Aula_03 Licenciatura em matemática

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PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 3- Progressão Geométrica: Termo Geral, Soma e Produto dos termos de uma PG
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Conteúdo Programático desta aula
	Nesta aula você irá:
Identificar o termo geral, soma e produto dos elementos de Progressão Geométrica.
Reconhecer seus elementos principais através do uso do termo geral.
Calcular soma dos termos de uma PG finita ou infinita.
 
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Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. 
 
Termo Geral
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Primeiramente, vamos verificar com acontece a sistemática da razão de uma Progressão Geométrica:
 a2 / a1 = q → a2 = a1 . q 
 a3 / a2 = q → a3 = a2 . q → a3 = a1 . q . q 
 → a3 = a1 . q2
 a4 / a3 = q → a4 = a3 . q → a4 = a1 . q2 . q 
 → a4 = a1 . q3 ( e assim sucessivamente)
Termo Geral
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Uma PG de razão q pode ser escrita (como visto em aula anterior) da forma:
 
PG( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 an)
 
Aplicando a definição de PG, podemos escrevê-la de uma outra forma:
 
PG( a1, a1. q, a1.q2, a1.q3, a1.q4,..., a1.q(n-1))
an = a1 .q(n-1), para n 
 
Termo Geral
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Assim, concluímos que : an = a1 . qn - 1
é a fórmula que gera os termos de um Progressão Geométrica (PG).
Termo Geral
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Numa P. G., o 1º termo é 4 e o quarto termo é 4000. Qual é a razão dessa P. G.?
an=a1*q^n-1
4000=4*q^4-1
4000/4=q³
1000=q³
10³=q³
q=10
Exercitando
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 Qual é o sexto termo da P. G. (512, 256, …)
Solução
an = a1.q^(n-1) q = 256/512 = 1/2 a6 = 512.(1/2)^5 a6 = 512.(1/32) a6 = 16
Exercitando
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Soma dos Termos de uma PG finita
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Solução. A expressão é uma soma de PG infinita, mas a partir do 2º termo. Repare nas razões:
i) ii) iii) 
Calcule x, sendo: 
 a) 45 b) 50 c) 10 d) 9 e) 4
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Soma dos Termos de uma PG Infinita
	A soma dos termos de uma progressão 	geométrica finita é dada pela expressão:
 Onde q (razão) é diferente de 1. 
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 Dê a soma dos termos da seguinte PG (7,14,28, ... , 3584). 
Para utilizarmos a fórmula da soma é preciso saber quem é o 1º termo, a razão e a quantidade de elementos que essa PG possui. 
a1 = 7 q = 2 n = ? Sn = ? 
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Continuação
Portanto, é preciso que encontremos a quantidade de elementos que possui essa PG, utilizando a fórmula do termo geral. 
an = a1 . qn – 1 3584 = 7 . 2^n – 1 3584 : 7 = 2^n – 1 512 = 2^n – 1 29 = 2^n – 1 n – 1 = 9 n = 10 
Sn = a1 (q^n – 1) S10 = 7 (2^10 – 1) S10 = 7 (1024 – 1) 
 q – 1 2 – 1 2 – 1
S10 = 7 . 1023 
 S10 = 7161
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Como saber se uma PG é infinita ou finita e como identificar a fórmula que deve ser usada na soma?
Muitos exercícios tem o mesmos termos, exemplo (1,3,9,27,...) ESTA É INDICADA COMO FINITA e (1,1/4,1/16,...) É DITA COMO INFINITA! Qual fórmula deve ser usada para cada uma!
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Pg finitas e infinitas
 Todas as PGs são infinitas, pois cada termo pode ser multiplicado pela razão (q) sem que haja um fim exato. No máximo, uma PG pode tender a um valor, mas não que esse seja o valor exato de um último termo - a sequência não chega a dar esse limite. Exemplo: (1,1/3,1/9,1/27,1/81,1/243...). A cada termo, o valor se aproxima cada vez mais do 0 (limite), mas não chega a ser exatamente esse 0, logo é uma sequência infinita. 
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Quanto à fórmula da soma:
Temos duas fórmulas para PGs,a primeira serve para sequências que tendem a zero (razão fracionária entre 0 e 1):
 S = a1/(1-q) A segunda serve para calcular a soma dos n primeiros termos de qualquer PG: S = a1(1-q^n)/(1-q) 
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PRODUTO DOS N PRIMEIRO TERMOS DE UMA PG
Em uma PG finita de n termos e razão q, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
Com base nessa propriedade, podemos estabelecer uma fórmula para o produto dos n termos da PG. 
Pn = (a1 .a­­­n)n/2 
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Exemplo:
Obtenha o produto dos seis primeiros termos da PG (4,8,16,......)
Solução:
 Usando a fórmula do termo geral de uma PG, temos que:
 a6= a1.q5 => a6 = 4.25 => a6 = 128
