NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES ALGEBRICAS 10

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NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES ALGEBRICAS
10a aula
		
	 
	Lupa
	 
	 
	
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MP3
	 
		Exercício: CEL0524_EX_A10_201707054002_V1 
	28/10/2019
	Aluno(a): RAIMUNDO EMILIO DA SILVA PAIVA
	2019.3 EAD
	Disciplina: CEL0524 - NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES ALGEBRICAS 
	201707054002
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Verifique se a equação x4 - x2 - 2 = 0 possui raízes racionais.
		
	
	2 e -1 são raízes racionais da equação.
 
	 
	A equação não tem raízes racionais.   
 
	
	-1 e 1 são raízes racionais da equação.
	
	-2 e -1 são raízes racionais da equação.
 
	
	-2 e 1 são raízes racionais da equação.
 
	Respondido em 28/10/2019 19:46:08
	
Explicação:
Temos que:
p é divisor de a0, então  p é divisor de -2. Portanto, p = ±1 ou p = ±2
q é divisor de an, então  q é divisor de 1. Portanto, q = ±1 
Os possíveis valores das raízes racionais são: p/q = {-2,-1,1,2}
Agora verificamos quais os valores desse conjunto tornam a equação verdadeira.
Nesse caso nenhum dos quatro valores é raiz da equação. Logo, a equação não tem raízes racionais.   
 
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Para a equação polinomial x3 - 2x2 + 3x - 2 = 0, calcule 1/rs + 1/st + 1/rt.
		
	
	3
	
	0
	 
	2
	 
	1
	
	4
	Respondido em 28/10/2019 19:46:15
	
Explicação:
Usando as relações de Girard.
1/rs + 1/st + 1/rt = (r + s + t)/rst = 2/2 = 1
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Para a equação polinomial x3 - 2x2 + 3x - 2 = 0, calcule r + s + t.
		
	
	5
	 
	3
	 
	2
	
	4
	
	1
	Respondido em 28/10/2019 19:46:33
	
Explicação:
De acordo com as relações de Girard, temos:
r + s + t = -b/a => r + s + t  = 2
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Ao procurar as raízes do polinômio 5x^4 - 3x^2 +3, um aluno utilizou o método de Newton. Utilizando este método, ao desenvolver fórmula, qual a equação será colocada no numerador da fração?
		
	
	- 5x^4 + 3x^2 -3
	 
	20x^3 - 6x^2
	
	- 20x^3 + 6x^2
	 
	5x^4 - 3x^2 +3
	
	20x^3 - 6x^2 + 3
	Respondido em 28/10/2019 19:46:39
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine as raízes da equação 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0.
		
	
	S = {-1/2,1,2}
 
	
	S = {-1,1,-2}
 
	 
	S = {1/2,1,2}
 
	
	S = {1/2,-1,2}
 
	
	S = {-2,-1,1}
	Respondido em 28/10/2019 19:46:46
	
Explicação:
p é divisor de a0, então  p é divisor de -2. Portanto, p = ±1 ou p =±2
q é divisor de an, então  q é divisor de 2. Portanto, q =±1  ou q =±2
Os possíveis valores das raízes racionais são: p/q = { -2, -1, -1/2, 1/2,1, 2}
Agora verificamos quais os valores desse conjunto tornam a equação verdadeira. Nesse caso devemos substituir cada um dos valores na equação dada. Fazendo a substituição encontramos as raízes 1/2, 1 e 2.
Portanto,  S = {1/2,1,2}
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere os números - 1 e 1 duas das raízes do polinômio P(x) = cx3 + ax2 + bx + 2c.
Determine a terceira raiz de P(x).
		
	 
	-2
	
	0
	
	1
	 
	2
	
	-1
	Respondido em 28/10/2019 19:46:52
	
Explicação:
Usando as relações de Girard, temos:
r.s.t = (- 1) . 1 . t
r.s.t = - t
mas 
r.s.t = -d/a => -d/a = -2c/c = -2
Logo,
-2 = - t => t = 2
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
			Sabemos que o método de Newton é um dos procedimentos iterativos que pode ser utilizado na determinação de uma raiz do polinômio p(x) localizada em um intervalo [a,b].  A fórmula iterativa utilizada pelo método é:
		
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	Respondido em 28/10/2019 19:46:59
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Na equação: x4 + px3 + px2 + px + p = 0, sabendo-se que 1 é raiz, então:
		
	
	p = 0 ou p = 1
	 
	p = 0 ou p = -1
	 
	p = -1/4
	
	p = 1 ou p = -1
	
	p =1/3
		 
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10a aula
		
	 
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		Exercício: CEL0524_EX_A10_201707054002_V2 
	28/10/2019
	Aluno(a): RAIMUNDO EMILIO DA SILVA PAIVA
	2019.3 EAD
	Disciplina: CEL0524 - NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES ALGEBRICAS 
	201707054002
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine as raízes da equação 2x3 - 11x2 + 17x - 6 = 0.
		
