Elementos de máquinas

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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA 
 
 
 
ELEMENTOS DE 
MÁQUINAS I 
 
 
 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
 
 
Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008 
Elementos de Máquinas I ii 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA 
 
 
 
Disciplina de: 
ELEMENTOS 
DE 
MÁQUINAS I 
 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
 
Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008 
 
Este material foi elaborado para a disciplina de Elementos de Máquinas I do curso de 
Engenharia de Produção Mecânica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa Catarina 
Campus de Joaçaba 
O trabalho apresenta citações dos autores pesquisados e referências bibliográficas, constituindo-
se em uma ótima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre os elementos de máquinas. 
No mesmo são tratados assuntos como: analise de tensões, solicitações estáticas, solicitações 
dinâmicas, eixos e árvores, parafusos de fixação e movimento, ligações entre cubo e eixo, 
lubrificação industrial, mancais de deslizamento e mancais de rolamento. 
Tem a finalidade de proporcionar aos acadêmicos o conteúdo básico da disciplina, com o intuito 
de melhorar o aproveitamento dos mesmos. 
Qualquer sugestão com referência ao presente trabalho, serão aguardadas, pois assim pode-se 
melhorá-lo com futuras modificações. 
Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
 
Elementos de Máquinas I iv 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
DOUGLAS ROBERTO ZAIONS 
Engenheiro Mecânico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 1994 iniciou 
o curso de especialização em Engenharia Mecânica na Universidade Federal de Santa Catarina obtendo o 
grau de Especialista em Engenharia Mecânica. Em 2003 concluiu o curso de Mestrado em Engenharia de 
Produção na Universidade Federal do Rio Grande do Sul na área de concentração de Gerência, 
desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidação da Metodologia da Manutenção Centrada em 
Confiabilidade em uma Planta de Celulose e Papel. Atualmente é doutorando do curso de Engenharia 
Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina na área de concentração de Projeto de Sistemas 
Mecânicos. 
Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produção Mecânica de março/2000 até março/2006 e do 
Curso de Tecnologia em Processos Industriais – Modalidade Eletromecânica de março/2000 até 
Junho/2002 da UNOESC – Joaçaba. 
Conselheiro Estadual e membro da Câmara Especializada de Engenharia Industrial do Conselho 
Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, CREA – SC no período 
de janeiro de 2001 até dezembro de 2003. Também foi Diretor do CREA – SC no período de janeiro de 
2002 até dezembro de 2002. 
Doze anos de docência em cursos técnicos, tecnológicos, engenharia e especialização na área 
mecânica. 
Professor de várias disciplinas da área de projetos nos cursos Técnico em Mecânica e Eletromecânica 
do SENAI – CET Joaçaba. 
É Professor do curso de Engenharia de Produção Mecânica da UNOESC – Joaçaba onde atua nas 
disciplinas de Resistência dos Materiais, Elementos de Máquinas, Mecanismos, Processos de Usinagem e 
Comando Numérico, Pesquisa Operacional, Projeto de Máquinas e Manutenção Mecânica. É também 
pesquisador nas áreas de Projeto e Manutenção Industrial. 
Professor dos cursos de Especialização em Engenharia de Manutenção Industrial e Gestão da 
Produção da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando respectivamente a disciplina de 
Manutenção de Elementos de Máquinas e Gestão da Manutenção. No curso de Especialização em 
Projetos de Sistemas Mecânicos atua nas disciplinas de Metodologia de Projeto de Sistemas Mecânicos e 
Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade. 
É perito técnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas áreas automotiva e industrial na busca de causa 
raiz de falhas. 
Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina – Campus de Joaçaba 
 e-mail: douglas.zaions@unoesc.edu.br 
 Fone/Fax: (49) 3551 - 2035 
 
