Exercícios de Matemática: Poliedros, Prismas, Pirâmides, Troncos, Cilindros, Cones e Esferas

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CE Dorgival Pinheiro de Sousa 
Matemática Prof. Fernando Araújo 
 
 
 
Poliedros, Prismas, Pirâmides, Tronco de pirâmide, Cilindros, Cones, Tronco de cone e Esferas. 
 
1. O hábito cristalino é um termo utilizado por 
mineralogistas para descrever a aparência típica de 
um cristal em termos de tamanho e forma. A 
granada é um mineral cujo hábito cristalino é um 
poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um 
mineralogista construiu um modelo ilustrativo de 
um cristal de granada pela junção dos polígonos 
correspondentes às faces. 
Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de 
granada é convexo, então a quantidade de faces 
utilizadas na montagem do modelo ilustrativo 
desse cristal é igual a 
A) 10 B) 12 C) 25 D) 42 E) 50 
 
2. De uma viga de madeira de seção quadrada de 
lado 𝑙 = 10𝑐𝑚 extrai-se uma cunha de altura ℎ =
15𝑐𝑚, conforme a figura. Determine o volume da 
cunha, em cm³. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 250 b) 500 c) 750 d) 1000 e) 1250 
 
3. O sólido representado na figura a seguir é 
formado por um cubo de aresta de medida x/2 que 
se apoia sobre um cubo de aresta de medida x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O volume de sólido representando é dado por: 
a) 
9𝑥3
8
 b) 
𝑥3
8
 c) 3𝑥3 d) 
3𝑥3
2
 e) 7𝑥3 
4. No cubo da figura a seguir, as arestas medem 
4cm. Quanto mede a diagonal AB? 
 
a) 4√3 𝑐𝑚 
b) 2√3 𝑐𝑚 
c) 4√2 𝑐𝑚 
d) 2√2 𝑐𝑚 
e) 2 𝑐𝑚 
 
 
5. Quanto deve-se gastar na fabricação da peça a 
seguir, feita de um único material que custa R$ 5,00 
o cm³? 
 
a) R$ 400,00 b) R$ 380,00 c) R$ 360,00 
d) R$ 340,00 e) R$ 320,00 
 
6. Um fazendeiro tem um depósito para armazenar 
leite formado por duas partes cúbicas que se 
comunicam, como indicado na figura. A aresta da 
parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da 
medida da aresta da parte cúbica de cima. A 
torneira utilizada para encher o depósito tem vazão 
constante e levou 8 minutos para encher metade da 
parte de baixo. 
 
 
Quantos minutos essa 
torneira levará para 
encher completamente 
o restante do depósito? 
 
 
 
 
A) 8 B) 10 C) 16 D) 18 E) 24 
 
7. A base de uma caixa retangular tem dimensões 
2cm e 3cm. Colocam-se 21,6 gramas de um certo 
líquido nessa caixa. Se cada 0,9 grama desse 
líquido ocupa 1cm³, o nível do líquido na caixa é: 
a) 3,5 cm b) 4 cm c) 4,5 cm d) 5 cm 
 
8. Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao 
modelo apresentado na Figura 1, deverá ser 
descarregada no porto de uma cidade. Para isso, 
uma área retangular de 10 m por 32 m foi cedida 
para o empilhamento desses contêineres (Figura 2). 
 
De acordo com as normas desse porto, os 
contêineres deverão ser empilhados de forma a não 
sobrarem espaços nem ultrapassarem a área 
delimitada. 
Após o empilhamento total da carga e atendendo à 
norma do porto, a altura mínima a ser atingida por 
essa pilha de contêineres é 
A) 12,5 m. B) 17,5 m. C) 25,0 m. 
D) 22,5 m. E) 32,5 m. 
 
9. Em uma piscina retangular com 10 m de 
comprimento e 5 m de largura, para elevar o nível 
de água em 10 cm são necessários: 
a) 500 L de água 
b) 5 000 L de água 
c) 10 000 L de água 
d) 1 000 L de água 
e) 50 000 L de água 
 
10. Considere o tronco de uma pirâmide regular de 
bases quadradas representado na figura a seguir. 
 
Se as diagonais das bases medem 10√2cm e 
4√2cm, calcule a área total desse tronco. (R: 284cm²) 
 
11. Com o fenômeno do efeito estufa e consequente 
aumento da temperatura média da Terra, há o 
desprendimento de icebergs (enormes blocos de 
gelo) das calotas polares terrestres. Para 
calcularmos o volume aproximado de um iceberg, 
podemos compará-lo com sólidos geométricos 
conhecidos. Suponha que o sólido da figura, 
formado por dois troncos de pirâmides regulares de 
base quadrada simétricos e justapostos pela base 
maior, represente aproximadamente um iceberg. 
 
