Teorema de Stevin

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Física II 
 
 
 
 
TEOREMA DE STEVIN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução ............................................................................................................................. 2 
 
Objetivo ................................................................................................................................. 2 
 
1. Teorema de Stevin ........................................................................................................ 2 
1.1. O Teorema de Stevin............................................................................................. 2 
1.2. Teorema de Stevin para pontos na mesma altura ............................................ 3 
1.3. Variação de Pressão entre dois pontos usando a Lei de Stevin ....................... 3 
1.4. Exemplo de aplicação do Teorema de Stevin .................................................... 4 
1.5. Aplicações do Teorema de Stevin ....................................................................... 5 
 
Exercícios ............................................................................................................................... 7 
 
Gabarito ................................................................................................................................. 7 
 
Resumo .................................................................................................................................. 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
A pressão atmosférica varia com o tempo e com altitude, e com o experimento 
de Torricelli descobrimos novas unidades de pressão como o mmHg (milímetros de 
mercúrio) e mca (metros de coluna d’água), e sua correlação com a pressão 
atmosférica. No entanto, aprendemos somente sobre a pressão absoluta, isto é, a 
pressão sobre um único ponto. Para entendermos sobre pressões relativas, ou seja, a 
diferença de pressão entre dois pontos, teremos que aprender sobre o Teorema de 
Stevin. 
Nesta apostila aprenderemos sobre o importantíssimo Teorema de Stevin e 
suas aplicações. 
Objetivo 
• Entender por meio do Teorema de Stevin como se obtém a pressão em 
diferentes pontos de um líquido. 
• Obter a variação de pressão entre dois pontos usando a Lei de Stevin. 
• Aplicar o teorema de Stevin. 
 
1. Teorema de Stevin 
1.1. O Teorema de Stevin 
Dado um recipiente com fluido líquido com dois pontos X e Y conforme mostra 
a figura a seguir: 
01 
Dois pontos X e Y de um fluido em repouso 
Temos um fluido de massa específica igual a ρ, que está submetido à ação da 
gravidade g e um ponto do fluido que está a uma distância h da superfície do fluido. 
 
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Segundo o teorema de Stevin podemos obter a pressão em cada ponto do fluido por 
meio desta fórmula: 
P = ρgh 
E o que esta expressão significa afinal? 
Que a pressão em determinado ponto do fluido é diretamente proporcional à 
sua densidade, à aceleração da gravidade e finalmente é diretamente proporcional à 
altura que vai do local onde o ponto está localizado até a superfície do fluido. 
Com base nesta afirmação, a pressão no ponto X é determinada assim: 
PX = ρghX (1) 
O mesmo raciocínio é feito para o ponto Y: 
PY = ρghY (2) 
 
1.2. Teorema de Stevin para pontos na mesma altura 
Vamos supor que os pontos X e Y estejam na mesma altura h, as equações 1 e 
2, ficarão assim: 
PX = ρgh (3) 
O mesmo raciocínio é feito para o ponto Y: 
PY = ρgh (4) 
Vamos assumir que a densidade seja constante em todos os pontos do fluido, 
igual a como fizemos no item anterior. 
Conclui-se que 𝑃𝑋 = 𝑃𝑌 
A pressão no ponto X é igual à pressão no ponto Y. 
Pelo Teorema de Stevin, podemos concluir que os pontos de um fluido que se 
localizam na mesma altura, possuirão o mesmo valor de pressão. 
 
1.3. Variação de Pressão entre dois pontos usando a Lei de Stevin 
Para a Mecânica dos Fluidos é muito importante que saibamos a variação de 
pressão de um ponto para o outro. Esta variação é chamada de delta P, escrita ΔP: 
ΔP = PY − PX (5) 
Para obter o valor de ΔP, teremos que subtrair a equação 4 da equação 3 desta 
forma: 
PY − PX = ρghY − ρghX (6) 
 
4 
 
Agora vamos agrupar os termos semelhantes da equação 6: 
PY − PX = ρghX − ρghX 
PY − PX = ρg(hY − hX) 
PY − PX = ρg(hY − hX) (7) 
Vamos substituir a equação 5 na equação 7 desta forma: 
PY − PX = ρg(hY − hX) 
ΔP = ρg(hY − hX) 
ΔP = ρg(hY − hX) (8) 
Vamos voltar a olhar para figura de novo e poderemos deduzir que temos a 
seguinte relação ainda: 
Δh = hY − hX (9) 
A equação 9 quer dizer que a variação de altura entre os pontos X e Y é igual a 
altura do ponto Y menos a altura do ponto X. 
Agora vamos substituir a equação 7 na equação 6 assim: 
ΔP = ρg(hY − hX) 
ΔP = ρgΔh 
ΔP = dgΔh (10) 
 
Mas o que a equação quer dizer, afinal? 
A variação da pressão entre dois pontos do fluido será a massa específica do 
fluido multiplicada pela aceleração da gravidade e pela variação da altura entre estes 
dois pontos. 
Vamos assumir que a densidade seja constante em todos os pontos do fluido. 
 
