Capítulo 6- Centro de Gravidade 1ª parte - pg 116 a 154

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116 
 
CAPÍTULO 6 
CENTRO DE GRAVIDADE – 1ª PARTE 
APRESENTAÇÃO 
Caro (a) aluno (a), seja bem-vindo! 
Neste módulo vamos aprender a localizar a resultante do peso de um corpo e a sua 
dependência com a forma e a constituição dos mesmos. 
E é muito importante este estudo, uma vez que o peso é uma força presente em 
todos os projetos de engenharia, pois tudo está sujeito ao campo gravitacional da 
Terra. 
Vamos começar a trabalhar? 
Bom estudo! 
 
OBJETIVOS 
Ao final deste módulo, espera-se que você seja capaz de: 
 Compreender o conceito de centro de gravidade; 
 Compreender, sob quais condições de simetria, a localização do centro de 
gravidade de um sólido é determinada pela posição do centro de gravidade 
da área de sua seção transversal; 
 Localizar as coordenadas do centro de gravidade de áreas compostas. 
 
1. INTRODUÇÃO 
A localização do centro de gravidade de um corpo (c.g.) é a aplicação de uma 
representação equivalente de um sistema, cujas forças envolvidas são pesos de 
partes que compõem este corpo, como mostra a figura 1. 
 
Vamos lembrar as características das representações (ou sistemas) equivalentes, 
para que possamos trabalhar com elas? 
117 
 
Duas representações de um sistema de forças serão equivalentes se possuírem 
simultaneamente: 
 A mesma força resultante, isto é, ambas possuem com mesmo módulo, 
direção e sentido; 
e 
 O mesmo momento em relação ao mesmo ponto escolhido do corpo. 
A localização do c.g. consiste na localização de um único ponto, em relação ao qual 
o momento total do sistema, devido ao peso, é nulo, uma vez que neste ponto 
observa-se apenas o efeito do peso total do corpo, como vemos na figura 1. 
 
Fig.1 – À esquerda: um corpo de peso é visto como um mosaico de pedaços, 
com pesos . 
Fig.1 – À direita: o sistema equivalente mostra o c.g. do corpo sob a ação apenas do 
peso . 
Vamos mostrar que as coordenadas e são obtidas a partir do momento total 
do sistema em relação à origem dos eixos (ponto O). 
Como os dois sistemas mostrados na figura 1são equivalentes, ambos possuem o 
mesmo momento em relação ao ponto O. 
Este fato conduz às seguintes relações, para as coordenadas e vistas na 
figura 1: 
 
118 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja a demonstração deste resultado na seção 2, a seguir. 
 
2. DEFINIÇÃO DE CENTRO DE GRAVIDADE 
Considere um corpo de peso , sem nenhuma restrição na sua forma ou material, ou 
seja, um corpo qualquer de peso . 
Vamos dividir este corpo em pequenos pedaços, de pesos , alguns 
dos quais mostramos na figura 2. 
 
Fig. 2 - O corpo de peso é formado por um mosaico de pedaços de pesos 
 . 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Os pesos de todos os pedacinhos do corpo formam um sistema de forças não 
concorrentes no espaço, a ser devidamente analisado e simplificado. 
 
2.1 Análise inicial do sistema 
119 
 
 
Força resultante do sistema 
Vamos calcular a força resultante que atua sobre o corpo, proveniente dos pesos de 
todos os pedaços do mesmo. 
Temos que 
 
Momento total do sistema em relação ao ponto O (origem). 
Inicialmente, vamos calcular o momento do peso do i-ésimo pedacinho em relação 
ao ponto O. 
A figura 3 mostra que este pedacinho situa-se no ponto de coordenadas 
e possui momento em relação a O igual a: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3 - O peso i-ésimo pedaço possui momento em relação aos eixos X e Y 
 
Fonte: Próprio autor 
 
O momento total dos pesos de todos os pedacinhos que formam o corpo, em 
relação ao ponto O, é dado por: 
 
120 
 
Reescrevendo de forma mais sintética, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Simplificação do sistema 
 
O conjunto constituído pelos pesos de todas as partes que compõem o corpo é um 
sistema de forças que se reduz apenas à força resultante. 
Isto significa que este sistema de forças produz sobre um único ponto, 
devidamente calculado, apenas o efeito da força resultante. 
A resultante das forças é o peso do corpo e o ponto onde esta força atua 
sozinha é o centro de gravidade do corpo. 
Veja este sistema equivalente na figura 4. 
 
