1_Noções de Conjuntos e Conjuntos Numéricos

Prévia do material em texto

1 
 
MATEMÁTICA EMPRESARIAL 
Prof. Leonardo Bandeira 
 
1. NOÇÕES GERAIS DE CONJUNTOS 
 
1.1 Introdução 
 
Damos o nome de conjuntos ao agrupamento de 
elementos com características comuns. Para 
representarmos que um determinado elemento x 
pertence ou não a um certo conjunto A, escrevemos: 
 
𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐴 
 
É importante lembrar que a notação utilizada 
quando nos referimos a um conjunto é sempre a de 
uma letra maiúscula; quando nos referimos a um 
elemento, utilizamos uma letra minúscula. 
 
1.2 Conjunto unitário e conjunto vazio 
 
Embora a noção intuitiva de conjunto esteja 
associada à ideia de pluralidade (coleção de objetos), 
devemos considerar que existem conjuntos com 
apenas um elemento, chamados de conjuntos 
unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, 
chamado de conjunto vazio (representado por 
∅ 𝑜𝑢 { }). 
 
1.3 Representação de conjuntos 
 
A representação de um conjunto pode ser feita 
de três formas distintas: por extensão, por 
propriedade dos elementos, e por diagramas. 
 
>>>Extensão 
Quando o conjunto se apresenta por uma 
listagem ou enumeração de elementos, escritos entre 
chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula, 
dizemos que está representado por extensão. 
 
Exemplos: 
a) conjunto das vogais do alfabeto: {a, e, i, o, u}. 
b) conjunto dos números maiores que 1 e menores 
que 8: {2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
c) conjunto das letras da palavra Matemática: {a, c, 
e, i, m, t}. 
 
Nos casos de representação por extensão não se 
repetem os elementos, deve-se escrever cada 
elemento apenas uma vez. 
>>> Propriedade dos elementos 
Um conjunto pode ser também ser representado 
por uma propriedade característica comum a todos 
os seus elementos. A representação se dá dessa 
maneira: 
 
𝐴 = {𝑥|𝑥 é … { 
 
Exemplos: 
a) 𝐴 = {𝑥|𝑥 é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 10} 
b) 𝐵 = {𝑥|2 > 𝑥 > 10} 
c) 𝐶 = {𝑥|𝑥 é í𝑚𝑝𝑎𝑟} 
 
 
>>> Diagramas 
Diagrama é uma figura plana fechada, 
contornado por linhas simples e não entrelaçadas. 
 
 
Qualquer ponto interior de um diagrama pode 
representar um elemento do conjunto, enquanto 
pontos exteriores representam elementos que não 
pertencem ao conjunto. 
A utilização de diagramas permite também que 
representemos simultaneamente conjuntos quê têm 
elementos em comum, como por exemplo: 
 
𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} 
𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} 
 
 
 
1.4 Operações e relação de inclusão 
 
>>> Relação de inclusão 
 Dizemos que um conjunto A é um 
subconjunto de B, ou que A está contido em B, se 
todos os elementos de A também estiverem em B. 
𝐴 ⊂ B "A está contido em B" 
https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%8A%82
2 
 
𝐵 ⊃ A "B contém A" 
 
>>> Intersecção 
 Chama-se intersecção de dois conjuntos A e 
B quaisquer o conjunto formado pelos elementos 
comuns entre A e B. 
A intersecção de A e B é representado por: 
𝐴 ∩ 𝐵. 
 
>>> União 
 Chama-se união ou reunião de dois 
conjuntos A e B quaisquer o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem aos conjuntos A e B. 
 A união ou reunião dos conjuntos A e B é 
representada por: 𝐴 ∪ 𝐵. 
 
>>> Diferença 
 Chama-se diferença (A – B) de dois 
conjuntos A e B quaisquer, o conjunto formado 
pelos elementos que pertencem a A e não pertencem 
a B. 
 É representada por 𝐴 − 𝐵. 
 
2. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Tais conjuntos possuem os elementos 
perfeitamente caracterizados e, dentre eles, serão 
estudados os conjuntos dos números naturais, dos 
inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, dos 
números reais. 
O conjunto dos números naturais surgiu da 
necessidade de se contarem os objetos; os outros 
conjuntos, em geral, foram surgindo, também por 
necessidade, como ampliações daqueles até então 
conhecidos. 
 
a) Conjunto dos números naturais: 
ℕ = {0,1,2,3, … } 
 
b) Conjunto dos números inteiros: 
ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } 
 
c) Conjunto dos números racionais: 
ℚ = {𝑥|𝑥 =
𝑎
𝑏
, 𝑎 ∈ ℤ 𝑒 𝑏 ∈ ℤ∗} 
 
d) Conjunto dos números irracionais ( ): é o 
outro subconjunto dos reais, formado por todos 
os números que não são racionais e, portanto, 
que não podem ser expressos na forma de uma 
fração com numerador e denominador inteiro. 
 
e) Conjunto dos números reais ( ℝ ): é formado 
pela união entre os conjuntos dos números 
racionais e o conjunto dos irracionais. 
 
A relação entre os conjuntos numéricos citados é: 
ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊂ ℝ 
 
2.1 Conjuntos dos Naturais ( ℕ ) 
 
É o conjunto dos números naturais: 
 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4 , … 𝑛, … } 
 
Em que n representa o elemento genérico do 
conjunto. Um subconjunto importante de ℕ é o 
conjunto ℕ∗, obtido excluindo o zero de ℕ: 
 
ℕ∗={1,2,3,4,5,6, … } ou ℕ∗ = ℕ − {0} 
 
Os números naturais são usados nas 
contagens, nos códigos e nas ordenações. Em ℕ 
sempre é possível a adição e a multiplicação, ou 
seja, a soma e o produto de dois números naturais 
nem sempre é um número natural; a subtração 3 −
4 , por exemplo, não é possível em ℕ . Daí a 
necessidade de ampliar o conjunto ℕ introduzindo os 
números negativos 
 
2.2 Conjuntos dos Números Inteiros ( ℤ ) 
 
É o conjunto dos números inteiros: 
,...}3,2,1,0,1,2,3,4{..., +++−−−−=Z
 
 
O símbolo usado para representar o conjunto 
dos números inteiros é a letra Z. 
 
Inteiros negativos: São abscissas de pontos que 
estão à esquerda dos pontos de abscissa zero. 
 
Zero é inteiro: Não é positivo e não é negativo. 
 
Inteiros positivos: São abscissas de pontos que 
estão à direita do ponto de abscissa zero. 
 
https://pt.wiktionary.org/w/index.php?title=%E2%8A%83&action=edit&redlink=1
3 
 
Números opostos: Dois números inteiros são 
opostos ou simétricos quando são representados, na 
reta numerada, por pontos: 
▪ Que estão à mesma distância do ponto de 
abscissa zero. 
▪ Localizados em sentidos opostos. 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 
 
ADIÇÃO: A soma de dois números inteiros com 
sinais iguais é um número inteiro com: 
▪ Valor absoluto (ou módulo) igual à soma 
dos valores absolutos (ou módulos) das 
parcelas; 
▪ Sinal igual ao das parcelas. 
 
Exemplo: 
( ) ( ) 531043 +=+++ 
( ) ( ) 1203882 −=−+− 
 
A soma de dois números inteiros com sinais 
diferentes é um número inteiro com: 
▪ Valor absoluto (ou módulo) igual a 
diferença dos valores absolutos (ou 
módulos) das parcelas; 
 
Sinal igual ao sinal da parcela de maior valor 
absoluto (ou módulo). 
( ) ( ) 143852 +=−++ 
( ) ( ) 456217 −=−++ 
 
Observação: 
A soma de números inteiros opostos é zero. 
Exemplos: 
( ) ( ) 01010 =−++ 
( ) ( ) 05454 =++− 
 
Simplificação da escrita 
Uma soma de números inteiros pode ser 
simplificada. Fazemos essa simplificação 
eliminando os parênteses e deixando de escrever o 
sinal de adição. 
 
