Elementos de Maquinas I

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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
ELEMENTOS DE 
MÁQUINAS I 
 
 
 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
 
 
 
Joaçaba, 27 de Julho de 2015 
Elementos de Máquinas I ii 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
Componente Curricular de: 
ELEMENTOS 
DE 
MÁQUINAS I 
 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
 
Joaçaba, 27 de Julho de 2015 
 
Este material foi elaborado para o componente curricular de Elementos de Máquinas I do curso 
de Engenharia Mecânica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa Catarina Campus de 
Joaçaba 
O trabalho apresenta citações dos autores pesquisados e referências bibliográficas, constituindo-
se em uma ótima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre os elementos de máquinas. 
No mesmo são tratados assuntos como: solicitações dinâmicas, eixos e árvores, parafusos de 
fixação e movimento, ligações entre cubo e eixo, lubrificação industrial, mancais de deslizamento e 
mancais de rolamento. 
Tem a finalidade de proporcionar aos acadêmicos o conteúdo básico da disciplina, com o intuito 
de melhorar o aproveitamento dos mesmos. 
Qualquer sugestão com referência ao presente trabalho, serão aguardadas, pois assim pode-se 
melhorá-lo com futuras modificações. 
Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
 
Elementos de Máquinas I iv 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
DOUGLAS ROBERTO ZAIONS 
Engenheiro Mecânico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 1994 iniciou 
o curso de especialização em Engenharia Mecânica na Universidade Federal de Santa Catarina obtendo o 
grau de Especialista em Engenharia Mecânica. Em 2003 concluiu o curso de Mestrado em Engenharia de 
Produção na Universidade Federal do Rio Grande do Sul na área de concentração de Gerência, 
desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidação da Metodologia da Manutenção Centrada em 
Confiabilidade em uma Planta de Celulose e Papel. 
Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produção Mecânica de março/2000 até março/2006 e do 
Curso de Tecnologia em Processos Industriais – Modalidade Eletromecânica de março/2000 até 
Junho/2002 da UNOESC – Joaçaba. 
Conselheiro Estadual e membro da Câmara Especializada de Engenharia Industrial do Conselho 
Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, CREA – SC no período 
de janeiro de 2001 até dezembro de 2003. Também foi Diretor do CREA – SC no período de janeiro de 
2002 até dezembro de 2002. 
Dezesseis anos de docência em cursos técnicos, tecnológicos, de engenharia e especialização nas áreas 
mecânica. 
Professor de várias disciplinas da área de projetos nos cursos Técnico em Mecânica e Eletromecânica 
do SENAI – CET Joaçaba. 
É Professor do curso de Engenharia de Produção Mecânica, Engenharia Mecânica e Engenharia de 
Produção da UNOESC – Joaçaba onde atua nas disciplinas de Resistência dos Materiais, Elementos de 
Máquinas, Mecanismos, Pesquisa Operacional, Projeto de Sistemas Mecânicos, Manutenção Mecânica, e 
Vibrações Mecânicas. É também pesquisador nas áreas de Projeto de Sistemas Mecânicos, Manutenção 
Industrial, e Projeto de Veículos Aéreos Não Tripulados (VANTs). 
Professor dos cursos de Especialização em Engenharia de Manutenção Industrial e Engenharia de 
Produção da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando respectivamente a disciplina de 
Manutenção de Elementos de Máquinas, Técnicas e Procedimentos de Manutenção e Gestão da 
Manutenção. No curso de Especialização em Projetos de Sistemas Mecânicos atua nas disciplinas de 
Metodologia de Projeto de Sistemas Mecânicos e Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade. 
Atualmente é coordenador do curso de Especialização em Engenharia de Estruturas Metálicas da Unoesc 
e professor da disciplina de Metodologia da Pesquisa. 
É perito técnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas áreas automotiva e industrial na busca de causa 
raiz de falhas. 
Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina – Campus de Joaçaba 
 e-mail: douglas.zaions@unoesc.edu.br 
 Fone/Fax: (49) 3551 – 2000 Ramal 2216 
v 
ÍNDICE 
1 SOLICITAÇÕES DINÂMICAS ................................................................................................................................. 10 
1.1 PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO ........................................................................................... 10 
1.2 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 11 
1.3 TIPOS DE CARGA DINÂMICAS ................................................................................................................................. 11 
1.3.1 Carga Repetida ........................................................................................................................................... 11 
1.3.2 Carga Alternante ........................................................................................................................................ 12 
1.3.3 Carga Flutuante .......................................................................................................................................... 13 
1.4 MECANISMO DA FALHA POR FADIGA ..................................................................................................................... 14 
1.5 MEDIÇÃO DAS FALHAS POR FADIGA ...................................................................................................................... 15 
1.5.1 Ensaio de flexão alternante - Tensões totalmente reversas ........................................................................ 15 
1.5.2 Tensão limite de Resistência a Fadiga........................................................................................................ 18 
1.5.3 Ensaio com força axial alternante .............................................................................................................. 18 
1.5.4 Ensaio de flexão em viga engastada ........................................................................................................... 20 
1.5.5 Ensaio de Fadiga Torcional ....................................................................................................................... 20 
1.5.6 Fatores de correção da Resistência a Fadiga ............................................................................................ 21 
1.5.7 Valores teóricos de Se´ e Sf´ ........................................................................................................................ 22 
1.5.8 Fator de correção do tipo de carga ............................................................................................................ 22 
1.5.9 Fator de correção do tamanho da peça ...................................................................................................... 22 
1.5.10 Fator de correção do Acabamento Superficial da Peça ............................................................................. 24 
1.5.11 Fator de correção da temperatura .............................................................................................................. 25 
1.5.12 Fator de correção da Confiabilidade ......................................................................................................... 25 
1.6 INFLUÊNCIA DA COMBINAÇÃO DE TENSÕES MÉDIAS E ALTERNANTES ....................................................................26 
1.7 ENTALHES E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES........................................................................................................... 29 
1.7.1 Fator de Concentração de Tensões aplicado a tensões médias e Alternantes ............................................ 32 
1.8 CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA TENSÃO X VIDA ..................................................................................................... 32 
1.9 CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA MODIFICADO DE GOODMAN ................................................................................... 34 
1.10 TEORIAS DE FALHA DINÂMICA ............................................................................................................................. 35 
1.10.1 Cargas totalmente Alternantes com tensões Unidirecionais ...................................................................... 37 
1.10.2 Cargas Flutuantes com Tensão Unidirecional ........................................................................................... 38 
1.10.3 Projetando para tensões multiaxiais na fadiga........................................................................................... 42 
1.10.4 Cargas totalmente alternantes com tensões multiaxiais ............................................................................. 42 
1.10.5 Cargas Flutuantes com Tensões multiaxiais ............................................................................................... 43 
1.11 PROPRIEDADES MECÂNICAS DE ALGUNS AÇOS ...................................................................................................... 45 
1.12 FATORES DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO ESTÁTICOS .......................................................................................... 46 
1.13 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 52 
2 EIXOS E ÁRVORES ................................................................................................................................................... 54 
2.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 54 
2.2 DEFINIÇÕES ........................................................................................................................................................... 54 
2.3 MATERIAIS PARA CONSTRUÇÃO DE EIXOS............................................................................................................. 55 
Elementos de Máquinas I vi 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
2.4 TENSÕES EM EIXOS E ÁRVORES ............................................................................................................................ 55 
2.5 FALHA DE EIXOS COM TENSÕES COMBINADAS ..................................................................................................... 57 
2.6 PROJETO DE EIXOS ................................................................................................................................................. 58 
2.6.1 Regras Gerais para o projeto de eixos ....................................................................................................... 58 
2.6.2 Projeto de Árvores combinando Flexão alternante e Torção Constante .................................................... 59 
2.7 PROJETO DE EIXOS COMBINADO FLEXÃO FLUTUANTE E TORÇÃO FLUTUANTE ..................................................... 62 
2.8 VELOCIDADE CRÍTICA DE EIXOS E ÁRVORE .......................................................................................................... 63 
2.8.1 Vibração lateral forçada ............................................................................................................................. 64 
2.8.2 Vibrações auto-excitadas ............................................................................................................................ 65 
2.9 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 67 
3 PARAFUSOS DE FIXAÇÃO ..................................................................................................................................... 73 
3.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 73 
3.2 VANTAGEM E DESVANTAGEM DAS UNIÕES PARAFUSADAS .................................................................................. 74 
3.3 TERMINOLOGIA DE ROSCAS .................................................................................................................................. 76 
3.3.1 Rosca Whiworth .......................................................................................................................................... 77 
3.3.2 Rosca Sellers ............................................................................................................................................... 77 
3.3.3 Rosca Métrica ............................................................................................................................................. 77 
3.3.4 Padronização .............................................................................................................................................. 78 
3.4 ERROS QUE PODEM OCORRER NOS AJUSTES ROSCADOS ........................................................................................ 80 
3.4.1 Erro de Passo .............................................................................................................................................. 80 
3.4.2 Erro no ângulo de Flancos α ...................................................................................................................... 80 
3.4.3 Erro do diâmetro de Flancos(efetivo) ......................................................................................................... 81 
3.5 TIPOS DE PARAFUSOS ............................................................................................................................................ 82 
3.5.1 Parafuso passante normal .......................................................................................................................... 82 
3.5.2 Parafuso com Cabeça ................................................................................................................................. 82 
3.5.3 Parafuso Prisioneiro ................................................................................................................................... 83 
3.5.4 Parafuso com porca nas duas extremidades ............................................................................................... 84 
3.5.5 Parafuso com cabeça de embutir ................................................................................................................ 84 
3.5.6 Parafusos com fenda na cabeça .................................................................................................................. 85 
3.5.7 Parafusos de Alta Resiliência ..................................................................................................................... 85 
