AULA 3__Transformada de Laplace (1)

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ANÁLISE DE SISTEMAS LINEARES
TRANSFORMADA DE LAPLACE
NOTAS DE AULA 03
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CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES DISCRETAS
Sejam x(n) e y(n) funções discreta que têm valores zero para n < 0.
Def:A convolução de duas sequências x(n) e y(n) é uma sequência definida por: 
CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES DISCRETAS
CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES DISCRETAS
 
CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES DISCRETAS
 
CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES DISCRETAS
 
CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES DISCRETAS
 
CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES DISCRETAS
 
CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES DISCRETAS
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE
 A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que pode ser aplicada na solução das equações diferenciais ordinárias lineares.
 Sua principal característica é a de transfor-mar algumas funções usuais, definidas no domínio do tempo, em funções algébricas de variáveis complexas, e as equações diferenciais lineares em equações algébricas. 
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Além de sua aplicação na solução das equações diferenciais lineares, a transformada de Laplace é bastante utilizada no estudo de:
 sistemas de controle automático, especial-mente no estudo das condições transitórias e de estabilidade desses sistemas.
 na análise e síntese de circuitos elétricos.
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEFINIÇÕES.
Uma função f(x) é dita seccionalmente contínua ou contínua por partes num intervalo [a,b] quando esse intervalo pode ser particionado num número finito de subintervalos, nos quais a função f(x) é contínua e possui limites laterais finitos.
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEFINIÇÕES.
Uma função f(x) é dita seccionalmente contínua ou contínua por partes num intervalo [a,b] quando esse intervalo pode ser particionado num número finito de subintervalos, nos quais f(x) é contínua e possui limites laterais finitos.
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
 
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEFINIÇÕES.
Dizemos que uma função f(x) é de ordem exponencial σc quando existe uma constante real positiva σc tal que:
 
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
 Ou seja, uma função é de ordem exponencial quando não pode crescer, em valor absoluto, mais do que uma função exponencial.
 Note que se o limite acima é valido para um σc, então será válido para qualquer outro. 
 Também, de acordo com esta definição, toda função limitada é de classe exponencial.
 
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
 Seja f(t) uma função definida no intervalo [0,∞). A transformada de Laplace de f(t), indicada por { f(t)} ou F(s), é definida por
  
 
quando a integral existir. A variável s pode ser real ou complexa e a transformada de Laplace F(s) existe apenas quando a integral converge para algum valor de s.
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Seja f(t) uma função definida no intervalo [0,∞). A transformada de Laplace de f(t), indicada por { f(t)} ou F(s), é definida por
  
 
quando a integral existir. 
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
 A variável s pode ser real ou complexa e a transformada de Laplace F(s) existe apenas quando a integral converge para algum valor de s.
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CÁLCULO DE ALGUMAS TRANSFORMADAS BÁSICA.
Transformada do degrau.
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CÁLCULO DE ALGUMAS TRANSFORMADAS BÁSICA.
b) Transformada da função impulso.
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CÁLCULO DE ALGUMAS TRANSFORMADAS BÁSICA.
c) Transformada da função exponencial
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CÁLCULO DE ALGUMAS TRANSFORMADAS BÁSICA.
e) Transformada da função seno.
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CÁLCULO DE ALGUMAS TRANSFORMADAS BÁSICA.
 OBS:
 As transformadas anteriores serão básicas no cursos de controle e circuitos elétricos.
A transformada de qualquer combinação linear das funções anteriores pode ser calculada aplicando-se a linearidade da transformação.
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CÁLCULO DE ALGUMAS TRANSFORMADAS BÁSICA.
 EXEMPLO: Calcule a transformada de Laplace da função.
	f(t) = Acos(t + )
onde A > 0,  e  são constantes reais e t, real, é a variável independente.
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CÁLCULO DE ALGUMAS TRANSFORMADAS BÁSICA.
Solução: Observe que:
A cos(t + ) = Acos(t)cos() - Asen(t)sen()
Assim,
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CÁLCULO DE ALGUMAS TRANSFORMADAS BÁSICA.
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
(Linearidade): A transformada de Laplace da combinação linear é dada por:
b) (Translação no tempo): Seja F(s) a transformada de Laplace da função f(t). Então:
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
Exercício 5.2: Determine a transformada de Laplace da função degrau unitário deslocada u(t  a).
Solução: Sabemos que a transformada de Laplace de u(t) é:
 U(s) = 1/s
Então, de acordo com a propriedade anterior, 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
c) (Translação em frequência): Se F(s) é a transformada de Laplace de f(t), então a transformada de Laplace de 
	
