . . . →
∫
dτρ . . . nos resultados acima para
concluir que
W =
1
8πϵ0
∫
V
ρ(r)ρ(r′)
|r− r′|
dτdτ ′ =
1
2
∫
V
ρV dτ,
em que o volume V deve conter todas as cargas.
d) Empregue ∇·E = −ρ/ϵ0 e integração por partes para
verificar que
W =
ϵ0
2
∫
V
(∇ ·E)V dτ =
ϵ0
2
(−
∫
V
E · ∇V dτ +
∮
S
VE · da) =
=
ϵ0
2
(
∫
V
E2dτ +
∮
S
VE · da),
em que S é o contorno de V .
e) Se o volume V for todo o espaço, mostre que
W = ϵ0
2
∫
V
E2dτ .
7. Capacitores
Considere dois condutores, um com carga Q e outro
com carga −Q.
a) Argumente que a diferença de potencial entre os
dois condutores é proporcional a Q.
b) Chame essa constante de proporcionalidade de 1/C
para obter V = Q/C. Conclua que C (capacitância) é
um fator puramente geométrico.
5
c) Se a carga é acrescida em dq, a energia armazenada
é aumentada em dW . Use dW = V dq para obter que
dW = (q/C)dq e, portanto, que
W =
∫ Q
0
q
C
dq =
1
2
Q2
C
=
1
2
CV 2
.
Exemplos
Refaça todos os exemplos do caṕıtulo 2.
Problemas em geral
1. Duas cargas
a) Encontre o campo elétrico a uma distância z acima
do ponto central entre duas cargas iguais, q, que estão
separados por uma distância d (Fig. 4). Verifique se
o resultado é coerente com o que se espera quando
z ≫ d.
b b
q q
z
d
2
d
2
P
b
Figura 4: Representação esquemática.
b) Repita a parte (a), só que desta vez faça a carga
do lado direito igual a −q em vez de +q.
2. Distribuições cont́ınuas de carga
a) Encontre o campo elétrico a uma distância z acima
do centro de uma espira quadrada (lado a) que tem
uma densidade linear de carga uniforme λ (Fig. 5).
b
b
P
z
a
Figura 5: Espira quadrada de lado a.
b) Encontre o campo elétrico a uma distância z acima
do centro de um disco circular plano de raio R (Fig. 6),
que tem uma densidade superficial de carga uniforme
σ. O que a sua fórmula revela no limite R → ∞?
Verifique também o caso z ≫ R.
b
b
P
R
z
Figura 6: Disco circular plano de raio R.
3. Campo eletrostático
Suponha que o campo elétrico em uma determinada
reigão é dado por E = kr3r̂, em coordenadas esféricas
(k é uma constante).
a) Encontre a densidade de carga ρ.
b) Encontre a carga total contida em uma efera de
raio R, centrada na origem. (Faça de duas formas
diferentes.)
4. Lei de Gauss
a) Encontre o campo elétrico a uma distância s de
um fio reto de comprimento infinito, que tem uma
densidade linear de carga uniforme λ.
6
b) Uma casca esférica tem a densidade de carga
ρ =
k
r2
na região a ≤ r ≤ b (Fig. 7), com b = 2a. En-
contre o campo elétrico nas três regiões: (i) r < a,
(ii) a < r < b, (iii) r > b. Faça um gráfico de |E|
como função de r.
a
b
Figura 7: Casca esférica.
c) Uma placa plana infinita, de espessura 2d, pos-
sui uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ
(Fig. 8). Encontre o campo elétrico, como função
de y, onde y= 0 no centro. Faça um gráfico de E
versus y, chamando E de positivo quando aponta na
direção +y e de negativo quando aponta na direção
−y.
2 d
b
b
b
y
z
x
Figura 8: Placa infinita com espessura 2d.
d) Duas esferas, cada uma com raio R e com distri-
buições volumétricas de carga de densidades unifor-
mes +ρ e −ρ, respectivamente, estão posicionadas de
forma que se sobrepõem parcialmente (Fig. 9). Chame
o vetor do centro positivo ao centro negativo de d.
Mostre que o campo na região de sobreposição é cons-
tante e encontre seu valor.
b b
−
d
+
Figura 9: Duas esferas carregadas.
5. O rotacional de E
Calcule ∇×E diretamente a partir da equação abaixo.
E(r) =
1
4πϵ0
∫
V
ρ(r′)
r 2 r̂rr dτ
′,
com rrr = r− r′
6. Potencial elétrico
a) Uma destas expressões é um campo eletrostático
imposśıvel. Qual delas?
• E = k[xyx̂+ 2yzŷ + 3xzẑ];
• E = k[y2x̂+ (2xy + z2)ŷ + 2yzẑ].
Aqui, k é uma constante com as unidades adequadas.
Para o campo posśıvel, encontre o potencial usando a
origem como seu ponto de referência. Verifique suas
respostas calculando ∇V . [Dica: Você deve escolher um
caminho espećıfico para a integração. Não importa qual é esse
caminho, já que a resposta é independente do caminho esco-
lhido, mas simplesmente não se pode integrar sem ter um ca-
minho particular em mente.]
b) Encontre o potencial dentro e fora de uma esfera
sólida uniformemente carregada cujo raio é R e cuja
carga total é q. Use o infinito como ponto de refe-
rência. Calcule o gradiente de V em cada região e
verifique se ele fornece o campo correto. Esboce V (r).