3.5.8 Parafusos Chumbadores ............................................................................................................................. 85 
3.5.9 Parafusos para Metais Leves ...................................................................................................................... 86 
3.5.10 Parafusos de Anel ....................................................................................................................................... 86 
3.5.11 Parafusos para madeira .............................................................................................................................87 
3.5.12 Parafusos auto-atarraxantes....................................................................................................................... 87 
3.5.13 Parafusos diferenciais ................................................................................................................................ 87 
3.6 PROCESSOS DE FABRICAÇÃO DE ROSCAS ............................................................................................................... 88 
3.7 MATERIAIS DAS ROSCAS DOS PARAFUSOS ............................................................................................................. 88 
3.8 RESISTÊNCIA DOS PARAFUSOS DE FIXAÇÃO .......................................................................................................... 89 
3.9 ÁREA RESISTENTE A TRAÇÃO ............................................................................................................................... 92 
3.10 PRÉ-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A TRAÇÃO ............................................................................................ 93 
vii 
3.11 PRÉ-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A CARGAS ESTÁTICAS ........................................................................... 96 
3.12 PRÉ-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A CARGAS DINÂMICAS ........................................................................ 100 
3.13 DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA DO MATERIAL .................................................................................. 102 
3.14 TORQUE DE APERTO ............................................................................................................................................ 103 
3.15 SEGURANÇA CONTRA AFROUXAMENTO ............................................................................................................... 104 
3.15.1 Segurança de força ................................................................................................................................... 104 
3.15.2 Segurança de Forma ................................................................................................................................. 106 
3.15.3 Recomendação prática para parafusos prisioneiros ou sem cabeça ........................................................ 108 
3.15.4 Ligações por múltiplos parafusos ............................................................................................................. 108 
3.16 AUMENTO DA RESISTÊNCIA À FADIGA EM LIGAÇÕES PARAFUSADAS ................................................................... 109 
3.16.1 Alívio do primeiro filete carregado .......................................................................................................... 109 
3.16.2 Arredondamento da união da cabeça com haste ...................................................................................... 110 
3.16.3 Angulo de saída da rosca .......................................................................................................................... 110 
3.16.4 Redução das pontas de tensão na raiz da rosca ....................................................................................... 110 
3.16.5 laminação da rosca; ................................................................................................................................. 111 
3.16.6 Comprimento livre da rosca ..................................................................................................................... 111 
3.16.7 Passo ......................................................................................................................................................... 111 
3.16.8 Acabamento superficial ............................................................................................................................ 111 
3.16.9 Fator de mola ............................................................................................................................................ 111 
3.16.10 Pré-carga .................................................................................................................................................. 111 
3.16.11 Número de parafusos ................................................................................................................................ 111 
4 PARAFUSOS DE MOVIMENTO ............................................................................................................................ 112 
4.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................... 112 
4.2 ANÁLISE DE FORÇA, TORQUE E POTÊNCIA PARA ACIONAMENTO DOS PARAFUSOS DE MOVIMENTO .................... 113 
4.2.1 Rosca Quadrada ....................................................................................................................................... 113 
4.2.2 Rosca trapezoidal ou ACME ..................................................................................................................... 116 
4.3 CONDIÇÃO DE AUTO-TRAVAMENTO DA ROSCA .................................................................................................... 117 
4.4 EFICIÊNCIA DO PARAFUSO ................................................................................................................................... 117 
5 LIGAÇÃO ENTRE CUBO E EIXO ........................................................................................................................ 118 
5.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................... 118 
5.2 CHAVETAS .......................................................................................................................................................... 118 
5.2.1 Tipos de Chavetas ..................................................................................................................................... 118 
5.2.2 Tensões nas Chavetas ............................................................................................................................... 120 
5.3 EIXOS RANHURADOS ........................................................................................................................................... 124 
5.3.1 Compressão no cubo ................................................................................................................................. 124 
5.4 LIGAÇÃO POR AJUSTE PRENSADO CILÍNDRICO ..................................................................................................... 125 
5.4.1 Determinação da Pressão Máxima ........................................................................................................... 126 
5.4.2 Prensagem ou Martelamento .................................................................................................................... 133 
5.4.3 Ajuste Prensado por Aquecimento/Esfriamento ....................................................................................... 134 
5.5 AJUSTE PRENSADO CÔNICO ................................................................................................................................. 135 
5.5.1 Determinação das Interferências. ............................................................................................................. 135 
Elementos de Máquinas I viii 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
5.5.2 Força Axial de Montagem - Pa.................................................................................................................. 136 
5.5.3 Conicidade Recomendada......................................................................................................................... 138 
5.5.4 Deslocamento Axial ..................................................................................................................................138 
5.6 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 141 
6 MANCAIS DE DESLIZAMENTO .......................................................................................................................... 143 
6.1 TIPOS DE MANCAIS .............................................................................................................................................. 144 
6.1.1 Mancais Radiais ....................................................................................................................................... 144 
6.1.2 Mancais Axiais ou de Escora .................................................................................................................... 145 
6.2 COEFICIENTE DE ATRITO ..................................................................................................................................... 147 
6.3 MECÂNISMO DE FORMAÇÃO DA PELÍCULA.......................................................................................................... 149 
6.4 TEORIA HIDRODINÂMICA ..................................................................................................................................... 152 
6.5 MÓDULO DO MANCAL ......................................................................................................................................... 154 
6.6 CONSIDERAÇÕES SOBRE A TEMPERATURA ........................................................................................................... 156 
6.7 EQUILÍBRIO TÉRMICO .......................................................................................................................................... 158 
6.8 MATERIAIS .......................................................................................................................................................... 159 
6.9 PROJETO DE MANCAL.......................................................................................................................................... 161 
6.10 TABELAS E ÁBACOS PARA UTILIZAÇÃO EM MANCAIS DE DESLIZAMENTO ......................................................... 165 
6.11 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 171 
7 MANCAIS DE ROLAMENTO ................................................................................................................................ 172 
7.1 TIPOS DE MANCAIS DE ROLAMENTO ................................................................................................................... 173 
7.2 ATRITO NOS MANCAIS DE ROLAMENTO .............................................................................................................. 176 
7.3 SELEÇÃO DE ROLAMENTOS SEGUNDO A ISO ....................................................................................................... 178 
7.3.1 Carga Dinâmica Equivalente .................................................................................................................... 183 
7.4 SELEÇÃO DO TAMANHO DO ROLAMENTO UTILIZANDO-SE A CAPACIDADE DE CARGA ESTÁTICA .......................... 184 
7.4.1 Carga estática equivalente........................................................................................................................ 185 
7.4.2 Capacidade de carga estática requerida .................................................................................................. 186 
7.5 PLANOS DE DIMENSÕES ...................................................................................................................................... 187 
7.6 FOLGA INTERNA .................................................................................................................................................. 188 
7.7 LUBRIFICAÇÃO .................................................................................................................................................... 189 
7.8 VEDAÇÃO ............................................................................................................................................................ 190 
7.8.1 Vedadores integrados ............................................................................................................................... 190 
7.8.2 Vedadores externos ................................................................................................................................... 191 
7.9 APLICAÇÃO DE ROLAMENTOS ............................................................................................................................. 193 
7.9.1 Arranjo de rolamentos .............................................................................................................................. 193 
7.9.2 Fixação radial dos rolamentos ................................................................................................................. 194 
7.9.3 Fixação axial dos rolamentos ................................................................................................................... 194 
7.9.4 Métodos de Fixação .................................................................................................................................. 194 
7.9.5 Seleção do lubrificante ............................................................................................................................. 196 
7.9.6 Lubrificação com Graxa ........................................................................................................................... 197 
7.9.7 Métodos de lubrificação com graxa .......................................................................................................... 202 
ix 
7.9.8 Características dos óleos .......................................................................................................................... 205 
7.10 ÓLEOS E GRAXAS PARA LUBRIFICAÇÃO DE ROLAMENTOS ................................................................................. 213 
7.11 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 216 
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................................................... 217 
 
