Aplicação de estrutura de concreto armado NP1 laje 2D Concreto 2

Prévia do material em texto

+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento da laje L1: 
yk 00 MPaf = 5 
x 5ml = 
y ml = 9 
2.5 cmc = 
ck 0 MPaf = 3 
12cmh = 
 
 5 kN /m²Q = 
 1 25 kN /m³G = → 5kN /m³ . 0, 2m 3kN /m²2 1 = 
2 2 kN /m²G = 
 
Determinação do lambda 
 
 (Laje armada em 2D)λ = lx
ly → λ = 5m
9m → ,λ = 1 8 
 
Determinação dos momentos atuantes 
Como os carregamentos são todos de mesma origem, iremos efetuar os ELU nos 
carregamentos 
 
1, . G1 1, G2 1, . QP ELU = 4 + 4 + 4 
1, . 3kN /m² 1, 2kN /m² 1, . 5kN /m²P ELU = 4 + 4 + 4 
14kN /m²P ELU = 
 
 
Determinação do contorno 
 
yi 6ml = 
y . l 3
2 → m. 6m9 3
2 = 
 Como lyi igual que 2/3 de ly, iremos adotar totalmente engastada em x 
 
Determinação da tabela dos mi 
Agora de acordo com o valor de (1,8) e o tipo de laje (caso) vou achar os valores de λ μ 
 
 
nossa laje é caso 3, engastado somente em um lado “y” 
 
 , 1 μx = 6 3 
 2, 4 μx′ = 1 0 
 , 8μy = 1 6 
 
Aplicado na fórmula 
 
 . M = μ 100
P ELU . lx² 
 . M x = μx 100
P ELU . lx² , 1 . M x = 6 3 100
14kN /m² . 5²
(Momento positivo em x)2, 85 kN .m/mM x = 2 0 
 
 
 . M x′ = μx′ 100
P ELU . lx² 2, 4 . M x = 1 0 100
14kN /m² . 5² 
(Momento negativo em x)2, 4 kN .m/mM x′ = 4 1 
 
 . M y = μy 100
P ELU . lx² , 8 . M y = 1 6 100
14kN /m² . 5² 
(momento positivo em y), 8 kN .m/mM y = 5 8 
 
Para determinar os momentos negativos entre a laje L1 e L2 temos que equilibrar os 
momentos negativos encontrado nos cálculos individuais 
 
Dados da laje L2 
kN /m²QL2 = 3 
0cmhL2 = 1 
x ml L2 = 4 
y ml L2 = 6 
 
 “Laje em 2D”λL2 = lxL2
lyL2 λL2 = 4m
6m ,λL2 = 1 5 
 
Engastada em x, em y temos o dobro da laje L3, 
logo caso 3 (caso 4 também não estaria errado) 
 
P , .G1.h 1, .G2 1, .Q ELU L2 = 1 4 L2 + 4 + 4 L2 
P , . 25kN /m³ . 0, m 1, . 2kN /m² 1, . 3kN /m² ELU L2 = 1 4 1 + 4 + 4 
0, kN /m²P ELU L2 = 1 5 
 
 
 , 7μx = 5 7 
 1, 7 μx′ = 1 2 
 , 2μy = 2 1 
 μy′ = 0 
 
 . M x L2 = μx L2 100
P . lx ²ELU L2 , 7 . M x L2 = 5 7 100
10,5 .4²
 (momento positivo em x), 94 kN .m/mM x L2 = 9 6 
 
 . M x L2′ = μx L2′ 100
P . lx ²ELU L2 1, 7 . M x L2′ = 1 2 100
10,5 .4² 
(momento negativo em x)8, 34 kN .m/mM x L2′ = 1 9 
 
 . M y L2 = μy L2 100
P . lx ²ELU L2 , 2 . M y L2 = 2 1 100
10,5 .4² 
 (momento positivo em y), 62 kN .m/mM y L2 = 3 5 
 
 
 
 
 
Equilíbrio dos momentos negativos 
No encontro entre as lajes L1 e L2 temos a atuação dos momentos negativos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (momento negativo em x na Laje 1)2, 4 kN .m/mM x L1′ = 4 1 
(momento negativo em x na Laje 2)8, 34 kN .m/mM x L2′ = 1 9 
 
 ​ou 2
M + Mx L1′ x L2′ , . M0 8 x L1′ 
 ​ou 2
 42,14 + 18,93
, . 42, 40 8 1 
 
 ou (MAIOR)0, 353 5 3, 123 7 
 
33, 12kNm/mM x L1′ equilibrado = 7 
Como o momento negativo da laje 1 diminuiu de 42,14 para 33,712, por consequência o 
momento positivo da mesma vai aumentar, isso deve ser corrigido, para isso devemos 
somar o momento positivo com metade da variação do momento negativo. 
 