7
7. Potencial de uma distribuição de carga
Usando convenientemente que
V (r) =
1
4πϵ0
∑
i
qi
r , V (r) =
1
4πϵ0
∫
λ(r′)
r dℓ
′
e
V (r) =
1
4πϵ0
∫
σ(r′)
r da
′
encontre o potencial a uma distância z acima do cen-
tro de cada distribuição de carga da Fig. 10. Em
cada caso, calcule E = −∇V . Suponha que altera-
mos a carga do lado direito da Fig. 10a para −q;
qual será, então, o potencial em P? Que campo isso
sugere? Compare sua resposta com o primeiro pro-
blema em geral, e explique cuidadosamente qualquer
discrepância.
8. Esfera sólida
Use V (r) = 1
4πϵ0
∫ ρ(r′)
r dτ
′ para calcular o potencial den-
tro de uma esfera sólida de raio R com densidade de
carga uniforme e carga total q.
9. Energia na eletrostática
Encontre a energia armazenada em uma esfera sólida
uniformemente carregada de raio R e carga q. Faça-o
de três formas diferentes:
a) Use que W = 1
2
∫
ρV dτ .
b) Use W = ϵ0
2
∫
todo espaço E
2dτ .
c) Use W = ϵ0
2
(∫
V
E2dτ +
∮
s VE · da
)
. Tome um volume
esférico de raio a. O que acontece quando a → ∞?
10. Condutores
Duas cavidades esféricas de raio a e b são escavadas
no interior de uma esfera condutora (neutra) de raio
R (Fig. 11). No centro de cada cavidade é colocada
uma carga pontual - chame essas cargas de qa e qb.
a) Encontre as densidades superf́ıciais σa, σb e σR.
b) Qual é o campo fora do condutor?
c) Qual é o campo dentro de cada cavidade?
d) Qual é a força em qa e qb?
e) Qual dessas respostas mudaria se uma terceira
carga, qc, fosse aproximada do condutor?
b b
b
R
qa
a b
qb
Figura 11: Esfera condutora.
11. Força sobre um condutor
Uma esfera metálica de raio R tem uma carga total Q.
Qual é a força de repulsão entre o hemisfério ‘norte’
e o hemisfério ‘sul’?
12. Energia
Uma esfera de raio R tem uma densidade de carga
ρ(r) = kr (k é constante). Encontre a energia da con-
b
b
P
R
z
b
P
z
σλ
2L
b
P
z
b b
d+q +q
(a) Duas cargas pontuais. (b) Distribuição linear uniforme de carga. (c) Distribuição superfícial uniforme de carga.
Figura 10: Distribuições de carga.
8
figuração. Verifique sua resposta calculando de pelo
menos duas formas diferentes. [Resposta: πk2R7/7ϵ0]]
13. Potencial elétrico
O potencial elétrico de uma determinada configuração
é dado pela expressão
V (r) = A
e−λr
r
,
em que a e λ são constantes. Encontre o campo
elétrico E(r), a densidade de carga ρ(r) e a carga total
Q. [Resposta: ρ = ϵ0A(4πδ3(r)− λ2e−λr/r)]
14. Energia Gravitacional
Toda a eletrostática decorre do caráter 1/r2 da lei de
Coulomb, aliado ao prinćıpio da superposição. Uma
teoria análoga pode, portanto, ser constrúıda para a
lei da gravitação universal de Newton. Qual é a ener-
gia gravitacional de uma esfera de massa M e raio R,
presumindo que sua densidade seja uniforme? Use o
seu resultado para estimar a energia gravitacional do
sol (consulte números relevantes). Observe que esta
energia é negativa - massas se atraem, enquanto car-
gas (de mesmo sinal) se repelem. medida em que a
matéria é ‘consumida’, para produzir a luz solar, a
energia potencial é convertida em outras formas de
energia (tipicamente térmica), e subsequentemente li-
berada na forma de radiação. O sol irradia a uma
taxa de 3, 86× 1026W ; se tudo isso viesse da energia
gravitacional aramazenada, quanto tempo o sol dura-
ria? [O sol, na realidade, é muito mais velho do que
isso, portanto, evidentemente, essa não é a fonte da
sua energia.]
Técnicas especiais
Problemas de revisão
1. Propriedades da equação de Laplace
- A média de uma solução nas bordas de uma “esfera”
é igual ao valor no centro;
- Uma solução não tem mı́nimo ou máximo local.
a) Verifique essas duas propriedades no caso unidi-
mensional, resolvendo a equação ∇2V = 0, com
V = V (x).
b) No caso tridimensional, mostre que
V (r) =
1
4πR2
=
∮
esfera
V da
em que V (r) =
∑
i
1
4πϵ0
q
|r−ri|
e nenhuma carga está den-
tro da esfera de raio R.
c) Argumente que
∇2V =
∂2V
∂x2
+
∂2V
∂y2
+
∂2V
∂z2
é inconsistente com a existência de máximo ou mı́nimo
local.
2. Teorema da unicidade
Mostre que a equação de Laplace tem solução única
em um volume quando o potencial V é especificado na
superf́ıcie desse volume. Faça o mesmo para a equação
de Poisson. Mostre que esse teorema também é valido
se ∂V/∂n é especificado na superf́ıcie do volume.
