Física Moderna II - Átomo de Hidrogênio

Prévia do material em texto

Física Moderna II 
Profa. Márcia de Almeida Rizzutto 
2o Semestre de 2014 
 
 
1 
Universidade de São Paulo 
Instituto de Física 
 Fisica Moderna 2 Aula 1 
2 
Horário 
2a feira 21:00 – 23:00 
4a feira 19:00 – 21:00 
Ala II 
Salas: 2a feira 208 
 5a feira 208 
Professora: Márcia A. Rizzutto 
Sala 114 – Oscar Sala 
tel. 3091 6939(secretária) e 30917102 
e-mail: rizzutto@if.usp.br 
 Monitor: 
Gabriel – 
gabriel.marinello.santos@usp.br 
 Fisica Moderna 2 Aula 1 
3 
•Átomo de Hidrogênio (átomo de um elétron) 
 Equação de Schroedinger independente do tempo 
 Quantização de energia 
 Autovalores, nos quânticos, degenerescência. 
• Momentos de dipolo magnético; spin; a experiência de Stern-Gerlach 
• Átomos multieletrônicos 
 Indistinguibilidade e o princípio de Pauli. 
 A teoria de Hartree. 
 Estados fundamentais e a tabela periódica. 
• Estatística quântica 
 Indistinguibilidade e estatística quântica 
 Funções de distribuição quânticas 
 Exemplos: laser, gás de elétrons livres 
• Moléculas 
 Ligações iônicas e covalentes 
 Espectros moleculares (rotação, vibração e eletrônicos) 
• Sólidos 
 Tipos de sólidos 
 Propriedades elétricas 
 Condutores, Isolantes, Semicondutores; a junção p-n 
• O núcleo atômico 
 Características e propriedades gerais 
Forças entre nucleons 
Radioatividade, Fissão, Fusão 
 Reações nucleares 
Partículas Elementares 
Aceleradores 
P
ro
g
ra
m
a
 
 Fisica Moderna 2 Aula 1 
4 
 - Física Quântica, 
R. Eisberg e R. Resnick, 4a edição, Ed. Campus Ltda., RJ, Brasil, 1986. 
O livro texto adotado apresenta prós e contras. Os contras dizem 
respeito a um livro editado originalmente em 1974 que trata alguns 
assuntos de modo muito extenso, o que prejudica um pouco sua 
compreensão. Os prós são: vários exemplares disponíveis na Biblioteca 
do IFUSP; pode ser adquirido em livrarias; é bastante completo, cobrindo 
toda a matéria dos cursos de Física Moderna 1 e 2; e, finalmente, é 
disponível em português. Existem também exemplares em inglês na 
Biblioteca. 
-Física Moderna, origens clássicas e fundamentos quânticos, 
F. Caruso e V. Oguri, Ed. Campus, RJ, 2006. 
-Física Moderna, 
P. A. Tipler e R. A. Llewellyn, 3a edição, LTC editora, RJ, Brasil, 
2001. 
-Modern Physics 
Serway, Moses and Moyer 
-Modern physics, 
-S.T. Thornton e A. Rex, Thomson Brooks/Cole, USA, Third 
Edition. 
L
iv
ro
s
 T
e
x
to
s
 
 Fisica Moderna 2 Aula 1 
5 
Textos adicionais: - The picture book of quantum mechanics, S. Brandt and 
H.D. Dahmen, Wiley, New York, USA, 1985. 
Podem também ser consultados, como leitura preliminar, os capítulos sobre 
física moderna de vários textos de física básica (por exemplo, Física, de P. A. 
Tipler (3a edição) ou Física, D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane (4a edição). 
Tenha em mente que a apresentação dos tópicos de física moderna nesses 
textos é feita em nível bastante introdutório. 
 