Exemplo: 
Simplifique a escrita e calcule a soma 
( ) ( )7538 −++ 
( ) ( ) 3775387538 −=−+=−++ 
A soma de três ou mais números inteiros 
 
Exemplo: 
Qual é o valor de ( ) ( ) ( ) ( )17766243 ++−+−+− 
( ) ( ) ( ) ( ) =+−−−=++−+−+− 1776624317766243 
 
Transformando em soma algébrica. 
= -105 - 76 + 17 = 
= -181 + 17 = -164 
 
Observação: Em somas algébricas que possuem 
termos opostos (ou simétricos) como neste exemplo, 
esses termos podem ser cancelados porque a soma 
deles é zero. 
 
Exemplo: =++−− 4519374568 
 =+−= 193768 
 501931 =+= 
 
SUBTRAÇÃO: A diferença de dois números 
inteiros é igual à soma do primeiro com o oposto do 
segundo. 
 
Exemplo: 
Calcule a diferença 
( ) ( )
( ) ( )
155136
5136
5136
=+−=
=++−
=−−−
 
 
MULTIPLICAÇÃO 
 
Produto com sinais diferentes 
Exemplo: ( )( ) 369.4 −=+− 
 
O produto de dois números inteiros diferentes de 
zero e de sinais diferentes é um número inteiro de: 
▪ Valor absoluto: igual ao produto dos valores 
absolutos dos fatores: 
▪ Sinal: - (negativo) 
 
Produto de dois números inteiros com sinais 
iguaisExemplo: ( )( ) 408.5 +=++ 
 
O produto de dois números inteiros diferentes de 
zero e de sinais iguais é um número inteiro de: 
4 
 
▪ Valor absoluto: igual ao produto dos valores 
absolutos dos fatores: 
▪ Sinal: + (positivo) 
 
DIVISÃO 
 
Quociente de dois números inteiros com sinais 
diferentes 
 
Exemplo: ( ) ( ) 155:75 −=+− 
 
O quociente de uma divisão exata entre dois 
números inteiros, com divisor diferente de zero é 
sinais diferentes é um número inteiro de: 
▪ Valor absoluto: igual ao quociente 
dos valores absolutos dos termos; 
▪ Sinal: - (negativo) 
 
Quociente de dois números inteiros com sinais 
iguais 
 
Exemplo: ( ) ( )
( ) ( ) 214:84
1212:144
+=++
+=−− 
 
O quociente de uma divisão exata entre dois 
números inteiros, com divisor diferente de zero e 
sinais iguais é um número inteiro de: 
▪ Valor absoluto: igual ao quociente dos 
valores absolutos dos termos; 
▪ Sinal: + (positivo) 
 
OBSERVAÇÕES: 
1. Não existe divisão por zero. 
 
Exemplo: ( ) 0:15− não tem significado, pois não 
existe um número inteiro cujo produto por zero seja 
igual a –15. 
Zero dividido por qualquer número inteiro, 
diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer 
número inteiro por zero é igual a zero. 
 
Exemplo: ( )
( ) 06:0
010:0
=+
=− 
 
Expressões Numéricas 
 
O cálculo do valor de uma expressão com 
números inteiros em que aparecem divisões, 
multiplicações e somas algébricas segue as mesmas 
regras que já vimos para números naturais. 
 
1. As divisões e multiplicações são calculadas 
antes das adições e subtrações; 
2. as divisões e multiplicações, numa única 
expressão, são efetuadas na ordem em que 
aparecem. 
 