 
ÍNDICE 
1  ANÁLISE DE TENSÕES ............................................................................................................................................ 11 
1.1  PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO ........................................................................................... 11 
1.2  INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 11 
1.3  DEFINIÇÕES ........................................................................................................................................................... 12 
1.3.1  Tensão ......................................................................................................................................................... 12 
1.3.2  Diagrama Tensão-Deformação .................................................................................................................. 13 
1.3.3  Ductilidade .................................................................................................................................................. 17 
1.3.4  Maleabilidade ............................................................................................................................................. 18 
1.3.5  Dureza ......................................................................................................................................................... 18 
1.3.6  Resiliência ................................................................................................................................................... 18 
1.3.7  Tenacidade .................................................................................................................................................. 18 
1.4  TENSÕES ............................................................................................................................................................... 19 
1.4.1  Tensão Normal de Tração ou Compressão ................................................................................................. 19 
1.4.2  Tensão de Corte devido ao Cisalhamento Simples ..................................................................................... 19 
1.4.3  Tensão Normal na Flexão ........................................................................................................................... 21 
1.4.4  Tensão de Cisalhamento na Torção ............................................................................................................ 21 
1.4.5  Tensão de Cisalhamento na Flexão ............................................................................................................ 22 
1.5  ANÁLISE DE TENSÕES ........................................................................................................................................... 23 
1.5.1  Tensões Principais ...................................................................................................................................... 25 
1.5.2  Círculo de Mohr .......................................................................................................................................... 28 
1.6  EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 30 
2  SOLICITAÇÕES ESTÁTICAS ..................................................................................................................................33 
2.1  PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO ........................................................................................... 33 
2.2  INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 33 
2.3  TEORIAS PARA FALHAS ESTÁTICAS ........................................................................................................................ 34 
2.3.1  Teoria da Tensão Normal Máxima ............................................................................................................. 35 
2.3.2  Teoria da Tensão Máxima de Cisalhamento ............................................................................................... 37 
2.3.3  Teoria de Huber-von Mises - Hencky ou da Máxima Energia de Distorção .............................................. 41 
2.3.4  Comparação entre as três teorias aplicadas a materiais Dúcteis .............................................................. 43 
2.3.5  Teoria de Coulomb Mohr ............................................................................................................................ 43 
2.3.6  Teoria de Mohr Modificada ........................................................................................................................ 44 
2.4  CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ............................................................................................................................... 46 
2.4.1  Efeito da Concentração de Tensões em materiais dúcteis .......................................................................... 48 
2.4.2  Efeito da Concentração de Tensões em materiais frágeis .......................................................................... 48 
2.5  EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 55 
3  SOLICITAÇÕES DINÂMICAS ................................................................................................................................. 57 
3.1  PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO ........................................................................................... 57 
Elementos de Máquinas I vi 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
3.2  INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 58 
3.3  TIPOS DE CARGA DINÂMICAS ................................................................................................................................. 58 
3.3.1  Carga Repetida ........................................................................................................................................... 58 
3.3.2  Carga Alternante ........................................................................................................................................ 59 
3.3.3  Carga Flutuante .......................................................................................................................................... 60 
3.4  MECANISMO DA FALHA POR FADIGA ..................................................................................................................... 61 
3.5  MEDIÇÃO DAS FALHAS POR FADIGA ...................................................................................................................... 62 
3.5.1  Ensaio de flexão alternante - Tensões totalmente reversas ........................................................................ 62 
3.5.2  Tensão limite de Resistência a Fadiga ........................................................................................................ 65 
3.5.3  Ensaio com força axial alternante .............................................................................................................. 65 
3.5.4  Ensaio de flexão em viga engastada ........................................................................................................... 67 
3.5.5  Ensaio de Fadiga Torcional ....................................................................................................................... 67 
3.5.6  Fatores de correção da Resistência a Fadiga ............................................................................................ 68 
3.5.7  Valores teóricos de Se´ e Sf´ ........................................................................................................................ 69 
3.5.8  Fator de correção do tipo de carga ............................................................................................................ 69 
3.5.9  Fator de correção do tamanho da peça ...................................................................................................... 69 
3.5.10  Fator de correção do Acabamento Superficial da Peça ............................................................................. 71 
3.5.11  Fator de correção da temperatura .............................................................................................................. 72 
3.5.12  Fator de correção da Confiabilidade ......................................................................................................... 72 
3.6  INFLUÊNCIA DA COMBINAÇÃO DE TENSÕES MÉDIAS E ALTERNANTES .................................................................... 73 
3.7  ENTALHES E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ........................................................................................................... 76 
3.7.1  Fator de Concentração de Tensões aplicado a tensões médias e Alternantes ............................................ 79 
3.8  CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA TENSÃO X VIDA ..................................................................................................... 79 
3.9  CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA MODIFICADO DE GOODMAN ................................................................................... 81 
3.10  TEORIAS DE FALHA DINÂMICA ............................................................................................................................. 82 
3.10.1  Cargas totalmente Alternantes com tensões Unidirecionais....................................................................... 84 
3.10.2  Cargas Flutuantes com Tensão Unidirecional ........................................................................................... 85 
3.10.3  Projetando para tensões multiaxiais na fadiga ........................................................................................... 89 
3.10.4  Cargas totalmente alternantes com tensões multiaxiais ............................................................................. 89 
3.10.5  Cargas Flutuantes com Tensões multiaxiais ............................................................................................... 90 
3.11  EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 93 
4  EIXOS E ÁRVORES ................................................................................................................................................... 95 
4.1  INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 95 
4.2  DEFINIÇÕES ........................................................................................................................................................... 95 
4.3  MATERIAIS PARA CONSTRUÇÃO DE EIXOS ............................................................................................................. 96 
4.4  TENSÕES EM EIXOS E ÁRVORES ............................................................................................................................96 
4.5  FALHA DE EIXOS COM TENSÕES COMBINADAS ..................................................................................................... 98 
4.6  PROJETO DE EIXOS ................................................................................................................................................. 99 
4.6.1  Regras Gerais para o projeto de eixos ....................................................................................................... 99 
4.6.2  Projeto de Árvores combinando Flexão alternante e Torção Constante .................................................. 100 
4.7  PROJETO DE EIXOS COMBINADO FLEXÃO FLUTUANTE E TORÇÃO FLUTUANTE ................................................... 103 
 