3. Método das imagens
Diga o que é o método das imagens, enfatizando o
teorema da unicidade.
4. Separação de variáveis
Exponha o método de separação de variáveis, res-
saltando a i) transformação da equação diferencial
parcial em um conjunto de equações diferenciais or-
dinárias (ou seja, a obtenção de soluções particulares
na forma de produto de funções), ii) a superposição
das soluções particulares e iii) a simetria do sistema.
5. Expansão multipolar
a) Explique o que é expansão multipolar e a sua re-
levância na eletrostática.
b) Nesse contexto, diga o que são as contribuições de
monopolo, dipolo e quadrupolo.
c) Mostre que o momento dipolar não depende da
origem do sistema de coordenadas se a carga total for
nula.
Exemplos
9
Refaça todos os exemplos do caṕıtulo 3.
Problemas em geral
1. Impossibilidade de equiĺıbrio eletrostático
Em uma sentença, justifique o teorema de
Earnshaw: uma part́ıcula carregada não pode ser
mantida em equiĺıbrio estável somente pelas forças
eletrostáticas. Como exemplo, considere o arranjo
cúbico de cargas fixas da Fig. 12. Parece, de ińıcio,
que uma carga positiva no centro ficaria suspensa no
ar, já que seria repelida por cada um dos cantos. Onde
está o furo nessa ‘garrafa eletrostática’? [Para utili-
zar a fusão nuclear como uma fonte prática de energia, é ne-
cessário aquecer um plasma (um caldo de part́ıculas) a tempe-
raturas fantásticas - tão quentes que o contato faria evaporar
part́ıculas. O teorema de Earnshaw diz que a contenção ele-
trostática também está fora de questão. Felizmente, é posśıvel
confinar o plasma quente magneticamente.]
b
b b
b
b
b
b
b
q
q
q q
q
q
q
q
Figura 12: Arranjo cúbico de cargas.
2. Equação de Laplace
Encontre a solução geral para a equação de Laplace
em coordenadas esféricas, o caso em que V depende
somente de r. Façao mesmo para as coordenadas
ciĺındricas, assumindo que V depende apenas de s.
3. Fio reto infinito
Uma linha de carga uniforme λ é colocada em um fio
reto infinito, a uma distância d acima de um plano
condutor aterrado. (Digamos que o fio corre para-
lelo ao eixo x e diretamente acima dele e que o plano
condutor é o plano xy.)
a) Encontre o potencial na região acima do plano.
b) Encontre a densidade de carga σ induzida no plano
condutor.
4. Plano condutor
Dois planos condutores aterrados e semi-infinitos
encontram-se em ângulos retos. Na região entre eles
há uma carga pontual q, situada como mostra a
Fig. 13.
b
q
a
b
y
x
V = 0
Figura 13: Dois planos condutores aterrados.
Monte a configuração de imagem e calcule o poten-
cial nessa região. De que cargas você precisa e onde
elas devem estar localizadas? Qual é a força sobre
q? Quanto trabalho foi necessário para trazer q do
infinito? Suponha que os planos se encontraram em
um ângulo diferente de 90; você ainda seria capaz de
resolver o problema pelo método das imagens? Para
que ângulos em particular o método funciona?
5. Duas placas infinitas
Duas placas infinitas e aterradas estão paralelas ao
plano xz, uma em y = 0, e a outra em y = a. En-
contre o potencial no vão infinito, se o contorno em
x = 0 consiste de duas tiras de metal: uma, de y = 0
a y = a/2, é mantida em potencial constante V0, e a
outra, de y = a/2 a y = a, tem potencial −V0.
6. Tubo retangular
Um tubo retangular que corre paralelo ao eixo z (de
−∞ a +∞), tem três lados de metal aterrados, em
10
y = 0, y = a e x = 0. O quarto lado, em x = b, é
mantido em um potencial espećıfico V0(y).
a) Desenvolva uma fórmula geral para o potencial no
interior do tubo.
b) Encontre o potencial explicitamente, para o caso
V0(y) = V0 (uma constante).
7. Caixa cúbica
Uma caixa cúbica (com lados de comprimento a) con-
siste de cinco placas de metal que estão soldadas jun-
tas e aterradas (Fig. 14). O topo é feito de uma folha
de metal separada, isolada das outras e mantida a um
potencial constante V0. Encontre o potencial dentro
da caixa.
V0
y
a
x
a
a
z
Figura 14: Caixa cúbica.
8. Fórmula de Rodrigues
Derive P3(x) da fórmula de Rodrigues e verifique se
P3(cos θ) satisfaz a equação angular
d
dθ
(
sin θ
dΘ
dθ
)
= −l(l + 1) sin θΘ,
para l = 3. Verifique se P3 e P1 são ortogonais por
integração expĺıcita.
9. Potencial na esfera
a) Suponha que o potencial é uma constante V0 sobre
a superf́ıcie da esfera. Usando a equação de Laplace,
encontre o potencial dentro e fora da esfera.
b) Empregando a equação de Laplace, obtenha o po-
tencial dentro e fora de uma casca esférica com uma
carga uniforme σ0.