Exemplo: 
( ) ( ) ( )
( )
35
287
28512
28512
7.43:1512
−=
=−−
=−+−
=−−−−
=+−+−−−
 
 
2.3 Conjunto dos Racionais ( ℚ ) 
 
Ao acrescentarmos as frações não aparentes 
positivas e negativas ao conjunto ℤ , obtemos o 
conjunto dos números racionais (ℚ) . Assim, por 
exemplo, são números racionais 
−2, − 
3
2
, -1, 
1
2
 
 
Assim, escrevemos: 
ℚ = {𝑥|𝑥 =
𝑎
𝑏
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ ℤ 𝑏 ∈ ℤ 𝑒 𝑏 ≠ 𝑜} 
 
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA 
 
Adição e subtração com denominadores iguais 
 
Exemplo: 
2
1
12
6
12
39
12
3
12
9
==
−
=− 
 
Conserva-se o denominador e soma-se ou subtrai-se 
os numeradores. 
 
Adição e Subtração com denominadores diferentes 
 
Exemplo: 
30
11
30
10615
30
10
30
6
30
15
3
1
5
1
2
1
=
−+
=−+=−+ 
 
Reduz-se ao menor denominador comum, em 
seguida soma-se ou subtrai-se os numeradores e 
conservamos o denominador. 
 
5 
 
Multiplicação com frações 
 
Exemplo: 
35
12
7
4
5
3
=x 
 
O produto de dois números na forma de fração 
tem como numerador o produto dos numeradores e 
como denominador o produto dos denominadores. 
 
Divisão com frações 
 
Exemplo: 
10
21
2
7
5
3
7
2
:
5
3
== x 
 
Multiplica-se a 1ª fração pelo inverso da 2ª fração. 
 
Expressões Numéricas 
 
Exemplo: Qual o valor da expressão: 
2
5
2
14
2
1
2
2
1
2
6
3
2
6
107
2
3
5
6
7
2
3
5
6
7
2
3
49
6
103
2
3
4
3
3
5
2
1
2
=
+
=+=





−−=





−−=
=




 −+
−=
=





−+−=
=











−+





−−−=
=










 +−
+




 −
−−=
=











+−+





−−−
 
 
2.4 Números Irracionais 
 
Como vimos, há números decimais que 
podem ser escritos na forma fracionária com 
numerador inteiro e denominador inteiro (diferente 
de zero) são os números racionais. Mas há também 
números decimais que não admitem essa 
representação: são os decimais infinitos e não 
periódicos. Esses números são chamados números 
irracionais. 
 
Exemplos: 
√2 = 1,4142135 … 
√3 = 1,7320508 … 
𝜋 = 3,1415926535 … 
 
2.5 Conjunto dos Reais ( ℝ ) 
 
Da reunião do conjunto dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais obtemos o 
conjunto dos números reais ℝ. 
 
ℝ = ℚ ∪ 𝕀𝑟 = {𝑥|𝑥 ∈ ℚ 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝕀𝑟}
= {𝑥|𝑥 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙} 
 
Como vimos, os números racionais não bastam 
para esgotar os pontos da reta. Por exemplo, os 
pontos da reta correspondentes aos números −√3, 
√2 , etc. não são alcançados com os números 
racionais. Agora, os números reais esgotam todos os 
pontos da reta, ou seja, a cada ponto da reta 
corresponde um único número real e, 
reciprocamente, a cada número real corresponde um 
único ponto da reta. 
Por isso, dizemos que existe uma 
correspondência biunívoca entre os números reais e 
os pontos da reta. Temos assim a reta real, que é 
construída desta forma: numa reta, escolhemos uma 
origem (e associamos a ela o zero), um sentido de 
percurso e uma unidade de comprimento. 
 
OBSERVAÇÃO: 
São reais: 
• Os números naturais; 
• Os números inteiros; 
• Os números racionais; 
• Os números irracionais; 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7