4.8  VELOCIDADE CRÍTICA DE EIXOS E ÁRVORE ........................................................................................................ 104 
4.8.1  Vibração lateral forçada ........................................................................................................................... 105 
4.8.2  Vibrações auto-excitadas .......................................................................................................................... 106 
4.9  EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 108 
5  PARAFUSOS DE FIXAÇÃO.................................................................................................................................... 114 
5.1  INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................... 114 
5.2  VANTAGEM E DESVANTAGEM DAS UNIÕES PARAFUSADAS................................................................................. 115 
5.3  TERMINOLOGIA DE ROSCAS ................................................................................................................................ 117 
5.3.1  Rosca Whiworth ........................................................................................................................................ 118 
5.3.2  Rosca Sellers ............................................................................................................................................. 118 
5.3.3  Rosca Métrica ........................................................................................................................................... 118 
5.3.4  Padronização ............................................................................................................................................ 119 
5.4  ERROS QUE PODEM OCORRER NOS AJUSTES ROSCADOS ...................................................................................... 121 
5.4.1  Erro de Passo ............................................................................................................................................ 121 
5.4.2  Erro no ângulo de Flancos α .................................................................................................................... 121 
5.4.3  Erro do diâmetro de Flancos(efetivo) ....................................................................................................... 122 
5.5  TIPOS DE PARAFUSOS .......................................................................................................................................... 123 
5.5.1  Parafuso passante normal ........................................................................................................................ 123 
5.5.2  Parafuso com Cabeça ............................................................................................................................... 123 
5.5.3  Parafuso Prisioneiro ................................................................................................................................. 124 
5.5.4  Parafuso com porca nas duas extremidades ............................................................................................. 125 
5.5.5  Parafuso com cabeça de embutir .............................................................................................................. 125 
5.5.6  Parafusos com fenda na cabeça ................................................................................................................ 126 
5.5.7  Parafusos de Alta Resiliência ................................................................................................................... 126 
5.5.8  Parafusos Chumbadores ........................................................................................................................... 126 
5.5.9  Parafusos para Metais Leves .................................................................................................................... 127 
5.5.10  Parafusos de Anel ..................................................................................................................................... 127 
5.5.11  Parafusos para madeira............................................................................................................................ 128 
5.5.12  Parafusos auto-atarraxantes ..................................................................................................................... 128 
5.5.13  Parafusos diferenciais .............................................................................................................................. 128 
5.6  PROCESSOS DE FABRICAÇÃO DE ROSCAS ............................................................................................................. 129 
5.7  MATERIAIS DAS ROSCAS DOS PARAFUSOS ........................................................................................................... 129 
5.8  RESISTÊNCIA DOS PARAFUSOS DE FIXAÇÃO ........................................................................................................ 130 
5.9  ÁREA RESISTENTE A TRAÇÃO ............................................................................................................................. 133 
5.10  PRÉ-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A TRAÇÃO .......................................................................................... 134 
5.11  PRÉ-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A CARGAS ESTÁTICAS ......................................................................... 137 
5.12  PRÉ-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A CARGAS DINÂMICAS ........................................................................ 141 
5.13  DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA DO MATERIAL .................................................................................. 143 
5.14  TORQUE DE APERTO ............................................................................................................................................ 144 
5.15  SEGURANÇA CONTRA AFROUXAMENTO ............................................................................................................... 145 
5.15.1  Segurança de força ................................................................................................................................... 145 
Elementos de Máquinas I viii 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
5.15.2  Segurança de Forma ................................................................................................................................. 147 
5.15.3  Recomendação prática para parafusos prisioneiros ou sem cabeça ........................................................ 149 
5.15.4  Ligações por múltiplos parafusos ............................................................................................................. 149 
5.16  AUMENTO DA RESISTÊNCIA À FADIGA EM LIGAÇÕES PARAFUSADAS ................................................................... 150 
5.16.1  Alívio do primeiro filete carregado ...........................................................................................................150 
5.16.2  Arredondamento da união da cabeça com haste ...................................................................................... 151 
5.16.3  Angulo de saída da rosca .......................................................................................................................... 151 
5.16.4  Redução das pontas de tensão na raiz da rosca ....................................................................................... 151 
5.16.5  laminação da rosca; ................................................................................................................................. 152 
5.16.6  Comprimento livre da rosca ..................................................................................................................... 152 
5.16.7  Passo ......................................................................................................................................................... 152 
5.16.8  Acabamento superficial ............................................................................................................................ 152 
5.16.9  Fator de mola ............................................................................................................................................ 152 
5.16.10  Pré-carga .................................................................................................................................................. 152 
5.16.11  Número de parafusos ................................................................................................................................ 152 
6  PARAFUSOS DE MOVIMENTO ............................................................................................................................ 153 
6.1  INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................... 153 
6.2  ANÁLISE DE FORÇA, TORQUE E POTÊNCIA PARA ACIONAMENTO DOS PARAFUSOS DE MOVIMENTO .................... 154 
6.2.1  Rosca Quadrada ....................................................................................................................................... 154 
6.2.2  Rosca trapezoidal ou ACME ..................................................................................................................... 157 
6.3  CONDIÇÃO DE AUTO-TRAVAMENTO DA ROSCA .................................................................................................... 158 
6.4  EFICIÊNCIA DO PARAFUSO ................................................................................................................................... 158 
7  LIGAÇÃO ENTRE CUBO E EIXO......................................................................................................................... 159 
7.1  INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................... 159 
7.2  CHAVETAS .......................................................................................................................................................... 159 
7.2.1  Tipos de Chavetas ..................................................................................................................................... 159 
7.2.2  Tensões nas Chavetas ............................................................................................................................... 161 
7.3  EIXOS RANHURADOS ........................................................................................................................................... 165 
7.3.1  Compressão no cubo ................................................................................................................................. 165 
7.4  LIGAÇÃO POR AJUSTE PRENSADO CILÍNDRICO ..................................................................................................... 166 
7.4.1  Determinação da Pressão Máxima ........................................................................................................... 167 
7.4.2  Prensagem ou Martelamento .................................................................................................................... 174 
7.4.3  Ajuste Prensado por Aquecimento/Esfriamento ....................................................................................... 175 
7.5  AJUSTE PRENSADO CÔNICO ................................................................................................................................. 176 
7.5.1  Determinação das Interferências. ............................................................................................................. 176 
7.5.2  Força Axial de Montagem - Pa.................................................................................................................. 177 
7.5.3  Conicidade Recomendada ......................................................................................................................... 179 
7.5.4  Deslocamento Axial .................................................................................................................................. 179 
7.6  EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 182 
8  LUBRIFICAÇÃO INDUSTRIAL ............................................................................................................................ 184 
 