 
Elementos de Máquinas I 10 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
1 SOLICITAÇÕES DINÂMICAS 
1.1 PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO 
Símbolo Descrição da variável Unidade Descrição da variável em inglês 
σ~ Tensão efetiva de Mohr modificada Pa Modified-Mohr efective stress 
Ccarga Fator de correção do tipo de carga - Loading factor 
CConfiabilidade Fator de correção da confiabilidade - Reliability factor 
CSuperficial Fator de correção do acabamento superficial - Surface factor 
CTamanho Fator de correção do tamanho da peça - Size factor 
CTemperatura Fator de correção da temperatura - Temperature factor 
dequivalente Diâmetro equivalente m Equivalent diameter test specimen 
Kf Fator de concentração de tensões a fadiga aplicado 
a tensão normal 
- Fatigue-stress-concentration factor 
Kfm Fator de concentração de tensões a fadiga aplicado 
a tensão normal média 
- Mean-stress fatigue-concentration factor 
Kt Fator de concentração de tensões aplicado a tensão 
normal 
- Geometric stress concentration factor – 
normal stress 
Kts Fator de concentração de tensões aplicado a tensão 
cisalhante 
- Geometric stress concentration factor – 
shear stress 
q Fator de sensibilidade ao entalhe - Material notch sensibility 
r Raio de entalhe m 
Se Limite de resistência a fadiga da peça (106 ciclos) Pa Corrected endurance limit 
Se’Limite de resistência a fadiga do material (106 
ciclos) 
Pa Uncorrected endurance limit 
Sf Resistência a fadiga da peça Pa Corrected endurance strength 
Sf’ Resistência a fadiga do material Pa Uncorrected endurance strength 
Suc Limite de resistência a compressão Pa Ultimate compressive strenght 
Sus Limite de resistência ao cisalhamento Pa Ultimate shear strenght 
Sut Limite de resistência a tração Pa Ultimate tensile strenght 
Sy Resistência ao escoamento a tração Pa Tensile yield strenght 
Syc Resistência ao escoamento a compressão Pa Yield strenght in compression 
Sys Resistência ao escoamento ao cisalhamento Pa Shear yield strenght 
Νφ Coeficiente de Segurança a fadiga - Safety factor in fatique 
σ Tensão normal Pa Normal stress 
σ’ Tensão efetiva de von-Misses Pa Von Mises effective stress 
σ1 2, 3 Tensões principais Pa Principal stresses 
σa, σm Tensão normal alternante e média Pa Alternating and mean normal stress 
σa’, σm’ Tensão de von Mises alternante e média Pa Alternating and mean von Mises stress 
σmax Tensão normal máxima aplicada Pa Maximum applied normal stress 
σmin Tensão normal mínima aplicada Pa Minimum applied normal stress 
σx Tensão normal na direção x Pa 
σy Tensão normal na direção y Pa 
τ Tensão tangencial ou cisalhante Pa Shear stress 
τmax Tensão de corte máxima aplicada Pa 
τxy Tensão cisalhante aplicada no plano x e na direção 
y 
Pa Shear stresses that act on the x face and 
whose direction of action are paralel to 
the y axes 
τyx Tensão cisalhante aplicada no plano y e na direção 
x 
Pa Shear stresses that act on the y face and 
whose direction of action are paralel to 
the x axes 
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Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
1.2 INTRODUÇÃO 
Muitas das falhas que ocorrem nas máquinas são devidas a cargas dinâmicas. Estas falhas ocorrem 
com níveis de tensões significativamente inferiores as de falhas estáticas. Assim, usando somente teorias 
de falha estática, não se conseguirá um resultado satisfatório, quando estamos diante de cargas dinâmicas. 
Quando a falha ocorre devido a cargas dinâmicas, estamos diante do fenômeno chamado falha por 
fadiga. 
Conforme Norton (1997), o fenômeno da falha por fadiga foi primeiramente noticiado por volta de 
1800 quando os eixos das antigas locomotivas começavam a falhar após um certo tempo de 
funcionamento. Rankine, publicou em 1843 um artigo explicando as prováveis falhas que ocorriam nestas 
máquinas. Na época inúmeros experimentos foram desenvolvidos buscando informações que otimizassem 
o projeto de eixos submetidos a esforços dinâmicos. Após 12 longos anos de pesquisa, o engenheiro 
alemão August Wholer desenvolveu as primeiras pesquisas científicas sobre o assunto. Wholer realizou 
vários testes de fadiga nos aços e em 1870 publicou seus trabalhos, identificando nestes a vida em ciclos 
dos materiais versus o nível de tensão aplicada. 
1.3 TIPOS DE CARGA DINÂMICAS 
1.3.1 Carga Repetida 
A carga repetida também é conhecida como carga do tipo II. Sua intensidade varia no tempo entre 
uma força Fmin=0 até uma força Fmax. A Figura 1.1 ilustra a carga repetida e a tensão repetida. 
 
t 
P 
Fm 
Fa 
F
 
Fmax 
Fmin 
 
 
t 
P 
σm 
σa 
σ
 
σmax 
σmin 
 
Figura 1.1 - Carga e Tensão Repetida 
Elementos de Máquinas I 12 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
As expressões que permitem determinar as forças e tensões médias e alternantes são: 
Equação 1.1 2
minmax FFFm
+
=
 e 2
minmax FFFa
−
=
 e 2
minmax σσσ
+
=m e 2
minmax σσσ
−
=a 
Também temos as seguintes expressões: 
ama σσσσ +=⋅= 2max 
am σσσ −== 0min 
2
minmax σσσ
+
=m 
1.3.2 Carga Alternante 
A carga alternante também é conhecida como carga do tipo III . Sua intensidade varia no tempo entre 
uma força Fmin até uma força Fmax tal que Fmin = - Fmax .A Figura 1.2 ilustra a carga alternante e a tensão 
alternante. 
 
t 
P 
Fm = 0 
Fa 
F
 
Fmax 
Fmin 
+ 
- 
 
 
t 
P 
σm = 0 
σa 
σ
 
σmax 
σmin 
+ 
- 
 
Figura 1.2 - Carga e Tensão Alternada 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 217 
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1.3.3 Carga Flutuante 
As expressões que permitem determinar as forças e tensões médias e alternantes são: 
Equação 1.2 2
minmax FFFm
+
=
 e 2
minmax FFFa
−
=
 e 2
minmax σσσ
+
=m e 2
minmax σσσ
−
=a 
Também temos as seguintes expressões: 
aσσ =max 
aσσ −=min 
0=mσ 
A carga Flutuante é uma combinação de uma carga alternante com uma carga do tipo estática. Sua 
intensidade varia no tempo entre uma força Fmin até uma força Fmax tal que Fmin ≠ Fmax . A Figura 1.3 
ilustra a carga alternante e a tensão alternante. 
 
