Tipos de conjuntos de números

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Matemática 
 
 
 
 
CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS, 
RACIONAIS, IRRACIONAIS, REAIS E IMAGINÁRIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Conjunto dos números inteiros, racionais, irracionais, reais e imaginários ...................... 2 
1.1. Conjunto dos Inteiros ....................................................................................................... 2 
1.2. Conjunto dos Racionais .................................................................................................... 3 
1.3. Conjunto dos Irracionais .................................................................................................. 5 
1.4. Conjunto dos Reais ........................................................................................................... 5 
1.5. Conjuntos dos Imaginários .............................................................................................. 6 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
Na apostila anterior, na qual falamos sobre Conjuntos Infinito, Finito e Nulo, 
conhecemos a definição, diferenças e exemplos. De um modo geral, o conjunto 
infinito apresenta uma quantidade ilimitada de termos, o finito apresenta uma 
quantidade limitada de elementos e por fim e não menos importante o conjunto 
nulo, este tem como característica não possuir elementos, ou seja, considerado 
vazio. 
Na apostila de hoje vamos conhecer o conjunto de números inteiros, 
racionais, irracionais, reais e imaginários. Com a aplicação de exemplos, 
aprenderemos como são representados estes conjuntos, seus conceitos e como são 
utilizados. 
Objetivos 
• Conhecer os conjuntos de números inteiros, racionais, irracionais, reais e 
imaginários, bem como conceitos e aplicações. 
• Identificar os tipos de conjuntos em exercícios. 
 
1. Conjunto dos números inteiros, racionais, irracionais, 
reais e imaginários 
1.1. Conjunto dos Inteiros 
Considerando os números naturais, a subtração nem sempre é possível. De 
uma forma mais clara e exemplificada, podemos afirmar que não existe um número 
natural que represente a diferença 3 – 5. Para que possamos responder a esta 
questão, foram criados os números inteiros, que neste caso, o conjunto da diferença 
3 – 5 é representado por -2. 
O conjunto dos números inteiros engloba, os números positivos e negativos e 
são indicados pela letra Z. Este conjunto é infinito e pode ser representado da 
seguinte maneira: 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
Quando quisermos indicar os inteiros não nulos, representamos por : 
Z*= {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} 
 
 
 
 
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SAIBA MAIS! 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
1.2. Conjunto dos Racionais 
Dentro dos números inteiros, a divisão nem sempre é possível. Se por 
exemplo, quisermos dividir -3 por 2, não encontraremos um número inteiro que 
represente o quociente. 
Os números inteiros negativos são sempre 
acompanhados pelo sinal (-); 
Os números inteiros positivos podem ou não ser 
acompanhados pelo sinal (+); ou seja, não havendo o 
sinal ( +) serão considerados positivos; 
O zero é um número neutro não positivo (+) nem 
negativo (-). 
 
Conceito de divisor 
Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b (a / 
b), quando existe um inteiro c tal que ca = b, logo, tem-
se: a / b = ( c ∊ Z⎹ ca = b). 
 
1. 2 / 12 pois 6.2 = 12 
2. 3 / -18 pois (-6). (3) = -18 
3. -5 / 20 pois (-4) (-5) =20 
4. -2 / -14 pois 7 . (-2) = -14 
5. 4 / 0 pois 0 . 4 =0 
6. 0/ 0 pois 1. 0 = 0 
 
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Diante da situação exposta, foi criado o conjunto dos números racionais, e 
nesse conjunto, o quociente -3 : 2 é indicado por -3/2 ou por 1,5. 
O conjunto dos números racionais é indicado por Q. 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
 
 
Podemos conceituar que, um número racional é todo aquele que pode ser 
representado como a razão entre dois números inteiros, com o segundo não nulo. 
Assim concluímos que todo número inteiro também é racional, pois pode ser 
considerado como uma razão de denominador 1. 
Como exemplo temos : 5 = 5/1 ; por isso, escrevemos Z C Q, assim como N C Z, 
e também N C Q. No diagrama abaixo, podemos ver essas relações entre N, Z e Q. 
 
 Q 
 Z 
 
 N 
 
 
 
 
 
Diagrama das relações N, Z e Q 
 
No número decimal 2,5555... o algarismo 5 se repete indefinidamente, sendo 
que esse número é chamado de dízima periódica de parte inteira 2 e período 5. 
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números decimais 
finitos e todas as dízimas periódicas. 
Representação dos conjuntos dos números 
racionais: 
Q+= conjunto dos racionais não negativos. 
Q-= conjunto dos racionais não positivos. 
Q* = conjunto dos racionais não nulos. 
 