Fig. 4 - O centro de gravidade do corpo é o ponto de atuação do peso total P 
 
Fonte: próprio autor 
Indicamos: 
 : abscissa do centro de gravidade (cg) do corpo 
 : ordenada do centro de gravidade (cg) do corpo 
Alguns autores utilizam também a notação e para indicar, respectivamente, a 
abscissa e a ordenada do centro de gravidade. 
121 
 
Atenção! 
É importante você compreender que o sistema equivalente da figura 4 obedece à 
seguinte condição: 
O momento da resultante em relação ao ponto O é igual ao momento total dos 
pesos de todas as partes do corpo em relação ao ponto O. 
 
Observando a figura 4, podemos escrever que: 
 
e, como 
 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualando entre si componentes de mesma direção, teremos: 
 
 
 , 
de onde obtemos: 
 
 
 
 
 
 
e também: 
 
 
 
 
de onde obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Tais relações 
122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fornecem, respectivamente, a abscissa e a ordenada do centro de gravidade do 
corpo de peso total . 
 
3. CARACTERÍSTICAS DAS COORDENADAS DO CENTRO DE GRAVIDADE 
a) Os valores de e dependem do sistema de eixos cartesianos aos quais 
eles se referem. 
Vamos comprovar isso com um exemplo simples. 
 
Exemplo 1: 
Considere uma placa retangular, homogênea, isto é, constituída por um material 
único, de espessura desprezível e lados e . 
Sabemos, pela experiência quotidiana, que o centro de gravidade deste corpo, 
nessas condições, situa-se no ponto de encontro das diagonais da sua seção 
transversal retangular, como observamos na figura 5. 
 
Fig.5 - Centro de gravidade de uma placa retangular delgada e homogênea 
 
Fonte: próprio autor 
 
Entretanto, observe na figura 6, que a leitura das coordenadas e não é única! 
 
Fig.6 - Os valores de e dependem da posição dos eixos coordenados 
123 
 
 
Fonte: próprio autor 
Mas atenção! 
Distância e coordenada são grandezas distintas. A distância do centro de 
gravidade de um corpo às suas bordas é um parâmetro fixo deste corpo. Entretanto, 
os valores das coordenadas do centro de gravidade dependem do sistema de 
eixos cartesianos aos quais se referem. Sempre fique atento à posição dos eixos 
coordenados, quando for calcular as coordenadas do centro de gravidade de um 
corpo. 
 
b) Não existe torque do peso de um corpo em relação a nenhum eixo que 
passe pelo seu centro de gravidade. 
Vimos que 
 
 
 
 
 
 
 
e que, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 
 
 : está diretamente associado ao momento total do peso em relação 
ao eixo 
E 
124 
 
 
 
 : corresponde ao momento total do peso em relação ao eixo 
 
Observe que, na figura 6b, temos 
Como 
 
 
 
 
 
 
 
Vemos que 
 
 ou seja, a componente de é igual a zero. 
Isso é verdade pois, na figura 6b, não há torquedo peso em relação ao eixo 
porque este eixo passa pelo centro de gravidade da placa. 
 
Da mesma forma, temos na figura 6c que . 
Como 
 
 
 
 
 
 
Então 
 
 isto é, a componente de é nula. 
Logo, não há torque do peso em relação ao eixo porque este eixo passa pelo 
centro de gravidade da placa, como mostra a figura 6c. 
Importante! 
O que acabamos de verificar para os eixos e pode ser estendido para qualquer 
eixo que passe pelo centro de gravidade de um corpo. 
Se um eixo passa pelo centro de gravidade de um corpo, então, não há torque 
do peso em relação a este eixo. 
E isto é muito importante, pois é o que define a posição do centro de gravidade de 
um corpo! 
O centro de gravidade de um corpo é o ponto em relação ao qual o momento 
total devido ao peso é nulo! 
 
