Campos Magnéticos produzidos por correntes

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Cap.8: Campos Magnéticos 
Produzidos por Correntes
2
✓ 8.1 Contextualizando a Física
✓ 8.2 Cálculo do Campo Magnético produzido por uma Corrente
✓ 8.3 Forças entre duas Correntes Paralelas
✓ 8.4 Lei de Ampére
✓ 8.5 Solenoides eToroides
✓ 8.6 Uma Bobina percorrida por Corrente como um Dipolo Magnético
✓ 8.7 Lista de Exercícios
Seções de estudo
3
8.1 Contextualizando a 
Física
4
Contextualizando a Física
✓ No capitulo passado estudamos ações do campo magnético
estabelecido, existente sobre cargas e correntes.
✓ Não nos preocupamos ainda com quem produzia esse campo.
✓ Neste capitulo estudaremos a origem do campo magnético.
✓ Veremos que correntes elétricas produzem campo magnético.
5
✓ Campo Elétrico: Havia duas importantes leis pelos quais
poderíamos calcular o campo elétrico gerado por uma carga ou
distribuição de cargas.
➢ Semelhanças e diferenças entre 𝑬 e 𝑩
𝑑𝐸 = 𝑘
𝑑𝑞
𝑟2
Ƹ𝑟 (Lei de Coulomb)
඾𝐸 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
𝜀0
(Lei de Gauss)
6
✓ Campo Magnético: No caso do eletromagnetismo teremos também
duas equações análogas que são:
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑𝐿 × Ƹ𝑟
𝑟2
(Lei de Biot-Savart)
ර𝐵 ∙ 𝑑𝐿 = 𝜇0 ∙ 𝑖𝑒𝑛𝑣 (Lei de Ampére)
Antes de estudarmos o campo produzido por uma corrente, vamos analisar
o campo magnético produzido por uma carga em movimento.
7
Queremos calcular o campo magnético que a carga produz a uma
distância Ԧ𝑟.
➢ Campo Magnético produzido por uma carga em movimento
Observações experimentais apontam que:
8
✓ Colocando uma bússola no entorno da direção de Ԧ𝑣, observou-se que:
𝐵 ⊥ 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 Ԧ𝑟, Ԧ𝑣
✓ Mais que isso: observa-se que o módulo do campo apresenta as
seguintes propriedades:
𝐵 ∝ 𝑞, 𝑣,
1
𝑟2
, 𝑠𝑒𝑛 Ԧ𝑟, Ԧ𝑣
✓ Condensando essas informações em forma vetorial podemos
escrever que o campo de uma carga em movimento é dado por:
𝐵 = 𝑘𝑚
𝑞 Ԧ𝑣 × Ƹ𝑟
𝑟2
9
𝑘𝑚 = 10
−7
𝑇 ⋅ 𝑚
𝐴
𝑘𝑚 =
𝜇0
4𝜋
𝜇0 = 4𝜋 ∙ 10
−7
𝑇 ⋅ 𝑚
𝐴
(Permeabilidade do vácuo)
✓ É uma grandeza característica de cada material.
✓ É a intensidade de magnetização. Aqueles materiais que podem ser
facilmente magnetizados apresentam alta permeabilidade magnética.
✓ Se refere a sua capacidade de “aceitar” a existência de linhas de
indução magnética em seu interior.
