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 -- BBIINNOOMMIIAALL 
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Prof. Weber Campos 
webercampos@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE 
 
1. DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 
 A distribuição de Bernoulli se caracteriza pela existência de apenas dois eventos, mutuamente 
exclusivos, que denominaremos de sucesso e fracasso, num experimento que é realizado uma única vez. Se 
a probabilidade de sucesso é p, a probabilidade de fracasso é, evidentemente, 1-p. 
 É uma distribuição deste tipo o lançamento de uma moeda uma única vez. Se apostarmos na cara, 
sendo esta, então, a probabilidade de sucesso é p = 1/2. e a probabilidade de fracasso (coroa) é 1-p = 1- 
1/2 = 1/2. 
 Da mesma forma se, num lançamento de um dado, apostamos num número, digamos, o 3, este será 
o sucesso, sendo qualquer um dos outros cinco números o fracasso. Nesse caso, a probabilidade de 
sucesso é p = 1/6, e a probabilidade de fracasso é 1-p = 1 - 1/6 = 5/6. 
Outros exemplos de v.a. de Bernoulli: 
 - O sexo do primeiro filho de um casal ser masculino ou feminino. 
 - Uma peça produzida por uma fábrica ser perfeita ou defeituosa. 
 
 Associando-se uma variável aleatória X aos possíveis resultados do experimento, de forma que: 
 X = 1, se o resultado for sucesso e 
 X = 0, se o resultado for fracasso. 
 Então, a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli, com p sendo a probabilidade de ocorrer 
sucesso e (1-p) a probabilidade de ocorrer fracasso. 
 P(X=x) = (1-p) para x = 0 
 p para x = 1 
 A média e a variância de uma variável aleatória de Bernoulli são dadas por: 
E(X) = p e Var(X) = p(1-p) 
 
 
2. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Em uma questão de distribuição binomial normalmente não vem explícito no enunciado que se trata 
de tal distribuição, então temos que saber reconhecer uma distribuição binomial, e faremos isso verificando 
as seguintes características: 
1) Ela tratará de um experimento que se repetirá n vezes, sempre mantidas as mesmas condições originais. 
2) Este experimento só admite dois resultados: sucesso e fracasso. 
3) A cada repetição do experimento, as probabilidades de sucesso p e de fracasso q se mantêm 
constantes. 
 Se todas as características acima forem satisfeitas, então estaremos diante de uma questão de 
distribuição binomial. 
Se uma variável tem distribuição binomial, diremos que: 
X B(n,p) 
Essa simbologia significa que os parâmetros n e p definem uma distribuição binomial. 
 
 
 
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 Fórmula da Probabilidade Binomial: 
A questão de distribuição binomial fará a seguinte pergunta: 
Qual a probabilidade de se obter exatamente S sucessos, em n tentativas? 
A resposta será encontrada a partir da seguinte fórmula: 
Prob(S sucessos)=Cn,S.(p)
S
.(q)
F 
Onde: 
 Cn,s= 
)!(!
!
sns
n

 
n é o número de repetições do experimento; 
p é a probabilidade de ocorrência de sucesso; 
q é a probabilidade de ocorrência de fracasso; 
S é o número de sucessos desejados; 
F é o número de fracassos. 
 A média e a variância de uma variável aleatória Binomial são dadas por: 
E(X) = np e Var(X) = np(1-p) 
 
 
3. DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
 Quando a retirada de itens é feita sem reposição, a probabilidade de sucesso é modificada à 
medida que os itens são retirados, desta forma não podemos aplicar a probabilidade Binomial. A distribuição 
hipergeométrica é a distribuição discreta de probabilidade apropriada quando existir retiradas sem reposição. 
 Fórmula para determinar a probabilidade hipergeométrica: 
P(S sucessos) = Cm,S.CN-m,n-S / CN,n 
Onde: 
N = quantidade total de elementos do grupo. 
n = número de sorteios (retiradas aleatórias). 
S = quantidade desejada de repetição do elemento especificado nos n sorteios. 
m = número de ocorrências do elemento especificado no grupo. 
 
4. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 A distribuição de Poisson é empregada em experimentos nos quais não se está interessado no 
número de sucessos obtidos em n tentativas, como ocorre no caso da distribuição binomial, mas sim no 
número de sucessos ocorridos durante um intervalo contínuo, que pode ser um intervalo de tempo, espaço, 
etc. Como por exemplo: 
 - O número de vezes que o telefone toca em um dia. 
 - O número de acidentes automobilísticos ocorridos numa rodovia em um mês. 
 - O número de defeitos encontrados em um rolo de arame de 500m. 
 
