As Leis de Kirchhoff

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Circuitos Elétricos: Leis de Kirchhoff – 4ª e 5ª séries – Engenharia Cívil 
Leis de Kirchhoff 
As Leis de Kirchhoff permitem determinar os valores de corrente e tensão em um 
circuito elétrico. 
As Leis de Kirchhoff são empregadas em circuitos elétricos mais complexos, como 
por exemplo circuitos com mais de uma fonte de resistores estando em série ou em 
paralelo. As Leis de Kirchhoff permitem determinar os valores de corrente e tensão em 
um circuito elétrico. 
 Para estudarmos as Leis de Kirchhoff, vamos inicialmente definirmos o que vem a ser 
Ramo, Nó e Malha. 
 
a) Ramo 
Qualquer parte de um circuito elétrico, composta por um ou mais dispositivos ligados 
em série é denominada de ramo. 
Ramo
R4 R6
R7E2
R5 E3
 
b) Nó 
Qualquer ponto de um circuito elétrico no qual há a conexão de três ou mais ramos é 
denominado nó. 
 R4 R6
R7E2
R5 E3
Nó Nó
 
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c) Malha 
Qualquer parte de um circuito elétrico cujos ramos formam um caminho fechado para 
a corrente é denominada malha. 
R3
R1
E1
E2R2
R4
Malha
Interna
Malha
Interna
Malha
Externa
 
 
1ª Lei de Kirchhoff: 
“A soma das correntes elétricas que entra num determinado nó é igual à soma das 
correntes elétricas que sai desse mesmo nó.” Esta lei também é conhecida como Lei 
dos Nós. 
 
A
I2 
I1 
I3 
I4 
I5 
I6 
I1 + I4 + I5 = I2 + I3 + I6
 
 
2ª Lei de Kirchhoff: 
“A soma das tensões elétricas em uma malha qualquer, num determinado sentido, é 
sempre igual à soma das tensões elétricas dessa mesma malha no sentido oposto.” 
Esta lei também é conhecida como Lei das Malhas. 
 
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E1 
E3 
R1 
R2 
R3 
E2 
V3 
V2 
V1 
I
Arbitrária
E2 + E3 – V2 – V3 – E1 – V1 = 0
 ou
E2 + E3 = V2 + V3 + E1 + V1 
 
Procedimentos para determinação dos valores de corrente e tensão através das 
Leis de Kirchhoff: 
a) Determinamos inicialmente, quantas correntes diferentes há no circuito analisado 
(correntes de ramo); 
E1
R1
R2
E2 E1
R1
R2
E2
I1
(Uma corrente)
R5
R4
I1
I2
I3
(Três correntes)
E1
R1
R2
E2 R5
R4
I1
I3
I2
(Cinco correntes)
E2
R3 I5
I4
 
b) Adotamos um sentido qualquer para cada uma das correntes do circuito; 
c) Por meio das correntes adotadas no item anterior, determinamos, 
consequentemente, o sentido de cada tensão elétrica do circuito (só para elementos 
passivos, isto é, receptores = resistores, etc.); 
d) Aplicamos a 1ª Lei de Kirchhoff n vezes, sendo n o número de nós do circuito 
menos um; 
e) Aplicamos a 2ª Lei de Kirchhoff m vezes, sendo m o número de malhas internas do 
circuito; 
f) Resolvemos o sistema de equações, determinando o valor de todas as correntes; 
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g) Todas as correntes que resultarem num valor negativo significam que o seu 
sentido é contrário ao adotado, e, consequentemente, altera-se também o sentido das 
tensões atingidas por essas mesmas correntes; 
h) Determinamos o valor de cada uma das tensões do circuito; 
i) Após todos os cálculos, verificamos em cada nó se a 1ª Lei de Kirchhoff está sendo 
obedecida e se para qualquer malha a 2ª Lei de Kirchhoff está sendo cumprida. Se 
não estiver, refaça a análise das equações e os cálculos, porque há algum erro; se 
estiver tudo correto, a análise do circuito chegou ao fim. 
 
Exemplo de aplicação do método: 
Para o circuito a seguir, determine as intensidades das correntes em todos os ramos. 
10V
3,5V
I1
I2
I3
2Ω
3Ω
4Ω
1Ω
14V
13V
b
a
Malha 1 Malha 2 
 
Solução: 
Aplicando os procedimentos temos no circuito acima as correntes fictícias I1, I2 e I3 
(três ramos) e duas malhas internas (malha 1 e malha 2) e dois nós (a e b). 
Como temos três incógnitas, necessitamos de três equações para determinarmos as 
correntes do circuito. 
A primeira equação é obtida aplicando a 1ª Lei de Kirchhoff (Lei dos Nós), adotando o 
nó (a) como o nó principal, temos: 
I3 = I1 + I2 Equação (1) 
Aplicando a 2ª Lei de Kirchhoff (Lei das Malhas), nas malhas 1 e 2, adotando o sentido 
horário (é arbitrário) com sendo o sentido de circulação da corrente, temos: 
 
 
 
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Equação da Malha 1: 
10V
3,5V
V2
2Ω
3Ω
4Ω
1Ω
14V
13V
Malha 1 Malha 2 
Sentido horário
V1 a
b
I1
I2
I3
 