125 
 
O que acabamos de dizer pode ser observado na foto da figura 7. 
O centro de gravidade passarinho de plástico está situado na extremidade do bico. 
Sendo assim, não existe momento do seu peso em relação a este ponto. 
 Isso permite que ele seja sustentado apenas pelo seu bico, com estabilidade, uma 
vez que ele não tende a girar em torno do mesmo. 
 
Fig. 7 - O passarinho é sustentado através do apoio no seu centro de gravidade. 
 
Fonte: próprio autor 
 
E mais, o centro de gravidade de um corpo não se situa, necessariamente, sobre 
ele! 
Observe a figura 8, onde localizamos o centro de gravidade de um anel homogêneo. 
 
Fig. 8 - O centro de gravidade do anel se situa sobre o seu centro geométrico 
 
Fonte: próprio autor 
 
126 
 
c) Se um corpo, constituído ou não por um único material, possui um eixo de 
simetria ou um plano de simetria, então, seu centro de gravidade se situa 
sobre este eixo ou plano. 
Considerações de simetria são muito úteis em engenharia. 
 Fique sempre atento para a existência desta condição, antes de efetuar os 
cálculos para localizar o centro de gravidade de um corpo. 
 
Exemplo 2: 
Considere duas placas elípticas de espessura desprezível (figura 9a) e dimensões 
iguais, sendo a primeira constituída por 50% de madeira e 50% de aço, distribuídos 
conforme mostra a figura 9b e a segunda homogênea (figura 9c). 
Ambas também possuem em comum, o eixo de simetria indicado. 
 
Fig. 9 - O centro de gravidade sempre se situa sobre o eixo de simetria 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
Observe que, enquanto na figura 9c, o cg se localiza no centro geométrico do corpo 
homogêneo, na figura 9b, o centro de gravidade permanece sobre o eixo de 
simetria, mas se desloca para a esquerda, pois o aço é um material mais denso que 
a madeira. 
 
127 
 
Mas, e quanto à coordenada , isto é, a cota do centro de gravidade do corpo? 
É óbvio que, com a orientação dos eixos coordenados indicada nas figuras 2, 3 e 4, 
o peso não possui momento em relação ao eixo Z, uma vez que esta força possui 
esta direção! 
 
Entretanto, podemos girar os eixos coordenados (sem ferir a orientação do sistema 
cartesiano), como mostramos na figura 10. 
 
Fig.10 - O peso na direção de Y define a coordenada do centro de gravidade 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
Desta forma, o momento do i-ésimo pedacinho do corpo em relação ao ponto O é 
dado por: 
 
 
 
 
 
escrevendo novamente que 
 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
128 
 
A igualdade das componentes na direção de X fornece a coordenada do centro 
de gravidade. 
Assim as coordenadas do centro de gravidade de um corpo qualquer podem ser 
escritas como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. CENTRO DE GRAVIDADE DE ÁREAS 
Considere um sólido homogêneo, de massa M, densidade constante, altura (ou 
espessura) constante para qualquer ponto da área A da sua seção transversal, 
como mostra a figura 11. 
Fig. 11 – Sólido homogêneo com altura e seção transversal A 
 
Fonte: próprio autor 
 
Vamos mostrar para você que nas condições acima, sólido homogêneo e de 
espessura constante para qualquer ponto da área de sua seção transversal, seu 
centro de gravidade se situa sobre o plano transversal que o divide ao meio e 
suas coordenadas passam a depender apenas da forma da área da seção 
transversal. 
129 
 
Os sólidos mostrados na figura 12 possuem ambos, altura (espessura) ε, mesma 
área A da seção transversal e são homogêneos, isto é, cada um deles é feito de um 
único material. 
 
Fig.12 - Os dois sólidos possuem mesma seção transversal A e altura ε 
 
Fonte: próprio autor 
 
Nossa experiência quotidiana nos diz que o centro de gravidade de ambos se situa 
sobre o plano que divide os corpos ao meio, à distância de ε/2 do solo, como 
indicado na figura 13. 
 
Fig. 13 - O plano indicado contém o centro de gravidade de ambos os sólidos 
 
Fonte: próprio autor 
 
130 
 
Entretanto, como as formas das áreas das seções transversais são diferentes, 
seus respectivos centros de gravidade se situam em posições diferentes, 
determinadas pela forma da área da seção transversal, como mostra a figura 14. 
Dizemos que os centros de gravidade destes sólidos se situam no centro de 
gravidade da área da seção transversal e sobre o plano que divide o sólido ao 
meio. 
 