As arestas das bases maior e menor de cada tronco 
medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam e a 
altura é de 12 dam. Sabendo que o volume VS da 
parte submersa do iceberg corres ponde a 
aproximadamente 7/8 do volume total V, determine 
VS. (R: 25900 dam3) 
 
12. Uma empresa especializada em conservação de 
piscina utiliza um produto para tratamento da água 
cujas especificações técnicas sugerem que seja 
adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1 000 
L de água da piscina. Essa empresa foi contratada 
para cuidar de uma piscina de base retangular, de 
profundidade constante igual a 1,7 m, com largura 
e comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. 
 
O nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 
50 cm da borda da piscina. 
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve 
ser adicionada a essa piscina de modo a atender às 
suas especificações técnicas é 
A) 11,25 B) 27,00 C) 28,80 D) 32,25 E) 49,50 
 
13. Em uma de suas viagens, um turista comprou 
uma lembrança de um dos monumentos que 
visitou. Na base do objeto há informações dizendo 
que se trata de uma peça em escala 1 : 400, e que 
seu volume é de 25 cm3. 
O volume do monumento original, em metro 
cúbico, é de 
A) 100 B) 400 C) 1 600 D) 6 250 E) 10 000 
 
14. Um garçom precisa escolher uma bandeja de 
base retangular para servir quatro taças de 
espumante que precisam ser dispostas em uma 
única fileira, paralela ao lado maior da bandeja, e 
com suas bases totalmente apoiadas na bandeja. A 
base e a borda superior das taças são círculos de 
raio 4 cm e 5 cm, respectivamente. 
 
A bandeja a ser escolhida 
deverá ter uma área 
mínima, em centímetro 
quadrado, igual a 
 
A) 192 
B) 300 
C) 304 
D) 320 
E) 400 
 
15. Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens 
plásticas no formato de paralelepípedo retangular 
reto. Internamente, a embalagem tem 10 cm de 
altura e base de 20 cm por 10 cm. No processo de 
confecção do sorvete, uma mistura é colocada na 
embalagem no estado líquido e, quando levada ao 
congelador, tem seu volume aumentado em 25%, 
ficando com consistência cremosa. 
Inicialmente é colocada na embalagem uma 
mistura sabor chocolate com volume de 1 000 cm³ 
e, após essa mistura ficar cremosa, será adicionada 
uma mistura sabor morango, de modo que, ao final 
do processo de congelamento, a embalagem fique 
completamente preenchida com sorvete, sem 
transbordar. 
O volume máximo, em cm³, da mistura sabor 
morango que deverá ser colocado na embalagem é 
A) 450 B) 500 C) 600 D) 750 E) 1 000 
 
16. O índice pluviométrico é utilizado para 
mensurar a precipitação da água da chuva, em 
milímetros, em determinado período de tempo. Seu 
cálculo é feito de acordo com o nível de água da 
chuva acumulada em 1 m², ou seja, se o índice for 
de 10 mm, significa que a altura do nível de água 
acumulada em um tanque aberto, em formato de 
um cubo com 1 m² de área de base, é de 10 mm. 
Em uma região, após um forte temporal, verificou-
se que a quantidade de chuva acumulada em uma 
lata de formato cilíndrico, com raio 300 mm e 
altura 1 200 mm, era de um terço da sua 
capacidade. Utilize 3,0 como aproximação para π. 
O índice pluviométrico da região, durante o 
período do temporal, em milímetros, é de 
A) 10,8 B) 12,0 C) 32,4 D) 108,0 E) 324,0 
 
17. Para decorar um cilindro circular reto será 
usada uma faixa retangular de papel transparente, 
na qual está desenhada em negrito uma diagonal 
que forma 30º com a borda inferior. O raio da base 
do cilindro mede 6/π cm, eao enrolar a faixa 
obtém-se uma linha em formato de hélice, como na 
figura. 
 