Corrigindo o momento positivo da laje 1 
 
 M x L1corrigido = M x L1 + 2
ΔM 
 
 ​(variação entre momento negativo ANTIGO e o NOVO)M 42, 4 33, 12Δ = 1 − 7 M 8, 28 kN .m/mΔ = 4 
 
2, 85 M x L1corrigido = 2 0 + 2
8,428 
6, 0 kN .m/mM x L1corrigido = 2 3 
 
 
 
Com todos os momentos calculados, podemos dimensionar a estruturas para os ELU 
 
Determinação da altura útil 
 
 h c dx = − − 2
θL ⇒ 12cm 2, cm dx = − 5 − 2
1cm 
 9cmdx = 
 
 h c θL dy = − − − 2
θL ⇒ 12cm , cm 1cm dy = − 2 5 − − 2
1 
 8cmdy = 
 
Cálculo da armadura positiva em x Mx 
 
 100cmb = 
 
 x = , 5 . d . 1 2 1 [ − √1 − M x L1corrigido0,425 . bw . d . f2 cd] 
 
 x = , 5 . 9cm . 1 2 1 [ − √1 − 2630kN .cm/m0,425 . 100cm . 9²cm .2 1,43kn/m²] 
 , 25cm x = 2 2 
 
 , .x z = d − 0 4 
 9cm 0, . 2, 25cm z = − 4 2 
 8, 1cm z = 1 
 
AsL1 Mx = z . fyd
M x L1corrigido 
AsL1 Mx = 2630kn.cm8,11 cm . 1,1550kn/cm²
 
7, 59 cm²/m AsL1 Mx = 4 
 
SL1 Mx = Asmax
π.θ²/4 
SL1 Mx = π.1²cm/40,07459cm² 
0, 3 cm SL1 Mx = 1 5 
Cálculo da armadura positiva em y 
 
 x = , 5 . d . 1 2 1 [ − √1 − my0,425 . bw . d . f2 cd] 
 x = , 5 . 8cm . 1 2 1 [ − √1 − 588kN .cm/m0,425 . 100cm . 8²cm . 1,43kN /cm²] 0, 18cm/mx = 5 
 
 , .x z = d − 0 4 
 8cm 0, . 0, 18cm z = − 4 5 
 7, 93cm z = 7 
 
AsL1 My = 
M y
z . fyd 
AsL1 My = 588kN .cm7,793 cm . 1,1550kn/cm²
 
1, 35 cm²/mAsL1 My = 7 
 
SL1 My = Asmax
π.θ²/4 
SL1 My = π.1²cm/40,01735cm² 
5, 67 cmSL1 My = 4 2 
 
Cálculo da armadura negativa existente no engaste Mx', utilizaremos como braço de 
alavanca a mesma altura calculada em dx 
 x = , 5 . d . 1 2 1 [ − √1 − M x L1′ 0,425 . bw . d . f2 cd] 
 
 x = , 5 . 9cm . 1 2 1 [ − √1 − 3371,2kN .cm/m0,425 . 100cm . 9²cm .2 1,43kn/m² ] 
 , 6cm x = 2 9 
 
 , .x z = d − 0 4 
 9cm 0, .2, 6cm z = − 4 9 
 7, 16cm z = 8 
 
AsL1 Mx = z . fyd
M x L1′ corrigido 
AsL1 Mx = 
3371,2kN .cm
7,816 cm . 1,15
50kn/cm² 
9, 20 cm²/m AsL1 Mx = 9 
SL1 Mx = Asmax
π.θ²/4 
SL1 Mx = π.1²cm/40,09920cm² 
, 17 cm SL1 Mx = 7 9 
 
 
 
 
 
 
Verificação dos cortantes 
Cálculo dos ni para o cálculo dos cortantes de cálculo 
 
, 5 νx = 3 4 
, 5 νx′ = 5 0 
, 3νy = 1 8 
 
 . V x = νx 10
P . lxELU ⇒ , 5 . V x = 3 4 10
14kN /m . 5m 
24,15 kN/mV x = 
 
 . V x′ = νx′ 10
P . lxELU ⇒ , 5 . V x′ = 5 0 10
14kN /m . 5m 
35,35 kN/mV x′ = 
 
 . V y = νy 10
P . lxELU ⇒ , 3 . V y = 1 8 10
14kN /m . 5m 
12,81 kN/mV y = 
 
 
 
A laje possui 4 bordos, o bordo à esquerda apoiado será verificado com a armadura Asx 
positiva. A verificação na borda à direita será feita com a armadura Asx'. A verificação dos 
cortantes em y possuem as mesmas solicitações Vsd, com isso a verificação da borda 
superior e inferior são as mesmas, ambas com Asy positiva. 
 
