6 Centroide e Momento de Inércia

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Mecânica dos Sólidos
6. Centroide e Momento de Inércia de Área
Centro de gravidade
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• Um corpo é formado por séries de partículas.
• Se este corpo está dentro de um campo gravitacional, então cada uma
das partículas tem um peso dW.
Centro de gravidade
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• Os pesos dW de cada partícula formam um sistema de forças
aproximadamente paralelas.
• A força resultante desse sistema é o peso total do corpo (W).
Matematicamente, temos:
• Esta resultante W deve ser localizada num determinado ponto de modo
que o momento gerado por ela em qualquer outro ponto seja
equivalente ao momento resultante gerado pelos pesos dW.
𝑾 = න𝒅𝑾 (6.1)
Centro de gravidade
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• O ponto onde esta força peso resultante se localiza no corpo é
denominado centro de gravidade (G).
Centro de gravidade
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• Para determinar a localização do centro de gravidade, temos que
determinar o momento resultante dos pesos dW em relação a cada
eixo.
• Se cada partícula de peso dW está localizada num ponto ( ෤𝑥, ෤𝑦, ǁ𝑧) e o
centro de gravidade do corpo de peso W está localizado em ( ҧ𝑥, ത𝑦, ҧ𝑧),
analisando o momento em relação ao eixo y, temos que:
• De modo semelhante, em relação ao eixo x, temos:
ഥ𝒙𝑾 = න෥𝒙𝒅𝑾
ഥ𝒚𝑾 = න෥𝒚𝒅𝑾
Centro de gravidade
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• Finalmente, se o sistema de eixos é girado 90° em relação a y e o
momento em relação ao eixo y for novamente analisado, temos:
ത𝒛𝑾 = න ෤𝒛𝒅𝑾
Centro de gravidade
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• Portanto, a localização do centro de gravidade G com relação aos eixos
x, y e z, torna-se:
onde:
( ҧ𝑥𝐺 , ത𝑦𝐺 , ҧ𝑧𝐺) são as coordenadas do centro de gravidade G do corpo;
( ෤𝑥, ෤𝑦, ǁ𝑧) são as coordenadas de cada partícula do corpo.
ഥ𝒙𝑮 =
׬ ෥𝒙𝒅𝑾
𝒅𝑾׬
; ഥ𝒚𝑮 =
׬ ෥𝒚𝒅𝑾
𝒅𝑾׬
; ത𝒛𝑮 =
׬ ෤𝒛𝒅𝑾
𝒅𝑾׬
(6.5)
Centro de massa
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• Relacionando a massa do corpo com seu peso (dW = gdm), podemos
reescrever a Equação 6.5 para determinar o centro de massa do corpo:
onde:
( ҧ𝑥𝑚, ത𝑦𝑚, ҧ𝑧𝑚) são as coordenadas do centro de massa do corpo;
( ෤𝑥, ෤𝑦, ǁ𝑧) são as coordenadas de cada partícula do corpo.
ഥ𝒙𝒎 =
෥𝒙𝒅𝒎׬
𝒅𝒎׬
; ഥ𝒚𝒎 =
׬ ෥𝒚𝒅𝒎
𝒅𝒎׬
; ത𝒛𝒎 =
׬ ෤𝒛𝒅𝒎
𝒅𝒎׬
(6.6)
Centroide de volume
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• Se o corpo é de material homogêneo, então sua densidade será
constante. Assim podemos relacionar o volume com a massa (dm = ρdV)
e determinar o centro geométrico do corpo (centroide de volume):
onde:
( ҧ𝑥𝑉 , ത𝑦𝑉 , ҧ𝑧𝑉) são as coordenadas do centroide do corpo;
( ෤𝑥, ෤𝑦, ǁ𝑧) são as coordenadas dos elementos de volume do corpo.
ഥ𝒙𝑽 =
׬ ෥𝒙𝒅𝑽
𝒅𝑽׬
; ഥ𝒚𝑽 =
׬ ෥𝒚𝒅𝑽
𝒅𝑽׬
; ത𝒛𝑽 =
׬ ෤𝒛𝒅𝑽
𝒅𝑽׬
(6.7)
Centroide de área
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• De maneira análoga, podemos determinar o centroide de uma área que
se encontra no plano x-y:
onde:
( ҧ𝑥, ത𝑦) são as coordenadas do centroide da área;
( ෤𝑥, ෤𝑦) são as coordenadas dos elementos de área (dA).
