3 - Sistemas Estruturais - Concreto - Projeto de Lajes de Concreto Armado (Parte 1)(1)

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Sistemas Estruturais: Concreto
Aula 3 - Projeto de Lajes de Concreto Armado (Parte 1)
Prof. Maílson Scherer
Mestre em Engenharia Civil – PPGEC/UFRGS
E-mail – mailson.scherer@uniritter.edu.br
Centro Universitário Ritter dos Reis - UniRitter
Curso de Arquitetura e Urbanismo
Disciplina de Sistemas Estruturais: Concreto
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3.1 DEFINIÇÕES
▪ As lajes têm a função de receber as carga de utilização das edificações e 
transmiti-las às vigas;
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3.1 DEFINIÇÕES
▪ As lajes têm a função de receber as carga de utilização das edificações e 
transmiti-las às vigas;
▪ São elementos de placa (bidimensionais) que possuem duas dimensões 
preponderantes em relação a uma terceira (espessura ou altura h).
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▪ A determinação dos esforços em lajes é uma tarefa complexa, tendo em
vista que:
1. O pavimento de uma edificação é uma 
estrutura única, formada por lajes e vigas;
2. Os esforços atuantes nas lajes dependerão
da interação entre estes elementos.
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▪ A determinação dos esforços em lajes é uma tarefa complexa, tendo em
vista que:
1. O pavimento de uma edificação é uma 
estrutura única, formada por lajes e vigas;
2. Os esforços atuantes nas lajes dependerão
da interação entre estes elementos.
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Para fins práticos de projeto, são 
realizadas algumas simplificações na 
análise do pavimento
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▪ Os diversos painéis de laje que compõe um pavimento são analisados de
forma isolada;
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Pavimento dividido em 
vários painéis
Painéis que serão analisados 
individualmente
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▪ Para cada painel de laje, deve-se determinar os vãos teóricos (ou vãos de 
cálculo) nas duas direções;
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𝒍
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▪ Para cada painel de laje, deve-se determinar os vãos teóricos (ou vãos de 
cálculo) nas duas direções;
▪ Os vãos teóricos são tomados como as distâncias entre os eixos dos apoios 
da laje (vigas):
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𝑙 = 𝑙0 +
t1
2
+
t2
2
Este cálculo é realizado para as 
duas direções (X e Y) da laje
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3.2 CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES QUANTO À ARMAÇÃO
▪ Em função da dimensão de seus vãos, as lajes são classificadas como
armadas em uma direção ou armadas em duas direções (armadas em cruz);
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3.2 CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES QUANTO À ARMAÇÃO
▪ Em função da dimensão de seus vãos, as lajes são classificadas como
armadas em uma direção ou armadas em duas direções (armadas em cruz);
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As lajes armadas em uma 
direção são aquelas que 
apresentam uma relação 
entre vãos L/l > 2
Sendo: L – maior vão
l – menor vão
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3.2 CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES QUANTO À ARMAÇÃO
▪ Em função da dimensão de seus vãos, as lajes são classificadas como
armadas em uma direção ou armadas em duas direções (armadas em cruz);
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As lajes armadas em uma 
direção são aquelas que 
apresentam uma relação 
entre vãos L/l > 2
Sendo: L – maior vão
l – menor vão
Armadura principal
Armadura de 
distribuição
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3.2 CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES QUANTO À ARMAÇÃO
▪ Em função da dimensão de seus vãos, as lajes são classificadas como
armadas em uma direção ou armadas em duas direções (armadas em cruz);
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As lajes armadas em duas 
direções são aquelas que 
apresentam uma relação 
entre vãos L/l ≤ 2 (vãos com 
tamanhos semelhantes)
Sendo: L – maior vão
l – menor vão
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3.2 CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES QUANTO À ARMAÇÃO
▪ Em função da dimensão de seus vãos, as lajes são classificadas como
armadas em uma direção ou armadas em duas direções (armadas em cruz);
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As lajes armadas em duas 
direções são aquelas que 
apresentam uma relação 
entre vãos L/l ≤ 2 (vãos com 
tamanhos semelhantes)
Sendo: L – maior vão
l – menor vão
Armaduras 
principais nas duas 
direções
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3.3 CARREGAMENTO ATUANTE EM LAJES MACIÇAS
▪ De forma geral, os carregamentos atuantes nas lajes são dados pelas
parcelas permanente e variável:
✓ Carregamento permanente: peso próprio da estrutura de concreto
armado, revestimentos e, eventualmente, alvenarias (pesos específicos
dados pela NBR 6120:1980);
✓ Carregamento variável: decorrente da sobrecarga de utilização edificação
(especificada na NBR 6120:1980).
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CARREGAMENTO PERMANENTE
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qG,k
𝑷𝑷 = γcon × h
PESO PRÓPRIO
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CARREGAMENTO PERMANENTE
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Em edificações usuais com pisos 
cerâmicos e de madeira: 
qG,k
𝑹𝑬𝑽 = 1kN/m²
qG,k
𝑷𝑷 = γcon × h
PESO PRÓPRIO
REVESTIMENTOS
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CARREGAMENTO PERMANENTE
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Em edificações usuais com pisos 
cerâmicos e de madeira: 
qG,k
𝑹𝑬𝑽 = 1kN/m²
qG,k
𝑷𝑷 = γcon × h
PESO PRÓPRIO
REVESTIMENTOS
ALVENARIAS SOBRE A LAJE
qG,k
𝑨𝑳𝑽 =
Peso de alv.