t 
P 
Fm 
Fa 
F
 
Fmax 
Fmin 
 
 
t 
P 
σm 
σa 
σ
 
σmax 
σmin 
 
Figura 1.3 - Carga Flutuante 
As expressões que permitem determinar as forças e tensões médias e alternantes são: 
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Equação 1.3 
2
minmax FFFm
+
=
 e 
2
minmax FFFa
−
=
 e 2
minmax σσσ
+
=m e 2
minmax σσσ
−
=a 
Também temos as seguintes expressões: 
am σσσ +=max 
am σσσ −=min 
2
minmax σσσ
−
=a 
2
minmax σσσ
+
=m 
1.4 MECANISMO DA FALHA POR FADIGA 
Em peças solicitadas dinamicamente, sua resistência vai depender não só do material empregado mas 
também do valor da carga e número de ciclos que a mesma é aplicada. Experiências executadas em peças 
solicitadas por cargas variáveis com o tempo, mostraram que após um determinado número de ciclos as 
mesmas rompiam-se, mesmo que a carga aplicada tivesse um valor aquém da carga de ruptura do 
material. 
Conforme Norton (1997), a falha por fadiga sempre inicia com uma fissura. A fissura pode estar 
presente no material devido ao processo de fabricação ou pode se desenvolver ao longo do tempo devido 
a uma deformação cíclica ao redor de regiões sujeitas a concentrações de tensões. Fisher e Yen mostraram 
que todos os elementos estruturais possuem descontinuidades em faixas microscópicas menores que 
0,0004 mm até dimensões macroscópicas, introduzidas pelos processos de fabricação. As fissuras devido 
a fadiga geralmente iniciam em algum ponto onde há entalhes ou zonas de concentração de tensões. 
Conforme Norton (1997), há três estágios para a falha por fadiga: 
1. Inicio da fissura; 
2. Propagação da fissura; 
3. Fratura instantânea; 
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O primeiro estágio pode ser de pequena duração, o segundo estágio envolve a maior parte da vida da 
peça e o terceiro é instantâneo. 
 
Área Lisa 
Área 
Rugosa 
 
Aspecto de uma Falha Dinâmica 
1.5 MEDIÇÃO DAS FALHAS POR FADIGA 
Muitas técnicas e testes foram elaborados para o propósito da medição e verificação da resposta dos 
materiais submetidos a tensões e deformações variantes no tempo. A mais antiga foi a técnica 
desenvolvida por Wohler que consistia em uma viga em balanço rotativa que produzia tensões repetidas. 
Mais tarde R.R. Moore adaptou a técnica para eixos bi-apoiados, conforme ilustrado na Figura 1.4 . A 
máquina de R. R. Moore realiza ensaios de fadiga por flexão alternante. 
Com o advento da servo-hidráulica, a partir de 1940, novas máquinas baseadas no princípio hidráulico 
foram desenvolvidas visando ensaios de fadiga. 
A maior parte das informações conhecidas estão baseadas em eixos rotativos com carga totalmente 
reversa. Informações a respeito de cargas axiais ou torcionais são difíceisde serem encontradas, porém 
podem ser estimadas a partir de outras informações. 
1.5.1 Ensaio de flexão alternante - Tensões totalmente reversas 
Neste ensaio, podemos realizar testes com vigas bi - apoiadas, como é o caso da Figura 1.4, ou vigas 
em balanço. Na máquina de ensaio de fadiga por flexão alternante, podemos variar a carga através de 
pesos que podem ser movimentados, de maneira a variar o momento atuante no corpo de prova. Quando 
posta em movimento, um tacômetro acoplado a mesma marcará o número de ciclos necessários para o 
rompimento do corpo de prova sob a ação de uma carga durante um ciclo completo. 
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A máquina mais comum e utilizada para realizar este tipo de ensaio é a máquina de R.R. Moore 
esquematizada na figura abaixo. 
 
 
Figura 1.4 - Máquina de R. R. Moore para ensaio de flexão alternante 
Utilizando-se a máquina de R. R. Moore para ensaio de flexão alternante, pode-se a partir de vários 
testes determinar a curva de Wohler para um corpo de prova de um certo material. A curva de Wohler é a 
curva inferior obtida através da traçagem dos pontos inferiores obtidos de ensaios. Os valores são 
traçados em um gráfico em que nas abcissas temos a vida das peças em ciclos e nas ordenadas as tensões 
correspondentes 
Em ensaios realizados em diversos corpos de prova com cargas repetidas decrescentes, verificou-se 
que o número de ciclos necessários para provocar a ruptura aumenta rapidamente. Plotando em um 
gráfico ( Figura 1.5) os valores encontrados, foi determinado uma faixa de variação, e como estes valores 
são bastante dispersos, ficou difícil determinar se a faixa de valores era assintótica ou não. Com a faixa de 
valores plotada, foram traçadas duas curvas, a do limite superior e a do limite inferior que é denominada 
curva de Wohler. 
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Ciclos 
Curva de Wohler 
Sut 
Re
sis
tê
n
ci
a 
a 
Fa
di
ga
 
Se’ 
101 102 103 104 105 106 107 108 109 100 
Zona de disperção 
 
Figura 1.5 - Curva de Wohler 
Se levarmos os valores obtidos na curva de Wohler acima para um gráfico com coordenadas 
logarítmicas conforme Figura 1.6, veremos que na verdade a curva de Wohler é assintótica, isto é, para 
um certo valor de carga a curva permanecerá paralela ao eixo das absissas. Isto quer dizer que, para uma 
determinada carga a vida da peça é infinita, independente do número de ciclos. 
 
Ciclos 
c 
Re
sis
tê
n
ci
a 
a 
Fa
di
ga
 
Se’ 
101 102 103 104 105 106 107 108 109 100 
Limite de Resistência a 
Fadiga (Se’ ): Alguns 
materiais apresentam este 
limite como é o caso do aço. 
Linha de fratura 
Outros materiais não 
apresentam este limite (Se’ ), 
como por exemplo, o alumínio.
 
Figura 1.6 - Diagrama de Wohler Tensão x Vida ou Tensão x Número de ciclos 
Sendo: 
Sut - Tensão de resistência a tração (Estática); 
Se’ - Tensão limite de resistência a fadiga ou limite de duração (valor para o qual a peça não se rompe, 
independendo do número de ciclos). 
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1.5.2 Tensão limite de Resistência a Fadiga 
Note na 0 , que a curva tensão x fadiga ( curva de Wohler) decresce uniformemente e linearmente ( 
num sistema de coordenadas log - log), em função do aumento do número de ciclos de aplicação da carga 
até atingir um patamar em aproximadamente 106 e 107 ciclos. Este patamar define o limite de resistência a 
fadiga do material (Se’). Para um nível de tensão abaixo deste valor, o material pode ser submetido a 
cargas dinâmicas indefinidamente sem que ocorra falha. Para os aços comuns, o limite de resistência a 
fadiga pode ser determinado por: 
Se’ = 0,5 Sut para Sut < 1400 MPa. 
Se’ = 700MPa para Sut > 1400 MPa. 
Note que nem todos os materiais apresentam este patamar. Muitos tipos de aços carbono, aços ligas, 
aços inox, ferros fundidos, ligas de molibdênio, titânio, e alguns polímeros apresentam esta característica. 
Porém, outros materiais tais como alumínio, magnésio, cobre, ligas de níquel, alguns aços inox, alguns 
aços carbono não apresentam o patamar mostrado na figura acima. A curva para estes materiais continua 
cair (linha tracejada). 
Para as aplicações onde é necessário definir uma tensão cuja vida seja inferior ou diferente de 106 
ciclos, esta tensão é chamada de tensão de fadiga (Sf’). Para expressar esta variável, utiliza-se no sub-
índice o termo "@1E5", representando neste exemplo que a tensão de fadiga esta associada a 105 ciclos 
de aplicação da carga. 
Exemplo: Sf’ @1E5 = 850MPa - A tensão de fadiga de 850 MPa corresponde a uma vida de 105 ciclos 
O alumínio não possui o Se’ porém seu limite de fadiga Sf’ é tomado como sendo aproximadamente 
5x108 ciclos. Então temos que para o alumínio: 
Sf’
 @5E8 = 0,4Sut para Sut < 330 MPa 
Sf’@5E8 = 130MPa para Sut > 330 MPa. 
1.5.3 Ensaio com força axial alternante 
Este tipo de ensaio é realizado com uma máquina hidráulica que produz forças normais de tração e 
compressão no corpo de prova. Deste modo, as tensões produzidas são tensões normais de tração e 
compressão. 
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Esta máquina pode realizar ensaios, combinando vários níveis de tensões médias e alternantes ou 
mesmo realizar o ensaio com σm = 0 (tensões totalmente reversas). 
Os resultados deste ensaio mostram níveis de tensão menores do que aqueles encontrados no teste de 
flexão alternante. 
Isto ocorre devido a maior probabilidade de micro trincas estarem presentes numa área maior 
submetida a um nível de tensão elevado. No caso do teste de flexão rotativa as maiores tensões ocorrem 
nas zonas externas do corpo de prova, devido a distribuição não uniforme de tensões. 
Alguns autores relatam que o limite de resistência a fadiga para cargas axiais é 10 a 30% menor do 
que aquele obtido a partir do ensaio de flexão alternante. A Figura 1.7 mostra os resultados para um aço 
SAE 1090 submetido aos dois tipos de ensaios. 
S f
’
 