 
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1.3. Conjunto dos Irracionais 
Como dito anteriormente, as dízimas periódicas estão dentro dos números 
racionais, mas também temos as dízimas não periódicas, ou seja, números com 
infinitas casas decimais e não periódicas. Esses números são chamados de 
irracionais, sendo que o conjunto desses números é indicado por I (letra i 
maiúscula). 
I = {x | x é dízima não periódica} 
Um dos números irracionais mais conhecidos é o quociente do perímetro de 
uma circunferência pela medida de seu diâmetro, sendo que esse número é 
representado pela letra grega π (pi). 
𝜋 = 3,14159265358979323846264338327950... 
CAI NA PROVA! 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
1.4. Conjunto dos Reais 
Podemos dizer que, qualquer número racional ou irracional é chamado de 
número real. Portanto um número real é todo número decimal, finito ou infinito e 
O pi pode ser encontrado pela razão do comprimento 
pelo diâmetro da circunferência. 
𝜋 =
𝐶
𝑑
 ou 𝜋 =
𝐶
2𝑟
 
Onde, C = comprimento da circunferência 
 d = diâmetro da circunferência 
 r = raio (metade do diâmetro) 
𝜋 = 3,14 
 
Constantes irracionais: 
𝜋 (pi) = 3,1415926535... (Número pi, constante de 
Arquimedes) 
∮ (phi) = 1,6180339887... (Número áureo ou número de 
ouro) 
𝑒 = 2,7182818... (Constante de Euler) 
 
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indicamos por R o conjunto dos números reais e por R* o conjunto dos números reais 
não nulos, ou seja: 
R = {x | x é número racional ou irracional} 
R* = {x | x é número real diferente de zero} 
 
 
R 
 Q 
 Z 
 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama das relações entre conjuntos 
 
No diagrama acima, resumimos as relações entre conjuntos numéricos até 
agora apresentados. 
Vejamos algumas notações que representam alguns subconjuntos especiais 
de R: 
R+ = {x | x é número real positivo ou nulo} 
R*+ = {x | x é númeroreal positivo} 
R- = {x | x é número real negativo ou nulo} 
R*- = {x | x é número real negativo} 
 
1.5. Conjuntos dos Imaginários 
Para que possamos entender mais claramente, vamos recordar que quando 
estamos resolvendo uma equação do segundo grau do tipo ax2 + bx + c = 0 e 
encontramos, por exemplo, uma reposta do tipo √−1, logo dizemos que não existe 
solução dentro do conjunto dos números reais. 
 
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Diante desta situação, temos um novo conjunto chamado de conjunto dos 
imaginários ou conjunto dos números complexos, representado pela letra C. 
Tomando como exemplo √−1 , como não conhecemos raízes quadradas de 
números negativos, tornou-se necessário inventar um número cujo quadrado seja 
igual a -1. Assim este foi denominado de unidade imaginária, designado por i. 
Então dizemos que i = ±√−1 e de acordo com a definição i2 = -1. 
Um número complexo tem sua forma algébrica representada por: 
z = a + bi, com a, b є R 
Exercícios 
1. (Autor,2019) Com as frações abaixo, faça a representação em números 
decimais: 
a) 398/200 
b) 32/11 
c) 10/8 
d) 5/9 
 
2. (Autor, 2019) Diga a qual conjunto pertence os números abaixo e caso seja 
mais de um conjunto, escreva quais: 
a) 35,5 
b) 725 
c) √−144 
d) √316 
e) -4 
 
3. (PM SC, 2011) Leia as afirmações: 
I. Os números Naturais são aqueles inteiros não positivos mais o 
zero. 
II. Os números Irracionais são aqueles que representam dízimas 
periódicas. 
III. Os números Reais representam a soma dos números Racionais 
com os Irracionais. 
Assinale a alternativa correta: 
a) Somente a afirmativa II está correta. 
b) Somente a afirmativa III está correta. 
c) Somente a afirmativa I está correta. 
d) Somente as afirmativas II e III estão corretas. 
e) 
 
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Gabarito 
1. a) 398/200 = 1,99 
b) 32/11 = 2,909 
c) 10/8 = 1,25 
d) 5/9 = 0,555 
 
 
2. a) 35,5 como pode ser representado por 355/10, é Racional. 
b) 725 é inteiro positivo, logo, é Inteiro e também é um número Real. 
c) √−144 raiz de número negativo, Complexo(Imaginário). 
d) √316 raiz não é exata, Irracional. 
e) -4, negativo, Inteiro e também é um número Real. 
 
3. Letra “b”. 
Resumo 
Na aula de hoje aprendemos sobre o conjunto dos números inteiros, 
racionais, irracionais, reais e imaginário. Aprendemos que conjunto dos números 
inteiros engloba, os números positivos e negativos e são indicados pela letra Z. O 
conjunto dos números racionais é constituído por números inteiros (positivos e 
negativos), decimais, dízima periódica composta e simples, e frações. Muito utilizado 
para representar quantidades e medidas. Os conjuntos dos números naturais e 
inteiros fazem parte deste conjunto. Este conjunto é representado pela letra Q. Já os 
números irracionais são considerados aqueles que não podem ser representados por 
uma fração. Estão incluídos neste grupo os números decimais, infinitos e não 
periódicos, é representado pela letra I. O conjunto dos números reais é representado 
pela letra maiúscula R e é formado pelos números naturais (N – números positivos), 
inteiros (I – números positivos e negativos), racionais (Q – frações, inteiros, naturais 
fracionários e dízima periódica), irracionais (I – decimais infinitos que não possuem 
uma repetição após a vírgula). E por fim aprendemos sobre os números imaginários, 
que são considerados complexos com parte igual a zero, ou seja, um número de 
forma “bi”, em que “i” é a unidade imaginária. 
 
 
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Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed.São Paulo, Ática, 2005. 
 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999. 
 
Webpages. Euler e o Número Imaginário. Disponível em: 
http://webpages.fc.ul.pt/~ommartins/seminario/euler/index.htm. Acessado em 03/08/2019 às 16h30.