Cavidades hemisféricas: Equação de Laplace

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Física II 
 
 
 
 
CAVIDADES HEMISFÉRICAS: EQUAÇÃO DE 
LAPLACE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Introdução à Tensão Superficial .............................................................................................. 2 
 
2. Equação de Laplace .................................................................................................................. 4 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 5 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 5 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Esta apostila irá abordar a Equação de Laplace para as cavidades 
hemisféricas, que determina a pressão em uma superfície esférica. Para estudarmos 
a equação de Laplace, será necessário estudarmos brevemente que é tensão 
superficial. Lembrando que este conteúdo será visto de forma mais aprofundada na 
apostila de Tensão Superficial e Seus Fenômenos. 
Pierre-Simon Laplace foi um importante matemático, físico e astrônomo, 
que escreveu a obra Mecânica Celeste, baseada na Mecânica Clássica de Newton. 
Ele era membro da Royal Society, uma instituição que tinha o intuito de 
promover o conhecimento científico. Diversos cientistas importantes participavam 
dela, assim como Isaac Newton. 
A pressão de Laplace pode ser determinada através da equação de Young-
Laplace. Essa equação relaciona a variação da pressão na superfície que separa dois 
fluidos. 
Objetivos 
• Compreender tópicos introdutórios acerca da tensão superficial. 
• Visualizar casos particulares de pressões de um líquido. 
• Aplicar a Equação de Laplace em superfícies esféricas e não-esféricas. 
 
1. Introdução à Tensão Superficial 
Para abordarmos a Equação de Laplace, primeiramente, é importante que 
saibamos de onde ela surgiu. Para isso, vamos abordar brevemente o tema Tensão 
Superficial. 
Portanto, consideremos um líquido em repouso, podemos imaginar este 
líquido sendo a água. Este líquido é constituído por inúmeras moléculas que se 
atraem. Esta atração se dá por forças de coesão. Contudo, sabemos que esta força se 
torna nula após uma distância r, que é o raio da partícula. 
Observe a seguinte ilustração: 
 
 
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01 
Representação de forças resultantes em moléculas da água. 
 
Na figura anterior, foram destacadas 3 partículas para analisarmos como as 
forças atuam sobre estas. Ao analisarmos as partículas P1 e P2, notamos que, por 
estas estarem totalmente inseridas no interior do líquido, a resultante de forças que 
atuam sobre elas é nula. Isso se dá devido a serem atraídas simetricamente em todas 
as direções por todas as outras partículas, ou seja, as forças de coesão estão 
equilibradas. 
Já no caso de P3, notamos que a partícula está parcialmente imersa no 
líquido. Portanto, na parte superior da esfera não atuam forças intermoleculares de 
moléculas vizinhas. Já na parte inferior e nas laterais, temos a atuação destas forças 
de coesão. Isso resulta em uma força de coesão maior na parte inferior da partícula 
do que na parte superior, o que faz com que seja atraída para a parte inferior do 
líquido. 
Desse modo, todas as partículas que se situam na camada superficial de um 
líquido, sofrem a ação de uma força que as impulsiona para o seu interior. Esta força 
é denominada de pressão interna. 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
A ação destas pressões faz com que os líquidos se contraiam, o que por 
consequência reduz sua área e dá origem a uma energia potencial capaz de se opor a 
Vale ressaltar que além da pressão interna, também 
atua sobre o líquido a pressão atmosférica. 
 
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qualquer tentativa de esticar o líquido. Assim, se há o esticamento de um líquido, 
será necessário um gasto de energia para que isso ocorra. Esta quantidade de 
energia gasta é denominada de Tensão Superficial. 
 
2. Equação de Laplace 
Os líquidos, além de possuírem superfícies planas, também podem possuir 
superfícies convexas ou côncavas. Quando a superfície é côncava, ou convexa, surge 
uma nova pressão. Veja a seguinte figura: 
 
02 
Representação de pressões que atuam em um líquido. 
 
A pressão de uma superfície esférica é dada pela seguinte equação, chamada 
de Equação de Laplace: 
 
∆𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 
 
Onde a pressão para uma superfície esférica, de raio R, é calculada por: 
 
𝑝 =
2𝜎
𝑅
 
 
Onde p é a pressão, 𝜎 é a tensão superficial e R é o raio de curvatura da 
superfície. Utilizamos somente R, pois todos os raios da superfície serão o mesmo 
valor. Portanto para uma esfera ∆𝑃 = 𝑝. 
Agora, se queremos calcular a pressão de uma superfície não-esférica, temos 
de levar em consideração que os raios de curvatura serão distintos, ou seja, R1≠R2. 
Portando a equação ficaria: 
 
 
5 
 
∆𝑃 = 𝜎 [(
1
𝑅1
) + (
1
𝑅2
)] 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
Exercícios 
1. (FARINHA, 2010) Considere o sistema abaixo: 
 