 
Figura 1.7 - Gráfico tensão x vida 1-Ensaio com força axial alternante; 2-Ensaio de flexão alternante 
Adaptação feita a partir de Norton (1997) 
Norton (1997) mostra ainda que a curva tensão x vida apresenta duas inclinações ou duas zonas (0). 
Norton definiu a primeira região como FBC ( Fadiga a Baixo Ciclo) e a segunda como FAC (Fadiga a 
Alto Ciclo). Esta mudança na inclinação da curva ocorre para quase todos os materiais em 
aproximadamente 103 ciclos. 
Elementos de Máquinas I 20 
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S f
’
 
 
Figura 1.8 - Curva tensão x vida mostrando região FBC e FAC. Adaptação feita a partir de Norton (1997) 
1.5.4 Ensaio de flexão em viga engastada 
O ensaio de flexão em viga engastada é um teste mais barato que os anteriores, realizado em vigas 
engastadas. 
 
Figura 1.9 - Curva tensão x vida para alguns materiais. Ensaio de Flexão em viga engastada 
1.5.5 Ensaio de Fadiga Torcional 
Os ensaios de fadiga torcional são ensaios feitos em corpos de prova cilíndricos submetidos a cargas 
torcionais totalmente reversos. 
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Através de estudos de Sines, concluiu-se que o limite de resistência a fadiga tocional para materiais 
dúcteis pode-se relacionar com o limite de resistência a fadiga por flexão alternante da mesma forma que 
para cargas estáticas através da relação: 
Equação 1.4Ses’torção = 0,577 Se’ 
1.5.6 Fatores de correção da Resistência a Fadiga 
As informações das tensões de fadiga dos materiais ou tensões limites de resistência a fadiga para uma 
vida de 106 ciclos, são determinadas a partir de ensaios, já mencionados no item anterior. Os valores 
destas tensões podem ser encontrados em tabelas de resistência dos materiais ou então determinados a 
partir de fórmulas que dão bons resultados. 
Os testes de fadiga, são realizados em corpos de prova normalizados livres de concentração de 
tensões, com a superfície polida, cargas conhecidas e em ambientes com temperatura controlada. Porém a 
maior parte dos componentes mecânicos, se não todos, não apresentam as características do corpo de 
prova. Geralmente são confeccionados por algum processo de fabricação (usinagem, forjamento, 
laminação, fundição, etc...) que introduz riscos na peça e produz determinada rugosidade superficial, 
falhas interna, etc... Os componentes mecânicos possuem tamanhos diferentes do corpo de prova, além de 
formas diferentes de aplicação da carga. 
Todos estes fatores acabam diminuindo a tensão limite de resistência a fadiga da peça (Se) ou 
tensão de fadiga da peça (Sf) e devem ser determinados para fornecer resultados mais satisfatórios no 
projeto. Neste item, estaremos interessados em determinar os fatores de correção do limite de resistência a 
fadiga do material. 
Os valores de Se e Sf podem ser determinados pelas fórmulas abaixo: 
Equação 1.5 
'arg edadeConfiabiliaTemperaturSuperficieTamanhoaCe SCCCCCS ⋅⋅⋅⋅⋅= 
Equação 1.6 
'arg fdadeConfiabiliaTemperaturSuperficieTamanhoaCf SCCCCCS ⋅⋅⋅⋅⋅= 
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1.5.7 Valores teóricos de Se´ e Sf´ 
A Tabela 1.1 determina os valores teóricos da tensão limite de resistência a fadiga e tensão de fadiga 
de alguns materiais. 
Tabela 1.1 - Valores teóricos para Se’ e Sf’ 
Material Se’ ou Sf’ Faixa de 
validade 
Aço Se’ = 0,5 Sut Sut < 1400 MPa. 
 Se’ = 700MPa Sut ≥ 1400 MPa. 
Ferro Se’ = 0,4 Sut Sut < 400 MPa. 
 Se’ = 160MPa Sut ≥ 400 MPa. 
Alumínio Sf’ @5E8 = 0,4 Sut Sut < 330 MPa. 
 Sf’@5E8 = 130MPa Sut ≥ 330 MPa. 
Ligas de Cobre Sf’@5E8 = 0,4 Sut Sut < 280 MPa. 
 Sf’@5E8 = 100MPa Sut ≥ 280 MPa. 
 
 
1.5.8 Fator de correção do tipo de carga 
Como a maior parte dos ensaios realizados e os dados mostrados na Tabela 1.1 são obtidos a partir do 
ensaio de flexão altenante, há a necessidade de corrigir estes valores para solicitações diferentes da flexão 
através do fator de correção de carga (CCarga) através das relações encontradas na Tabela 1.2 
Tabela 1.2 - Fator de Correção do tipo de carga 
Tipo de Carga Fator CCarga 
Flexão 1,00 
Força axial 0,70 
Torção 1,00 
 
1.5.9 Fator de correção do tamanho da peça 
O corpo de prova utilizado no ensaio de fadiga possui diâmetro de aproximadamente 76,20 mm. Se a 
peça a ser projetada possuir um tamanho diferente deste, deve-se utilizar o fator de correção do tamanho 
da peça (CTamanho) para corrigir Se ou Sf. Conforme Norton (1997)], Shigley e Mitchell determinaram 
expressões indicadas na Tabela 1.3 para determinar CTamanho. 
 
 
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Tabela 1.3 - Fator de Correção do Tamanho da Peça 
Faixa de validade Fator CTamanho 
Para d ≤ 8,00 mm 1 
Para 8,00 ≤ d ≤ 250mm 097,0189,1 −⋅ d 
Para d> 250 mm 0,6 
 
A tabela acima foi determinada para aços. Seu uso é questionado para materiais não ferrosos. 
A Tabela 1.3 é válida para peças cilíndricas. Para outras formas, Kuguel sugere calcular um diâmetro 
equivalente (dequivalente) a partir da determinação de uma área na qual a tensão esta acima de 95% da tensão 
máxima. Esta área corresponde a uma casca situada entre (0,95 d) a (1,00 d), conforme indicada na figura 
abaixo. 
d
0,95 d
A = 0,0766d295
 
Figura 1.10 - Área cuja tensão esta acima de 95% da tensão máxima 
( )






⋅−
⋅=
4
95,0 22
95
ddA pi
 ou 
2
95 0766,0 dA ⋅= 
Assim, o diâmetro equivalente pode ser determinado por: 
Equação 1.7 0766,0
95Ad eequivalent =
 
onde A95 é a porção da área da seção transversal de uma peça não circular cuja tensão esta entre 95 e 
100 % da tensão máxima. Shigley e Mitchell sugerem o valor de A95 para algumas seções, ilustradas na 
Figura 1.11. 
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Figura 1.11 - Relações A95 para algumas seções. Adaptação feita a partir de Norton (1997 
1.5.10 Fator de correção do Acabamento Superficial da Peça 
Tensão de Resistência 
 
Figura 1.12 - Fator de Acabamento superficial. Adaptado a partir de Juvinall, 1983 
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As irregularidades superficiais, marcas deixadas nas superfícies das peças devido ao processo de 
usinagem, atuam como pequenos entalhes, e em conseqüência diminuem a resistência a fadiga. Logo, 
quanto mais polida for a superfície de uma peça, maior será sua resistência a fadiga. O fator que define o 
acabamento superficial é obtido a partir de tabelas e é denominado CSuperfície . O valor de CSuperfície é dado 
em função do acabamento superficial e da tensão de resistência estática do material σrt, para solicitações 
de tração, compressão e flexão. Quando a solicitação for torção o valor achado no gráfico deverá ser 
corrigido pela expressão: 
Equação 1.8 C* Superfície = 0,575 CSuperfície + 0,425 
Segundo Juvinall (1983) o fator CSuperfície para os aços pode ser determinado pelo gráfico mostrado na 
Figura 1.12. 
Para os ferros fundidos cinzentos, costuma-se utilizar CSuperfície = 1,00. 
1.5.11 Fator de correção da temperatura 
A resistência a fadiga diminui com o aumento da temperatura. 
Segundo Norton (1997), Shigley e Mitchell propuseram algumas fórmulas para determinar o fator de 
correção devido a temperatura (CTemperatura) as quais são indicadas na Tabela 1.4. Observe porém, que 
estas fórmulas são válidas somente para aços, não podendo ser utilizadas para outros materiais como 
alumínio, Magnésio e ligas de cobre. 
Tabela 1.4 - Fator de correção da temperatura para Aços 
Faixa de temperatura Fator CTemperatura 
Para T≤ 450 oC 1 
Para 450 oC <T≤ 550 oC 1 - 0,0058( T - 450 ) 
 