Verificação dos cortantes da borda esquerda 
 
ctm 0, . fckf = 3 2/3 
 ctm 0, . 30 MPaf = 3 2/3 ⇒ ctm 2, 9 MPaf = 8 
 
ctd 0, . fctm/1,f = 7 4 
 ctd 0, . 2, 9 MPa/1,f = 7 8 4 ⇒ ctd 1, 45 MPaf = 4 
 
τRd = 0,25 . fctd 
 0, 5 . 1, 45 MPaτRd = 2 4 ⇒ , 612 MpaτRd = 0 3 ⇒ 0, 3612 kN /cm²τRd = 0 
 
 1, x(m)k = 6 − d 
 1, , 9mk = 6 − 0 0 ⇒ , 1k = 1 5 
 
 
 ρ1 = b . dx
Asx L1 
 0,00829 ρ1 = 100 . 9
7,459 cm²/m ⇒ ρ1 = 
 
 
b.dx V Rd1 = τ .k.(1, 0.ρ1)[ Rd 2 + 4 ] . 
100cm . 9cmV Rd1 = 0, 3612 kN /cm² . 1, 1 . (1, 0 . 0, 082)[ 0 5 2 + 4 0 ] . 
5, 3kNV Rd1 = 7 3 
 
Se OK V x ≤ V Rd1 ⇒ 
 OK4, 5 kN /m 75, 3kN2 1 ≤ 3 ⇒ 
 
Verificação dos cortantes à direita 
 
 ρ1 = b . dx
Asx L1′ 
 0,011 ρ1 = 
9,920 cm²/m
100cm . 9cm ⇒ ρ1 = 
 
(igual ao anterior)0, 3612 kN /cm²τRd = 0 
(igual ao anterior) , 1k = 1 5 
 
b.dx V Rd1 = τ .k.(1, 0.ρ1)[ Rd 2 + 4 ] . 
100cm . 9cmV Rd1 = 0, 3612 kN /cm² . 1, 1 . (1, 0 . 0, 11)[ 0 5 2 + 4 0 ] . 
80,50 kNV Rd1 = 
 
Se OK V x′ ≤ V Rd1 ⇒ 
 OK5, 5 0, 03 3 ≤ 8 5 ⇒ 
 
Verificação do cortante da borda inferior e superior 
 
 1, y(m)k = 6 − d 
 1, , 8mk = 6 − 0 0 ⇒ , 2k = 1 5 
 
 ρ1 = b . dx
Asy L1 
 0,00217 ρ1 = 
1,735 cm²/m
100cm . 8cm ⇒ ρ1 = 
 
(igual ao anterior)0, 3612 kN /cm²τRd = 0 
 
 
b.dy V Rd1 = τ .k.(1, 0.ρ1)[ Rd 2 + 4 ] . 
100cm .8cmV Rd1 = 0, 3612 kN /cm² . 1, 2 . (1, 0 . 0, 0217)[ 0 5 2 + 4 0 ] . 
56,51 kNV Rd1 = 
 
Se OK V x′ ≤ V Rd1 ⇒ 
 OK2, 1 6, 11 8 ≤ 5 5 ⇒ 
 
 
 
 
Verificação da flechaVerificação da fissuração no momento positivo em x 
 
 1,α = 5 
c b . 1, 4 . 10I = h
3
12 = 4
−4 
 
c b . I = h
3
12 
c 1m . 1, 4 . 10I = 12
0,12 m3 = 4 −4 
 
t y = 2
h 
t 0, 6my = 2
0,12 = 0 
 
ctm 2, 9 MPa 2890 kN /m²f = 8 = 
 
r M = yt
α . fctm . Ic 
kn.mr 10, 2M = 0,06
1,5 . 2890 kN /m² . 1,44 . 10−4 = 4 
 
r Mx/1,M ≤ 4 F issura ⇒ 
 
0, 2 26, 0/1, F issura 1 4 ≤ 3 4 ⇒ 
 
Cálculo da inércia da seção fissurada 
 
s 210GPa E = 
 
 c 0, 8 . 5600 . E = 8 √30MPa ⇒ c 0, 8 . 5600 . E = 8 √30MPa ⇒ c 26992E = 
 
 s/Ec αe = E ⇒ αe = 26992
210GP , 8αe = 7 7 
 
 a = 2
b ⇒ a = 2
100 ⇒ 0cma = 5 
 
 α .(As ) B = e L1 mx ⇒ 7, 8.(26, 0kN .cm) B = 7 3 ⇒ 04, 1kn.cmB = 2 6 
 α .(As ).dx C = e L1 mx ⇒ 7, 8.(26, 0kN .cm).9C = 7 3 ⇒ 5381, 4C = 3 
 
 
 xII = 2.a
−b+√b² − 4 . a . c 2, 03cmxII = 2.a
−204,61+√204,6² − 4 . 50. 5381,34 = 7 
 
 α . (As ) . (d x )² 2, 59.10³ cmI2 = 3
B . x ³II + e L1 Mx x − II = 9 4 
 
Inércia total da laje fissurada 
( )³ . I 4, 16 . 10³ cm leq = MrMx/1.4 c + 1 [ − ( MrMx/1,4)3] I2 = 9 4 
 
 
Flecha imediata Da tabela e do caso de carregamento temos o alfa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da flecha diferida