O valor da medida da altura do cilindro, em 
centímetro, é 
A) 36√3 B) 24√3 C) 4√3 D) 36 E) 72 
 
18. Para resolver o problema de abastecimento de 
água foi decidida, numa reunião do condomínio, a 
construção de uma nova cisterna. A cisterna atual 
tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de 
diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá 
comportar 81 m3 de água, mantendo o formato 
cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração 
da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 
3,0 como aproximação para π. Qual deve ser o 
aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir 
o volume desejado? 
(A) 0,5 (B) 1,0 (C) 2,0 (D) 3,5 (E) 8,0 
 
19. Num parque aquático existe uma piscina 
infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 
m de profundidade e volume igual a 12 m3, cuja 
base tem raio R e centro O. Deseja-se construir 
uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, 
também na forma de um cilindro circular reto, cuja 
base estará no fundo da piscina e com centro da 
base coincidindo com o centro do fundo da piscina, 
conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. 
Deseja-se que após a construção dessa ilha, o 
espaço destinado à água na piscina tenha um 
volume de, no mínimo, 4 m3. 
Considere 3 como valor aproximado para π. 
 
Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo 
da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo 
de 
A) 1,6 B) 1,7 C) 2,0 D) 3,0 E) 3,8 
 
20. Um artesão possui potes cilíndricos de tinta 
cujas medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 
cm de altura. Ele pretende adquirir caixas 
organizadoras para armazenar seus potes de tinta, 
empilhados verticalmente com tampas voltadas 
para cima, de forma que as caixas possam ser 
fechadas. 
No mercado, existem cinco opções de caixas 
organizadoras, com tampa, em formato de 
paralelepípedo reto retângulo, vendidas pelo 
mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões 
internas: 
 
Qual desses modelos o artesão deve adquirir para 
conseguir armazenar o maior número de potes por 
caixa? 
Um artesão fabrica vários tipos de potes 
cilíndricos. Mostrou a um cliente um pote de raio 
de base a e altura b. Esse cliente, por sua vez, quer 
comprar um pote com o dobro do volume do pote 
apresentado. O artesão diz que possui potes com as 
seguintes dimensões: 
● Pote I: raio a e altura 2b 
● Pote II: raio 2a e altura b 
● Pote III: raio 2a e altura 2b 
● Pote IV: raio 4a e altura b 
● Pote V: raio 4a e altura 2b 
Qual o pote que satisfaz a condição imposta pelo 
cliente? 
 
21. Em regiões agrícolas, é comum a presença de 
silos para armazenamento e secagem da produção 
de grãos, no formato de um cilindro reto, 
sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na 
figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é 
feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 
20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas 
um caminhão para transportar os grãos para a usina 
de beneficiamento. 
 
 
Utilize 3 como aproximação para π. 
O número mínimo de viagens que o caminhão 
precisará fazer para transportar todo o volume de 
grãos armazenados no silo é 
A) 6 B) 16 C) 17 D) 18 E) 21 
 
22. A bocha é um esporte jogado em canchas, que 
são terrenos planos e nivelados, limitados por 
tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse 
esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um 
material sintético, de maneira a situá-las o mais 
 
perto possível do bolim, que é uma bola menor 
feita, preferencialmente, de aço, previamente 
lançada. 
A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram 
jogados em uma cancha. Suponha que um jogador 
tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha 
ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme 
ilustra a figura 2. 
 
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o 
ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e 
B são pontos em que a bocha e o bolim, 
respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a 
distância entre A e B é igual a d. 
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do 
bolim? 
A) 1 B) 2√10/5 C) √10/2 D) 2 E) √10 
 
23. Um queijo tem a forma de um cilindro circular 
reto com 40cm de raio e 30cm de altura. Retira-se 
do mesmo uma fatia, através de dois cortes planos 
contendo o eixo do cilindro e formando um ângulo 
de 60°. Se V é o volume, em cm³, do que restou do 
queijo (veja a figura a seguir), determine 
𝑉
103
𝜋. 
 
 
24. Um recipiente cilíndrico de 60cm de altura e 
base com 20cm de raio está sobre uma superfície 
plana horizontal e contém água até a altura de 
40cm, conforme indicado na figura. 
 
Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no 
recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando 
𝜋 igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo 
colocado na água é igual a: 
a) 10√2 b) 103√2 c) 10√12 d) 103√12 
 
25. Ao se perfurar um poço no chão, na forma de 
um cilindro circular reto, toda a terra retirada é 
amontoada na forma de um cone circular reto, cujo 
raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 
2,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de 
terra é 20% maior do que o volume do poço 
cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser 
escavada. 
Qual é a profundidade, em metros, desse poço? 
(A) 1,44 (B) 6,00 (C) 7,20 (D) 8,64 (E) 36,00 
 
26. Em uma lanchonete, um casal de namorados 
resolve dividir uma taça de milk shake com as 
dimensões mostradas no desenho. 
 
a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e 
que eles beberam todo o milk shake, calcule qual 
foi o volume, em mL, ingerido pelo casal. Adote 
𝜋 = 3. 
b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura 
do copo, quanto do volume total, em porcentagem, 
terá bebido? 
 
27. Na figura abaixo tem-se, apoiado no plano ‘𝛼’, 
um cone circular reto cuja altura mede 8cm e cujo 
raio da base mede 4cm. O plano ‘𝛽’ é paralelo a ‘𝛼’ 
e a distância entre os dois planos é de 6cm. 
 
O volume do cone que está apoiado no plano ‘𝛽’ é, 
em centímetros cúbicos, igual a 
a) 
𝜋
3
 b) 
𝜋
2
 c) 
2𝜋
3
 d) 
3𝜋
4
 e) 
4𝜋
5
 
 
28. Uma fábrica produz velas de parafina em forma 
de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de 
altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são 
formadas por 4 blocos de mesma altura (3 troncos 
de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte 
superior), espaçados de 1 cm entre eles, sendo que 
a base superior de cada bloco é igual à base inferior 
do bloco sobreposto, com uma haste de ferro 
passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, 
conforme a figura. 
 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, 
retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 
cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo 
molde, quanto ele passará a gastar com parafina 
para fabricar uma vela? 
A) 156 cm³ B) 189 cm³ C) 192 cm³ 
D) 216 cm³ E) 540 cm³ 
 
29. Em um tanque cilíndrico com raio de base R e 
altura H contendo água é mergulhada uma esfera 
de aço de raio r, fazendo com que o nível da água 
suba 1/6 R, conforme mostra a figura. 
 
a) Calcule o raio r da esfera em termos de R. 
 
b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que 
antes da esfera ser mergulhada, a água ocupava 3/4 
da altura do cilindro. Calcule quantas esferas de aço 
idênticas à citada podem ser colocadas dentro do 
cilindro, para que a água atinja o topo do cilindro 
sem transbordar. 
 
30. 20% do volume de um cilindro de raio2 é 24𝜋. 
A altura do cilindro é: 
a) 30 b) 15 c) 20 d) 6 e) 12 
 
31. Uma mistura de leite batido com sorvete é 
servida em um copo, como na figura. Se na parte 
superior do copo há uma camada de espuma de 4 
cm de altura, então calcule a porcentagem do 
volume do copo ocupada pela espuma. 
 
A) 36,5% B) 43,2% C) 48,8% D) 54,6% E) 57,4% 
 
32. Um prisma de altura H e uma pirâmide têm 
bases com a mesma área. Se o volume do prisma é 
a metade do volume da pirâmide, a altura da 
pirâmide é: 
a) H/6 b) H/3 c) 2H d) 3H e) 6H 
 
33. Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num 
copo cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar no 
fundo, de modo que a água do copo recubra 
exatamente a esfera. 
 
Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de 
água, em centímetros, era 
a) 27/8 b) 19/6 c) 18/5 d) 10/3 e) 7/2 
 
34. Um recipiente, contendo água, tem a forma 
de um cilindro circular reto de altura h=50cm e raio 
r=15cm. Este recipiente contém 1 litro de água a 
menos que sua capacidade total. 
 
 
a) Calcule o volume de água contido no cilindro 
(use 𝜋 = 3). 
b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro 
que, introduzida no cilindro e totalmente submersa, 
faça transbordarem exatamente 2 litros de água? 
 
35. Em um casamento, os donos da festa serviam 
champanhe aos seus convidados em taças com 
formato de um hemisfério (Figura 1), porém um 
acidente na cozinha culminou na quebra de grande 
parte desses recipientes. Para substituir as taças 
quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato 
de cone (Figura 2). No entanto, os noivos 
solicitaram que o volume de champanhe nos dois 
tipos de taças fosse igual. 
 