1.5.12 Fator de correção da Confiabilidade 
O fator de Confiabilidade (CConfiabilidade) é utilizado para projetar um componente de uma máquina 
sujeito a cargas de fadiga de modo que dure uma vida desejada com um determinado grau de 
confiabilidade. 
Conforme Shigley (1981), a Tabela 1.5, mostra os fatores de confiabilidade CConfiabilidade 
correspondentes a 8 % do Desvio-Padrão do Limite de resistência. 
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Tabela 1.5 - Fator de Confiabilidade CConfiabilidade correspondentes a 8% do Desvio-Padrão do Limite de 
Resistência 
C o nfiabilidade % Fato r C C onfiabilidade 
 
50 1 ,0 00 
90 0 ,8 97 
95 0 ,8 68 
99 0 ,8 14 
99 ,9 0 ,7 53 
99 ,99 0 ,7 02 
99 ,999 0 ,6 59 
 
1.6 INFLUÊNCIA DA COMBINAÇÃO DE TENSÕES MÉDIAS E ALTERNANTES 
A presença de tensões médias tem efeito significativo na falha por fadiga. Quando uma componente 
de tensão média é superposta a uma componente alternante, o material falhará a níveis de tensões 
alternantes menores do que aqueles submetidos a carga totalmente reversa. Esta afirmação de Norton 
(1997), pode ser visualizada na Figura1.13 onde se pode notar a linha de falha. 
 
-Sf’ 
+Sf’ 
Sy 
Sut 
 
Figura 1.13 - Várias tensões flutuantes axiais com suas iguais vidas. Adaptado a partir de Juvinall (1983) 
A partir de ensaios, realizados com combinações de cargas alternantes e médias pode-se desenvolver 
alguns diagramas, esquematizados nas Figura 1.14 e Figura 1.15. 
No diagrama modi-ficado de Goodman da 0, marca-se a tensão média no eixo das abscissas e todos 
os outros componentes de tensão no eixo das ordenadas, com as tensões de tração no sentido positivo. O 
limite de resistência a fadiga (Se’) ou tensões de fadiga (Sf’), são marcados no eixo das ordenadas, acima 
e abaixo da origem. A linha de tensão média está inclinada 45o e vai da origem ao ponto A, representando 
a resistência a tração da peça. O diagrama modificado de Goodman, consiste das linhas construídas 
unindo o ponto A, ao ponto Sf’, acima e abaixo da origem. 
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Sf’ 
Tensão máxima 
Tensão mínima 
Tensão média 
Sut 
Sy 
Te
n
sã
o
 
n
o
rm
al
 
(σ
) 
Tensão média (σm) 
Tr
aç
ão
 
Co
m
pr
es
sã
o
 
Sf’ 
Sut 
B 
Sy 
 
Figura 1.14 - Diagrama modificado de Goodman 
Outro diagrama de fadiga usado freqüentemente é o mostrado na Figura 1.15 . Nele marca-se também 
a tensão média no eixo das abscissas, tração a direita e compressão a esquerda. Porém, no eixo das 
ordenadas, marca-se somente a amplitude da tensão alternante. No eixo das ordenadas novamente é 
marcado qualquer uma das tensões de fadiga que se aplicam ao problema (Se´ e Sf´). No eixo das 
abscissas marca-se a tensão de escoamento e a tensão de ruptura a tração e compressão. 
 
Linha de Gerber 
Linha de Soderberg 
Linha de Goodman, modificada 
Tensão média (σm) Sut Sy -Sy Suc 
Tensão alternante (σa) 
Sf’ 
Tração Compressão 
 
Figura 1.15 - Critério de Falha segundo Gerber, Goodman e Soderberg 
Note que há uma grande dispersão dos dados mas a parábola intercepta σF no eixo das ordenadas e Sut 
no eixo das abscissas. Esta parábola é chamada linha ou gráfico de Gerber que expressa o resultado dos 
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testes com grande precisão. A linha que une as tensões de fadiga com a tensão de ruptura é chamada de 
linha ou gráfico de Goodman e esta linha é uma aproximação muito razoável para os parâmetros. O 
gráfico de Gerber ilustra a média dos valores obtidos nos ensaios, enquanto o linha de Goodman 
representa os valores mínimos. A linha de Goodman geralmente é usada como critério de projeto pois é 
mais segura que a linha de Gerber. A linha que une σF com σe é chamada de gráfico de Soderberg. 
Note observando a linha de Goodman, que quando a tensão média é tração, a maior parte dos pontos 
correspondentes as falhas cai acima dessa linha. No lado da compressão, entretanto, os pontos de falha 
mostram que não há influência da intensidade da tensão média. 
Nota-se que a linha de Goodman erra a favor da segurança e que a linha de Soderberg é ainda mais 
conservadora. 
O diagrama de Goodman modificado foi repetido na Figura 1.16, com o objetivo de mostrar todos os 
componentes de tensão e também a maneira pela qual ele será usado para a definição da falha. Quando a 
tensão média é de compressão, define-se a falha por duas linhas cheias paralelas, com origem em +Sf e -Sf 
e traçadas para baixo e para a esquerda. Quando as tensões médias são de tração, define-se a falha pela 
linha de tensão máxima ou pelo limite de escoamento indicado pela linha horizontal correspondente a 
ordenada σe. O diagrama de Goodman é particularmente importante para a análise, quando se conhecem 
todas as dimensões e quando se pode calcular com facilidade todos os componentes de tensão. Porém, é 
um tanto difícil usá-lo para projeto, quando as dimensões são desconhecidas. 
σ
σ
σ
σ
σ
σ
S
S
S
S
S
S
Tensão média
Te
ns
ão
 
m
éd
ia
m
a
f
a
máx
mín
ut
ut
y
y
f
f
Ten
são
 
máx
.
Te
ns
ão
 
m
ín.
+
Te
n
sã
o
0
Pa
ra
le
la
s
-
,
,
 
Figura 1.16 - Diagrama de Goodman Modificado 
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1.7 ENTALHES E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 
Se em um gráfico tensão-deformação plotarmos no mesmo a tensão de fadiga do material e a tensão 
de escoamento sob solicitação estática com suas respectivas deformações, notaremos que tanto a tensão 
de fadiga como a deformação ocasiona pela mesma são bem inferiores ao limite de escoamento. 
S
σ
S
S
ε ε ε (Deformação)
Limite de escoamento
,
 
Figura 1.17 - Gráfico Tensão x Deformação 
Como entalhes e descontinuidades propiciam o aparecimento de pontas de tensão, e estas mais 
facilmente alcançarão e ultrapassarão o limite de tensão de fadiga. Levado em consideração que peças 
sujeitas a cargas dinâmicas não sofrem deformações plásticas, ou seja, o limite de escoamento não é 
alcançado, no local do entalhe não haverá encruamento e conseqüente reforço do material. Assim sendo, 
toda vez que estas pontas de tensão alcancem ou ultrapassem o valor de Sf haverá o fissuramento e 
conseqüente rompimento da peça. Com todas estas considerações, chega-se a conclusão que entalhes e 
descontinuidades são prejudiciais para peças solicitadas dinamicamente. 
Conforme Norton (1997), Neuber desenvolveu vários estudos em 1937 e após publicou as equações 
para o fator de concentração de tensões a fadiga. Mais tarde Kuhn revisou as equações de Neuber e 
determinou uma constante, necessária nestas equações. Esta constante é chamada de fator de sensibilidade 
ao entalhe e aqui representada por "q". 
A sensibilidade ao entalhe de um material qualquer é definida pela relação: 
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Equação 1.9 1
1
−
−
=
t
f
K
K
q
 