10. Equação de Laplace
Resolva a equação de Laplace pela separação
de variáveis em coordenadas ciĺındricas assu-
mindo que não há dependência em z (simetria
ciĺındrica).[Certifique-se de encontrar todas as soluções para
a equação radial; em partcular, seu resultado deve acomodar o
caso de uma linha de carga infinita.]
11. Quatro part́ıculas
Quatro part́ıculas (uma de carga q, uma de carga 3q
e duas de carga −2q) estão dispostas como mostra
a Fig. 15, cada uma delas a uma distância a da ori-
gem. Encontre uma fórmula simples aproximada para
o potencial, válida em pontos distantes da origem.
(Expresse sua resposta em coordenadas esféricas.)
y
x
−2q
3q
−2q
q
b
b
b
b
z
a
a
a
a
Figura 15: Quatro part́ıculas.
12. Momento de dipolo
Considere a densidade superf́ıcial de carga σ = k cos θ
sobre uma casca esférica de raio R.
a) Calcule o momento de dipolo dessa distribuição de
carga.
b) Encontre o potencial aproximado, para pontos dis-
tantes da esfera, e compare com a resposta exata
(V (r, θ) = kR3 cos θ/3ϵ0r2). O que você pode concluir
sobre os multipolos mais altos?
13. Dipolo elétrico
Um dipolo elétrico (f́ısico) consiste de duas cargas
iguais e opostas (±q) separadas por uma distância d.
11
Encontre o potencial aproximado, expandindo 1/r±
até a ordem (d/r)3, e use isso para determinar os ter-
mos quadrupolar e octopolar do potencial.
14. Dipolo ‘puro’
Um dipolo ‘puro’ p está localizado na origem, apon-
tando na direção z.
a) Qual é a força sobre uma carga pontual q em
(a, 0, 0) (coordenadas cartesianas)?
b) Qual é a força sobre q em (0, 0, a)?
c) Quanto trabalho é necessário para movimentar q
de (a, 0, 0) a (0, 0, a)?
d) Mostre que o campo elétrico de um dipolo (‘puro’)
pode ser escrito na forma livre de coordenadas
Edip(r) =
1
4πϵ0
1
r3
[3(p · r̂)r̂− p].
Campos elétricos na matéria
Problemas de revisão
1. Nomenclatura
Diga o que são dielétrico, dipolo elétrico induzido, po-
larizabilidade, polarização, cargas livres, cargas liga-
das, susceptibilidade elétrica, permissividade elétrica
e constante dielétrica.
2. Dipolo elétrico: torque, força e energia
Escreva as expressões para o torque, a força e a ener-
gia de um dipolo elétrico na presença de um campo
elétrico externo.
3. Potencial elétrico de um meio dielétrico
Use integração por partes para mostrar que
V (r) =
1
4πϵ0
∫
V
P(r′) ·
r− r′
|r− r′|3
dτ
=
1
4πϵ0
∮
S
σP (r
′)
|r− r′|
da′ +
1
4πϵ0
∫
V
ρP (r
′)
|r− r′|
dτ ′,
em que σP = P·n (ρP = −∇·P) é a densidade superficial
(volumétrica) de carga ligada.
4. Lei de Gauss em um meio dielétrico
Parta de ∇ · E = ρϵ0 e ρ = ρP + ρL para obter
∇ ·D = ρL, em que D = ϵ0E + P é o vetor desloca-
mento elétrico. A seguir, mostre que
∮
S
D·da = Q(int)L
em que Q
(int)
L =
∫
V
ρLdτ .
5. Energia elétrica em dielétricos
Escreva a expressão para a energia eletrostática em
sistemas dielétricos.
Exemplos
Refaça todos os exemplos do caṕıtulo 4.
Problemas em geral
1. Força de atração
Uma carga pontual q está situada a uma grande
distância r de um átomo neutro de polarizabilidade
α. Encontre a força de atração entre eles.
2. Energia em dipolos
a) Mostre que a energia de um dipolo ideal p em um
campo elétrico E é dada por
U = −p ·E.
b) Mostre que a energia de interação de dois dipolos
separados por um deslocamento r é
U =
1
4πϵ0
1
r3
[p1 · p2 − 3(p1 · r̂)(p2 · r̂)].
3. Polarização
Uma esfera de raio R tem uma polarização P(r) = kr,
em que k é uma constante e r é o vetor a partir do
centro.
a) Calcule as densidades de carga de polarização σp e
ρp.
b) Encontre o campo dentro e fora da esfera.
4. Deslocamento elétrico
Uma casca esférica grossa (raio interno a, raio externo
b) é feita de material dielétrico, com polarização ‘con-
gelada’ P(r) = k
r
r̂, em que k é uma constante e r é
a distância a partir do centro (Fig. 16). (Não existe
carga livre no problema) Encontre o campo elétrico
nas três regiões por dois métodos diferentes:
a) Localize toda a carga de polarização e use a lei de
Gauss para calcular o campo que ela produz.
12
b) Use
∮
D · da = Q(int)L para encontrar D, e depois
obtenha E com D = ϵ0E+P.
a
b
P
P
P
P
Figura 16: Casca esférica.
5. Dielétricos lineares
O espaço entre as placas de um capacitor de placas
paralelas (Fig. 17) é preenchido com duas chapas de
material dielétrico linear. Cada chapa tem espessura
a, de forma que a distância total entre as placas é 2a.