Fig.14 - A posição do centro de gravidade do sólido depende da forma da área da 
seção transversal 
 
Fonte: próprio autor 
 
Sendo assim, trabalharemos efetivamente apenas para obter as coordenadas do 
centro de gravidade da área da seção transversal, pois a terceira coordenada já 
está automaticamente determinada, sobre o plano que divide o sólido ao meio. 
Atenção! 
Mas não se esqueça! 
O que acabamos de dizer só é válido para um sólido homogêneo com densidade 
constante e altura (ou espessura) constante para qualquer ponto da área A da sua 
seção transversal. 
 
Vamos adaptar as relações obtidas anteriormente, referentes às coordenadas e 
 , para as condições que temos agora. 
Sabemos que as relações 
131 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São válidas para qualquer caso. 
Considere agora o sólido da figura 15, homogêneo com peso total , densidade 
constante e altura (ou espessura) constante para qualquer ponto da área A de sua 
seção transversal. 
Indicamos também um pedacinho qualquer deste corpo com peso , localizado 
no ponto de coordenadas e e com seção transversal de área . 
 
Fig. 15 - Qualquer pedacinho deste corpo possui densidade e altura 
 
Fonte: próprio autor 
 
O peso de cada pedacinho pode ser escrito: 
 Através do produto de sua massa pela aceleração da gravidade: 
 
 A massa por sua vez, é igual ao produto da densidade do material pelo 
seu respectivo volume : 
 
 E o volume é o produto da área da seção transversal pela sua respectiva 
altura : 
 
132 
 
O peso total do corpo de massa total pode ser escrito de forma semelhante: 
 
 
Substituindo e nas expressões de e e utilizando o fato de que todos os 
pedacinhos possuem a mesma altura e a mesma densidade, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
portanto, 
 
 
 
 
 
 e, da mesma forma, 
 
 
 
 
 
 
Observe que as hipóteses de densidade e altura constantes permitiram 
simplificações,que nos conduziram a novas relações para e em função 
apenas da área da seção transversal. 
 
Observe a figura 16 e compreenda o significado dos elementos existentes nas 
relações que acabamos de obter para e . 
 
Fig. 16 - A área é formada pelas seções transversais dos pedaços que 
compõem o sólido homogêneo, de altura constante. 
 
Fonte: próprio autor 
 
133 
 
 
Deve-se observar que: 
 É o número de áreas que compõem a área total 
 É o valor da i-ésima área que compõe a área 
 É a abscissa do centro de gravidade da área 
 É a ordenada do centro de gravidade da área 
Podemos ter , observando que, se , então, e os somatórios 
 
 
 e 
 
 se tornam as integrais e , ambas calculadas sobre 
a área . 
 
Vamos resolver agora alguns exemplos sobre centro de gravidade de áreas. 
Utilizaremos, por enquanto, apenas formas geométricas triviais, cujas posições dos 
centros de gravidade são familiares. 
 
Exemplo 3: 
Obtenha as coordenadas do centro de gravidade da seção T mostrada na figura 17. 
 
Fig. 17 – Seção transversal em T de uma peça tridimensional 
 
134 
 
Fonte: próprio autor 
Atenção! 
Toda a solução do problema se refere ao sistema de eixos cartesianos apresentado 
na figura 17. 
 
Observamos inicialmente, que esta área possui um eixo de simetria vertical, que 
divide a área em duas partes iguais, determinado pela reta , como mostra 
a figura 18. 
De acordo com as características do centro de gravidade de um corpo no item 3 – 
letra c, o centro de gravidade da área situa-se sobre este eixo. 
Portanto, este eixo de simetria já nos fornece a coordenada 
 
Fig. 18 – O eixo de simetria determina a coordenada 
 
Fonte: próprio autor 
 
Precisamos obter a coordenada do centro de gravidade. 
A seção T é formada por duas seções retangulares indicadas na figura 19 e o centro 
de gravidade de cada uma delas se situa sobre o ponto de encontro das diagonais 
do retângulo. 
 