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e 
servida completamente cheia, a altura do volume 
de champanhe que deve ser colocado na outra taça, 
em centímetros, é de 
a) 1,33 b) 6,00 c) 12,00 d) 56,52 e) 113,04 
 
36. Dois recipientes cilíndricos têm altura de 40 cm 
e raios da base medindo 10 cm e 5 cm. O maior 
deles contém água até 1/5 de sua capacidade. 
 
 
 
Essa água é despejada no recipiente menor, 
alcançando a altura h, em centímetros, de 
a) 32 b) 24 c) 16 d) 12 e) 10 
 
37. DESAFIO – Observe a figura. 
 
 
Essa figura representa uma piscina retangular com 
10m de comprimento e 7m de largura. As laterais 
AEJD e BGHC são retângulos, situados em planos 
perpendiculares ao plano que contém o retângulo 
ABCD. O fundo da piscina tem uma área total de 
77m² e é formado por dois retângulos, FGHI e 
EFIJ. O primeiro desses retângulos corresponde à 
parte da piscina onde a profundidade é de 4m e o 
segundo, à parte da piscina onde a profundidade 
varia entre 1m e 4m. A piscina, inicialmente vazia, 
recebe água à taxa de 8.000 litros por hora. 
Assim sendo, o tempo necessário para encher 
totalmente a piscina é de 
a) 29 h e 30 min b) 30 h e 15 min 
c) 29 h e 45 min d) 30 h e 25 min 
 
38. DESAFIO – Fernando, em uma viagem pelo 
Pólo Sul, recolheu 4,5m³ de neve para construir um 
grande boneco de 3m de altura, em comemoração à 
chegada do verão. O boneco será composto por 
uma cabeça e um corpo ambos em forma de esfera, 
tangentes, sendo o corpo maior que a cabeça, 
conforme mostra a figura a seguir. Para calcular o 
raio de cada uma das esferas, Fernando aproximou 
𝜋 por 3. 
 
 
 
 
Calcule, usando a 
aproximação considerada, 
os raios das duas esferas. 
 
 
 
 
 
39. Prevenindo-se contra o período anual de seca, 
um agricultor pretende construir um reservatório 
fechado, que acumule toda a água proveniente da 
chuva que cair no telhado de sua casa, ao longo de 
um período anual chuvoso. 
As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da 
casa, a quantidade média mensal de chuva na 
região, em milímetros, e a forma do reservatório a 
ser construído. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem 
ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície 
plana horizontal de um metro quadrado, a 
profundidade (p) do reservatório deverá medir 
a) 4m b) 5m c) 6m d) 7m e) 8m 
 
40. Um octaedro regular é um poliedro constituído 
por 8 faces triangulares congruentes entre si e 
ângulos poliédricos congruentes entre si, conforme 
mostra a figura a seguir. 
 
Se o volume desse poliedro é 72√2cm³, a medida 
de sua aresta, em centímetros, é 
a) √2 b) 3 c) 3√2 d) 6 e) 6√2 
 
41. Observe o dado ilustrado a seguir, formado a 
partir de um cubo, com suas seis faces numeradas 
de 1 a 6. 
 
Esses números são representados por buracos 
deixados por semiesferas idênticas retiradas de 
cada uma das faces. Todo o material retirado 
equivale a 4,2% do volume total do cubo. 
Considerando 𝜋 = 3, a razão entre a medida da 
aresta do cubo e a do raio de uma das semiesferas, 
expressas na mesma unidade, é igual a: 
a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 
 
42. Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9cm 
e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face 
e como base a face oposta. Se V cm¤ é o volume da 
pirâmide, determine 
1
3
𝑉. 
 
 
 
 
 
 
 
43. No teto de um centro de convenções será 
instalada uma luminária que terá a forma da figura 
a seguir, onde estão representados: 
 
- o tronco de pirâmide reta NPQRUVST de bases 
retangulares; 
- a pirâmide reta MNPQR de base retangular e 
altura igual a 1m; 
- o ponto M localizado no centro do retângulo 
VSTU. 
Sabe-se que UT=2m, UV=1m, NP=1m e PQ=0,5m. 
Determine o volume do sólido exterior à pirâmide 
MNPQR e interior ao tronco de pirâmide 
NPQRUVST. 
A) 3,5 B) 1 C) 6 D) 3 E) 2 
 
“O sucesso nasce do querer, da determinação e da 
persistência em se chegar a um objetivo. Mesmo não 
atingindo o alvo, quem busca e vence obstáculos, no 
mínimo fará coisas admiráveis.” 
Bons Estudos!!