Ou 
Equação 1.10 ( ) 11 +−⋅= tf KqK 
onde Kt é o fator de concentração de tensões para cargas estáticas e Kf o fator de concentração de 
tensões para cargas dinâmicas. O fator de sensibilidade ao entalhe varia entre 0 e 1. A equação acima, 
pode ser resolvida em termos de Kf, ficando como: 
Observação: O procedimento é determinar primeiro o fator de concentração de tensões Kt para uma 
determinada configuração geométrica da peça e tipo de carregamento. Estabelecer posteriormente o fator 
de sensibilidade ao entalhe para o material e aplica-lo na equação 12 para determinar o fator de 
concentração de tensões para cargas dinâmicas. As tensões dinâmicas para qualquer situação é então 
aumentada pela multiplicação do fator Kf com a devida tensão nominal: 
Equação 1.11 alNofK minσσ ⋅= ou alNofsK minττ ⋅= 
Note na equação acima que se q = 0, Kf = 1 e não há aumento da tensão nominal. Quando q = 1, Kf = 
Kt e o efeito máximo da concentração de tensões é levado em consideração. 
Quando o valor de Kf for zero significa que o entalhe não influi na resistência do material, e quando o 
valor for igual a Kt, tem o significado que o entalhe tem grande influência na resistência do mesmo. Pode 
ser determinado experimentalmente, embora não dependa somente do material, tipo de solicitação, forma 
do entalhe, mas também da fabricação desde a fundição. 
Na Tabela 1.6, encontram-se alguns valores usuais para q, porém, é preferível, determinar o fatorde 
entalhe, a partir das fórmulas de Kunn-Hardrath. 
Tabela 1.6 - Valores Usuais para q 
Material Fator q 
SAE 1015 normalizado 0,40 a 0,70 
SAE 1035 normalizado 0,50 a 0,85 
SAE 1070 normalizado 0,55 a 0,85 
Aço Cr. Ni. normalizado 0,65 a 0,75 
Aço Cr. Ni. Beneficiado 90Kgf/mm2 0,80 a 0,95 
Aço Mola Beneficiado 0,95 a 1,00 
Metais leves Forjados ou laminados 0,40 a 0,80 
 
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A fórmula de Kunn-Hardrath que define a sensibilidade ao entalhe em termos da constante de 
Neuber e do raio do entalhe ambos expressos em polegadas é : 
Equação 1.12 
r
a
q
+
=
1
1
 
A constante de Neuber é definida nas seguintes tabelas: Tabela 1.7, 
Tabela 1.8 e Tabela 1.9. 
Tabela 1.7 - Constante de Neuber para Aço 
Sut (MPa) 0,5in a 
345 0,130 
380 0,118 
414 0,108 
482 0,093 
550 0,080 
620 0,070 
690 0,062 
759 0,055 
827 0,049 
896 0,044 
965 0,039 
1103 0,031 
1240 0,024 
1380 0,018 
1517 0,013 
1655 0,009 
 
Tabela 1.8 - Constante de Neuber para Alumínio 
recozido 
Sut (MPa) 0,5in a 
90 0,500 
104 0,341 
138 0,264 
173 0,217 
207 0,180 
241 0,152 
276 0,126 
310 0,111 
 
Tabela 1.9 - Constante de Neuber para Alumínio 
endurecido 
Sut (MPa) 0,5in a 
104 0,475 
138 0,380 
207 0,278 
276 0,219 
345 0,186 
415 0,162 
483 0,144 
552 0,131 
620 0,122 
 
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1.7.1 Fator de Concentração de Tensões aplicado a tensões médias e Alternantes 
A componente de tensão alternativa (σa) é tratada da mesma forma que para o caso das tensões 
totalmente reversas. Isto significa que o fator de concentração de tensões Kt. é encontrado, a sensibilidade 
ao entalhe é determinada bem como o fator de concentração de tensões a fadiga Kf. O valor da tensão σa é 
determinado para ser utilizado no diagrama modificado de Goodman. 
A componente de tensão média (σm) é tratada diferentemente, dependendo da ductilidade ou 
fragilidade do material e se dúctil, da possibilidade de apresentar escoamento no entalhe. Se o material é 
frágil, é empregado o valor completo do fator de concentração de tensões Kt e é usualmente aplicado 
sobre o valor da tensão média nominal, com o objetivo de determinar a tensão local no entalhe ou seja, é 
utilizado o valor de tfm KK = . Se o material é dúctil, Dowling sugere o uso de uma das três 
aproximações baseadas nos estudos de Juvinal. Estas aproximações dependem da relação entre a tensão 
máxima local e a tensão de escoamento do material dúctil. 
O fator de concentração de tensões médias de fadiga Kfm é definido, baseado no nível de tensões 
médias locais na região de concentração de tensões, versus a resistência ao escoamento do material. Neste 
caso, três situações possíveis podem ocorrer: 
Equação 1.13 Se efK σσ <⋅ max então ffm KK = 
Equação 1.14 Se efK σσ >⋅ max então 
m
afe
fm
K
K
σ
σσ ⋅−
=
 
Equação 1.15 Se efK σσσ <−⋅ minmax então 0=fmK 
1.8 CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA TENSÃO X VIDA 
Segundo Carvalho et al (1978), salvo indicação em contrário, o valor da tensão de fadiga a ser adotado 
nos projetos mecânicos encara sempre o caso de vida infinita, ilimitada, com o uso da tensão limite de 
resistência a fadiga para a peça (Se). Há casos porém, em que a limitação imposta a vida de uma peça 
permite calcular com valor da resistência a fadiga diferente do correspondente para vida infinita. 
Para estes casos, há a necessidade de traçar o diagrama tensão x deformação, para determinar a 
resistência do material para uma vida imposta. 
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As equações para determinar Se ou Sf, já citadas em item anterior são usadas para determinar a curva de 
resistência do material para a vida compreendida entre 103 a 106 ciclos (FAC). Considera-se que a 
resistência a fadiga para uma vida de 103 ciclos seja representada por Sf @1E3 e testes realizados em corpos 
de prova permitem determinar com boa precisão este valor pelas equações mostradas na Tabela 1.10. 
Tabela 1.10 - Fórmulas para determinar a resistência a fadiga para vida de 103 ciclos 
Tipo de 
Solicitação 
Sf @1E3 
Flexão 0,90 Sut 
Força axial 0,75 Sut 
 
Na Figura 1.18 encontra-se o diagrama Tensão x Vida para um material que apresenta o limite de 
resistência a fadiga da peça para uma vida infinita (Se). Para ambos os diagramas, o eixo das abscissas 
inicia com N1 = 103 ciclos até N = 109 ciclos. O ponto A sobre eixo das ordenadas é determinado a partir 
das coordenadas ( N1, Sf @1E3. Com as coordenadas (N2 , Se) é determinado o ponto B para o material que 
possui a curva assintótica, isto é, apresenta o Se para uma vida infinita. O diagrama de Tensão x Vida 
mostrado na Figura 1.18, é determinado, traçando uma linha de resistência, entre o ponto A e B e a partir 
do ponto B, uma linha horizontal. 
S
S
10 10 10 10 10 10 103 4 5 6 7 8
9
Lo
g 
Te
n
sã
o
 
de
 
Fa
di
ga
Log Número de ciclos
A
B
Linha de resistência a fadiga
N N1 2
 
Figura 1.18 - Curva Tensão x Vida 
A tensão Sf@N que representa a tensão de resistência a fadiga para vida N é dada por: 
Equação 1.16 
b
Nf NaS ⋅=@ 
onde: 
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Equação 1.17 





⋅
−
=
e
Ef
S
S
NLogN
b 31@
21
log)()log(
1
 
e 
Equação 1.18 ( ) ( )131@ logloglog NbSa Ef ⋅−= 
1.9 CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA MODIFICADO DE GOODMAN 
A Figura 1.19 ilustra o diagrama formado pelas tensões alternantes σa versus tensões médias σm, o 
qual chamaremos de diagrama modificado de Goodman. Neste diagrama, podemos visualizar também a 
linha de escoamento, bem como a região de tensões compressivas. Vários pontos de falha podem ser 
visualizados no diagrama. Sobre o eixo das tensões médias estão indicadas a tensão de resistência estática 
a compressão Suc (Ponto A), a tensão de escoamento Sy (Ponto E) e a tensão de resistência estática a 
tração Sut (Ponto F). No eixo das tensões alternantes está representado o ponto de tensão limite de ruptura 
a fadiga da peça Se ou Sf (Ponto C) e a tensão de escoamento Sy (Ponto G). O diagrama modificado de 
Goodman é usualmente traçado para uma vida infinita, usando Se, porém pode ser traçado para qualquer 
vida Sf. 
S
S
S S
S S
σ
σ
TraçãoCompressão y
y
yc ut
e f
m
a
A
B C
D
E F
ou
 