A chapa 1 tem constante dielétrica 2, e a chapa 2 tem
constante dielétrica 1, 5. A densidade de carga livre
na placa superior é σ e na placa inferior é −σ.
a) Encontre o deslocamento dielétrico D nas chapas.
b) Encontre o campo elétrico E em cada chapa.
c) Encontre a polarização P em cada chapa.
d) Encontre a diferença de potencial entre as placas.
e) Encontre a localização e a quantidade de toda a
carga de polarização.
f) Agora que você conhece toda a carga (livre e de
polarização), recalcule o campo em cada e confirme
sua resposta para b).
+σ
Chapa 1a
a
−σ
Chapa 2
Figura 17: Capacitor de placas paralelas.
6. Cilindro muito longo
Um cilindro muito longo dematerial dielétrico linear
é colocado em um campo elétrico E0 que inicialmente
é uniforme. Encontre o campo resultante dentro do
cilindro. (O raio é a, a suscetibilidade é χe e o eixo é
perpendicular a E0.)
7. Energia em sistemas dielétricos
Um condutor esférico de raio a tem uma carga Q
(Fig. 18). Ele está cercado por um material dielétrico
linear de suscetibilidade χe, até o raio p. Calcule a
energia desta configuração, usando W =
∫
E ·Ddτ .
a
p
Q
Figura 18: Condutor esférico.
8. Dois meios dielétricos
Na interface entre um dielétrico linear e outro, as li-
nhas do campo elétrico se dobram (Fig. 19). Mostre
que tan θ2/ tan θ1 = ϵ2/ϵ1, assumindo que não haja carga
livre no contorno. [Comentário: Está equação lembra a lei
de Snell na ótica. Uma ‘lente’ convexa de material dielétrico
teria a tendência de ‘focar’ ou ‘desfocar’ o campo elétrico?]
E1
ǫ1
θ1
E2
ǫ2
θ2
Figura 19: Dielétricos lineares.
13
Magnetostática
Problemas de revisão
1. Força de Lorentz
O que é a força de Lorentz? Escreva de maneira con-
junta as forças elétrica e magnética sobre uma carga,
em termos dos campos elétrico e magnético. Escreva
a força magnética sobre uma corrente elétrica, den-
sidade superficial de corrente elétrica e densidade de
corrente elétrica.
2. Lei de Biot-Savart
Enuncie a Lei de Biot-Savart em termos da corrente,
da densidade superficial de corrente e da densidade de
corrente.
3. Lei de Ampre
Parta da Lei de Biot-Savart para obter ∇ · B = 0 e
∇ × B = µ0J (Lei de Ampre). Escreva essas duas
últimas equações na forma integral.
4. Potencial vetor
O que é o potencial vetor? (Como ele está relacionado
com o campo magnético B?) Se ∇ · A = 0 (gauge de
Coulomb), escreva A em termos da corrente elétrica,
densidade superficial de corrente e densidade de cor-
rente.
5. Expansão multipolar
O que são a expansão multipolar para o potencial
vetor e o momento de dipolo magnético? Escreva a
expressão para o potencial vetor correspondente a um
dipolo magnético.
Exemplos
Refaça todos os exemplos do caṕıtulo 5.
Problemas em geral
1. Razão entre carga e massa
Em 1897 J. J. Thomson ‘descobriu’ o elétron medindo
a razão entre carga e massa de uma part́ıcula de ‘raios
catódicos’ como se segue:
a) Primeiro ele passou o feixe através de campos cru-
zados E e B (mutuamente perpendiculares e ambos
perpendiculares ao feixe), e foi ajustando o campo
elétrico até atingir deflexão zero. Qual seria, então, a
velocidade das part́ıculas (em termos de E e B)?
b) Ele, então, desligou o campo elétrico e mediu o raio
de curvatura, R, do feixe, sujeito apenas deflexão do
campo magnético. Em termos de E, B e R, qual a
razão entre carga e massa (q/m) das part́ıculas?
2. Densidade de corrente
a) Um disco fonográfico tem uma densidade uniforme
de ‘eletricidade estática’ σ. Se sua rotação for na ve-
locidade angular ω, qual será a densidade superfcial
de corrente K a uma distância r do centro?
b) Uma esfera sólida uniformemente carregada, de
raio R e carga total Q, está centrada na origem e gi-
rando a uma velocidade angular constante ω em torno
do eixo z. Encontre a densidade de corrente J em
qualquer ponto (r, θ, ϕ) dentro da esfera.
3. Correntes confinadas
Para uma configuração de cargas e correntes confina-
das dentro de um volume V, mostre que∫
V
Jdτ =
dp
dt
,
onde p é o momento de dipolo total. [Dica: Calcule∫
V
∇ · (xJ)dτ .]
4. Corrente estacionária
a) Encontre o campo magnético no centro de um cir-
cuito quadrado, pelo qual passa uma corrente esta-
cionária I. Considere que R é a distância entre o
centro e a lateral (Fig. 20).
b
R
I
Figura 20: Circuito quadrado.
14
b) Encontre o campo no centro de um poĺıgono de
n lados, pelo qual passa uma corrente estacionária I.
Novamente, considere que R é a distância entre o cen-
tro e qualquer um dos lados.
c) Certifique-se de que sua fórmula se reduz ao campo
no centro de um circuito circular, no limite n → ∞.