	 
	S = {1/2, 2, 3}
 
	
	S = {-1/2, -2, 3}
 
	 
	S = {1/2, 2, -3}
 
	
	S = {-1/2, -2, -3}
	
	S = {-1/2, 2, 3}
 
	Respondido em 28/10/2019 19:47:30
	
Explicação:
Vamos pesquisar todos os divisores (positivos e negativos) de an = -6.
São eles: ±1,±2, ±3,±6.
2 é uma raiz de p(x) = 0, então podemos fatorar o polinômio em p(x) = (x - 2)(2x2 - 7x + 3)
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 - 7x + 3 = 0, obtemos as raízes x1 = 1/2 e
x2 = 3. Portanto, o conjunto solução é:  S = {1/2, 2, 3}
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x3 -x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Então, o valor de k é:
		
	
	-4
	 
	8
	 
	-8
	
	4
	
	0
	Respondido em 28/10/2019 19:47:38
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dado o polinômio P(x) = 5x³ - 4x² - 7x, determine a derivada de P em x = -1.
		
	 
	16
	 
	-15
	
	15
	
	14
	
	-16
	Respondido em 28/10/2019 19:47:44
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Se α,β,δα,β,δ são raízes da equação x3−2x2+3x−4=0x3-2x2+3x-4=0 então, o valor de 1α+1β+1δ1α+1β+1δ é
		
	
	−14-14
	 
	1414
	
	−32-32
	 
	3434
	
	3232
	Respondido em 28/10/2019 19:47:51
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	A equação x2 + sx + p = 0, com coeficientes reais, admite 1 + 2i como raiz.
Determine os valores de s e p.
		
	
	s = -3 e p = 5
	
	s  = -1 e p = 0
 
	 
	s = -2 e p = 5
 
	
	s = 3 e p = 4
 
	
	s = 2 e p = -5
 
	Respondido em 28/10/2019 19:47:57
	
Explicação:
De acordo com as relações de Girard, temos que:
r + s = -b/a => 1 + 2i + 1 - 2i = -s/1 = 2 => s = -2
r.s = c/a => (1+2i)(1-2i) = p/1 => p = 5
 
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine  a soma e o produto das raízes da equação 2x6 - 4 = 0.
		
	
	soma das raízes: 1  e  produto das raízes: -1
 
	 
	soma das raízes: 2  e  produto das raízes: 2
 
	
	soma das raízes: 3  e  produto das raízes: 1
 
	 
	soma das raízes: 0  e  produto das raízes: -2
 
	
	soma das raízes: 4  e  produto das raízes: 3
	Respondido em 28/10/2019 19:48:04
	
Explicação:
Como pede a soma e o produto das raízes, vamos utilizar a relação de Girard para resolver, porém temos de atentar para o grau na equação algébrica, que é maior que 3. Sendo assim, teremos os seguintes coeficientes:
2x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x - 4 = 0
A soma das raízes = 0
O produto das raízes = -2
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de k, de modo que a equação x³ - 6x² - k²x + 30 = 0 tenha duas de suas
raízes somando 1.
		
	
	k = ± 2
	 
	k =  1
	 
	k = 2
	
	k = -1
	
	k = 1
	Respondido em 28/10/2019 19:48:12
	
Explicação:
Aplicando as relações de Girard à equação, temos:
r + s + t = - (- 6/1) = 6
Para r + s = 1, concluímos que:
1 + t = 6  => t = 6 - 1 => t = 5
Como p(5) = 0, então:
x³ - 6x² - k²x + 30 = 0 = (5)³ - 6(5)² - k²(5) + 30 = 0 => 125 - 150 - 5k2 + 30 = 0  5k2 = 5  k2 = 1  k =  1
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Ao procurar as raízes do polinômio5x^4 - 3x^2 +3, um aluno utilizou o método de Newton. Utilizando este método, ao desenvolver fórmula, qual a equação será colocada no denominador da fração?
		