10
8.2 Cálculo do Campo 
Magnético produzido por 
Corrente
11
Cálculo de 𝑩 produzido por Corrente
O campo produzido por 𝑑𝑞 cuja velocidade no fio é Ԧ𝑣 é dado por:
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑑𝑞 Ԧ𝑣 × Ƹ𝑟
𝑟2
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑𝑡 Ԧ𝑣 × Ƹ𝑟
𝑟2
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑𝐿 × Ƹ𝑟
𝑟2
𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
⇒ 𝑑𝑞 = 𝑖𝑑𝑡
Ԧ𝑣 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
⇒ 𝑑𝐿 = Ԧ𝑣𝑑𝑡
(8.2.1)
(Lei de Biot-Savart)
12
Logo, o campo 𝐵 pode ser calculado integrando a expressão anterior:
𝐵 = න𝑑𝐵 𝐵 = න
𝜇0𝑖
4𝜋
𝑑𝐿 × Ƹ𝑟
𝑟2
O módulo do campo é dado por:
𝐵 =
𝜇0
4𝜋
න
𝑖𝑑𝐿 sin 𝜃
𝑟2
(8.2.2)
(8.2.3)
13
Mostre que o módulo do campo magnético produzido por um fio retilíneo
infinito é dado por:
➢ 1ª Aplicação: Campo produzido pela corrente em um fio 
retilíneo longo
𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝜋𝑅
Aplicando a lei de Biot-Savart, eq.(8.2.1), teremos:
14
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑𝐿 × Ƹ𝑟
𝑟2
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑𝐿 sin 𝜃
𝑟2
Sabe-se que: ቊ
𝛽 = 𝜋 − 𝜃 ⇒ sin 𝛽 = sin 𝜃
𝑑𝐿 = 𝑑𝑧
𝑑𝐵 =
𝜇0𝑖
4𝜋
𝑑𝑧 sin 𝛽
𝑟2
sin 𝛽 =
𝑅
𝑟
⇒ 𝑟 = 𝑅 cossec𝐵
tan𝛽 =
𝑅
𝑧
⇒ cot 𝛽 =
𝑧
𝑅
⇒ 𝑧 = 𝑅 cot 𝛽
⇒ 𝑑𝑧 = −𝑅𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝛽𝑑𝛽
(8.2.4)
(8.2.5)
(8.2.6)
15
Substituindo as eqs.(8.2.5) e (8.2.6) em (8.2.4), obtemos:
𝑑𝐵 = −
𝜇0𝑖
4𝜋𝑅
sin 𝛽 𝑑𝛽
Integrando a eq.(8.2.7), obtemos:
𝐵 = න𝑑𝐵 𝐵 = න−
𝜇0𝑖
4𝜋𝑅
sin 𝛽 𝑑𝛽
𝐵 = −
𝜇0𝑖
4𝜋𝑅
න
−∞
+∞
sin 𝛽 𝑑𝛽 𝐵 = −2
𝜇0𝑖
4𝜋𝑅
න
0
+∞
sin 𝛽 𝑑𝛽
(8.2.7)
(8.2.8)
(8.2.9)
16
Estamos integrando apenas metade do fio, isto é, de 𝑧 = 0 a 𝑧 = +∞.
𝐵 = −2
𝜇0𝑖
4𝜋𝑅
න
𝜋
2
0
sin 𝛽 𝑑𝛽
✓ Quando estamos em 𝑧 = 0, o ângulo entre 𝑖𝑑𝐿 e Ԧ𝑟 vale 𝜃 = Τ𝜋 2.
𝜃 =
𝜋
2
⇒ 𝛽 =
𝜋
2
✓ Quando estamos em 𝑧 = +∞, o ângulo entre 𝑖𝑑𝐿 e Ԧ𝑟 vale 𝜃 = 𝜋.
𝜃 = 𝜋 ⇒ 𝛽 = 0
Portanto, substituindo os limites de integração na eq.(8.2.9) teremos:
𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝜋𝑅
(8.2.10)
(8.2.11)
(8.2.12)
17
Dessa forma, o módulo do campo magnético a uma distância
perpendicular R do fio é
𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝜋𝑅
Como são as linhas do campo magnético?
✓ As linhas de campo formam circunferências concêntricas em torno do
fio.
18
Se considerarmos metade do fio, o valor do campo cai pela metade,
conforme expressão abaixo:
𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝜋𝑅
2
𝐵 =
𝜇0𝑖
4𝜋𝑅
➢ Fio retilíneo semi-infinito
As linhas de campo magnético são linhas a partir das quais pode-se
visualizar a configuração do campo magnético de uma dada distribuição
de correntes no espaço.
(8.2.13)
19
Mostre que o módulo do campo magnético no centro de um arco de
circunferência é dado por:
➢ 2ª Aplicação: Campo produzido por uma corrente em um
fio em forma de arco de circunferência.