1.4. Exemplo de aplicação do Teorema de Stevin 
Vamos resolver um problema usando a lei de Stevin que caiu em um vestibular 
da Universidade Federal do Acre, ok? 
O enunciado é descrito a seguir: 
(UFAC) A cidade de Rio Branco, AC, está aproximadamente a 160 m de altitude, 
sendo a pressão atmosférica em torno de 9,9 x 104 Pa. Em épocas de cheias, a pressão 
no fundo do Rio Acre triplica esse valor. Qual é a profundidade do Rio Acre nessa 
época? 
 
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Dados: g = 10 m/s2; 
dÁGUA = 1 g/cm3 = 103 Kg/m3 
 
 Vamos resolver este problema então, usando a seguinte equação: 
ΔP = dg(hY − hX) (1) 
Sabemos que ΔP = PY − PX, a equação acima ficará assim: 
PY − PX = dg(hY − hX) (2) 
Temos: 
A pressão PX = 9,9 x 104 Pa e PY = 29,7 x 104 Pa 
Chamaremos a profundidade de Δh = hY − hX (3) 
Agora vamos colocar os dados da profundidade na equação 2 e teremos: 
PY − PX = dg(hY − hX) 
PY − PX = dgΔh 
PY − PX = dgΔh (4) 
Fazendo as substituições dos valores que temos, a equação 4 ficará assim: 
PY − PX = dgΔh 
(29,7 × 104 − 9,9 × 104) = 1000(10)Δh 
(19,8 × 104) = 104Δh 
Δh =
(19,8 × 104)
104
 
Δh = 19,8m 
 
Portanto a profundidade será igual a Δh = 19,8m. 
 
1.5. Aplicações do Teorema de Stevin 
As caixas d’água e reservatórios são importantes aplicações da teoria de 
Stevin. Eles fazem uso do Princípio de Stevin para que recebam e distribuam água sem 
a necessidade de bombeamento. 
 
 
 
 
 
6 
 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
 
 
Também uma das mais importantes aplicações de Stevin é a Teoria dos Vasos 
Comunicantes. Os vasos comunicantes são um conjunto de recipientes onde se 
acomoda um fluido que possui a característica de ser homogêneo. O que significa 
dizer que este líquido se acomoda? Significa dizer que em todos recipientes, este 
líquido atinge o equilíbrio, e terá a mesma altura em todos recipientes. E se 
adicionarmos um outro líquido a todos estes recipientes? O líquido irá se adaptar de 
novo, de forma a atingir um novo nível em todos os vasos. 
 Veja a figura a seguir que ilustra um exemplo de vasos comunicantes: 
 
02 
Vasos comunicantes 
CAI NA PROVA! 
 
 
 
 
Você sabia que o Império Romano aplicava a Lei de Stevin? 
Eles construíram vários aquedutos para levar água para 
suas cidades, pois as fontes de onde esta água vinham, 
eram distantes. Além de a água ser utilizada nas casas, era 
utilizada em operaçõesde agricultura e mineração. 
 
Outra forma que pode ser pedida para expressarmos a 
Lei de Stevin é mostrada a seguir: 
𝛥𝑃 = 𝑑𝑔𝛥ℎ 
𝑃 − 𝑃0 = 𝑑𝑔𝛥ℎ 
𝑃 = 𝑃0 + 𝑑𝑔𝛥ℎ 
Você verá esta expressão em muitos livros de mecânica 
dos fluidos. 
 