8.1  LUBRIFICAÇÃO .................................................................................................................................................... 184 
8.1.1  Tipos de Lubrificação ............................................................................................................................... 184 
8.2  SUBSTÂNCIAS LUBRIFICANTES ............................................................................................................................ 187 
8.2.1  Lubrificantes líquidos ............................................................................................................................... 188 
8.2.2  Lubrificantes Pastosos .............................................................................................................................. 188 
8.2.3  Lubrificantes Sólidos ................................................................................................................................ 189 
8.3  LUBRIFICANTES LÍQUIDOS .................................................................................................................................. 189 
8.3.1  Óleos Minerais .......................................................................................................................................... 189 
8.3.2  Óleos Graxos ............................................................................................................................................ 191 
8.3.3  Óleos Sintéticos ......................................................................................................................................... 192 
8.3.4  Pastas Lubrificantes .................................................................................................................................. 193 
8.3.5  Ceras Lubrificantes ................................................................................................................................... 194 
8.4  PROPRIEDADES DOS LUBRIFICANTES ................................................................................................................... 195 
8.4.1  Propriedades Físicas ................................................................................................................................ 195 
8.4.2  Propriedades Químicas ............................................................................................................................198 
8.4.3  Propriedades Práticas .............................................................................................................................. 199 
8.4.4  Propriedades específicas das Graxas Lubrificantes ................................................................................. 201 
8.5  LUBRIFICANTES DO SETOR ALIMENTÍCIO ............................................................................................................ 204 
8.5.1  Leis de Regulamentação ........................................................................................................................... 204 
8.5.2  Considerações sobre a lubrificação no setor alimentício ......................................................................... 206 
8.5.3  Lubrificantes de alto rendimento do setor alimentício ............................................................................. 210 
8.5.4  Qualidade através de GMP e HACCP ...................................................................................................... 212 
8.6  ORGANIZAÇÃO DA LUBRIFICAÇÃO ...................................................................................................................... 214 
8.6.1  Fase da Implantação ................................................................................................................................. 214 
8.6.2  Controle .................................................................................................................................................... 219 
8.6.3  Manuseio e Armazenagem de Lubrificantes ............................................................................................. 221 
8.6.4  Reciclagem dos Óleos Usados .................................................................................................................. 224 
9  MANCAIS DE DESLIZAMENTO .......................................................................................................................... 226 
9.1  TIPOS DE MANCAIS .............................................................................................................................................. 227 
9.1.1  Mancais Radiais........................................................................................................................................ 227 
9.1.2  Mancais Axiais ou de Escora .................................................................................................................... 228 
9.2  COEFICIENTE DE ATRITO ..................................................................................................................................... 230 
9.3  MECÂNISMO DE FORMAÇÃO DA PELÍCULA ......................................................................................................... 232 
9.4  TEORIA HIDRODINÂMICA ..................................................................................................................................... 235 
9.5  MÓDULO DO MANCAL ......................................................................................................................................... 237 
9.6  CONSIDERAÇÕES SOBRE A TEMPERATURA ........................................................................................................... 239 
9.7  EQUILÍBRIO TÉRMICO .......................................................................................................................................... 241 
9.8  MATERIAIS .......................................................................................................................................................... 242 
9.9  PROJETO DE MANCAL.......................................................................................................................................... 244 
9.10  TABELAS E ÁBACOS PARA UTILIZAÇÃO EM MANCAIS DE DESLIZAMENTO ......................................................... 248 
9.11  EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 254 
Elementos de Máquinas I x 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
10  MANCAIS DE ROLAMENTO ............................................................................................................................ 255 
10.1  TIPOS DE MANCAIS DE ROLAMENTO ................................................................................................................... 256 
10.2  ATRITO NOS MANCAIS DE ROLAMENTO .............................................................................................................. 259 
10.3  SELEÇÃO DE ROLAMENTOS SEGUNDO A ISO ....................................................................................................... 260 
10.3.1  Carga Dinâmica Equivalente .................................................................................................................... 264 
10.4  SELEÇÃO DO TAMANHO DO ROLAMENTO UTILIZANDO-SE A CAPACIDADE DE CARGA ESTÁTICA .......................... 265 
10.4.1  Carga estática equivalente ........................................................................................................................ 266 
10.4.2  Capacidade de carga estática requerida .................................................................................................. 267 
10.5  PLANOS DE DIMENSÕES ...................................................................................................................................... 268 
10.6  FOLGA INTERNA .................................................................................................................................................. 269 
10.7  LUBRIFICAÇÃO .................................................................................................................................................... 270 
10.8  VEDAÇÃO ............................................................................................................................................................ 271 
10.8.1  Vedadores integrados ............................................................................................................................... 271 
10.8.2  Vedadores externos ................................................................................................................................... 272 
10.9  APLICAÇÃO DE ROLAMENTOS ............................................................................................................................. 274 
10.9.1  Arranjo de rolamentos .............................................................................................................................. 274 
10.9.2  Fixação radial dos rolamentos ................................................................................................................. 275 
10.9.3  Fixação axial dos rolamentos ................................................................................................................... 275 
10.9.4  Métodos de Fixação .................................................................................................................................. 275 
10.9.5  Seleção do lubrificante ............................................................................................................................. 277 
10.9.6  Lubrificação com Graxa ........................................................................................................................... 278 
10.9.7  Métodos de lubrificação com graxa .......................................................................................................... 283 
10.9.8  Características dos óleos .......................................................................................................................... 286 
10.10  ÓLEOS E GRAXAS PARA LUBRIFICAÇÃO DE ROLAMENTOS .............................................................................294 
10.11  EXERCÍCIOS .................................................................................................................................................... 297 
11  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................................ 298 
 
 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 11 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
1 ANÁLISE DE TENSÕES 
1.1 PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO 
Símbolo Descrição da variável Unidade Descrição da variável em inglês 
A Área m2 Area 
E Módulo de elasticidade longitudinal Pa Young’s modulus 
G Módulo de elasticidade transversal Pa Shear modulus 
HB Dureza Brinell - Brinell hardness 
HRB Dureza Rockwell B - Rockell B hardness 
HRC Dureza Rockwell C - Rockell C hardness 
HV Dureza Vickers - Vickers hardness 
Sel Limite de resistência elástica Pa Strenght at elastic limit 
Sus Limite de resistência ao cisalhamento Pa Ultimate shear strenght 
Sut Limite de resistência a tração Pa Ultimate tensile strenght 
Sy Resistência ao escoamento a tração Pa Tensile yield strenght 
Sys Resistência ao escoamento ao cisalhamento Pa Shear yield strenght 
ε Deformação percentual Strain 
σ Tensão normal Pa Tensile stress 
τ Tensão de corte, cisalhamento ou tangencial Pa Shear stress 
θ Deflexão angular Pa Angular deflection 
ν Coeficiente de Poisson Poisson’s ratio 
Τ Momento Torçor N.m Torque 
Μ Momento Fletor N.m Moment 
P Carga N Force 
1.2 INTRODUÇÃO 
Segundo Baud em máquinas e estruturas, a manifestação das forças apresenta-se sob aspectos muito 
diferentes. Podem ser exteriores ou estar, pelo contrário, no interior dos elementos e por outro lado, são 
suscetíveis de se exercer sob muitos modos: podem ser estáticas, quer dizer, fixas e sem movimento, ou 
dinâmicas (ou seja animadas) e produzir assim efeitos bem diferentes. 
A aparição das forças ou das solicitações se deve a diversas fontes dentre as quais: (i) A gravitação 
gera a força peso em máquinas e equipamentos; e (ii) O vento, os efeitos térmicos (Dilatação) e químicos 
podem também gerar forças cujos efeitos desenvolvem as solicitações nos equipamentos. 
Quaisquer que sejam as fontes que produzam solicitações, estas determinam esforços nos materiais. 
Estes esforços, verificados pelos cálculos da estática, servem para prever as características dos materiais 
que devem ser empregados ou para dar a estes as dimensões adequadas. 
Quando um elemento é mal dimensionado, e no mesmo é aplicada uma carga, este poderá sofrer uma 
deformação permanente e em muitos casos chegar a ruptura. 
Elementos de Máquinas I 12 
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Na construção de máquina, deve-se sempre evitar as deformações plásticas nas peças, o que 
ocasionará variação na geometria das mesmas e normalmente modificação na relação funcional. As falhas 
mais correntes em engenharia são quebras e desintegrações. Ex.: corrosão, desgaste, trincas, etc., mas 
estes exemplos são praticamente inevitáveis em um maior ou menor espaço de tempo, pois todos os 
materiais são passíveis de deterioração. 
Assim, há a necessidade de determinar o nível de tensões atuantes em peças e componentes mecânicos 
para dimensiona-los. 
Este capítulo trata especificamente sobre tensões, onde serão descritos os tipos de tensões. 
1.3 DEFINIÇÕES 
1.3.1 Tensão 
Tensão é a quociente entre uma força e uma área. Pode ser entendida pela fórmula e ilustração na 
Figura 1.1, onde F é a força agindo em uma peça e A é a área de sua seção. 
Tensao Forca
Area
= 
As unidades da tensão podem ser: N
m
kgf
cm
kgf
mm2 2 2
; ; 
No Sistema Internacional de Unidades utiliza-se o
2m
N 
F
F
F
Área da Seção
Transversal
Peça Tracionada
 