ഥ𝒙 =
෥𝒙𝒅𝑨׬
𝒅𝑨׬
; ഥ𝒚 =
׬ ෥𝒚𝒅𝑨
𝒅𝑨׬
(6.8)
Centroide de área
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• Essas integrais podem ser calculadas por meio de integração simples se
usarmos uma faixa retangular para o elemento diferencial:
Exercícios
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1. Determine as coordenadas do centroide do triângulo mostrado na
figura.
Exercícios
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2. Determine as coordenadas do centroide da área da figura.
Tabela de centroides de área
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Tabela de centroides de área
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Centroide de área composta
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• Uma área composta consiste em uma série de partes ou formas mais
simples conectadas, como retângulos, triângulos e círculos.
• Como na maioria dos casos, as áreas menores que formam a área
composta são de formas simples, e portanto, seus centroides são
conhecidos, elimina-se a necessidade de integração na Equação 6.8. Ao
invés disso basta realizar somatórios conforme abaixo:
ഥ𝒙𝑨𝑪 =
σ𝒙𝑨
σ𝑨
; ഥ𝒚𝑨𝑪=
σ𝒚𝑨
σ𝑨
(6.9)
Obs.: Para um furo considera-se área som sinal negativo.
Exercícios
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3. Localize o centroide da área da placa.
Exercícios
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3. Localize o centroide da área da placa.
Exercícios
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4. Localize o centroide da área da seção transversal da viga.
Exercícios
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5. Localize o centroide da área composta
Momento de Inércia de área
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• Definição: Propriedade geométrica de uma seção plana qualquer que
indica a sua resistência a flexão (rigidez) em relação ao um eixo de
referência, geralmente o eixo que passa pelo centroide da área.
Definição matemática:
Em relação ao “polo” O define-se o 
momento polar de inércia:
Momento de Inércia de área
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• Ix, Iy e J são sempre positivos, já que são calculados em termos da área
e do quadrado de uma distância. Unidade: m4, cm4 e mm4.
• Principal Aplicação: Projetos de Vigas e Eixos Mecânicos
• Significado físico: Para uma viga, por exemplo, quanto maiores Ix, Iy e
Jo maior resistência aos esforços aplicados e, portanto, menor a
deformação.
Raio de giração de área
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• O raio de giração (k) de uma área em relação a um eixo, representa a
distância perpendicular ao eixo onde a área poderia ser concentrada
gerando o mesmo momento de inércia. É uma quantidade utilizada em
projetos de colunas na mecânica estrutural.
• O raio de giração é dado em unidades de comprimento e indica o grau
de rigidez de um perfil geométrico por unidade de área.
Momento de Inércia de área
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Procedimento para Determinação do Momento de Inércia de Área
• É necessário que se conheça a função que delimita a área.
• Seleciona-se um elemento diferencial de área (dA) de comprimento 
finito e largura diferencial paralelo ao eixo ao qual quer se determinar I.
• Substitui-se dA na integral e determina-se I usando as funções nos 
limites da integral.
Exercícios
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6. Determine os momentos de inércia de área do retângulo em relação
aos eixos que passam pelo centroide:
Tabela momentos de inércia de área
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Tabela momentos de inércia de área
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Teorema dos Eixos Paralelos
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• O momento de inércia de uma área em relação a um eixo é igual ao 
momento de inércia em relação a um eixo paralelo que passa pelo 
centroide, somado ao produto da área pelo quadrado da distância 
perpendicular entre os eixos.
Momentos de Inércia de áreas compostas
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• O momento de inércia de uma área composta é igual à soma algébrica 
dos momentos de inércia de todas as partes, sempre em relação ao 
mesmo eixo.
Obs.: Para um furo considera-se área som sinal negativo.
Exercícios
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7. Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga
em relação ao eixo x. A área é composta por três retângulos de lados
12x1 cm.
Exercícios
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8. Determine a localização do centroide do perfil da viga e os momento de
inércias da área em relação aos eixos x e y.