é dada por:
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
Exercício: Determine a transformada de Laplace da função:
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
d) (Mudança de escala de tempo): Se F(s) é a transformada de Laplace de f(t), então a transformada de Laplace de g(t) = f(at) será dada por:
	
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
Exercício: Determine a transformada de Laplace da função
		g(t) = cos(2t)
Solução: Seja f(t) = cos(t). Então, conforme visto anteriormente, 
		 
 
	 .
 
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
Logo, podemos escrever que:
		g(t) = f(2t)
Considerando a propriedade da mudança de escala, temos, então:
		 
 
	 .
 
 
 
Db
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
f) (Mutiplicação por t): Se F(s) é a transformada de Laplace de f(t), então a transformada de Laplace de g(t) = t f(t) será dada por:
	
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
Exercício: Determine a transformada de Laplace da função
	g(t)=tu(t). 
Solução: Como a transformada de Laplace de u(t) é 
		
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
Então,
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
g) (Derivada): Se a função f(t) e sua derivada f’(t) são contínuas e de classe exponencial no intervalo [0,∞), então, a transformada de Laplace da função f’(t) é dada por:
 
.
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
Exercício: Determine a transformada de Laplace da função g(t) = sen(t) a partir da função f(t) = cos (t).
Solução: Podemos escrever
			
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
h) (Integral): Se F(s) é a transformada de Laplace de f(t) e é uma função contínua e de ordem exponencial no intervalo [0,∞), então:
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
 
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
i) (Transformada de funções periódicas): Se f(t) é uma função periódica de período T no intervalo [0,∞), então sua transformada de Laplace é dada por
 
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
Exercícios: Determine a transformada de Laplace da função
 
 
 
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
 
 
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
 
 
 
 
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PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADAS 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS:
Exercício: Usando a definição, determine a transformada de Laplace da Função
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS:
Exercício: Usando a definição e as propriedades, determine a transformada de Laplace da função dada, definida para t  0.
			 f(t) = (2t + 1)u(t).
 
 
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EXERCÍCIOS:
Exercício: Usando a definição e as propriedades, determine a transformada de Laplace da função dada, definida para t  0.
			 
 
 
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Existem vários métodospara determinação da transformada inversa de Laplace. Vamos considerar apenas os dois métodos mais utilizados nas soluções das equações diferenciais lineares.
 
 
 
aaa.
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DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
1. USO DA TABELA.
 A utilização das tabelas de transformadas de Laplace constitui o método mais simples para determinação da transformada inversa de Laplace.
 O método consiste na manipulação da transformada de Laplace de modo a tornar possível a identificação da sua transformada inversa numa tabela.
 
 
 
aaa
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DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
1 USO DA TABELA.
 Para isso, é necessária a utilização de uma boa tabela de transformadas de Laplace, que pode ser obtida em diversas publicações.
 
 
 
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DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
 
 
aaa
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DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
 
 
aaa
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DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Exercício: determine, usando a tabela, a transfor-mada de Laplace inversa da função
		
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DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
 Este método também utiliza a consulta à tabela de transformadas de Laplace.
 Na realidade, é apenas um método de transformação da transformada de Laplace numa forma que pode ser facilmente encontrada nas tabelas de transformadas de Laplace, quando esta transformada é dada por uma função racional.
 
 
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DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
 .
 
 
aaa.
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