135 
 
Fig. 19 – Duas áreas compõem a área da seção T 
 
Fonte: próprio autor 
 
Teremos e será igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representamos o resultado na figura 20. 
Fig. 20 – A seção T possui o centro de gravidade em 
 
Fonte: próprio autor 
136 
 
 
É muito importante você compreender que: 
 O cálculo das coordenadas do centro de gravidade é uma média ponderada 
das coordenadas dos centros de gravidade das áreas individuais, na qual 
o fator de ponderação é o valor das áreas que formam a área 
 Sendo assim, o centro de gravidade sempre se situa mais próximo da 
região onde temos mais área. 
Lembre-se: mais área mais massa mais peso! 
E mais, confira na figura 21: 
 A seção T é a seção transversal que contém o centro de gravidade de um 
sólido. 
 Este sólido é homogêneo, de espessura constante e a seção T se situa sobre 
um plano que o divide ao meio. 
 O centro de gravidade é o ponto sobre o qual atua a linha de ação da 
resultante do peso P do corpo. 
 Logo, não existe torque do peso P em relação ao centro de gravidade. 
 
Fig. 21 – A seção T, o centro de gravidade e a força P do peso do sólido. 
 
Fonte: próprio autor 
137 
 
 
Exemplo 4: 
Determine as coordenadas do centro de gravidade da área indicada na figura 22. 
 
Fig. 22 - O círculo de raio foi removido da área retangular 
 
Fonte: próprio autor 
Neste exemplo, vamos aprender como trabalhar com áreas que contêm regiões 
vazias. 
 
A figura 22 mostra uma seção retangular, da qual removemos um círculo de raio 
igual a na posição indicada. 
Sendo assim, a região é uma área composta pelo retângulo e pelo 
círculo com . 
Observamos ainda na figura 23, que a região possui um eixo de simetria 
horizontal sobre a reta de equação . 
Isso significa que já determinamos a coordenada da região. 
 
Fig. 23 - O eixo de simetria horizontal determina a coordenada 
138 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
Será necessário calcularmos apenas a coordenada da área. 
 
Atenção! 
Todas as vezes que você for remover uma área dentro de uma região, primeiro 
preencha completamente a referida região e, só depois, remova a área 
referente à porção vazia observada. 
 
Coordenada 
O problema envolve as duas áreas mostradas na figura 24. 
 
Fig. 24 - As duas áreas do problema localizadas em relação aos eixos cartesianos. 
 
Fonte: próprio autor 
 
139 
 
As informações das áreas 1 e 2 são: 
 
Área 1 
 
 
 
 Área 2: 
 
 
 
 
 
 
Importante! 
Você observou o sinal negativo no valor da área ? 
Isso se deve ao fato de ser a área uma região vazia ou removida da área . 
Se a área foi retirada, significa que a massa correspondente foi removida do corpo! 
Fique atento! 
Este procedimento deve ser adotado sempre que houver uma região removida 
no interior de uma área. 
 
A coordenada da área dada será determinada pela média ponderada das 
abscissas dos centros de gravidade das áreas individuais. 
Teremos então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos o centro de gravidade sobre o eixo de simetria e, obviamente, na região onde 
 , uma vez que a maior parte da área, e portanto da massa, se concentra 
nessa região, como podemos conferir na figura 25. 
 
Fig. 25 – A localização das coordenadas do centro de gravidade da área. 
140 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
 
5 - COORDENADAS DO CENTRO DE GRAVIDADE DE FORMAS GEOMÉTRICAS 
COMUNS 
 
Podemos localizar a posição do centro de gravidade de qualquer área, de forma 
regular ou não, através do cálculo por integração direta. 
Este é o procedimento que fundamenta os resultados das tabelas de centros de 
gravidade que encontramos nos livros. 
As relações que obtivemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tornam-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
141 
 
Onde mostramos na figura 26: 
 Área retangular infinitesimal dentro da região limitada entre o eixo e , no 
intervalo . 
 = área total da região 
 Abscissa do centro de gravidade da área 
 Ordenada do centro de gravidade da área 
 
Fig. 26 – As coordenadas do centro de gravidade da região entre podem 
ser determinadas por integração direta 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
Você encontrará exemplos do cálculo das coordenadas do centro de gravidade por 
integração na bibliografia de referência, indicada no final deste módulo. 
 