Leituras recomendadas: 
- A matéria, uma aventura do espírito, Luís Carlos de Menezes, Editora Livraria 
da Física, SP, Brasil, 2005; 
- A parte e o todo, W. Heisenberg, Contraponto Editora Ltda, RJ, Brasil, 1996; 
- Física Moderna, para iniciados, interessados e aficionados, Vol. 1, Ivan S. 
Oliveira, Editora Livraria da Física, 2005; 
- Thirty years that shook physics, G. Gamow, Dover Publications, NY, USA, 1985; 
- Great experiments in physics: firsthand accounts from Galileo to Einstein, M.H. 
Shamos, Dover Publ., NY, USA, 1987; 
- The Great Design: Particles, fields and creation, R. K. Adair, Oxford University 
Press, NY, USA, 1987; 
- The force of symmetry, Vincent Icke, Cambridge University Press, Cambridge, 
UK, 1995. 
 Fisica Moderna 2 Aula 1 
M = 0.6 < P> +0.4PF
M = P,seP> 6.0(P=
p1+ p2+ p3
3
)
ì
í
ï
îï
mas.Pi ³ 4.0
0.5
2.08.0


MF
EMMF
6 
Primeira prova 17 de setembro (8 aulas) 
Segunda prova 29 de outubro (10 aulas) 
Terceira prova 26 de novembro (7 aulas) 
PF 03 de dezembro 
• Critério: 
• E = média simples das (n-1) avaliações dos trabalhos 
(listas de exercícios ou provinhas) onde n é o número total 
de trabalhos solicitados 
• M = média das notas em 3 provas (60 %) (P) e uma prova 
final (PF) com toda matéria (40 %). PF não substitui as 
provas (P1-P3). A ausência de qualquer Pi deve ser 
documentado com atestado para permitir a sua realização 
 
 
 
• Datas das provas: 
A
v
a
lia
ç
ã
o
 • Presença: • a presença será monitorada nas provas e nas aulas. caso a aluno 
não tenha as presenças nas listas e 
reprovou por nota, também será 
reprovado por faltas. 
 
 Fisica Moderna 2 Aula 1 
Átomo de Hidrogênio 
Por que estudá-lo? 
•Átomo mais simples 
•E foi objeto de muitos experimentos e mais estudado que qualquer outro 
Vocês se lembram? 
•Experimentos realizados mostraram que através do espectro de linha 
dos átomos podia-se identificar os 
•elementos químicos 
•e a composição dos materiais 
e que cada elemento tinha seus comprimentos de onda característicos 
A fórmula de Balmer (1885) 
Se ajusta bem as linhas visíveis do H 
A fórmula de Rydberg (1888) 
Rydberg = 1,097373x10-7m-1 
O Modelo de Bohr (1913) 
Começa a realizar mais experimentos do espectro de H e 
entender melhor como as formulas empíricas descreviam o espectro 
Publica em artigo “Os constituintes dos átomos e moléculas” 
Postulados de Bohr 
•1 e- em um átomo move-se em uma órbita circular em torno do núcleo, 
sob ação da força coulombiana, de acordo com a mecânica clássica: 
•Apenas as órbitas com momento angular (n inteiro) 
formam estados estacionários 
•Apesar de continuamente acelerado , o e- em uma dessas órbita não irradia 
•Radiação eletromagnética é emitida quando um e- que se move em uma 
órbita de energia total E1 faz uma transição (descontínua) para uma órbita 
de energia Ef . Nesse caso : 
,nL 
fi EEh 
Raio de Bohr, somente 
alguns valores de r são 
permitidos 
Estados de energia são 
quantizados. 
Para o estado mais baixo (n=1) 
temos E=13,6eV 
Diâmetro do 
átomo de H = 
2*r ~10-10m. 
2 
Região do 
ultravioleta 
Região do 
infravermelho 
Região do visível 
Sucessos e Falhas no modelo de Bohr (1913) 
•Modelo de Bohr foi o primeiro passo para entender a estrutura do 
átomo 
•No entanto medidas mais precisas exibiram desacordos com o 
resultados do Modelo de Bohr 
Massa reduzida O elétron e o núcleo de H rodam entorno de um 
centro de massa comum que é localizado muito 
próximo do núcleo 
Mm
Mm
e
e
e


M é a massa do núcleo e no caso do H, é a massa do próton. 
Mudança na constante de Rydberg = 1,096776x10-7m-1 
Outras limitações Com o aumento da precisão nos espectrógrafos 
óticos, observou-se que cada linha (originalmente 
descritas como simples) eram duas ou mais linhas 
Limitações do Modelo: 
•Foi aplicado com sucesso em átomos de elétrons simples (H, He+, Li++, etc.) 
•Não foi suficiente para dar conta das intensidade e da estrutura fina das linhas 
espectrais 
•Este modelo não pode explicar a ligação dos átomos nas moléculas 
Proposto novo modelo de Sommerfeld 
•Permitiu explicar algumas aberturas no espectro 
de linhas 
•Campos magnéticos externos (Efeito Zeeman) 
•Campos elétricos externos (Efeito Stark) 
Aplicados ao átomo afetam o espectro de linhas 
 
