Mostre que a função F(x,y)=lnX²+Y² satisfaz uma equação de Laplace ∂²∂X²F(X,Y) + ∂²∂Y²F(X,Y) = 0. Mostre que a função F(x,y)=lnX²+Y² satisfaz uma ...

Para mostrar que a função F(x, y) = ln(X² + Y²) satisfaz a equação de Laplace ∂²/∂X² F(X, Y) + ∂²/∂Y² F(X, Y) = 0, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a X e Y e verificar se a soma dessas derivadas é igual a zero. Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de F em relação a X: ∂/∂X (ln(X² + Y²)) = 2X / (X² + Y²) Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de F em relação a X: ∂²/∂X² (ln(X² + Y²)) = ∂/∂X (2X / (X² + Y²)) = (2(X² + Y²) - 2X(2X)) / (X² + Y²)² = (2X² + 2Y² - 4X²) / (X² + Y²)² = (2Y² - 2X²) / (X² + Y²)² Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de F em relação a Y: ∂/∂Y (ln(X² + Y²)) = 2Y / (X² + Y²) E, por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de F em relação a Y: ∂²/∂Y² (ln(X² + Y²)) = ∂/∂Y (2Y / (X² + Y²)) = (2(X² + Y²) - 2Y(2Y)) / (X² + Y²)² = (2X² + 2Y² - 4Y²) / (X² + Y²)² = (2X² - 2Y²) / (X² + Y²)² Agora, somando as duas derivadas parciais de segunda ordem, temos: (2Y² - 2X²) / (X² + Y²)² + (2X² - 2Y²) / (X² + Y²)² = (2Y² - 2X² + 2X² - 2Y²) / (X² + Y²)² = 0 / (X² + Y²)² = 0 Portanto, a função F(x, y) = ln(X² + Y²) satisfaz a equação de Laplace ∂²/∂X² F(X, Y) + ∂²/∂Y² F(X, Y) = 0. A alternativa correta é a letra A) A função satisfaz à equação de Laplace, onde: ∂²/∂X² f(x, y) = x² - y²(x² + y²)².