Figura 1.1 - Tensão Normal devida ao esforço de tração 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 13 
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Em função do tipo de solicitação (Tração, Compressão, Flexão, Cisalhamento, Torção) aplicada em 
um elemento mecânico, poderão surgir dois tipos de tensões(Figura 1.2): (i) Tensão normal 
(Representada por σ “sigma”); e (ii) Tensão tangencial, de corte ou cisalhante (Representada por τ 
“Tau”). 
Superfície
 
Figura 1.2 - Tipos de Tensões: σ -Tensão Normal; τ - Tensão Tangencial 
1.3.2 Diagrama Tensão-Deformação 
Quando um corpo de prova é submetido a um ensaio de tração a máquina de ensaio fornece um 
gráfico (Figura 1.3) que mostra as relações entre a força aplicada e as deformações ocorridas durante o 
ensaio. 
Para determinar as propriedades do material o que interessa é a relação entre tensão e deformação. 
 
Figura 1.3 - Diagrama Tensão x Deformação 
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No gráfico tensão x deformação, os valores de deformação estão representados pela letra grega ε no 
eixo das abscissas (x) e os valores de tensão ou força indicados no eixo das ordenadas (y). 
A curva de Tensão x Deformação de um dado material é obtida, submetendo corpos de prova (Figura 
1.4) padronizados deste material a um ensaio de tração em uma máquina de ensaio (Figura 1.5), que 
possui um sistema de processamento o qual por meio de sensores/transdutores mede a força aplicada no 
corpo de prova e a respectiva deformação, processa essas informações e emite um gráfico Tensão x 
Deformação. 
 
Figura 1.4 - Corpo de prova 
 
Figura 1.5 - Máquina de Ensaio de Tração 
A curva resultante apresenta certos pontos características que são comuns a diversos tipos de materiais 
usados na área engenharia mecânica(Figura 1.6). 
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A 
ε 
A’
B
Limite de 
Elasticidade
Limite de 
Proporcionalidade
Limite de 
Resistência 
Escoamento
Limite de 
Ruptura 
Fase Elástica Fase Plástica 
Sut 
Sy 
Tensão 
Deformação 
C
 
Figura 1.6 - Diagrama Tensão x Deformação 
Os pontos comuns ilustrados na Figura 1.6 são: 
Limite de Proporcionalidade: 
A lei de Hooke só vale até um determinado valor de Tensão, denominado Limite de 
Proporcionalidade, que é o ponto representado na figura 6 pela letra A, a partir do qual a deformação 
deixa de ser proporcional à carga aplicada. 
Exemplo: Se aplicarmos uma tensão de 10 MPa e a peça se alongar 0,1%, quando aplicamos uma 
tensão de 100 MPa, a peça se deformará 1%. 
Limite de Elasticidade: 
O limite elástico representado no diagrama acima pela letra A’. Este ponto representa a tensão 
máxima que pode ser aplicado a uma barra sem que apareçam deformações residuais, ou permanentes, 
após a retirada integral da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e 
proporcionalidade são praticamente iguais e esses termos são então empregados como sinônimos. Nos 
casos em que são diferentes, em geral o limite de elasticidade é maior do que o de proporcionalidade. 
 
Elementos de Máquinas I 16 
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Fase Elástica: 
O trecho da curva tensão-deformação, compreendido entre a origem e o limite de elasticidade recebe o 
nome de fase elástica ou região elástica. 
Fase Plástica: 
Chama-se de fase plástica ou região plástica o trecho do diagrama compreendido entre o limite de 
elasticidade e o ponto correspondente à ruptura do material. 
Resistência ao Escoamento: 
Terminada a fase elástica, tem início a fase plástica, na qual ocorre uma deformação permanente no 
material, mesmo que se retire a força de tração. 
Em um ponto pouco acima do limite de elasticidade, aumentam as deformações sem que se altere, 
praticamente o valor da tensão. Quando se atinge o limite de escoamento, diz-se que o material passa a 
escoar. Durante o escoamento, a carga ou a tensão oscila entre valores muito próximos uns dos outros. 
Este ponto do gráfico é simbolizado porSy e chamado Resistência ao Escoamento por tração, quando 
o respectivo ensaio é o de tração. 
 
Sy 
Strength (Resistência) 
Yield ( Escoamento) 
Limite de Resistência: 
Após o escoamento ocorre um encruamento que é um endurecimento causado pela quebra dos grãos 
que compõem o material quando deformado a frio. O material resiste cada vez mais a tração externa, 
exigindo uma tensão cada vez maior para se deformar. 
Nessa fase, a tensão recomeça a subir, até atingir um valor máximo num ponto chamado de limite de 
resistência caracterizado no gráfico pelo ponto B. 
Este ponto do gráfico é simbolizado por Sut e chamado Limite de Resistência a Tração, quando o 
respectivo ensaio é o de tração. 
 