5.1 Coordenadas do centro de gravidade da área semicircular de raio . 
Pode-se provar, através da integração direta, que o centro de gravidade do 
semicírculo de raio se situa sobre o seu eixo de simetria e à distância de 
 
 
 da sua linha do diâmetro, como indicamos na figura 27. 
 
142 
 
Fig. 27 – Localização do centro de gravidade do semicírculo de raio R 
 
Fonte: próprio autor 
 
 
Atenção! 
Observe que fornecemos apenas a posição do centro de gravidade em relação 
às bordas da área e não as coordenadas deste ponto. 
Você é que vai transformar essa informação em abscissa ou ordenada, de acordo 
com a necessidade de cada caso, como veremos no exemplo 5 a seguir. 
 
Exemplo 5: 
Determineas coordenadas do centro de gravidade da área indicada na figura 28. 
 
Fig. 28 – Região composta por um retângulo e dois semicírculos 
143 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
A região da figura 28 é uma composição de três áreas indicadas, separadamente, na 
figura 29: uma área retangular (área 1) e duas semicirculares (áreas 2 e 3). 
 
Fig. 29 – As áreas 1, 2 e 3 em relação ao sistema de eixos. 
144 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
Observe que analisamos separadamente as áreas que compõem uma região, mas 
não alterarmos a posição dessas áreas em relação aos eixos coordenados 
estabelecidos inicialmente. 
As coordenadas dos centros de gravidade de cada uma das áreas e da região 
como um todo, devem ser lidas em relação ao mesmo sistema cartesiano de 
referência. 
 
Observe a figura 29 e confira as informações das áreas 1, 2 e 3: 
 
Área 1: 
 
 
 
 
 Área 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
145 
 
Área 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que, nas áreas 2 e 3, a informação da distância do centro de gravidade 
até a linha do diâmetro foi utilizada, tanto na obtenção de , quanto de , 
respectivamente 
Agora vamos reunir as informações das áreas 1, 2 e 3 em uma única média 
ponderada, para obtermos as coordenadas e da área A, da figura 28. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção! 
Observe que essas coordenadas são compatíveis com a forma da área apresentada 
na figura 28. Tente localiza-las na área dada! 
 Temos mais área, isto é, mais massa, à esquerda do que à direita. 
Isso nos mostra que, de fato, devemos ter , como foi obtido. 
 Temos mais área na porção inferior do que na superior da região. 
Isso é compatível com o valor de , que deve ser . 
146 
 
Essa análise prévia é muito útil e permite que você saiba o que esperar, antes de 
obter as coordenadas do centro de gravidade de um corpo. 
 
5.2 Coordenadas do centro de gravidade da área triangular 
 
Vamos considerar inicialmente o triângulo retângulo de lados e da figura 30. 
Lembre-se que um triângulo possui três alturas, cada uma referente a um de seus 
lados. 
Pode-se provar através da integração direta, que a distância do centro de 
gravidade até qualquer um dos lados do triângulo é igual a da altura 
relativa a esse lado. 
Confira essa informação na figura 30: 
 A: é a altura relativa ao lado B 
 B: é a altura relativa ao lado A 
 H: altura relativa ao lado C 
 
Fig. 30 – A posição do centro de gravidade do triângulo em relação aos seus lados. 
 
147 
 
Fonte: próprio autor 
 
É importante você observar que no triângulo retângulo acima: 
 é obtida sobre uma altura vertical, relativa a um lado horizontal do 
triângulo. 
 é obtida sobre uma altura horizontal, relativa a um lado vertical do 
triângulo. 
 Se uma dessas condições não estiver presente na área triangular, faremos 
uma montagem de triângulos retângulos para restaurar a condição ausente, 
se for necessário. 
 
Exemplo 6: 
Determine as coordenadas do centro de gravidade da área indicada na figura 31. 
Observe que temos a altura vertical (12cm) relativa ao lado horizontal do triângulo 
(15cm). 
Isso significa que a coordenada será obtida diretamente da figura 31. 
Entretanto, não temos a altura horizontal relativa a um lado vertical do triângulo, para 
obtermos a coordenada . 
Sendo assim, faremos uma montagem para determinar esta coordenada. 
 