5. Força em um circuito
a) Encontre o campo magnético no ponto P para cada
uma das configurações de corrente estacionária mos-
tradas na Fig. 21.
b
b
a
P
I
I
I
I
I
b
R
P
(b)(a)
Figura 21: Corrente estacionária.
b) Encontre a força nos circuitos posicionados
próximo a um fio reto infinito como mostra a Fig. 22.
Tanto pelo circuito como pelo fio passa uma corrente
estacionária I.
I
I
a
a
S S
a
a a
I
(a) (b)
I
Figura 22: Circuito com corrente estacionária.
6. Campo magnético
Uma corrente estacionária I flui por um fio longo
ciĺındrico de raio a (Fig. 23). Encontre o campo
magnético tanto dentro quanto fora do fio, se
a) a corrente está uniformemente distribúıda sobre a
superf́ıcie externa do fio.
b) a corrente está distribúıda de forma que J é pro-
porcional a s, a distância ao eixo.
b
Ia
Figura 23: Fio ciĺındrico.
7. Lei de Ampre
A lei de Ampre é coerente com a regra geral de que
o divergente do rotacional é sempre zero? Demonstre
que a lei de Ampre, em geral, não é válida fora da
magnetostática. Esse ‘defeito’ existe nas outras três
equações de Maxwell?
8. Exemplos de potencial vetor
a) Se B é uniforme, mostre que A(r) = − 1
2
(r×B) fun-
ciona. Ou seja, verifique se ∇ · A = 0 e ∇ × A = B.
Esse resultado é único ou existem outras funções com
o mesmo divergente e rotacional?
b) Usando quaisquer meios que possa imaginar (ex-
ceto consulta), encontre o potencial vetorial a uma
distância s de um fio reto pelo qual passa uma cor-
rente I. Verifique se ∇ ·A = 0 e ∇×A = B.
c) Encontre o potencial magnético dentro do fio, se
ele tem raio R e a corrente está uniformemente dis-
tribúıda.
9. Campo magnético de um dipolo
Mostre que o campo magnético de um dipolo pode ser
escrito na forma livre de coordenadas:
Bdip(r) =
µ0
4π
1
r3
[3(m · r̂)r̂−m].
10. Momento de dipolo magnético
Um circuito circular de fio, com raio R, está no plano
xy centrado na origem e por ele passa uma corrente I
no sentido anti-horário, olhando-se do eixo z positivo.
a) Qual é o seu momento de dipolo magnético?
b) Qual é o campo magnético para pontos distantes
da origem?
c) Mostre que, para pontos no eixo z, sua resposta é
coerente com o campo exato, quando z ≫ R.
15
Eletrodinâmica
Problemas de revisão
1. Lei de Ohm
Enuncie a Lei de Ohm em termos da densidade de
corrente. O que são resistividade, condutividade, con-
dutor perfeito e efeito Joule?
2. Força eletromotriz
O que são força eletromotriz e indução eletro-
magnética? Enuncie as Leis de Faraday (forma in-
tegral e diferencial) e de Lenz.
3. Indutância
O que são indutância (autoindutância) e indutância
mútua? Qual é a relação entre fluxo magnético, in-
dutância e corrente elétrica?
4. Energia
Escreva expressões para a energia em campos
magnéticos em termos i) da indutância e corrente, ii)
da densidade de corrente e potencial vetor.
5. Corrente de deslocamento
O que é corrente de deslocamento? Escreva as
equações de Maxwell nas formas diferencial e integral.
Exemplos
Refaça todos os exemplos do caṕıtulo 7.
Problemas em geral
1. Circuito RC
Um capacitor C foi carregado a um potencial V0. No
tempo t = 0 ele é ligado a um resistor R, e começa a
descarregar (Fig. 24).
a) Determine a carga do capacitor como função do
tempo Q(t). Que corrente passa pelo resistor, I(t)?
b) Qual era a energia original armazenada no capa-
citor (W = 1
2
CV 2 )? Integrando (P = V I = I2R), con-
firme que o calor fornecido ao resistor é igual energia
perdida pelo capacitor.
+Q
−Q
RI
Figura 24: Circuito RC.
Agora imagine carregar o capacitor conectando-o (e
também o resistor) a uma bateria de voltagem fixa V0,
no tempo t = 0 (Fig.25).
c) Determine novamente Q(t) e I(t).
d) Encontre a energia total que sai da bateria
(
∫
V0Idt). Determine o calor fornecido ao resistor.
Qual a energia final armazenada no capacitor?Que
fração do trabalho feito pela bateria aparece como
energia no capacitor?
+Q
−Q
R
I
V0
Figura 25: Circuito RC com fonte.
2. Barra de metal
Uma barra de metal de massa m desliza sem atrito so-
bre dois trilhos condutores paralelos a uma distância l
16
um do outro (Fig. 26). Um resistor R está conectado
entre os trilhos e um campo magnético uniforme B,
que aponta para dentro da página, preenche toda a
região.
a) Se a barra se move para a direita a velocidade v,
qual é a corrente no resistor? Em que direção ela flui?
b) Qual é a força magnética sobre a barra? Em que
direção?
c) Se a barra começar com velocidade v0 no tempo
t = 0, e for deixada para deslizar, qual será sua velo-
cidade em um tempo posterior t?
d) A energia cinética inicial da barra era, é claro,
1
2
mv20. Verifique se a energia fornecida ao resistor é
exatamente 1
2
mv20.
l
m
v
R
Figura 26: Barra de metal deslizante.
