Progressões geométricas

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Progressões geométricas: termo geral, soma dos termos.
Progressões geométricas são sequências de números em que cada termo subsequente é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Vamos explorar o termo geral de uma progressão geométrica (PG) e a fórmula para a soma dos seus termos.
### Termo Geral de uma PG:
O termo geral de uma PG é dado pela fórmula:
\[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \]
Onde:
- \( a_n \) é o \( n \)-ésimo termo da PG.
- \( a_1 \) é o primeiro termo da PG.
- \( r \) é a razão comum entre os termos consecutivos da PG.
- \( n \) é a posição do termo que queremos encontrar.
Por exemplo, se a PG tem primeiro termo \( a_1 = 2 \) e razão \( r = 3 \), o quinto termo \( a_5 \) seria:
\[ a_5 = 2 \cdot 3^{(5-1)} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162 \]
### Soma dos Termos de uma PG:
A fórmula para calcular a soma dos \( n \) primeiros termos de uma PG é:
\[ S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1} \]
Ou de forma equivalente:
\[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \]
Essas fórmulas são úteis para encontrar a soma dos termos de uma PG sem a necessidade de somá-los individualmente.
Por exemplo, se considerarmos a mesma PG com \( a_1 = 2 \) e \( r = 3 \), e quisermos calcular a soma dos 5 primeiros termos \( S_5 \), teríamos:
\[ S_5 = \frac{2 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{2 \cdot (243 - 1)}{2} = \frac{2 \cdot 242}{2} = 242 \]
### Aplicações das Progressões Geométricas:
- Na matemática financeira, as PGs são utilizadas para modelar o crescimento ou decrescimento de investimentos ao longo do tempo.
- Em ciências naturais e engenharia, PGs são usadas para descrever fenômenos que crescem ou diminuem de forma exponencial.
- Na computação, PGs são aplicadas em algoritmos e séries de dados com crescimento exponencial.
Dominar o conceito do termo geral e da soma dos termos de uma PG é fundamental para resolver problemas que envolvam sequências de números com crescimento ou decrescimento exponencial. Essas fórmulas facilitam a análise e cálculos em diversas áreas da matemática e ciências aplicadas.