𝐵 =
𝜇0𝑖𝜑
4𝜋𝑅
Aplicando a lei de Biot-Savart, eq.(8.2.1), teremos:
20
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑𝐿 × Ƹ𝑟
𝑟2
𝐵 = න
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑𝐿 sin 𝜃
𝑟2
Sabe-se que: ቄ𝐴′𝐴 𝑒 𝐶𝐶′: 𝑑𝐿 ∥ Ƹ𝑟 ⇒ 𝐵 = 0
Restam-nos apenas o arco circular. A intensidade do campo fica:
𝐵 =
𝜇0𝑖
4𝜋𝑅2
නsin 90° 𝑑𝐿
Mas, 𝐿 = 𝑅𝜑 ⇒ 𝑑𝐿 = 𝑅𝑑𝜑, então:
𝐵 =
𝜇0𝑖
4𝜋𝑅2
න𝑅𝑑𝜑
𝐵 =
𝜇0𝑖
4𝜋𝑅2
න𝑑𝐿
𝐵 =
𝜇0𝑖𝜑
4𝜋𝑅
(8.2.14)
21
Na equação anterior, se 𝜑 = 2𝜋, teremos uma espira circular, logo:
𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝑅
➢ Campo de uma Espira Circular
Esse é o campo no centro de uma espira circular!
(8.2.14)𝐵 =
𝜇0𝑖𝜑
4𝜋𝑅
22
8.3 Forças entre duas 
Correntes Paralelas
23
Forças entre duas correntes paralelas
Sejam dois fios longos, separados por uma distância d e percorridos por
correntes 𝑖𝑎 e 𝑖𝑏.
Vamos analisar as forças que um fio exerce sobre o outro.
24
✓ Vamos calcular primeiro a força sobre o fio b produzido pela corrente
no fio a.
✓ Esta corrente 𝑖𝑎 produz um campo magnético 𝐵𝑎 em qualquer ponto
do fio b e este campo produz a força Ԧ𝐹𝑏𝑎 a qual queremos calcular.
25
✓ O módulo de 𝐵𝑎 em qualquer ponto do fio b é dado por:
𝐵𝑎 =
𝜇0𝑖𝑎
2𝜋𝑑 (8.3.1)
✓ A força Ԧ𝐹𝑏𝑎 sobre um trecho L do fio b devido ao campo magnético
externo 𝐵𝑎 é dado por:
Ԧ𝐹𝑏𝑎 = 𝑖𝑏𝐿 × 𝐵𝑎
✓ Como 𝐿 e 𝐵𝑎 são mutuamente perpendiculares, logo:
𝐹𝑏𝑎 = 𝑖𝑏𝐿𝐵𝑎 sin 90° 𝐹𝑏𝑎 = 𝑖𝑏𝐿𝐵𝑎 (8.3.2)
26
✓ Substituindo a eq.(8.3.1) em (8.3.2), obtemos:
(8.3.3)𝐹𝑏𝑎 =
𝜇0
2𝜋
𝑖𝑎𝑖𝑏𝐿
𝑑
✓ A direção de 𝐹𝑏𝑎 é a direção do produto vetorial 𝐿 × 𝐵𝑎.
✓ Para determinar a força exercida sobre um fio percorrido por corrente
por outro fio percorrido por corrente, determine primeiro o campo
produzido pelo segundo fio na posição do primeiro; em seguida,
determine a força exercida pelo campo sobre o primeiro fio.
✓ Dois fios com correntes paralelas se atraem e correntes antiparalelas se
repelem.
Ampere é a corrente que, quando estabelecido em dois fios paralelos
distantes 1m faz aparecer, por unidade de comprimento, uma força de 2 ∙
10−7𝑁 em cada um deles.
27
✓ A foça por unidade de comprimento fica:
(8.3.4)
𝐹𝑏𝑎
𝐿
=
𝜇0
2𝜋
𝑖𝑎𝑖𝑏
𝑑
✓ Considere que: ቊ𝑖𝑎 = 𝑖𝑏 = 1𝐴
𝑑 = 1𝑚
𝐹𝑏𝑎
𝐿
=
𝜇0
2𝜋
=
4𝜋 ∙ 10−7
2𝜋
𝐹𝑏𝑎
𝐿
= 2 ∙ 10−7 ൗ𝑁 𝑚
✓ Esta expressão possibilita a definição do Ampere.