(𝐿 × 𝑙)
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CARREGAMENTO VARIÁVEL
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NBR 6120:1980 
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3.4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA LAJE
▪ Os lados maior e menor dos painéis (L e l, respectivamente) são delimitados 
pelas vigas que circundam o painel. 
▪ Em estruturas usuais, os vãos máximos das lajes de concreto armado 
limitam-se em cerca de 5m a 6m.
▪ Em relação à altura da laje, esta pode ser estimada da seguinte forma:
✓ Lajes armadas em duas direções: h = 2% (L + l)/2
✓ Lajes armadas em um direção: h = 2% l
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3.4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA LAJE
▪ Os lados maior e menor dos painéis (L e l, respectivamente) são delimitados 
pelas vigas que circundam a o painel. Em estruturas usuais, os vãos máximos 
das lajes de concreto armado limitam-se em cerca de 6m.
▪ Em relação à altura da laje, esta pode ser estimada da seguinte forma:
Lajes armadas em duas direções: h = 2% (L + l)/2
Lajes armadas em um direção: h = 2% l
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De qualquer maneira, a NBR 6118:2014 
estabelece as alturas mínimas das lajes em 
função de sua utilização.
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3.5 MOMENTOS FLETORES 
▪ A obtenção do momento fletor para dimensionamento das armaduras das 
lajes depende da classificação da laje quanto à armação:
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3.5 MOMENTOS FLETORES 
▪ A obtenção do momento fletor para dimensionamento das armaduras das 
lajes depende da classificação da laje quanto à armação:
- LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO -
O momento fletor para dimensionamento é obtido considerando uma faixa 
unitária (1m de largura), analogamente às vigas;
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Lajes armadas em uma direção:
✓ Caso 1: Lajes simplesmente apoiadas em todos os bordos
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Momento fletor de 
dimensionamento 
(kN.m/m)
qd
Md
𝑙
Md =
qd ∙ 𝑙
2
8
Reações de apoio 
transmitidas às vigas
(kN/m)
R =
q ∙ 𝑙
2
R′ =
q ∙ 𝑙
4
𝑙 - Menor vão da laje
R - Reação vertical nas vigas maiores
R′ - Reação vertical nas vigas menores 
𝑙
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Lajes armadas em uma direção:
✓ Caso 2: Lajes em balanço (Ex: marquises, sacadas..)
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Momento fletor de 
dimensionamento 
(kN.m/m)
qd
Md
𝑙
Md = −
qd ∙ 𝑙
2
2
Reações de apoio 
transmitidas às vigas
(kN/m)
Re = q ∙ 𝑙
𝑙 - Menor vão da laje
Re - Reação vertical na viga do engaste 𝑙
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EXERCÍCIO 3.1
Pré-dimensionar a altura e determinar o momento fletor de projeto (Md) da 
laje de um corredor residencial (apoiada em todos os bordos) ilustrada 
abaixo. Considerar uma carga de revestimento igual à 1,0kN/m².
EXERCÍCIO 3.2
Pré-dimensionar a altura e determinar o momento fletor de projeto (Md) da 
laje de uma marquise de cobertura (em balanço). Considerar uma carga de 
revestimento igual à 0,75kN/m².
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3.5 MOMENTOS FLETORES 
▪ A obtenção do momento fletor para dimensionamento das armaduras das 
lajes depende da classificação da laje quanto à armação:
- LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO -
O momento fletor para dimensionamento é obtido considerando uma faixa 
unitária (1m de largura), analogamente às vigas;
- LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES -
Os momento fletores para dimensionamento, segundo as duas direções (X e 
Y), são obtidos por meio de tabelas de esforços em placas. Considera-se que 
estes momentos correspondam a uma faixa crítica de 1m de largura.
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Mxd = 0,001 ∙ mx ∙ qd ∙ 𝐥𝐱
2
Myd = 0,001 ∙ my ∙ qd ∙ 𝐥𝐱
2
Rx = 0,001 ∙ rx ∙ q ∙ 𝐥𝐱
Ry = 0,001 ∙ ry∙ q ∙ 𝐥𝐱
Lajes armadas em duas direções:
✓ Caso geral: Lajes apoiadas em todos os bordos.
Momento fletor de 
dimensionamento, 
direções X e Y (kN.m/m)
Reações de apoio 
transmitidas às vigas, 
direções X e Y (kN/m)
o Se 𝐥𝐱 < 𝐥𝐲
qd
lx - Vão segundo a direção X
ly - Vão segundo a direção Y
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Mxd = 0,001 ∙ mx ∙ qd ∙ 𝐥𝐲
2
Myd = 0,001 ∙ my ∙ qd ∙ 𝐥𝐲
2
Ry = 0,001 ∙ ry∙ q ∙ 𝐥𝐲
Lajes armadas em duas direções:
✓ Caso geral: Lajes apoiadas em todos os bordos.
Momento fletor de 
dimensionamento, 
direções X e Y (kN.m/m)
Reações de apoio 
transmitidas às vigas, 
direções X e Y (kN/m)
qd
lx - Vão segundo a direção X
ly - Vão segundo a direção Y
o Se 𝐥𝐲 < 𝐥𝐱
Rx = 0,001 ∙ rx ∙ q ∙ 𝐥𝐲
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EXERCÍCIO 3.3
Pré-dimensionar a altura e determinar os momentos fletores de projeto 
(Mxd e Myd) da laje de uma sala residencial (apoiada em todos os bordos) 
ilustrada abaixo. Considerar uma carga de revestimento igual à 1,0kN/m².