	
	20x^3 + 6x
	
	-20x^3 + 6x
	 
	5x^4 - 3x^2 +3
	 
	20x^3 - 6x
	
	-5x^4 + 3x^2 -3
	Respondido em 28/10/2019 19:48:20
	
	
	 
	NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES ALGEBRICAS
10a aula
		
	 
	Lupa
	 
	 
	
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MP3
	 
		Exercício: CEL0524_EX_A10_201707054002_V3 
	28/10/2019
	Aluno(a): RAIMUNDO EMILIO DA SILVA PAIVA
	2019.3 EAD
	Disciplina: CEL0524 - NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES ALGEBRICAS 
	201707054002
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dado o polinômio P(x) = 5x^3 - 4x^2 - 7x, determine P`(-1)
		
	
	14
	
	15
	 
	-16
	 
	16
	
	-15
	Respondido em 28/10/2019 19:48:41
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Para a equação polinomial x3 - 2x2 + 3x - 2 = 0, calcule r + s + t.
		
	
	1
	 
	5
	
	4
	 
	2
	
	3
	Respondido em 28/10/2019 19:48:47
	
Explicação:
De acordo com as relações de Girard, temos:
r + s + t = -b/a => r + s + t  = 2
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Ao procurar as raízes do polinômio 5x^4 - 3x^2 +3, um aluno utilizou o método de Newton. Utilizando este método, ao desenvolver fórmula, qual a equação será colocada no numerador da fração?
		
	
	20x^3 - 6x^2
	 
	5x^4 - 3x^2 +3
	 
	- 5x^4 + 3x^2 -3
	
	- 20x^3 + 6x^2
	
	20x^3 - 6x^2 + 3
	Respondido em 28/10/2019 19:48:53
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Verifique se a equação x4 - x2 - 2 = 0 possui raízes racionais.
		
	 
	A equação não tem raízes racionais.   
 
	
	-2 e -1 são raízes racionais da equação.
 
	 
	-2 e 1 são raízes racionais da equação.
 
	
	-1 e 1 são raízes racionais da equação.
	
	2 e -1 são raízes racionais da equação.
 
	Respondido em 28/10/2019 19:48:59
	
Explicação:
Temos que:
p é divisor de a0, então  p é divisor de -2. Portanto, p = ±1 ou p = ±2
q é divisor de an, então  q é divisor de 1. Portanto, q = ±1 
Os possíveis valores das raízes racionais são: p/q = {-2,-1,1,2}
Agora verificamos quais os valores desse conjunto tornam a equação verdadeira.
Nesse caso nenhum dos quatro valores é raiz da equação. Logo, a equação não tem raízes racionais.   
 
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Para a equação polinomial x3 - 2x2 + 3x - 2 = 0, calcule 1/rs + 1/st + 1/rt.
		
	 
	1
	
	3
	 
	2
	
	4
	
	0
	Respondido em 28/10/2019 19:49:04
	
Explicação:
Usando as relações de Girard.
1/rs + 1/st + 1/rt = (r + s + t)/rst = 2/2 = 1
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Na equação: x4 + px3 + px2 + px + p = 0, sabendo-se que 1 é raiz, então:
		
	
	p = 0 ou p = -1
	
	p =1/3
	 
	p = 1 ou p = -1
	 
	p = -1/4
	
	p = 0 ou p = 1
	Respondido em 28/10/2019 19:49:09
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine as raízes da equação 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0.
		
	
	S = {-1/2,1,2}
 
	
	S = {-2,-1,1}
	 
	S = {1/2,1,2}
 
	 
	S = {-1,1,-2}
 
	
	S = {1/2,-1,2}
 
	Respondido em 28/10/2019 19:49:17
	
Explicação:
p é divisor de a0, então  p é divisor de -2. Portanto, p = ±1 ou p =±2
q é divisor de an, então  q é divisor de 2. Portanto, q =±1  ou q =±2
Os possíveis valores das raízes racionais são: p/q = { -2, -1, -1/2, 1/2,1, 2}
Agora verificamos quais os valores desse conjunto tornam a equação verdadeira. Nesse caso devemos substituir cada um dos valores na equação dada. Fazendo a substituição encontramos as raízes 1/2, 1 e 2.
Portanto,  S = {1/2,1,2}
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
			Sabemos que o método de Newton é um dos procedimentos iterativos que pode ser utilizado na determinação de uma raiz do polinômio p(x) localizada em um intervalo [a,b].  A fórmula iterativa utilizada pelo método é:
		
	
	
	 
	
	 
	
	
	
	
	
	
	 
	NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES ALGEBRICAS
10a aula
		
	 
	Lupa
	 
	 
	
Vídeo
	
PPT
	
MP3
	 
		Exercício: CEL0524_EX_A10_201707054002_V4 
	28/10/2019
	Aluno(a): RAIMUNDO EMILIO DA SILVA PAIVA
	2019.3 EAD
	Disciplina: CEL0524 - NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES ALGEBRICAS 
	201707054002
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Considere os números - 1 e 1 duas das raízes do polinômio P(x) = cx3 + ax2 + bx + 2c.
Determine a terceira raiz de P(x).
		