Sut
Strength (Resistência) 
Ultimate Tensile ( Limite de Tração) 
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Limite de ruptura 
Continuando a tração, chega-se à ruptura do material, que ocorreu num ponto chamado de Limite de 
ruptura caracterizado no gráfico pelo ponto C. 
Note que a tensão no limite e ruptura é menor que no limite de resistência, devido à diminuição da 
área que ocorre no corpo de prova depois que se atinge a carga máxima. 
Estricção: 
É a redução percentual da área da seção transversal do corpo de prova na região onde vai se localizar a 
ruptura. 
A estricção determina a ductilidade do material. Quanto maior for a percentagem de estricção, mais 
dúctil será o material. 
Módulo de Elasticidade: 
Na fase elástica, se dividirmos a tensão pela deformação, em qualquer ponto obteremos sempre um 
valor constante. 
Este valor constante é chamado módulo de elasticidade. Quando relacionado com tensões normais, é 
chamado de módulo de elasticidade longitudinal e simbolizado pela letra E. Quando relacionado com 
tensões tangenciais, é chamado módulo de elasticidade transversal e simbolizado pela letra G. 
O módulo de elasticidade é a medida da rigidez do material. Quanto maior for o módulo, menor será a 
deformação elástica resultante da aplicação de uma força ou tensão e mais rígido será o material. 
1.3.3 Ductilidade 
Ductilidade é a propriedade que apresentam certos materiais de absorverem sobrecargas por um tempo 
maior que o normal, a custa de uma maior deformação plástica, antes de haver ruptura. 
A ductilidade é medida pela percentagem de elongação (deformação) que o material apresenta no 
momento da ruptura. 
Materiais são ditos frágeis para elongação até 5%. 
Materiais são ditos dúcteis para elongação maior que 5%. 
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Esta propriedade é muito importante nos casos em que trabalhamos o material a frio (Trefilação, 
Forjamento, etc..). 
 T 
Deformação 
T
Deformação 
(a) Frágil (b) Dúctil 
Fratura Fratura 
 
Figura 1.7 - Exemplo de materiais de mesma dureza e resistência 
1.3.4 Maleabilidade 
Quando a ductilidade é referida em função da carga de compressão, passa a ser chamada de 
maleabilidade. 
1.3.5 Dureza 
Quando o material é resistente ao desgaste, a erosão, a deformação plástica é dito duro. Os testes de 
dureza mais usados são: BRINELL, ROCKWELL, VICKERS e SHORE. 
1.3.6 Resiliência 
A resiliência de um material é sua capacidade de absorver energia no campo elástico das 
deformações, ou seja, é a energia armazenada por um corpo solicitado até o seu limite elástico. 
1.3.7 Tenacidade 
Tenacidade é a habilidade de um material de absorver energia no campo plástico. A maioria das 
autoridade no assunto estão de acordo com esta definição, mas há muito desacordo a respeito de como se 
pode medir a tenacidade. Alguns dizem que a resistência ao impacto do material é a melhor medida, 
outros preferem usar o diagrama tensão - deformação de várias maneiras. O diagrama, contudo é uma 
avaliação das propriedades estáticas, enquanto tenacidade é uma propriedade desejável em peças sujeitas 
a choques e impactos, o que implicaria em ser ela medida dinamicamente. 
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1.4 TENSÕES 
Nesta seção, analisaremos as tensões desenvolvidas em um elemento mecânico sujeito a cargas 
externas e as tensões principais originadas em outros planos devido as tensões aplicadas. 
1.4.1 Tensão Normal de Tração ou Compressão 
A tensão Normal é originada pela aplicação de uma carga normal P de tração ou compressão. A 
direção dos vetores da tensão normal são perpendiculares a superfície da peça sujeita ao esforço de tração 
ou compressão. A distribuição da tensão ao longo seção da peça é uniformemente distribuída.(Figura 1.8) 
A tensão normal desenvolvida para o caso de tensão axial simples pode ser calculada por: 
Equação 1.1 A
P
x =σ 
Onde: 
P – Força aplicada (Tração ou Compressão); 
A – Área da seção transversal; 
Este tipo de solicitação pode ser encontrado em diversos elementos mecânicos tais como: parafusos, 
rebites, elementos estruturais, treliças, eixos, cabos de aço, etc... 
 
z
y
x
σ 
 
Figura 1.8 - Distribuição da Tensão normal 
1.4.2 Tensão de Corte devido ao Cisalhamento Simples 
Este tipo de tensão ocorre principalmente em pinos, parafusos ou rebites. Também é conhecida 
simplesmente por tensão de cisalhamento. 
A tensão de corte devido ao cisalhamento simples ocorre em situações onde não há flexão presente. A 
Figura 1.9 ilustra duas situações: (a) Cisalhamento Simples e (b) Cisalhamento com Flexão. 
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 P 
x
P 
P
P
(a) (b)
A
 
Figura 1.9 - Comparação entre o cisalhamento simples e com flexão 
A tensão de cisalhamento é do tipo tangencial, pois os vetores que representam à tensão são tangentes 
a superfície da peça. As tensões tangenciais originadas com os esforços de Cisalhamento são 
uniformemente distribuídas pela área e são representadas conforme Erro! Fonte de referência não 
encontrada. . 
 
z
y
x
τ 
 
Figura 1.10 - Distribuição das Tensões Tangenciais devido ao Cisalhamento Puro 
A tensão cisalhante desenvolvida pode ser calculada por: 
Equação 1.2 
Corte
xy A
P
=τ 
Onde: 
P – Força aplicada; 
ACorte – Área de corte; 
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1.4.3 Tensão Normal na Flexão 
A tensão desenvolvida na Flexão é também do tipo Normal, porém, sua distribuição não é uniforme 
ou seja: A tensão máxima ocorre na periferia da peça, enquanto sobre a linha neutra, a tensão é 
nula.(Figura 1.11) 
 
z
y
x
σ 
 
Figura 1.11 - Distribuição de Tensões devido a Flexão 
A tensão normal devido ao momento fletor é calculada a partir da equação: 
Equação 1.3 I
cM ⋅
=σ 
onde: 
M – Momento Fletor; 
c – Distância da Fibra Neutra a fibra que se deseja calcular a tensão; 
I – Momento de inércia; 
1.4.4 Tensão de Cisalhamento na Torção 
A tensão desenvolvida na torção é do tipo tangencial ou cisalhante e apresenta uma distribuição não 
uniforme (Figura 1.12). Esta tensão também, assim como a de cisalhamento é tangente á seção da peça. 
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z
y τ 
τ 
τ 
τ 
τ 
τ 
τ 
τ 
 