 
 
abrindo e alargando ainda mais os níveis de energia 
•Equaçãode Schroedinger 
A função de onda é uma solução da equação de Schroedinger para 
um dado potencial. É uma equação diferencial, pois a solução é 
uma função, e de mais de uma variável  derivadas parciais. 
Propriedades desejadas da equação de movimento da MQ: 
1. Ser consistente com de Broglie – Einstein; 
2. Consistente com E = p2/2m +V (não relativística); 
3. Linear em Ψ, de tal forma que, se Ψ1 e Ψ2 são soluções  
  Ψ = c1Ψ1 + c2Ψ2 também é solução (combinação linear). 
Daí podemos ter interferência. 
t
tx
itxtxV
x
tx
m 





),(
),(),(
),(
2 2
22


Notem que a função de onda da partícula 
livre é complexa:    tkxitkxtx   sencos),(
Eq. de 
Schroedinger 
dependente 
do tempo 
De Broglie: associa 
propriedades de 
onda as partículas 
Em muitos casos estudados , o potencial não depende explicitamente 
do tempo. A dependência do tempo e posição pode ser separada 
Várias aplicações em vários modelos de sistemas 
O potencial degrau II – E> Vo, etc... 
(poço infinito, finito, barreira de potencial) 
Equação de Schröedinger para o átomo de H 
Este será o primeiro sistema que será necessário a complexidade 
total da Equação de Schroedinger em três dimensões. 
Para uma boa aproximação para a energia potencial 
do sistema elétron-próton : é eletrostática: 
r
e
rV
0
2
4
)(


)(
),,(),,(),,(
),,(
1
2 2
2
2
2
2
22
rVE
z
zyx
y
zyx
x
zyx
zyxm
















O potencial depende 
somente da distância 
entre o próton e o elétron 


ErV  )(
2
2
2 
Massa 
reduzida 
16 
Coordenadas esféricas:   (r,,) e 
2
2
222
2
2
2
sen
1
sen
sen
11  



















rrr
r
rr
(Ângulo polar) 
(Ângulo azimutal) 
Interação Coulombiana entre um elétron 
e o núcleo de um átomo 
Forças centrais 
Átomo de hidrogênio 
Agora é função das 
coordenadas r,  e f 
Relações entre coordenadas esféricas 
(r,,) e cartesianas (x,y,z) 
17 
Aplicação: Partícula confinada em uma caixa retangular 
V(x,y,z) = 
0, se: – a/2 < x < a/2; – b/2 < y < b/2; 
– c/2 < z < c/2 
 
 
∞ no resto do espaço 








a
xn
sen
a
a
xn
a
xn



2
cos
2
)(
lembrando o caso unidimensional 
com – a/2 < x < a/2 , V = 0 


E
dx
d
m

2
22
2

Cuja solução é: cos kx ou sen kx 
2
2

mE
k 
Para n impar 
Para n par 
2
222
2
π
ma
n
En


Com autovalores de energia 
18 
Aplicação: Partícula confinada em uma caixa retangular 
V(x,y,z) = 
0, se: – a/2 < x < a/2; – b/2 < y < b/2; 
– c/2 < z < c/2 
 
 
∞ no resto do espaço 
)()()(),,(
321321
zyxzyx nnnnnn  





































c
zn
cb
yn
ba
xn
a
zyxnnn
π
sen
cos2π
sen
cos2π
sen
cos2
),,( 321
321




























2
3
2
2
2
1
22
2
π
321 c
n
b
n
a
n
m
E nnn

o caso tridimensional 
Os autovalores de energia são dados em termos dos 3 nos 
quânticos (n1,n2 e n3) 
cba 
19 
No caso em que todas as arestas são iguais (a=b=c): 
 2322212
22
2
π
321
nnn
ma
E nnn 

Degenerescência: diferentes estados 
apresentam a mesma energia 
Temos aqui as densidades de probabilidades para a partícula 
dentro da caixa: 
-Estado fundamental |111|
2 
-Primeiro estado excitado |211|
2 e |121|
2 
cba 
cba 
cba 
FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 1 20 
Degenerescência: diferentes estados 
apresentam a mesma energia 



























2
3
2
2
2
1
22
2
π
321 c
n
b
n
a
n
m
E nnn

21 
A eq. de Schrödinger em coordenadas esféricas 
2
2
222
2
2
2
sen
1
sen
sen
11
 






















rrr
r
rr
Podemos, então, escrever a eq. de Schrödinger como: 
Lembre-se que a dependência temporal é 
parametrizada por um autovalor da energia, E. 