 
 
 
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Exercícios 
1) (Autora, 2019) Em um tanque de querosene, deseja-se saber a diferença 
de pressão entre dois pontos da massa líquida deste tanque, sendo que 
estes pontos estão distanciados de 10 metros na vertical. A aceleração 
da gravidade neste caso é g = 9,8 m/s2 e a densidade do querosene é 
igual a d = 820 kg/m3. 
2) (Autora, 2019) Supondo que a água da tubulação de um prédio de 8 
andares deve ser bombeada à uma altura de aproximadamente 35 m, 
determine a pressão necessária para bombear a água. Admita a 
densidade da água como 1.000kg/m3 e a aceleração da gravidade como 
g = 9,8 m/s2. 
3) (Autor 1979) A pressão em um ponto A de um líquido é igual a 35 Pa. O 
ponto B tem uma pressão igual a 100 Pa. A densidade deste líquido é 
igual a d = 1.300 kg/m3. O ponto B está localizado abaixo do ponto A. 
Supondo a aceleração da gravidade igual a g = 10 m/s2, determine a 
distância vertical entre os pontos A e B. 
Gabarito 
1) Para este caso do tanque de querosene deveremos aplicar a Lei de Stevin desta 
forma: 
 
ΔP = dgΔh 
Para este caso temos: 
d = 820 kg/m3 = densidade do querosene 
g = 9,8 m/s2 = aceleração da gravidade 
Δh = 10 m = distância vertical entre os dois pontos do tanque de querosene 
ΔP = variação da pressão entre os dois pontos que estão distanciados 10 m um 
do outro. 
Façamos os cálculos com os dados disponíveis: 
ΔP = dgΔh 
ΔP = (820)(9,8)(10) 
ΔP = 80.360Pa 
 
 
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Portanto, a variação de pressão entre os dois pontos distanciados 10 metros 
na vertical será igual a ΔP = 80.360Pa. 
 
2) Para este caso da bomba do prédio, também deveremos aplicar a Lei de Stevin 
desta forma: 
 
ΔP = dgΔh 
Para este caso temos: 
d = 1.000 kg/m3 = densidade do querosene 
g = 9,8 m/s2 = aceleração da gravidade 
Δh = 35 m = distância vertical entre os oito andares 
ΔP = variação da pressão entre os oito andares 
Façamos os cálculos com os dados disponíveis: 
ΔP = dgΔh 
ΔP = (1.000)(9,8)(35) 
ΔP = 343.000Pa 
 
Portanto, a variação de pressão na bomba para que haja o bombeamento da 
água para os oito andares deverá ser igual a ΔP = 343.000Pa. 
 
3) Para os dois pontos do fluido, também deveremos aplicar a Lei de Stevin desta 
forma: 
 
ΔP = dgΔh 
 
Para este caso temos: 
d = 1.300 kg/m3 = densidade do querosene 
g = 10 m/s2 = aceleração da gravidade 
Δh = distância entre os pontos A e B, que desejamos obter. 
ΔP = variação da pressão = PB – PA = 100Pa – 35 Pa 
ΔP =65 Pa 
Agora vamos obter a diferença de altura Δh, usando os dados disponíveis na 
equação de Pascal assim: 
 
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ΔP = dgΔh 
65 = (1.300)(10)Δh 
65 = 13.000Δh 
Δh =
65
13.000
 
Δh = 0,005m 
 
Portanto, a diferença de altura entre os pontos A e B será Δh = 0,005m 
Resumo 
Nesta apostila, aprendemos a obter a pressão em um ponto de um fluido por 
meio da seguinte equação: 
𝑝=𝑑𝑔ℎ (1) 
Na equação 1 temos a seguinte explicação para os termos: 
p = pressão que desejamos obter num ponto do fluido. 
d = densidade do fluido 
g = aceleração da gravidade 
h = altura do ponto em relação à superfície do fluido. 
Por meio da equação 1, podemos obter a pressão do fluido em muitas 
situações práticas e problemas cotidianos. 
Devemos assumir que a densidade do fluido e a aceleração da gravidade serão 
sempre constantes para todos os pontos do fluido na equação 1, que representa a Lei 
de Stevin. 
Quando desejamos saber a variação da pressão entre dois pontos de um fluido 
que estão distanciados Δh da vertical, a Lei de Stevin que deve ser aplicada para estes 
pontos é escrita por meio desta equação: 
ΔP = dgΔh (2) 
Para esta equação 2, temos a seguinte explicação: 
ΔP = variação de pressão entre dois pontos de um fluido 
d = densidade do fluido 
g = aceleração da gravidade 
Δh = diferença de altura entre dois pontos de um fluido. 
 
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Referências bibliográficas 
Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Física - Volume 2, 8ª Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2009. 
Nussenzveig, H. M. Curso de física básica.vol. 2 Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor. 4a Edição, Editora Blucher, 
1997. 
Sears F. W., Zemansky M. W., Freedman R. A., Young H. D. Física 2, 12a Edição, Editora Pearson, 2008. 
 
Referências imagéticas 
FIGURA 2. Wikipedia. Disponível em: <https://en.wikipedia.org/wiki/File:Communicating_vessels.png>. Acesso 
em: 24 fev 2019 às 14h15.