A pressão interna será maior na esfera 1 ou na esfera 2? 
2. (FARINHA, 2010) Um tubo de vidro com diâmetro interno de 1 cm contém 
uma vareta de vidro com 0,99 cm de diâmetro no centro. Se for introduzido 
num recipiente com água a 25 ºC, a que altura a água subirá? (Para a água a 
25 ºC: 𝜎= 72 mN m-1 e ρ=0,997 g cm-3). 
3. (HEWITT, 2011) Dizemos que a forma de um líquido é a do recipiente que a 
contém. Mas sem recipiente e sem gravidade, qual é a forma natural de uma 
pequena porção de água? Por quê? 
Gabarito 
1. Para sabermos qual será a maior pressão, primeiramente temos de saber as 
pressões na esfera 1 e na esfera 2. Como a pressão de uma esfera se dá pela 
equação de Laplace ∆𝑃 = 𝑝, sabendo-se que 
𝑝 =
2𝜎
𝑅
 
Basta sabermos qual dos raios será maior. Como o raio da esfera é 
inversamente proporcional à pressão, a pressão maior será a da que possui 
menor raio. Portanto, da esfera 2. 
 
Quando for utilizar os valores numéricos, cuidar 
rigorosamente se suas unidades condizem, utilizando o 
Sistema Internacional de medidas. 
 
 
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2. Esta questão envolve diversas equações, para isso seria bom que você desse 
uma revisada nas apostilas 3 e 4 (sobre pressão e variação de pressão em um 
fluído em repouso). 
Bom, podemos iniciar com as informações que o problema já nos deu. 
Sabemos que se trata de uma superfície não-esférica, portanto a equação de 
Laplace que iremos utilizar é a seguinte: 
 
∆𝑃 = 𝜎 [(
1
𝑅1
) + (
1
𝑅2
)] 
 
Contudo, para calcular a altura que a água subirá, teremos de utilizar a 
equação de pressão em um fluído que é descrita por: 
 
∆𝑃 = ∆𝜌𝑔ℎ 
 
Podemos calcular ∆𝑃, a partir da equação de Laplace, 𝜌 temos o valor 
fornecido no exercício, g é a aceleração da gravidade (9,8 m/s²) e a altura 
iremos descobrir! 
Portanto, vamos começar calculando ∆𝑃. 
 O intervalo entre os dois tubos será a diferença entre esses dividido por 2, 
portanto (1-0,99) / 2 = 0,005 cm ou 0,05 mm. O raiode curvatura do menisco é 
de 0,025 mm e o raio de curvatura da vareta é de (9,9+0,025) / 2 = 4,956 mm. 
Agora a Variação da pressão será 
 
∆𝑃 = 0,072 [(
1
0,025
) + (
1
4,956
)] 𝑥10³ 
 
∆𝑃 = 2894,5 𝑃𝐴 
 
Agora sim podemos calcular a altura! 
2894,5 = 997𝑥9,8𝑥ℎ 
𝒉 = 𝟐𝟗, 𝟔 𝒄𝒎 
 
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3. A forma para uma porção de água na ausência da gravidade é a de uma 
esfera. Isso ocorre devido à tensão superficial que tende a minimizar a área 
de um líquido. 
Resumo 
Nesta apostila aprendemos que tensão superficial é a energia gasta para que 
ocorra o esticamento de um líquido. 
Quando temos uma superfície de um líquido côncava ou convexa, há o 
surgimento de uma nova pressão p. A pressão no líquido, com superfície esférica, é 
dada pela equação de Laplace que relaciona a variação das pressões que separa a 
superfície de fluidos, dada pela seguinte equação: 
 
∆𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 
 
Para superfícies esféricas temos a equação 
 
𝑝 =
2𝜎
𝑅
 
 
Para superfícies não esféricas, utilizamos a equação 
 
∆𝑃 = 𝜎 [(
1
𝑅1
) + (
1
𝑅2
)] 
 
Pois teremos distintos raios. 
 
 
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Referências bibliográficas 
HEWITT, P. G. Física Conceitual. 11 ed. – Porto Alegre: Bookman, 2011. 
FARINHA, J. P. Superfícies e Interfaces. Disponívelem: <https://pt.slideshare.net/CHRISTIanne44/intefaces-
51986514>. Acessoem: 09 mar 2019as 11h30. 
CAP I ESTÁTICA DE FLUIDOS2. Disponível em: <http://www.aulas.e-agps.info/sinterizacao/laplace.pdf>. Acesso 
em: 09 mar 2019 as 14h33. 
Referências imagéticas 
FIGURA 1 e 2. Disponível em: <https://pt.slideshare.net/CHRISTIanne44/intefaces-51986514>. Acesso em: 09 mar 
2019 às 14h33.