28
8.4 Lei de Ampère
29
Lei de Ampère
➢ Circuitação de um CampoVetorialSignifica fazer a integral de linha desse campo num caminho fechado.
𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐵 ≡ ර𝐵 ∙ 𝑑𝐿
30
Vamos analisar a Circuitação para o caso de um campo magnético
produzido por um fio retilíneo:
ර𝐵 ∙ 𝑑𝐿 = ර𝐵𝑑𝐿 cos 𝜃 = ර𝐵𝑟𝑑𝜑 = ර
𝜇0𝑖
2𝜋𝑟
𝑟𝑑𝜑
31
ර𝐵 ∙ 𝑑𝐿 =
𝜇0𝑖
2𝜋
ර𝑑𝜑 =
𝜇0𝑖
2𝜋
2𝜋
ර𝐵 ∙ 𝑑𝐿 = 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣 (Lei de Ampere) (8.4.1)
✓A Circuitação de um campo magnético ao longo de um contorno
fechado que engloba uma corrente 𝑖 é simplesmente 𝜇0𝑖.
✓O círculo no sinal da integral indica que a integração 𝐵 ∙ 𝑑𝐿 deve ser
realizada para uma curva fechada, conhecida como amperiana.
✓A corrente 𝑖𝑒𝑛𝑣 é a corrente total envolvida pela curva fechada.
32
✓Mais de uma corrente na Circuitação: da figura abaixo, temos:
ර𝐵 ∙ 𝑑𝐿 = 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣 = 𝜇0(𝑖1 − 𝑖2)
➢ A lei de Ampère é geral, mas a sua utilidade no cálculo do campo
magnético devido a uma distribuição de correntes depende da
simetria da distribuição.
33
✓ Devido a simetria cilíndrica do problema, envolvemos o fio com uma
amperiana circular concêntrica de raio r.
✓ O campo 𝐵 tem o mesmo módulo em todos os pontos da amperiana.
➢ 1ª Aplicação: Campo magnético nas vizinhanças de um 
fio longo retilíneo percorrido por corrente
൝
𝐵 ∥ 𝑑𝐿
𝐵 = 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒
ර𝐵 ∙ 𝑑𝐿 = 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣
ර𝐵𝑑𝐿 cos 0° = 𝜇0𝑖 𝐵 ⋅ 2𝜋𝑟 = 𝜇0𝑖
𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝜋𝑟
34
✓ 𝐵 tem simetria cilíndrica em torno do fio e a mesma intensidade em
todos os pontos a uma distância r do centro.
➢ 2ª Aplicação: Campo magnético no interior de um fio 
longo retilíneo percorrido por corrente
ර𝐵 ∙ 𝑑𝐿 = 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣
• Curva 1 (𝒓 > 𝑹)
ර𝐵𝑑𝐿 cos 𝜃 = 𝜇0𝑖0 𝐵 ∥ 𝑑𝐿 ⇒ 𝜃 = 0°
ර𝐵𝑑𝐿 cos 0° = 𝜇0𝑖0 𝐵 ⋅ 2𝜋𝑟 = 𝜇0𝑖 𝐵 =
𝜇0𝑖0
2𝜋𝑟
35
ර𝐵 ∙ 𝑑𝐿 = 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣
• Curva 2 (𝒓 < 𝑹)
A distribuição de corrente é uniforme, logo a corrente envolvida pela
amperiana é proporcional a área envolvida pela curva:
𝐽 =
𝑖0
𝐴
=
𝑖𝑒𝑛𝑣
𝐴𝑒𝑛𝑣
(Densidade de Corrente)
𝑖𝑒𝑛𝑣 =
𝑖0𝐴𝑒𝑛𝑣
𝐴
= 𝑖0
𝜋𝑟2
𝜋𝑅2
= 𝑖0
𝑟2
𝑅2
𝐵 ∙ 2𝜋𝑟 = 𝜇0𝑖0
𝑟2
𝑅2
𝐵 =
𝜇0𝑖0
2𝜋
𝑟
𝑅2
36
37
8.5 Solenoides e Toroides
38
Solenoides e Toroides
• Espira: é um fio condutor formando um caminho fechado.