E
t
i
 EVsenrsensenrrrrr 



























2
2
222
2
2
2 111
2



ErV  )(
2
2
2 
22 
Este termo só 
depende de r, 
Essa igualdade entre funções de variáveis diferentes só pode valer se 
ambas forem iguais a uma mesma constante, que escolheremos como l. 
Então: 
Ao aplicarmos a equação de Schrödinger temos: 
),()(),()(
),()(),()(
),(
)(1
2 2
2
222
2
2
2 fff f ff YrERYrVRYsenr rRYsensenr rRYrrRrrr    
),(
1),(1),(1
))((
2)(
)(
1
2
2
22
2
2 ff f f YYsenYsensenrVErdrrdRrdrdrR     
Separação de variáveis 
l 











RrVE
r
dr
rdR
r
dr
d
R
))((
2)(1
2
2
2

0),()()(
2),(1),(1
)(),(
)(
2
2
2
2
2
2 




























 ff f ff YrRVErYsenYsensenrRYdrrdRrdrd 
lf
f

ff 

















2
2
2
),(1),(1
),(
1 Y
sen
Y
sen
senY
RY
r
2x 
23 
 Então: 
e 
A nossa hipótese inicial será válida se conseguirmos encontrar soluções para 
as equações acima, que são ligadas pela constante l. 
 
 Vamos tratar inicialmente da parte angular. Lembrando : 
Podemos multiplicar por sen2 e rearranjar: 
l 











RrVE
r
dr
rdR
r
dr
d
R
))((
2)(1
2
2
2

lf
f

ff 

















2
2
2
),(1),(1
),(
1 Y
sen
Y
sen
senY
flf
f

f 22
2
),(
),(),(
senY
YY
sensen 


















 2),( senY
24 
 Então: 
E aí podemos fazer a segunda separação de variáveis, uma vez que o lado 
esquerdo só opera em f e o direito só em . Propomos então uma forma: 
que, substituída na eq. acima e dividida por , leva a: 
Posso escrever que: 
2
2
21
m
d
d


 f
Assim, 
A eq. em f é bem conhecida e tem soluções oscilatórias da forma: 
, com m positivo ou negativo 
25 
Parte que depende de f 
, com m positivo ou negativo 
......3,2,1,0m
Aí aparece uma diferença fundamental com a partícula na caixa 3D: a 
variável f é cíclica e se repete após o intervalo [0,2]. 
1π2sen2πcos
:em implica que o )0()π2( 
0)π2( 

mimee imim

Portanto os valores de m ficam restritos, uma vez que m tem que ser inteiro. 
As autofunções devem ser unívocas . Então, para garantir a unicidade da 
função de onda, temos que impor uma condição de periodicidade à 
autofunção: 
, m só pode ser inteiro, positivoou negativo 
Temos um novo número quântico m 
Parte que depende de  
, 
Novamente a equação (1) depende de r e a equação (2) depende de , 
logo podemos escrever uma constante de igualdade entre as duas 
equações como: 
l 











RrVE
r
dr
rdR
r
dr
d
R
))((
2)(1
2
2
2

l
 



 

 )(
)(1
)(
1
2
2
sen
m
d
d
sen
d
d
sen
Parte que depende de r 
Resolvendo as equações, encontraremos que a equação só tem 
soluções aceitáveis para certos valores de ml . Usando esses valores de ml 
na equação também só tem soluções aceitáveis para certos valores 
de ℓ . Com estes valores de ℓ na equação R(r) encontramos soluções 
aceitáveis também para certos valore de energia total E (energia quantizada 
do átomo de H). 
)1(
)2(
)()1()(
)(1
2
2 
 



 
 ll
sen
m
d
d
sen
d
d
sen
22
2
2
)1(
))((
2)(1
r
Rll
RrVE
dr
rdR
r
dr
d
r









)(
)(