Fig. 31 – A seção é um triângulo escaleno 
148 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
Coordenada : 
A distância de B ao eixo X, igual a 12 cm, é a altura do triângulo relativa ao lado OA 
de 15cm. 
Logo, dividindo essa altura em 3 partes iguais e observando que a região de maior 
área se concentra no terço inferior, concluímos que: 
 
 
 
 
Nesse caso, a distância coincide com a coordenada, como mostra a figura 32. 
 
Fig. 32 – O cg da área se situa sobre um ponto da reta horizontal 
149 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
Coordenada : 
 O lado OA, de 15 cm, não é altura do triângulo relativa a um lado vertical do 
mesmo. 
Vamos fazer a montagem de dois triângulos retângulos indicada na figura 33, pois 
assim obtemos alturas horizontais relativas a lados verticais. 
Localizaremos as abscissas das áreas 1 e 2 e a coordenada da área proposta 
será a média ponderada de e . 
 
Fig. 33 – A montagem das áreas 
 e a área 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
150 
 
Dividindo ambas as alturas (catetos) horizontais em 3 partes iguais e observando na 
figura 34, que a região de maior área se concentra no último terço, à direita, tanto 
em e , teremos: 
 
Área : 
 
 
 
 Área 
 
 
 
 
 
 
Fig. 34 – As coordenadas e dos centros de gravidade de e . 
 
Fonte: próprio autor 
 
A coordenada é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja a localização do centro de gravidade da área na figura 35. 
 
Fig. 35 – Representação das coordenadas do centro de gravidade da área 
151 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
Apresentamos a seguir a Tabela 1, com as informações sobre a posição do centro 
de gravidade de áreas com formas geométricas comuns. 
 
TABELA 1 - Posição do Centro de Gravidade 
FORMA DA ÁREA POSIÇÃO DO CG OBSERVAÇÃO 
Retângulo de lados A e B 
 
 
O cg se situa no ponto de 
encontro das diagonais 
Triângulo de lados A, B e C 
 
 
A distância do cg até um 
lado do triângulo é igual a 
1/3 da altura relativa a este 
lado. 
152 
 
Círculo de raio R 
 
 
O cg se situa sobre o 
centro geométrico da área. 
Quadrante de círculo de raio R 
 
 
O cg se situa sobre o eixo 
de simetria, à distância de 
0,424R dos lados retos da 
área. 
Semicírculo de raio R 
 
 
O cg se situa sobre o eixo 
de simetria, à distância de 
0,424R da linha do 
diâmetro. 
Área limitada por uma parábola e 
um segmento de reta 
 
 
O cg se situa sobre o eixo 
de simetria, à distância de 
 
 do vértice da 
parábola. 
 
Área da região: 
 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
 
153 
 
6. SÍNTESE 
 
 
Neste módulo, construímos o conceito de centro de gravidade de um corpo 
qualquer de peso P: ele é o ponto em relação ao qual o momento do peso é nulo. 
Vimos que, sob condições de simetria adequadas, a forma da área da seção 
transversal de um sólido determina a localização do seu centro de gravidade. 
Mostramos que as coordenadas do centro de gravidade de uma área composta A 
são obtidas através da média ponderada das coordenadas dos centros de 
gravidade das áreas, preenchidas e vazias, que compõem a área A. 
Destacamos a importância da determinação da abscissa ou da ordenada do centro 
de gravidade de uma área, sempre observando o sistema de eixos cartesianos 
dado no problema. 
Apresentamos na tabela 1, apenas a posição do centro de gravidade dentro de 
cada área. 
A conversão dessa informação em coordenadas deverá ser feita em cada caso, de 
acordo com a necessidade do problema.Agora, avalie se você conseguiu assimilar bem todos eles, pois, caso contrário, é 
importante que você retorne ao texto, para rever os tópicos que não ficaram claros. 
 
 
7. REFERÊNCIAS 
 
 
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: estática. 5. 
ed. rev. São Paulo: Makron Books, c1991. 
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R.; EISENBERG, E. R. Mecânica Vetorial para 
Engenheiros: estática. 7. ed. Rio de Janeiro: McGrawHill, c2006. 
154 
 
HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para engenharia. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, c2005. 
HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para engenharia. 12.ed. São Paulo: 
Pearson, 2011. 
SHAMES, I. H. Estática: Mecânica para engenharia. 4. ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.