 Note que nos exemplos acima, não há interesse em se determinar a probabilidade do telefone tocar, 
ou do acidente ocorrer, ou do defeito existir,... mas sim a freqüência de sua ocorrência, como, por exemplo, o 
telefone tocar 10 vezes por dia. 
 
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 Fórmula da Probabilidade de Poisson: 
Uma questão de probabilidade com a distribuição de Poisson fará a seguinte pergunta: 
Qual a probabilidade de se obter S sucessos, neste determinado intervalo (de tempo, de espaço etc)? 
 E essa probabilidade é obtida a partir da fórmula: 
Prob(S) = 
!S
eS  
 
Onde: Prob(S) é a probabilidade de S ocorrências no intervalo; 
 é o valor esperado ou número médio de ocorrências no intervalo; 
e = 2,71828... 
 
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EXERCÍCIOS 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
01. (MPOG 2006 ESAF) Um experimento binomial é um experimento que comporta um número 
fixo de provas independentes, n. Cada prova tem os resultados classificados em apenas duas 
categorias, a saber: sucesso ou fracasso. Muito embora essa classificação seja arbitrária, 
costuma-se denotar a probabilidade de sucesso por p, e a probabilidade de fracasso por q. 
Desse modo, realizando-se 50 provas, a probabilidade de se obter 30 sucessos é dada por 
a) C50,30 p
30
 q
20 d) C50,30 p
 
 q
20 
b) C50,30 p
20
 q
30 e) C50,30 p
30
 q
0 
c) C50,30 p
0
 q
20 
 
02. (Auditor Fiscal de Natal 2008 ESAF) Apontando por V – Verdadeiro e F – Falso, indique a opção 
correta para as seguintes sentenças: 
I. Uma v. a. – variável aleatória que pode assumir somente dois valores, diz-se possuir distribuição 
de Bernoulli e sua integral, no intervalo [a; b], possui distribuição Binomial. 
II. Uma v. a. com distribuição de Bernoulli, se acumulados os resultados sem reposição, geram uma 
distribuição hipergeométrica e se for com reposição geram uma distribuição Binomial. 
Assinale o respectivo conjunto: 
a) F, V d) V, V 
b) V, F e) pode ser V, F 
c) F, F 
 
03. (Fiscal de Rendas RJ 2010 FGV) 40% dos eleitores de uma certa população votaram, na última 
eleição, num certo candidato A. Se cinco eleitores forem escolhidos ao acaso, com reposição, a 
probabilidade de que três tenham votado no candidato A é igual a: 
(A) 12,48%. 
(B) 17,58%. 
(C) 23,04%. 
(D) 25,78%. 
(E) 28,64%. 
 
04. (Auditor da Receita Estadual do Amapá 2010 FGV) Uma urna contém 50 bolinhas idênticas 
numeradas de 1 a 50. Se quatro bolinhas são aleatoriamente sorteadas com reposição, a 
probabilidade de que, dos quatro números sorteados, dois sejam pares e dois sejam impares é 
igual a: 
(A) 12,5%. 
(B) 25,0%. 
(C) 37,5%. 
(D) 50,0%. 
(E) 62,5%. 
 
 
 
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05. (ISS Campinas 2011 Cetro) Se 10% das peças produzidas por uma máquinasão defeituosas, 
então a probabilidade de, entre 5 peças escolhidas ao acaso, no máximo 2 peças serem 
defeituosas é de, aproximadamente, 
(A) 97,21%. 
(B) 99,14%. 
(C) 98,24%. 
(D) 92,71%. 
(E) 90,16%. 
 
06. (MPU 2004 ESAF) Os membros do departamento de vendas de uma Cia aérea sabem que com 
probabilidade 5% um passageiro com reserva confirmada não se apresenta para o vôo. Nesse 
contexto a política de vendas da Cia é vender 52 passagens para um vôo que acomoda no 
máximo 50 passageiros. Assinale a opção que corresponde a probabilidade de que haja um 
lugar disponível para todo passageiro que se apresente para o vôo. 
 Sabe-se que (0,95)51 = 0,0731 e que (0,95)52 = 0,0694 
a) 0,500 d) 0,835 
b) 0,738 e) 0,741 
c) 0,830 
 
07. (AFRFB 2009 ESAF) Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de 
ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos. Desse modo, 
as probabilidades de sucesso e fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a: 
a) 20 % e 80 % 
b) 80 % e 20 % 
c) 60 % e 40 % 
d) 30 % e 70 % 
e) 25 % e 75 % 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
 
