estruturas de madeira-aula9

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Estrutura de Madeira
Aula 9 - Análise e Dimensionamento de Peças
Submetidas à Flexocompressão
INTRODUÇÃO
Nas aulas anteriores identi�camos como dimensionar peças submetidas a esforços combinados de tração e �exão.
O estudo de peças submetidas à �exocompressão passa por algumas análises mais aprofundadas, já que o efeito de
�ambagem pode provocar uma redução na resistência do elemento estrutural.
Aprenderemos a veri�cação de peças esbeltas submetidas à compressão simples. Nesses casos, o efeito da �ambagem
provoca uma �exão adicional na peça, que deve ser considerada no momento do dimensionamento.
Nesta aula, estudaremos como dimensionar peças submetidas à �exocompressão, utilizando a norma NBR 7190/97
como referência para os nossos cálculos.
OBJETIVOS
Examinar os cálculos necessários para o dimensionamento de vigas à �exocompressão segundo a NBR 7190/1997.
Analisar os cálculos necessários para o dimensionamento de peças esbeltas submetidas à compressão simples segundo
a NBR 7190/1997.
FLEXÃO COMPOSTA EM PEÇAS CURTAS
Estudamos na aula 6 que podemos considerar peças curtas aquelas em que o índice de esbeltez, dado pela razão l /i, é
inferior a 40.
Nesses casos, o dimensionamento de uma peça à �exocompressão é similar ao processo visto na aula 8 para peças
submetidas à �exotração, já que não ocorre a redução de resistência, por conta da �ambagem, no elemento.
A veri�cação das tensões no estado limite último é realizada conforme as seguintes expressões:
Onde:
É possível perceber uma diferença nas expressões indicadas para �exotração (glossário) e �exocompressão, já que neste
último, a parcela referente ao efeito de compressão está elevada ao quadrado (glossário).
Caso a peça apresente momento em apenas um plano da seção, as expressões podem ser substituídas pela seguinte
veri�cação:
Exemplo
Veri�que a segurança de um elemento de treliça submetido a um esforço normal de compressão de 75kN, com
excentricidade na carga aplicada de 6cm em um eixo principal e 10cm no outro.
Considere que a peça possui dimensões 20cm x 20cm, que a peça é de madeira conífera classe C25, com f = 25MPa
e k = 0,60. Adote um comprimento de �ambagem igual a 2m e despreze a �ambagem lateral da peça.
�
σ e σ são as tensões solicitantes de projeto nas direções x e y;
k é um fator de combinação de resistências, sendo 0,5 para seções retangulares e 1,0 para demais seções.
x0,d y0,d
M
c0,k
mod
PASSO 1
Determinamos as propriedades geométricas da peça:
Peça curta
PASSO 2
Calculamos a tensão resistente de projeto a compressão:
PASSO 3
Calculamos as tensões solicitantes, a partir do esforço de compressão e das excentricidades
dadas:
PASSO 4
Realizamos a veri�cação a �exocompressão da peça:
Portanto, a peça passa na veri�cação aos efeitos de �exocompressão.
PEÇAS ESBELTAS OU MEDIANAMENTE ESBELTAS SUBMETIDAS À
COMPRESSÃO SIMPLES E FLEXOCOMPRESSÃO
Para as peças comprimidas com esbeltez intermediária ou esbelta, ou seja, aquelas que possuem índice de esbeltez entre
40 e 80 ou acima de 80 (e abaixo do limite de 140, conforme recomendação da NBR 7190/97), respectivamente, devemos
levar em consideração o efeito da �ambagem da peça.