3. Força eletromotriz
Uma espira quadrada de fio está em uma mesa a uma
distância s de um fio muito longo e reto, pelo qual
passa uma corrente I, como mostra a Fig. 27.
I
a
a
s
Figura 27: Espira quadrada.
a) Encontre o fluxo de B através da espira.
b) Se alguém puxar a espira afastando-a do fio, a uma
velocidade v, que fem será gerada? Em que sentido
(horário ou anti-horário) flui a corrente?
c) E se a espira for puxada para a direita velocidade
v, em vez de afastada?
4. Fluxo magnético
Um número infinito de superf́ıcies diferentes diferentes
pode se encaixar em uma determinada linha de con-
torno e, no entanto, na definição do fluxo magnético
através de uma espira, Φ =
∫
B · da, não especifiquei
qual a superf́ıcie a ser usada. Justifique essa aparente
omissão.
5. Gerador de corrente alternada
Uma espira quadrada é montada em uma haste verti-
cal e gira velocidade angular ω (Fig. 28). Um campo
magnético uniforme B aponta para a direita. Encon-
tre ε(t) para esse gerador de corrente alternada.
b
b
B a
ω
a
Figura 28: Espira rotacionando.
6. FEM na espira
Uma espira de fio, quadrada e com lados de compri-
mento a, está no primeiro quadrante do plano xy, com
um dos vértices na origem. Nessa região há um campo
magnético B(y, t) = ky3t2ẑ (onde k é uma constante),
não uniforme e dependente do tempo. Encontre a fem
induzida na espira.
7. Magneto
17
Como demonstração, solta-se uma barra magnética
ciĺındrica e curta para que caia por um tubo verti-
cal de alumı́nio de diâmetro ligeiramente maior e com
cerca de 2 metros de comprimento. Ela demora vários
segundos para ressurgir na parte inferior do tubo, en-
quanto um pedaço de ferro idêntico, porém não mag-
netizado percorre o mesmo trajeto em uma fração de
segundo. Explique por que o magneto cai mais deva-
gar.
8. Solenoide
Em torno de um solenoide de raio a, com n voltas
por unidade de comprimento, passa uma espira de re-
sistência R, como mostra a Fig. 29.
R
Figura 29: Solenoide.
a) Se a corrente no solenoide está aumentando a uma
taxa constante (dI/dt = k), que corrente passa pela es-
pira e em que sentido (esquerda ou direita) ela passa
pelo resistor?
b) Se a corrente I no solenoide é constante, mas o
solenoide for tirado da espira e recolocado no sentido
oposto, qual a carga total que passará pelo resistor?
9. Corrente induzida
Uma espira quadrada de lado a e resistência R está
a uma distância s de um fio reto infinito pelo qual
passa uma corrente I (Fig. 30). Alguém corta o fio,
de forma que I cai a zero. Em que sentido a corrente
induzida flui pela espira quadrada e qual a carga to-
tal que passa por um dado ponto da espira durante o
tempo em que essa corrente flui?
I
a
a
s
Corta
Figura 30: Espira ao lado de um fio reto infinito.
Se você não gosta do modelo com a tesoura, diminua
a corrente gradualmente:
I(t) ≡
(1− αt)I, para 0 ≤ t ≤ 1/α,0, para t > 1/α.
10. Indutância
Uma pequena espira de fio (de raio a) está a uma
distância z acima do centro de uma espira maior (de
raio b), como mostra a Fig. 31. Os planos das duas es-
piras são paralelos e perpendiculares ao eixo comum.
a
z
b
Figura 31: Espiras de fio.
a) Suponha que a corrente I passa pela espira maior.
Encontre o fluxo que passa através da espira menor.
(A espira menor é tão pequena que você pode consi-
derar o campo da espira grande como praticamente
constante.)
b) Suponha que a corrente I passa pela espira pe-
quena. Encontre o fluxo através da espira maior. (A
espira menor é tão pequena que você pode tratá-la
como um dipolo magnético.)
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c) Encontre as indutâncias mútuas e confirme que
M12 = M21.
11. Autoindutância
Tente calcular a autoindutância da espira em forma
de ‘grampo de cabelo’ mostrada na Fig. 32. (Des-
preze a contribuição das extremidades; a maior parte
do fluxo vem da parte longa e reta.) Você vai se depa-
rar com um problema que é caracteŕıstico de muitos
cálculos de autoindutância. Para obter uma resposta
definitiva, assuma que o fio tem um raio minúsculo ϵ,
e ignore qualquer fluxo que passa pelo fio em si.
b b
d
l
Figura 32: Grampo de cabelo.
12. Circuito LC
Um capacitor C é carregado até um potencial V e li-
gado a um indutor L, como mostra esquematicamente
a Fig. 33. No tempo t = 0 a chave S é fechada. En-
contre a corrente no circuito, como função do tempo.
Como a sua resposta se altera se um resistor R for
inclúıdo em série com C e L?
b b
L
S
C
Figura 33: Circuito LC.