1=
′
+
′
y
a
y
m
SS
σσ
1=
′
+
′
e
a
ut
m
SS
σσ
1=
′
+
′
−
yc
a
yc
m
SS
σσ
ea S=
,'σ
 
Figura 1.19 - Diagrama Modificado de Goodman 
A linha que define a falha, pode ser desenhada, conectando vários pontos do diagrama. A linha CF é a 
linha de Goodman e pode ser estendida a região de compressão, e em função da segurança, nesta região a 
linha CB representa a linha de falha 
Na região de tração (1o quadrante ), a linha GE define o escoamento estático e a linha de falha 
definida pela linha CD. Se a componente média de tensão for muito grande, e a componente de tensão 
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alternantemuito pequena, sua combinação poderá definir um ponto na região DEF que estará seguro em 
relação a linha modificada de Goodman, porém escoará no primeiro ciclo de aplicação da carga. Por este 
motivo a linha de falha será definida por ABCDEA. Qualquer combinação de tensões médias e 
alternantes situadas dentro deste envelope estarão seguras, e pontos fora estarão sujeitos a falha. 
Para determinar o fator de segurança, para qualquer estado de tensão flutuante, necessita-se definir as 
expressões que determinam o envelope de falhas, conforme mostrado na figura acima. A linha AG, define 
o escoamento a compressão e sua expressão é: 
Equação 1.19 1=
′
+
′
−
yc
a
yc
m
SS
σσ
 
A linha BC define a falha com relação as tensões compressivas médias: 
Equação 1.20 faea SS =′=′ σσ ou 
A linha CF define a falha por fadiga com tensões médias de tração e é representada pela expressão 
matemática: 
Equação 1.21 1=
′
+
′
e
a
ut
m
SS
σσ
 
A linha GE define tensões de escoamento e é representada por: 
Equação 1.22 1=
′
+
′
y
a
y
m
SS
σσ
 
Todas estas equações estão indicadas na Figura 1.19. 
1.10 TEORIAS DE FALHA DINÂMICA 
Conforme indicado na Figura 1.20 as teorias de falhas que podem ser aplicadas no projeto de peças 
sujeitas a cargas dinâmicas são basicamente a critério de Gerber, o critério modificado de Goodman e 
o critério de Soderberg. Muitas vezes, utiliza-se como critério de falha, a linha ABD de modo a limitar a 
falha por escoamento da peça. 
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SS σ
σ
S
S
para
uty
a
m
y
f
Linha de Gerber
Linha de Soderberg
Linha de Goodman, modificada
A
B
CD
 
Figura 1.20 - Diagramas de Fadiga 
O diagrama modificado de Goodman é particularmente útil para análise, quando se conhecem todas as 
dimensões e quando se pode calcular com facilidade todos os componentes de tensão. Porém é um tanto 
difícil usá-lo para projeto, quando as dimensões são desconhecidas. 
Analisando a Figura 1.20 , podemos verificar que o gráfico de Gerber indica melhor os resultados da 
falha experimental, enquanto o gráfico de Goodman modificado ajusta os pontos mais baixos dos 
resultados experimentais. Ambos os gráficos interceptam o eixo das ordenadas em Se ou Sf e o eixo das 
abscissas em Sut. A linha conectando o ponto de escoamento Sy em ambos os eixos serve como limite 
para os primeiros ciclos de deformação ( se a peça escoar, falhará). O diagrama de Soderberg interliga Se 
ou Sf com a tensão de escoamento do material Sy e é a teoria da falha mais conservadora. 
Os gráficos esquematizados na Figura 1.19 podem ser representados pelas seguintes equações: 
Parábola de Gerber 
Equação 1.23 12
2
=+
ut
m
e
a
SS
σσ
 
Gráfico de Goodman modificado 
Equação 1.24 1=+
ut
m
e
a
SS
σσ
 
Gráfico de Soderberg 
Equação 1.25 1=+
y
m
e
a
SS
σσ
 
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Há basicamente 4 categorias que devem ser tratadas separadamente no projeto de componentes 
mecânicos, sendo que as três primeiras são casos especiais do quarto caso. 
A Figura 1.21 ilustra as quatro categorias. 
 Totalmente 
alternante 
0=mσ
 
Flutuante 
0≠mσ
 
 
Tensões 
Unidirecionais 
 
Categoria I 
 
 
Categoria II 
 
Tensões 
Bidirecionais 
 
Categoria III 
 
 
Categoria IV 
 
Figura 1.21 - Categorias para projeto sob cargas dinâmicas 
Os métodos que serão apresentados para dimensionamento e projeto de elementos mecânicos sujeitos 
a cargas dinâmicas combinam todos os tipos de solicitações (tração, flexão, torção ou cisalhamento) 
através do cálculo da tensão efetiva de von Misses e pela comparação desta com as tensões limites de 
resistência a fadiga da peça. 
Estes procedimentos permitirão que o estudante ou engenheiro trabalhe com um conjunto de métodos 
que podem ser aplicados para a maior parte dos projetos envolvendo cargas dinâmicas. 
Vale lembrar que o uso de ferramentas computacionais é de vital importância para o desenvolvimento 
destes projetos, uma vez que muitas interações devem ser efetuadas para otimizar os cálculos. 
1.10.1 Cargas totalmente Alternantes com tensões Unidirecionais 
Este é praticamente o caso mais simples de carga dinâmica. Nesta categoria, a carga é totalmente 
reversa (alternante) ou seja, com tensão média igual a zero. Algumas aplicações são: Eixos rotativos 
submetidos a flexão sujeitos a carga estática, torque reverso em eixos. 
Esta situação é indicada na Figura 1.22. Note que como a carga é totalmente alternante, (σm = 0 ) as 
tensões desenvolvidas estarão sempre situadas sobre a linha das ordenadas. Então, usando a teoria de von 
Misses Henry, determinamos a tensão alternante equivalente e em seguida o coeficiente de segurança 
utilizando as relações: 
Equação 1.26 
a
e
f
SN
σ ′
=
 ou 
a
f
f
S
N
σ ′
=
 
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e
y ut
y
f
σ
σ
Tensão média m
a
Linha de Gerber
Linha de Soderberg
Linha de Goodman, modificada
ou
A tensão desenvolvida
encontra-se sob o eixo 
das ordenadas pois é
totalmente alternante
’
Nf
 
Figura 1.22 - Diagrama de Tensões médias x Tensões Alternantes mostrando tensão totalmente alternante 
1.10.2 Cargas Flutuantes com Tensão Unidirecional 
As cargas repetidas ou flutuantes não possuem a componente de tensão média igual a zero, e isto deve 
ser levado em consideração na determinação do fator de segurança. Esta situação contendo combinação 
de cargas alternantes e médias é muito comum no projeto de máquinas. 
A Figura 1.23 mostra quatro situações do diagrama de Goodman modificado, onde no ponto Z tem-
se uma combinação de tensões de von Mises médias e alternantes representando uma peça submetida a 
tensões flutuantes. O fator de segurança, para qualquer estado de cargas flutuantes, dependerá da maneira 
na qual a tensão média e alternante podem variar uma em relação a outra em serviço. As quatro possíveis 
situações são: 
Situação 1: A tensão alternante permanecerá constante ao longo da vida da peça, mas a tensão média 
poderá aumentar em função de modificações das condições de serviço. (Linha YQ na Figura 1.23.a); 
Situação 2: A tensão média permanecerá constante ao longo da vida da peça, mas a tensão alternante 
poderá aumentar em função de modificações das condições de serviço. (Linha XP na Figura 1.23.b); 
Situação 3: A tensão média e alternante poderão aumentar em função de modificações das condições 
de serviço, porém a relação entre elas sempre permanecerá constante. (Linha OR na Figura 1.23.c); 
Situação 4: A tensão média e alternante poderão aumentar em função de modificações das condições 
de serviço, porém não se conhece a relação entre seus incrementos. (Linha ZS na Figura 1.23.d). 
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