OBS: O campo no centro da espira é muito mais intenso que o campo
produzido por um fio retilíneo.
𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝑅
39
• Bobina: É um conjunto de espiras. Podem ser de dois tipos:
✓ Bobina Chata: É aquela onde o diâmetro é maior que o
comprimento.
𝐵 = 𝑁
𝜇0𝑖
2𝑅
✓ Bobina Comum ou Solenoide: É aquela onde o diâmetro é
menor que o comprimento.
𝐵 =
𝑁𝜇0𝑖
𝐿
40
➢ Campo magnético de um solenoide
✓ Um fio longo enrolado formando uma bobina em espiral é chamado
de solenoide.
✓ O campo magnético de um solenoide é a soma vetorial dos campos
produzidos por cada uma das voltas do fio que o forma.
Solenoide Ideal:
É aquele onde B é uniforme
do lado de dentro do
solenoide e zero do lado de
fora.
41
42
✓ O campo no interior de um solenoide é praticamente uniforme.
✓ As figuras abaixo mostram um solenoide ideal e um solenoide real.
✓ Em ambos os casos os campos fora do solenoide são muito fracos, em
comparação com os do interior.
𝑁 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠
𝐿
= 𝑛
(Empacotamento)
(Quanto maior n mais
compactado o solenoide).
43
✓ Aplicando a lei de ampère a curva abcda, temos:
ර𝐵 ∙ 𝑑𝐿 = 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣
𝑖𝑒𝑛𝑣 = 𝑛ℎ𝑖 ( n espiras num comprimento h com corrente i)
ර𝐵 ∙ 𝑑𝐿 = න
𝑎
𝑏
𝐵 ∙ 𝑑𝐿 + න
𝑏
𝑐
𝐵 ∙ 𝑑𝐿 + න
𝑐
𝑑
𝐵 ∙ 𝑑𝐿 + න
𝑑
𝑎
𝐵 ∙ 𝑑𝐿 = 𝜇0𝑛ℎ𝑖
𝐵 = 𝑛𝜇0𝑖 ou 𝐵 =
𝑁𝜇0𝑖
𝐿
( Solenoide ideal)
44
➢ Campo magnético de um toroide
✓ É um solenoide cilíndrico que foi encurvado até as extremidades se
tocarem, formando um anel.
45
✓ Seja um toróides de N voltas, transportando uma corrente i. O campo
é diferente de zero apenas no interior do toróides. Sua intensidade
varia com r.
✓ Aplicando-se a lei de Ampère para a curva tracejada em azul, tem-se:
ර𝐵 ∙ 𝑑𝐿 = 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣
N espiras
𝐵 ∙ 2𝜋𝑟 = 𝑁𝜇0𝑖
𝐵 =
𝑁𝜇0𝑖
2𝜋𝑟
ou
𝐵 = 𝑛′𝜇0𝑖 onde 𝑛
′ =
𝑁
2𝜋𝑟
Logo, um toróides é um solenoide enrolado!
46
8.6 Uma Bobina percorrida 
por Corrente como um Dipolo 
Magnético
47
Bobina percorrida por Corrente ...
➢ Qual o campo produzido por uma
bobina em um determinado ponto
do espaço?
✓ Consideremos uma bobina formada
por uma única espira circular;
✓ Calculemos o campo apenas em pontos
situados sobre o eixo central, que
tomamos como eixo z.
48
✓ O campo de uma bobina não tem simetria suficiente para ser calculado
pela lei de Ampère.
✓ Usaremos a lei de Biot-Savart, para calcular 𝐵 em pontos do eixo
central da espira.