Figura 1.12 - Distribuição da Tensão de Cisalhamento na Torção 
A tensão Cisalhante devido ao momento torçor é calculada a partir da equação: 
Equação 1.4 J
rT ⋅
=τ 
onde: 
T – Momento torçor; 
r– Raio de giração; 
J – Momento de inércia polar; 
1.4.5 Tensão de Cisalhamento na Flexão 
Quando a força cortante e uma viga não for zero, desenvolve-se uma tensão cisalhante cuja 
intensidade máxima depende da forma geométrica de sua seção transversal. A tensão cisalhante máxima 
devido a flexão ocorre em pontos onde a tensão normal devido a flexão é nula. 
A Figura 1.13 ilustra a distribuição de tensões cisalhantes na flexão para uma seção transversal 
circular. Observe que a máxima tensão cisalhante ocorre no eixo x (linha neutra). 
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z
y
x
τ 
 
Figura 1.13 - Distribuição de tensões cisalhantes na flexão para seção circular. 
Para uma seção retangular, a tensão cisalhante máxima na flexão é calculada a partir da Erro! Fonte 
de referência não encontrada.. 
Equação 1.5 A
V
⋅
⋅
=
2
3
maxτ 
Para uma seção circular, a tensão cisalhante máxima na flexão é calculada a partir da Erro! Fonte de 
referência não encontrada.. 
Equação 1.6 A
V
⋅
⋅
=
3
4
maxτ 
Para uma seção circular oca, a tensão cisalhante máxima na flexão é calculada a partir da Erro! Fonte 
de referência não encontrada.. 
Equação 1.7 A
V⋅
=
2
maxτ 
Onde: 
V – Esforço de Corte; 
A – Área da seção transversal; 
1.5 ANÁLISE DE TENSÕES 
Conforme já definido, tensão é força por área. Qualquer elemento infinitesimal de um material pode 
estar submetido a diversos tipos de tensões ao mesmo tempo. Este elemento infinitesimal, geralmente é 
modelado como paralelepípedo, conforme ilustrado na Figura 1.14. 
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x
y
σy
σ
σ
y
τ xy
τ τ
τ
τ
x x
x
x
yz
z
z z
z
τyz
 
Figura 1.14 - Paralepípedo elementar, suas superfícies e componentes de tensão 
Para o estado plano de tensões, considera-se o retângulo ilustrado na Figura 1.15. 
x
y
σy
σy
σ
σ
τ xy
τ xy
τ
τ
x
x
x
x
y
y
 
Figura 1.15 - Componentes de tensão no estado biaxial 
Considera-se que as tensões agem nas faces destes cubos, de duas maneiras: 
1. Tensões Normais: Agem perpendicularmente as faces. Tendem a puxar o elemento ( tensão 
normal de tração) ou a empurrá-lo (tensão normal de compressão). 
2. Tensões Cisalhantes: Agem paralelamente as faces do cubo aos pares e em faces opostas. As 
tensões cisalhantes são positivas, se atuam no sentido positivo de um eixo de referência estas 
tensões tendem a distorcer o cubo na forma romboédrica. 
O primeiro índice representa a coordenada normal à face do paralepípedo. O segundo índice indica o 
eixo paralelo a tensão representada. 
Muitos elementos de máquinas estão sujeitos ao estado tridimensional de tensão, porém outros casos 
podem ser tratados como estado de tensões bidimensional ou estado plano de tensões. 
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1.5.1 Tensões Principais 
Para qualquer combinação de tensões aplicadas no paralelepípedo elementar (Figura 1.16), haverá 
sempre uma distribuição de tensões ao redor deste ponto. As tensões normais e cisalhantes irão variar. 
Haverá planos onde a tensão cisalhante será nula. As tensões normais agindo nestes planos são chamadas 
tensões principais (Figura 1.17) e os planos são chamados de planos principais. O eixo normal ao plano 
principal é chamado de eixo principal. Há outro conjunto de eixos ortogonais no qual a tensão cisalhante 
será máxima. A tensão principal de cisalhamento ocorre em um plano a 45o do plano principal. 
σy
σy
σ
σ
τ xy
τ xy
τ
τ
x
x
x
x
y
y
 
Figura 1.16 - Combinação de tensões normais e tangenciais em um cubo elementar 
σ
σ
σ
σ
1
1
2
2
φ
 
Figura 1.17 - Tensões Principais e Planos Principais 
τ
τ
τ
τ
21
21
12
12
θ
 
Figura 1.18 - Tensões Principais de Cisalhamento 
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Do ponto de vista da engenharia, procuraremos sempre projetar os elementos de máquinas de modo a 
não falharem. Para isto, sempre necessitaremos calcular a maior tensão, seja ela normal ou tangencial, nos 
pontos mais críticos da peça que faz parte da máquina. 
A expressão que relaciona as tensões aplicadas com as tensões principais para o estado tridimensional 
é: 
Equação 1.8 0CCC 01
2
2
3 =−⋅−⋅− σσσ 
onde: 
Equação 1.9 zyx σσσ ++=2C 
Equação 1.10 xzzyyxzxyzxy σσσσσστττ ⋅−⋅−⋅−++=
222
1C 
Equação 1.11 
222
0 2C xyzzxyyzxzxyzxyzyx τστστστττσσσ ⋅−⋅−⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅= 
As três tensões normais principais σ1, σ2 e σ3, são as três raízes deste polinômio (Figura 1.8) de 
terceiro grau. As raízes deste polinômio são sempre reais de modo que σ1>σ2>σ3. 
As tensões principais de cisalhamento podem ser encontradas a partir das tensões principais normais 
usando: 
Equação 1.12 2
31
13
σσ
τ
−
= 
Equação 1.13 2
12
21
σσ
τ
−
= 
Equação 1.14 2
23
32
σσ
τ
−
= 
As direções dos vetores das tensões principais podem ser encontrados substituindo cada uma das 
raízes na matriz abaixo (Equação 1.15) e resolvendo nx, ny e nz. A direção das três tensões principal são 
mutuamente ortogonais. 
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Equação 1.15 
0=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
z
y
x
zzyzx
yzyyx
xzxyx
n
n
n
σσττ
τσστ
ττσσ
 
