Método dos Multiplicadores de Lagrange e Conceitos de Cálculo

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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadeˆmica do Cabo de Santo Agostinho
UACSA
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Atividade Unidade 1
1) Descreva o me´todo dos multiplicadores de Lagrange para func¸o˜es sujeitas a mais de
uma restric¸a˜o e utilize para responder os itens a seguir.
a) Encontre o valor ma´ximo de f(x, y, z) = x2+y2+z2 restrito a`s condic¸o˜es x2+y2+3z2 =
30 e 2x− y + z = 0
b) Determine os pontos mais afastados da origem e cujas coordenadas esta˜o sujeitas a`s
restric¸o˜es x2 + 2y2 − z2 e x + y − z = 1.
c) Determine os pontos da curva obtida pela interseca˜o das superf´ıcies x2+y2−xy−z2 = 1
e x2 + y2 = 1.
d) Determine os valores extremos da func¸a˜o f(x, y, z) = 100x2yz, sujeito a`s restric¸o˜es
x2 + y2 + z2 = 4 e 2x + y − 1 = 0.
2) Encontre aplicac¸o˜es do me´todo dos Multiplicadores de Lagrange em F´ısica ou em En-
genharia.
3) Determine o conjunto dos pontos em que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel :
a)

xy − x2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
b)

xy3
x3 − y2 , se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
c) sen(x− y) + x
2 − x4
x3 − x6
3) Seja f : U ⊂ Rn −→ R. Defina continuidade, diferenciabilidade e limite de func¸o˜es..
Classifique como verdadeiro V ou falso F cada item a seguir, no caso em que julgar falsa a
sentenc¸a, fornec¸a um contra-exemplo ou mostre a invalidade da afirmac¸a˜o.
i) Toda func¸a˜o f cont´ınua e´ diferencia´vel.
ii) Toda func¸a˜o f diferencia´vel e´ de classe C1.
Prof. Sylvia Ferreira da Silva Ca´lculo II
Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadeˆmica do Cabo de Santo Agostinho
UACSA
iii) O limite da func¸a˜o f(x, y) =
x2y
x4 + y2
quando (x, y) −→ (0, 0) e´ zero, pois em coorde-
nadas polares isto e´ va´lido.
iv) Uma func¸a˜o f e´ de classe C1 quando suas derivadas parciais existem em todos os
pontos.
v) Se as derivadas parciais de f existem em (x0, y0) enta˜o, f e´ cont´ınua neste ponto.
vi) Toda func¸a˜o de classe C1 e´ diferencia´vel.
4) Fac¸a um resumo sobre vetor gradiente, derivada direcional e exiba algumas aplicac¸o˜es.
Prof. Sylvia Ferreira da Silva Ca´lculo II