𝑑𝐵 𝑧 = 𝑑𝐵∥ + 𝑑𝐵⊥
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑𝐿 × Ƹ𝑟
𝑟2
𝑑𝐵 =
𝜇0𝑖
4𝜋
𝑑𝐿 sin 90°
𝑟2
Ao integrar a eq.(8.6.1) para toda espira, as componentes perpendiculares
se cancelam, logo:
𝑑𝐵 𝑧 = 𝑑𝐵∥ 𝑑𝐵 𝑧 = 𝑑𝐵 cos 𝛼
(8.6.1)
(8.6.2)
(8.6.3)
49
✓ Substituindo (8.6.2) em (8.6.3), obtemos:
𝑑𝐵 𝑧 =
𝜇0𝑖
4𝜋
𝑑𝐿
𝑟2
cos 𝛼
✓ Como ቐ
𝑟2 = 𝑧2 + 𝑅2
cos 𝛼 =
𝑅
𝑟
=
𝑅
𝑧2+𝑅2
𝑑𝐵 𝑧 =
𝜇0𝑖𝑅
4𝜋
𝑑𝐿
(𝑧2 + 𝑅2) ൗ
3
2
𝐵 𝑧 =
𝜇0𝑖𝑅
4𝜋(𝑧2 + 𝑅2) ൗ
3
2
න𝑑𝐿
50
𝐵 𝑧 =
𝜇0𝑖𝑅
4𝜋(𝑧2 + 𝑅2) ൗ
3
2
2𝜋𝑅
𝐵 𝑧 =
𝜇0𝑖𝑅
2
2(𝑧2 + 𝑅2) ൗ
3
2
Logo, o campo magnético de uma Bobina percorrida por corrente é:
51
➢ CONSIDERAÇÕES:
(a) Campo para o ponto 𝑧 = 0 (Centro da bobina)
𝐵 𝑧 =
𝜇0𝑖
2𝑅
(Campo de uma espira circular ou de um
arco de circunferência com 𝜑 = 2𝜋)
(b) Campo para um ponto muito longe da espira 𝑧 ≫ 𝑅
𝐵 𝑧 =
𝜇0𝑖𝑅
2
2𝑧3
=
𝜇0𝑖𝑅
2
2𝑧3
𝜋
𝜋
Generalizando o resultado para uma bobina de N espiras, temos:
52
𝐵 𝑧 =
𝜇0𝑁𝑖𝐴
2𝜋𝑧3
𝐵 𝑧 =
𝜇0𝜇
2𝜋𝑧3
Além disso, como 𝐵(𝑧) e Ԧ𝜇 são paralelos, logo podemos escrever a equação
vetorial na seguinte forma:
𝐵 𝑧 =
𝜇0
2𝜋
Ԧ𝜇
𝑧3
Portanto, uma espira percorrida por corrente é um dipolo magnético, uma
espira com corrente é uma bússola.
𝜇 = 𝑁𝑖𝑎
53
A bobina se comporta como uma bússola, vejamos semelhança da linhas de
campo:
54
7.10 Lista de Exercícios
55
1ª Questão
O fio é percorrido por uma corrente i e tem a forma de um arco de
circunferência de raio R e ângulo central π/2 rad, ladeado por dois
trechos retilíneos cujos prolongamentos se interceptam no centro C do arco.
Determine o campo magnético no ponto C.
56
2ª Questão
Seja dois fios longos paralelos percorridos por correntes i1 e i2 em sentidos
opostos. Determine o módulo e a orientação do campo magnético total no
ponto P para i1 = 15 A, i2 = 32 A e d = 5,3 cm.
57
3ª Questão
A figura mostra três fios longos, paralelos, igualmente espaçados,
percorridos por correntes de mesmo valor absoluto, duas para fora do papel
e uma para dentro do papel. Coloque os fios na ordem decrescente do
módulo da força a que estão sujeitos devido à corrente nos outros dois fios.
58
4ª Questão
A fig. mostra a seção reta de um cilindro longo, oco, de raio interno a =
2,0 cm e raio externo b = 4,0 cm. O cilindro conduz uma corrente para
fora do plano do papel, e o módulo da densidade de corrente na seção reta
é dado por J = cr2, com c = 3,0 × 106 A/m4 e r em metros. Qual é o
campo magnético no ponto da figura que está situado a uma
distância r = 3,0 cm do eixo central do cilindro?
59
5ª Questão
A figura mostra três correntes de mesmo valor absoluto i (duas paralelas e
uma antiparalela)e quatro amperianas. Coloque as amperianas na ordem
decrescente do valor absoluto de ׯ𝐵 ∙ 𝑑𝐿.