	 
	2
	 
	-2
	
	-1
	
	0
	
	1
	Respondido em 28/10/2019 19:49:45
	
Explicação:
Usando as relações de Girard, temos:
r.s.t = (- 1) . 1 . t
r.s.t = - t
mas 
r.s.t = -d/a => -d/a = -2c/c = -2
Logo,
-2 = - t => t = 2
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x3 -x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Então, o valor de k é:
		
	
	-4
	 
	-8
	
	4
	
	8
	
	0
	Respondido em 28/10/2019 19:49:52
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dado o polinômio P(x) = 5x³ - 4x² - 7x, determine a derivada de P em x = -1.
		
	
	14
	
	15
	 
	16
	
	-15
	
	-16
	Respondido em 28/10/2019 19:49:59
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Se α,β,δα,β,δ são raízes da equação x3−2x2+3x−4=0x3-2x2+3x-4=0 então, o valor de 1α+1β+1δ1α+1β+1δ é
		
	
	−32-32
	
	−14-14
	 
	1414
	
	3232
	 
	3434
	Respondido em 28/10/2019 19:50:05
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Ao procurar as raízes do polinômio 5x^4 - 3x^2 +3, um aluno utilizou o método de Newton. Utilizando este método, ao desenvolver fórmula, qual a equação será colocada no denominador da fração?
		
	
	5x^4 - 3x^2 +3
	
	20x^3 + 6x
	 
	-20x^3 + 6x
	
	-5x^4 + 3x^2 -3
	 
	20x^3 - 6x
	Respondido em 28/10/2019 19:50:11
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine  a soma e o produto das raízes da equação 2x6 - 4 = 0.
		
	
	soma das raízes: 2  e  produto das raízes: 2
 
	
	soma das raízes: 1  e  produto das raízes: -1
 
	 
	soma das raízes: 4  e  produto das raízes: 3
	 
	soma das raízes: 0  e  produto das raízes: -2
 
	
	soma das raízes: 3  e  produto das raízes: 1
 
	Respondido em 28/10/2019 19:50:20
	
Explicação:
Como pede a soma e o produto das raízes, vamos utilizar a relação de Girard para resolver, porém temos de atentar para o grau na equação algébrica, que é maior que 3. Sendo assim, teremos os seguintes coeficientes:
2x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x - 4 = 0
A soma das raízes = 0
O produto das raízes = -2
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de k, de modo que a equação x³ - 6x² - k²x + 30 = 0 tenha duas de suas
raízes somando 1.
		
	
	k = -1
	
	k = ± 2
	 
	k = 2
	 
	k =  1
	
	k = 1
	Respondido em 28/10/2019 19:50:27
	
Explicação:
Aplicando as relações de Girard à equação, temos:
r + s + t = - (- 6/1) = 6
Para r + s = 1, concluímos que:
1 + t = 6  => t = 6 - 1 => t = 5
Como p(5) = 0, então:
x³ - 6x² - k²x + 30 = 0 = (5)³ - 6(5)² - k²(5) + 30 = 0 => 125 - 150 - 5k2 + 30 = 0  5k2 = 5  k2 = 1  k =  1
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine as raízes da equação 2x3 - 11x2 + 17x - 6 = 0.
		
	 
	S = {1/2, 2, 3}
 
	
	S = {-1/2, -2, 3}
 
	 
	S = {-1/2, 2, 3}
 
	
	S = {-1/2, -2, -3}
	
	S = {1/2, 2, -3}
 
	Respondidoem 28/10/2019 19:50:33
	
Explicação:
Vamos pesquisar todos os divisores (positivos e negativos) de an = -6.
São eles: ±1,±2, ±3,±6.
2 é uma raiz de p(x) = 0, então podemos fatorar o polinômio em p(x) = (x - 2)(2x2 - 7x + 3)
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 - 7x + 3 = 0, obtemos as raízes x1 = 1/2 e
x2 = 3. Portanto, o conjunto solução é:  S = {1/2, 2, 3}