  Logo,
 P6 =(a1.a6)6/2 
 P6 =(4.128)3 
 => P6 = 5123
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Exercitando
Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. 
Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q^8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q^4 
Então q^4 =16 e portanto q = 2.
Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como: (x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.
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Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Observe que neste caso a1 = 1
Temos:
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Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiromembro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, teremos:
teremos: x = 100 . 1/2 = 50
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Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os três primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2
Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:
x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.
Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo: 9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0
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Continuação
Multiplicando ambos os membros por q, fica:
9 + 9q2 – 30q = 0
Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.
Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente. Portanto, a PG é:9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.O problema pede a soma dos quadrados, logo:a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819
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 Exercitando
UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede: a) 28° b) 32° c) 36° *d) 48° e) 50°
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Solução
Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos: ( x, 2x, 4x, 8x ). Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo, x + 2x + 4x + 8x = 360º 15.x = 360º Portanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º. O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D. 
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Exercitando
(UFSCAR) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros termos é 3900, pode-se afirmar que 5^(x-2)/5 é igual a : a) 1/25 b) 1/5 c) 1 d) 5 e) 25
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Solução
Se o primeiro termo é 5^x e a razão é 5 temos como sequência {5^x, 5^(x+1), 5^(x+2), 5^(x+3)} como os nossos 4 primeiros termos logo a soma deles segundo a formula da soma de P.G. é 3900= [5^(x+3).5 - 5^x]/5-1  15600 = 5^x(5^4 - 1) 5^x = 25  => 5^x = 5^2 => logo x =2 substituindo na fórmula dada pela questão 5^(2-2)/5 = 1/5 portanto letra b 
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Exercitando
(UNESP)(**) Em uma determinada região de floresta na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento, registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de 3 km2, e a partir daí, durante um determinado período, a quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em progressão geométrica de razão 2. Assim, no segundo ano a área total desmatada era de 3 + 2⋅3 = 9 km2.Se a área total desmatada nessa região atingiu 381 km2 nos n anos em que ocorreram desmatamentos, determine o valor
de n.
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Solução
em um ano a área desmatada era 3 km²  a1 = 3 no segundo ano, a área total (SOMA) desmatada era de 9 km² observe que agora é a soma do primeiro ano mais o segundo ano... a1 + a2 = 9 se a1 = 3  então a2 = 6 
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Continuação
a área total (SOMA) desmatada atingiu 381 km² em "n" anos... não se sabe em quantos anos isso ocorreu Sn = 381 km² Este desmatamento ocorre em progressão geométrica... PG = {3 , 6 ....} *a razão é 2, (3 + 3.2 = 9 )
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Utilizando a fórmula:
a razão de uma pg vai ser sempre o quociente entre um termo e seu antecedente... q = a2 / a1 => q = 6 / 3 => q = 2 A fórmula da soma de uma PG finita é esta: Sn = a1.(qⁿ - 1) / (q - 1) com base nos dados anteriores... a1 = 3; q = 2; Sn = 381 aplicamos os valores encontrados... 381 = 3.(2ⁿ - 1) / (2 - 1) => 381 = 3.(2ⁿ - 1) 381 / 3 = 2ⁿ - 1 => 127 + 1 = 2ⁿ 2ⁿ = 128 
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Continuação
ao fatorarmos 128, encontramos: 128 = 2.2.2.2.2.2.2 = 2^7 
Logo: 2ⁿ = 2^7 n = 7
em 7 anos a área total devastada era de 381 km²
 
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Nesta aula você:
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Calculou a soma dos termos de uma PG finita ou infinita.
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