60
6ª Questão
Um solenoide tem um comprimento L = 1,23 m, um diâmetro
interno d = 3,55 cm, e conduz uma corrente i = 5,57 A. É formado por
cinco camadas de espiras cerradas, cada uma com 850 espiras. Qual é o
valor de B no centro do solenoide?
61
7ª Questão
A figura mostra quatro pares de espiras circulares de raio r ou 2r, com o
centro em um eixo vertical (perpendicular ao plano das espiras) e
percorridas por correntes de mesmo valor absoluto, nos sentidos indicados.
Coloque os pares na ordem decrescente do módulo do campo magnético em
um ponto do eixo central a meio caminho entre os anéis.
62
8ª Questão
A Fig. mostra três circuitos formados por segmentos retilíneos e arcos de
circunferência concêntricos (semicircunferências ou quartos de
circunferência de raio r, 2r ou 3r). A corrente é a mesma nos três circuitos.
Coloque os circuitos na ordem decrescente do módulo do campo magnético
no centro dos arcos (indicado na figura por um ponto).
63
9ª Questão
A Fig. mostra os vetores velocidade de quatro elétrons nas vizinhanças de
um fio percorrido por uma corrente i. As velocidades têm módulos iguais e
a velocidade v2 aponta para dentro do papel. Os elétrons 1 e 2 estão à
mesma distância do fio, e o mesmo acontece com os elétrons 3 e 4. Coloque
os elétrons na ordem decrescente do módulo da força magnética a que estão
sujeitos devido à corrente i.
64
10ª Questão
A Fig. mostra a seção reta de um fio cilíndrico, longo, de raio a = 2,00
cm, que conduz uma corrente uniforme de 170 A. Determine o módulo do
campo magnético produzido pela corrente a uma distância do eixo do fio
igual a (a) 0, (b) 1,00 cm, (c) 2,00 cm (superfície do fio) e (d) 4,00 cm.
65
11ª Questão
Os oito fios da Fig. conduzem correntes iguais de 2,0 A para dentro ou
para fora do papel. Duas curvas estão indicadas para a integral de linha
ׯ𝐵 ∙ 𝑑𝐿. Determine o valor da integral (a) para a curva 1 e (b) para a
curva 2.
66
12ª Questão
A Fig. mostra o fio 1 em seção reta; o fio é longo e retilíneo, conduz uma
corrente de 4,00 mA para fora do papel e está a uma distância d1 = 2,40
cm de uma superfície. O fio 2, que é paralelo ao fio 1 e também longo, está
na superfície a uma distância horizontal d2 = 5,00 cm do fio 1 e conduz
uma corrente de 6,80 mA para dentro do papel. Qual é a componente x da
força magnética por unidade de comprimento que age sobre o fio 2?
67
13ª Questão
A Fig. mostra a seção reta de um condutor cilíndrico, oco, de raios a e b,
que conduz uma corrente i uniformemente distribuída. (a) Mostre que,
para b < r < a, o módulo B(r) do campo elétrico a uma distância r do
eixo central do condutor é dado por
68
(b) Mostre que, para r = a, a equação do item (a) fornece o módulo B do
campo magnético na superfície do condutor; para r = b, o campo
magnético é zero; para b = 0, a equação fornece o módulo do campo
magnético no interior de um condutor cilíndrico, maciço, de raio a. (c)
Faça um gráfico de B(r), de r = 0 a r = 6 cm, para a = 2,0 cm, b = 1,8
cm e i = 100 A.
69
14ª Questão
Mostre que o módulo do campo magnético produzido no centro de uma
espira retangular de comprimento L e largura W, percorrida por uma
corrente i, é dado por
70
15ª Questão
A Fig. mostra a seção reta de um cabo coaxial, longo, de raios a, b e c.
Correntes i de mesmo valor e sentidos opostos estão uniformemente
distribuídas nos dois condutores. Escreva expressões para o módulo do
campo magnético B(r) em função da distância radial r (a) para r < c, (b)
para c < r < b, (c) para b < r < a e (d) para r > a.
71
15ª Questão
(d) para r > a. (e) Teste essas expressões para todos os casos especiais
possíveis. (f) Suponha que a = 2,0 cm, b = 1,8 cm, c = 0,40 cm e i =
120 A e plote a função B(r) no intervalo 0 < r < 3 cm.
72