08. (AFT 2010 ESAF) Em uma amostra aleatória simples de 100 pessoas de uma população, 15 das 
40 mulheres da amostra são fumantes e 15 dos 60 homens da amostra também são fumantes. 
Ao se escolher ao acaso cinco pessoas da amostra, sem reposição, a probabilidade de 
exatamente quatro delas serem homens fumantes é dada por: 
a) Cn.k p
k (1-p)n-k, sendo p=0,15, n=5 e k=4. 
b) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=15 e k=4. 
c) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=60 e k=4. 
d) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=15, m=5 e k=4. 
e) Cn.k p
k (1-p)n-k, sendo p=0,25, n=5 e k=4. 
 
09. (SUSEP 2010 ESAF) Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são estrangeiros. Ao se 
escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, sem reposição, qual a probabilidade de exatamente uma 
das três pessoas escolhidas ser um estrangeiro? 
a) 45/91 d) 2/9 
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b) 1/3 e) 42/81 
c) 4/9 
 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
10. (MPOG 2006 ESAF) Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson, com parâmetro “m”, e 
k = 0, 1, 2, 3...... se e somente se 
a) P(X=k) = 
k
me m
 d) P(X=k) = 
!k
em k
 
b) P(X=k) = 
k
em mk 
 e) P(X=k) = 
!k
em mk 
 
c) P(X=k) = 
k
em mk
 
 
11. (AFRFB 2009 ESAF) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma 
distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de 
a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a: 
a) 
 
 
 d) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 e) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
12. (ICMS-SP 2009 FCC) O número de pessoas que chega ao guichê de uma repartição pública para 
autuação de processos apresenta uma distribuição de Poisson a uma taxa de duas pessoas por 
minuto. A probabilidade de que nos próximos 2 minutos chegue pelo menos uma pessoa neste 
guichê é (Observação: e = 2,71828...) 
(A) (e4 − 1).e−4 
(B) 4.e−4 
(C) (e4 − 4).e−4 
(D) 2.[(e2 − 1) ].e−2 
(E) (e2 − 2).e−2 
 
13. (Fiscal de Rendas RJ 2009 FGV) O número de clientes que buscam, em cada dia, os serviços de 
um renomado cirurgião tem uma distribuição de Poisson com média de 2 pacientes por dia. 
Para cada cirurgia efetuada, o cirurgião recebe R$ 10.000,00. No entanto, ele consegue fazer o 
máximo de duas cirurgias em um dia; clientes excedentes são perdidos para outros cirurgiões. 
Assinale a alternativa que indique o valor esperado da receita diária do cirurgião. (considere e–2 
= 0,14) 
(A) R$ 5.600,00. 
(B) R$ 8.400,00. 
(C) R$ 10.000,00. 
(D) R$ 14.400,00. 
(E) R$ 20.000,00. 
 
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14. (MPU 2007 FCC) O número de pacientes atendidos por um clínico geral segue uma distribuição 
de Poisson com taxa média de 4 pacientes por hora. A probabilidade de que pelo menos um 
paciente consulte o clínico geral em um período de 15 minutos é 
(A) 1–e–1 (C) e–4 (E) e–1 
(B) 1–e4 (D) e4 
 
15. (AFPS 2002 ESAF) Sabe-se que o número de clientes que procuram atendimento numa agência 
da previdência no período das 17 às 18 horas tem distribuição de Poisson com média de 3 
clientes. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de que mais de 2 clientes apareçam 
no período. Sabe-se que e-3 = 0,0498, sendo e o número neperiano. 
a) 0,776 c) 0,500 e) 1,000 
b) 0,667 d) 0,577 
 
DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL 
 
16. Um dado é lançado 8 vezes. Calcule as probabilidades seguintes: 
 
a) Qual é a probabilidade de o número 1 aparecer três vezes? 
 
 
b) Qual é a probabilidade de o número 1 aparecer três vezes, o número 2 aparecer quatro vezes e o 
número 6 aparecer uma vez? 
 
 
c) Qual é a probabilidade de o número 1 aparecer três vezes e o número 6 aparecer cinco vezes? 
 
 
d) Qual é a probabilidade de o número 1 aparecer duas vezes e o número 6 aparecer três vezes? 
 
 
Gabarito: 
01. a 
02. a 
03. c 
04. c 
05. b 
06. e 
07. a 
08. a 
09. a 
10. e 
11. e 
12. a 
13. d 
14. a 
15. d