Peças medianamente esbeltas
COMPRESSÃO SIMPLES
A NBR 7190/97 indica que o dimensionamento deve ser feito para a �exocompressão, mesmo
para situações de compressão simples. Isso ocorre pois adicionamos uma excentricidade
acidental e devido a imperfeições geométricas que provocam efeitos de segunda ordem
característicos da �ambagem da peça. O valor mínimo da excentricidade acidental é dado por:
a
O momento máximo de projeto gerado em decorrência do esforço normal N atuando com a
excentricidade acidental é calculado pela expressão:
Na expressão acima, N é a carga crítica de Euler, dada pela expressão:
A partir daí, calculam-se as tensões solicitantes de projeto, e veri�ca-se a condição de
estabilidade a partir da expressão a seguir:
Essa expressão deve ser aplicada a cada plano de �ambagem de forma independente. No
entanto, se um dos planos apresentar esbeltez inferior a 40, pode-se desprezar o efeito de
�ambagem na resistência.
FLEXOCOMPRESSÃO
Para peças submetidas à �exocompressão, o momento máximo de projeto é calculado a partir
da excentricidade acidental decorrente da �ambagem e do momento �etor inicial M , a partir
da expressão:
Onde e = M / N e deve ser superior a h/20, h é a altura da seção transversal no plano de
veri�cação. A veri�cação da condição de estabilidade é dada pela mesma expressão da
veri�cação da �exão simples.
Além da veri�cação da condição de estabilidade, devemos veri�car a resistência da seção,
seguindo as mesmas expressões apresentadas anteriormente.
d
cr
id
i id d
Peças esbeltas
O processo de dimensionamento de peças esbeltas (com esbeltez acima de 80 e abaixo de 140) é o mesmo visto para
peças medianamente esbeltas, com a adição do efeito da �uência da madeira, causando um aumento no momento �etor
máximo de projeto. Incluímos na expressão do momento, a excentricidade e , representando o efeito da �uência. O valor
do momento máximo �ca, portanto:
Na expressão, a excentricidade devida à �uência é dada por:
Onde:
Tabela 1 - Coe�cientes de �uência, segundo norma NBR 7190/97
Classe de carregamento
Classes de umidade
1 2 3 4
Permanente 0,8 0,8 2,0 2,0
Longa duração 0,8 0,8 2,0 2,0
Média duração 0,3 0,3 1,0 1,0
Curta duração 0,1 0,1 0,5 0,5
Tabela 2 - Fatores de utilização ψ e ψ , segundo norma NBR 7190/97
Descrição das ações ψ ψ
Ações ambientais em Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,5 0,3
c
φ é o coe�ciente de �uência, dado pela Tabela 1;
e = M /N é a excentricidade inicial decorrente do momento devido às ações permanentes (g);
N = N + (ψ + ψ ) N , sendo N e N os esforços normais devidos às ações permanentes (g) e variáveis (q),
respectivamente, e ψ e ψ são os fatores de utilização, reproduzidos novamente na tabela 2 abaixo para referência, e
dados que ψ + ψ ≤ 1,0.
ig igd d
g
*
g 1 2 q g q
1 2
1 2
1 2
1 2
estruturas correntes
Pressão dinâmica do vento 0,2 0,0
Cargas acidentais em
edifícios
Locais onde não há predominância de pesos de equipamentos �xos,
nem de elevadas concentrações de pessoas
0,3 0,2
Locais onde há predominância de pesos de equipamentos �xos ou
de elevadas concentrações de pessoas
0,6 0,4
Bibliotecas, arquivos, o�cinas e garagens 0,7 0,6
Assim como para peças medianamente esbeltas, devemos realizar a veri�cação das peças para a condição de
estabilidade e para a condição de resistência à �exocompressão, reta ou oblíqua.
Exemplo
Para uma peça de madeira dicotiledônea classe C40 (f = 40MPa e E = 19500MPa), com k = 0,56 e
comprimento de �ambagem igual a 3m, veri�que a segurança para um esforço normal de compressão de 45kN e
momento inicial igual a 2kN.m. Despreze a �ambagem lateral da peça, considere as dimensões iguais a 10cm x 10cm e
adote classe de umidade 2 (φ = 0,8).
PASSO 1
Calcular as propriedades geométricas da seção transversal e as resistências do material:
c0,k c,m mod
Peça esbelta
PASSO 2
Calcular as tensões e realizar a veri�cação da condição de resistência da peça à
�exocompressão reta:
Passa!