A soma das tensões em um sentido mais a soma das tensões em outro sentido é igual 
à zero: 
V2 – 13 + 10 – V1 = 0 
V1 = 2 x I1 (1ª Lei de Ohm) 
V2 = 3 x I2 (1ª Lei de Ohm) 
3 x I2 – 2 x I1 = 3 
3 x I2 – 2 x I1 = 3 Equação (2) 
 
Equação da Malha 2: 
10V
3,5V
V2
2Ω
3Ω
4Ω
1Ω
14V
13V
Malha 1 Malha 2 
a
b
I1 I2
V3
V4
I3
Sentido horário
 
A soma das tensões em um sentido mais a soma das tensões em outro sentido é igual 
à zero: 
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14 – V3 – 3,5 – V4 + 13 – V2 = 0 
V2 – V3 – V4 = 23,5 
V2 = 3 x I2 (1ª Lei de Ohm) 
V3 = 4 x I3 (1ª Lei de Ohm) 
V4 = 1 x I3 (1ª Lei de Ohm) 
Equação (3)– 3 x I2 – 5 x I3 = – 23,5 
Como temos 3 equações e 3 incógnitas, montamos um sistema de 3 equações: 
 
 I1 + I2 – I3 = 0 (1)
 – 2 x I1 – 3 x I2 = 23 (2)
 – 3 x I2 – 5 x I3 = – 23,5 (3)
 
 
Solução: (Método da substituição) 
Da equação (1), temos: I1 = I3 – I2 
Substituindo o valor de I1 da equação (1), na equação (2), temos: 
 
– 2 x (I3 – I2) – 3 x I2 = 3 5 x I2 – 2 x I3 = 3 Equação (4) 
– 3 x I2 – 5 x I3 = – 23,5
5 x I2 – 2 x I3 = 3 
(3)
(4)
 
 
Multiplicando a equação (3) por 5 e a equação (4) por 3, somando os termos membro 
a membro, temos: 
– 15 x I2 – 25 x I3 = – 117,5
 15 x I2 – 6 x I3 = 9
– 31 x I3 = – 108,5
 
I3 = 3,5 A
 
Substituindo o valor de I3, na equação (4), temos: 
5 x I2 – 2 x 3,5 = 3 
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5 x I2 – 2 x 3,5 = 3 
 
I2 = 2 A
 
Da equação (1), temos que: 
I1 = I3 – I2 = 3,5 – 2 I1 = 1,5 A
 
Obs: podemos resolver o sistema utilizando outros métodos, como a Regra de 
Cramer, a seguir: 
 
Regra de Cramer: 
Dado o sistema de 3 variáveis: 
 
a1 x + b1 y + c1 z = k1
a2 x + b2 y + c2 z = k2
a3 x + b3 y + c3 z = k3
 
 
a1 b1 c1 
a2 b2 c2 
a3 b3 c3 
D = D = 0, sistema possível e 
determínavel
 
 
Dx =
k1 b1 c1 
k2 b2 c2 
k3 b3 c3 
Dy =
a1 k1 c1 
a2 k2 c2 
a3 k3 c3 
Dz =
a1 b1 k1 
a2 b2 k2 
a3 b3 k3 
e,
 
,x =
Dx 
D 
y =
Dy 
D 
e z =
Dz 
D 
V = 
 
x , y , z
 
 
Exercícios de fixação: 
1) No circuito a seguir, as correntes têm os sentidos indicados. Se a intensidade da 
corrente I1 é 5A, determine o valor da resistência do resistor R. 
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60V 14V
I1 4Ω
2Ω
b
a
R
I I2
Resposta: 
R = 5Ω
 
2) No circuito a seguir, determineos valores das correntes indicados, através das Leis 
de Kirchhoff. 
4V 12V
5Ω
10Ω
15Ω
8V
a
b10Ω
I3
I1 I2
Respostas:
I1 = 0,65 A
I2 = 0,42 A
I3 = 0,23 A
 
3) No circuito a seguir, determine a ddp entre os pontos A e B. 
6V
45Ω
60Ω
10Ω
9V
A
B
I2
Resposta:
VAB = 2,04 V
I1 I3
 
 
 
 
 
 
 
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4) No circuito a seguir, determine a intensidade da corrente em cada ramo. 
50V
30Ω 100Ωa
b
5Ω
150V
5Ω
40V
10Ω
Respostas:
I1 = – 2 A
I2 = – 6 A
I3 = 4 A
 
5) No circuito a seguir, determine as intensidades das correntes I1 , I2 e I3. 
12V
a
b
10Ω
Respostas:
I1 = 0,28 A
I2 = – 0,15 A
I3 = – 0,13 A
6V
22Ω
3V
47Ω
I2
I1 I3
 
 
 
 
Apostila elaborada por: Oswaldo da Silva Lopes Júnior 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
 
– AIUB, José Eduardo; FILONI, Enio: Eletrônica (Eletricidade – Corrente Contínua); 15ª ed. 
São Paulo, Érica, 2007; 
 
– MARKUS, Otávio: Circuitos Elétricos (Corrente Contínua e Corrente Alternada); 
9ª ed. São Paulo, Érica, 2014; 
 
– RAMALHO, Francisco Junior; FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antonio 
de Toledo: Os Fundamentos da Física (Eletricidade); 6ª ed. São Paulo, Editora 
Moderna, 1995.