13. Energia em campos magnéticos
Encontre a energia armazenada em uma seção de com-
primento l de um solenoide longo (raio R, volume V
e n voltas por unidade de comprimento):
a) Usando W = 1
2
LI2.
b) Usando W = 1
2
I
∮
(A · I)dl.
c) Usando W = 1
2µ0
∫
todo espaçoB
2dτ .
d) Usando W = 1
2µ0
[∫
todo espaçoB
2dτ −
∮
S(A×B) · da
]
(considere como volume o tubo ciĺındrico do raio
a < R ao raio b > R).
14. Circuito RL
Suponha que o circuito na Fig. 34 ficou conectado por
um longo tempo quando, de repente, no tempo t = 0,
a chave S é acionada, isolando a bateria.
b
L
S
R
b
b
b
A
B
Figura 34: Circuito LR.
a) Qual é a corrente em qualquer tempo subsequente
t?
b) Qual é a energia total fornecida ao resistor?
c) Mostre que ela é igual energia originalmente ar-
mazenada no indutor.
15. Fio grosso
Por um fio grosso de raio a passa uma corrente cons-
tante I, distribúıda uniformemente sobre sua seção
transversal. Um intervalo estreito no fio, de largura
ω ≪ a, forma um capacitor de placas paralelas, como
mostra a Fig. 35. Encontre o campo magnético no
intervalo a uma distância s < a do eixo.
b
II
b
+σ −σ
ω
a
Figura 35: Capacitor de placas paralelas.
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16. Corrente de deslocamento
Utilizando que E(s, t) = µ0I0ω
2π
sin(ωt) ln(a
s
)ẑ.
a) Encontre a densidade de corrente de deslocamento
Jd.
b) Integre-a para obter a corrente de deslocamento
total,
Id =
∫
Jd · da.
c) Compare Id e I. (Qual é a razão entre elas?) Se o
ciĺındro externo tivesse, digamos, 2 mm de diâmetro,
quão alta a frequência teria de ser para que Id fosse 1
por cento de I?
17. Equações de Maxwell
Suponha que
E(r, t) = −
1
4πϵ0
q
r2
θ(vt− r)r̂; B(r, t) = 0,
em que a função θ está definida no Problema 13 b)
da análise vetorial. Mostre que esses campos satisfa-
zem todas as equações de Maxwell e determine ρ e J.
Descreva a situação f́ısica que dá surgimento a esses
campos.
18. Leis de Faraday, Ampre e Biot-Savart
a) Use a analogia entre a lei de Faraday e a lei de
Ampre, juntamente com a lei de Biot-Savart, para
mostrar que
E(r, t) = −
1
4π
∂
∂t
∫
B(r′, t)× rrr
r 2 dτ
′,
para campos elétricos com indução de Faraday.
b) Mostre que E = − ∂A
∂t
, onde A é o potencial veto-
rial. Verifique este resultado tomando o rotacional de
ambos os lados.
c) Uma casca esférica de raio R tem uma carga su-
perficial de densidade uniforme σ. Ela gira em torno
de um eixo fixo com velocidade angular ω(t) que varia
lentamentecom o tempo. Encontre o campo elétrico
dentro e fora da esfera.
19. Duas bobinas
Duas bobinas estão enroladas em torno de uma forma
ciĺındrica de maneira que o mesmo fluxo passa por
cada uma das voltas de ambas as bobinas. (Na prática
se consegue isso inserindo um núcleo de ferro através
do cilindro, pois ele tem o efeito de concentrar o fluxo.)
A bobina ‘primária’ tem N1 voltas e a secundária tem
N2 (Fig. 36). Se a corrente I na bobina primária é
variável, mostre que a FEM ε2 da bobina secundária
é dada por
ε2
ε1
=
N2
N1
,
onde ε1 é a força contraeletromotriz da bobina
primária.
Secundário
Primário
(N1 voltas)
(N2 voltas)
Figura 36: Transformador primitivo.
20. Teorema de Alfven
Prove o teorema de Alfven: em um fluido perfeita-
mente condutor, o fluxo magnético através de qual-
quer espira fechada que se move com o fluido é cons-
tante no tempo.
a) Use a lei de Ohm juntamente com a lei de Faraday,
para provar que se σ = ∞ e J é finito, então
∂B
∂t
= ∇× (v ×B).
b) Considere S a superf́ıcie encerrada pela espira (C)
no tempo t, e S′ uma superf́ıcie encerrada pela es-
pira em sua nova posição (C ′) no tempo t+ dt (veja a
Fig. 37).
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S′
C′
C
S
R
vdt
Figura 37: Representação esquemática.
A mudança de fluxo é
dΦ =
∫
S′
B(t+ dt) · da−
∫
S
B(t) · da.
Mostre que∫
S′
B(t+ dt) · da+
∫
R
B(t+ dt) · da =
∫
S
B(t+ dt) · da
(onde R é a ‘faixa’ que une C e C ′), e, portanto, que
dΦ = dt
∫
S
∂B
∂t
· da−
∫
R
B(t+ dt) · da.
Reescreva a segunda integral como
dt
∮
C
(B× v) · dl,
e recorra ao teorema de Stokes para concluir que
dΦ
dt
=
∫
S
(
∂B
∂t
−∇× (v ×B)
)
· da.
Juntamente com o resultado em (a), isso prova o teo-
rema.
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