PASSO 3
Como a peça passa na veri�cação da resistência, devemos veri�car a condição de estabilidade
da peça, levando em consideração os efeitos de �ambagem e, como a peça é esbelta, os
efeitos da �uência da madeira. Admitindo que o esforço normal e o momento �etor inicial
possuem origem em cargas permanentes, calculamos o momento �etor máximo de projeto:
PASSO 4
Calcular a tensão devida ao momento �etor máximo de projeto e veri�car a condição de
estabilidade:
Não passa!
Neste caso, a peça não passa na veri�cação da condição de estabilidade. Para quepassasse,
precisaríamos aumentar a seção para 12,5cm x 12,5cm. Os cálculos seriam:
Peça esbelta
Passa!
Neste exemplo, como a seção é quadrada e não há momento �etor inicial no outro plano, não é
necessário veri�car a condição de estabilidade nos dois planos.
EXERCÍCIOS
Questão 1: Para uma coluna de 3m de comprimento, sem possibilidade de �ambagem lateral, feita de madeira conífera de
classe C30 (f = 30MPa e E = 14500MPa), de dimensões 10cm x 20cm, com um k = 0,45, um coe�ciente de
�uência igual a 0,8 e submetida a um momento inicial de 3kN.m em torno do eixo de maior inércia e 1kN.m em torno do
eixo de menor inércia, além de um esforço de compressão de 50kN, assinale a opção correta:
a) A carga crítica de Euler é dada por 450kN na maior inércia.
b) A peça passa na veri�cação à resistência para os esforços de �exocompressão.
c) A peça não passa na veri�cação da condição de estabilidade, apenas para o eixo de menor inércia.
d) A excentricidade acidental e é igual a 2cm nas duas direções.
e) A peça é considerada esbelta em ambas as direções.
Justi�cativa
Questão 2: Para uma coluna de 2,5m de comprimento, sem possibilidade de �ambagem lateral, feita de madeira
dicotiledônea de classe C20 (f = 20MPa e e = 9500MPa), de dimensões 12,5cm x 12,5cm, com um k = 0,56,
um coe�ciente de �uência igual a 2,0 e submetida a um momento inicial de 1kN.m em torno do eixo de maior inércia, além
de um esforço de compressão de 30kN, assinale a opção correta:
a) O momento �etor máximo de projeto para veri�cação na condição de estabilidade é aproximadamente igual a 151,6kN.cm.
b) A tensão resistente de projeto a compressão é de 10MPa.
c) O coe�ciente de esbeltez da peça é aproximadamente igual a 75,3.
d) A peça não passa na veri�cação à resistência para os esforços de �exocompressão.
e) A excentricidade inicial é igual a 4,5cm.
Justi�cativa
c0,k c,m mod
a
c0,k c,m mod
Questão 3: Para um elemento de treliça de 4,5m de comprimento, feita de madeira dicotiledônea de classe C40 (f =
40MPA e E = 19500MPa), de dimensões 15cm x 15cm, com um k = 0,45, um coe�ciente de �uência igual a 0,8 e
submetida a um esforço de compressão de 150kN, assinale a opção correta:
a) A peça não passa para a veri�cação na condição de estabilidade, mas passaria caso a seção transversal fosse 17,5cm x
17,5cm.
b) A peça não passa para a veri�cação à resistência para os esforços de �exocompressão.
c) O valor de E é igual a 8500MPa.
d) A peça não passa para a veri�cação na condição de estabilidade, mas passaria caso a seção transversal fosse 20cm x 20cm.
e) O valor da excentricidade devida à �uência é aproximadamente e = 5,0cm.
Justi�cativa
Glossário
FLEXOTRAÇÃO
O termo linear obtido para a �exotração está relacionado ao comportamento elástico da madeira quando sujeita a esforços de
tração.
QUADRADO
O termo quadrático tem relação com o comportamento plástico da madeira quando sujeita a esforços de compressão.
c0,k
c,m mod
c,ef
c