onde: 
σ - Intensidade das tensões principais; 
nx, ny, nz - Coseno da direção do vetor unitário n o qual é normal ao plano principal. 
Equação 1.16 1ˆˆ =⋅nn 
Equação 1.17 knjninn zyx ˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅= 
Da Resistência dos Materiais, temos do mesmo modo as equações básicas para determinar as tensões 
principais e seus planos: 
Equação 1.18 σ
σ σ σ σ
φ τ φ=
+
+
−
⋅ − ⋅x y x y xy2 2
2 2cos sen 
Equação 1.19 τ
σ σ
φ τ φ=
−
⋅ + ⋅x y xy2
2 2sen cos 
sendo: τxy=-τyx 
A variação de 2φ será: 
00 ≤ 2φ ≤ 3600 
O ângulo φ variará então de: 
00 ≤ φ ≤ 1800 
Para localizarmos as tensões máxima e mínima, devemos determinar o valor do ângulo 2φ, que é dado 
pelas seguintes expressões: 
Equação 1.20 tg x y
xy
2
2
φ
σ σ
τ
=
−
 
 
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Simplificando as equações acima chega-se a: 
Equação 1.21 σ σ
σ σ σ σ
τ1 2
2
2
2 2
, =
+
±
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
x y x y
xy 
Equação 1.22 τ τ
σ σ
τmax min
x y
xy, = ±
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
2
2
2
 
Equação 1.23τ τ
σ σ
max min, = ±
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 2
2 
1.5.2 Círculo de Mohr 
Tomando-se um eixo de coordenadas cartesianas, toma-se a tensão normal sobre o eixo das abcissas e 
as tensões de corte ou cisalhamento sobre o eixo das ordenadas. A determinação dos pontos é feita através 
de suas coordenadas que tem para valores,σx, σy, τxy e φ. 
São dados os seguintes valores: Ponto D (σx, τxy) e Ponto E (σy, τyx) 
Sendo σx e σy tensões normais e ortogonais entre si e τxy=-τyx 
τ
τ
τ
τ
τ
φ
min
max
2
B F
G
D
φ
yx
xy
0
E
σ2
σy
σ1
σx
σ
 
Figura 1.19 - Círculo de Mohr 
A Tabela 1.1 indica a propriedades mecânicas de alguns aços comuns utilizados em projetos 
mecânicos. 
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Tabela 1.1 - Propriedades Mecânicas dos Aços Comuns 
Classificação 
SAE/ANSI 
Estado Limite de 
Resistência à 
Tração 
Sut 
MPa 
Resistência ao 
Escoamento 
Sy 
MPa 
Alongamento 
em 50,0 mm 
(%) 
Estricção 
(%) 
Dureza 
Brinell 
HB 
1015 Laminado 420,6 313,7 39,0 61,0 126 
Normalizado 424,0 324,1 37,0 69,6 121 
Recozido 386,1 284,4 37,0 69,7 111 
1020 Laminado 448,2 330,9 36,0 59,0 143 
Normalizado 441,3 346,5 35,8 67,9 131 
Recozido 394,7 294,8 36,5 66,0 111 
1030 Laminado 551,6 344,7 32.,0 57,0 179 
Normalizado 520,6 344,7 32,0 60,8 149 
Recozido 463,7 341,3 31,2 57,9 126 
1040 Laminado 620,5 413,7 25,0 50,0 201 
Normalizado 589,5 374,0 28,0 54,9 170 
Recozido 518,8 353,4 30,2 57,2 149 
1050 Laminado 723,9 413,7 20,0 40,0 229 
Normalizado 748,1 427,5 20,0 39,4 217 
Recozido 636,0 365,4 23,7 39,9 187 
1095 Laminado 965,3 572,3 9,0 18,0 293 
Normalizado 1013,5 499,9 9,5 13,5 293 
Recozido 656,7 379,2 13,0 20,6 190 
1118 Laminado 521,2 316,5 32,0 70,0 149 
Normalizado 477,8 319,2 33,5 65,9 143 
Recozido 450,2 284,8 34,5 66,8 131 
3140 Normalizado 891,5 599,8 19,7 57,3 262 
Recozido 689,8 422,6 24,5 50,8 197 
4130 Normalizado 668,8 436,1 25,5 59,5 197 
Recozido 560,5 360,6 28,2 55,6 156 
4140 Normalizado 1020,4 655,0 17,7 46,8 302 
Recozido 655,0 417,1 25,7 56,9 197 
4340 Normalizado 1279,0 861,8 12,2 36,3 363 
Recozido 744,6 472,3 22,0 49,9 217 
6150 Normalizado 939,8 615,7 21,8 61,0 269 
Recozido 667,4 412,3 23,0 48,4 197 
8650 Normalizado 1023,9 688,1 14,0 48,4 302 
Recozido 715,7 386,1 22,5 46,4 212 
8740 Normalizado 929,4 606,7 16,0 47,9 269 
Recozido 695,0 415,8 22,2 46,4 201 
9255 Normalizado 932,9 579,2 19,7 43,4 269 
Recozido 774,3 112,3 70,5 41,1 229 
 
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1.6 EXERCÍCIOS 
1 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m e 
F = 2000 N calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B). 
EPM
UNOESC - Joaçaba
a d
A
B
F
 
2 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m e 
P = 2500 N calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B). 
EPM
UNOESC - Joaçaba
P
a d
A
B
 
3 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m e 
T = 250 N.m calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B). 
EPM
UNOESC - Joaçaba
a d
A
B
T
 
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4 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m, P 
= 2500 N e T = 250 N.m calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste 
(pontos A e B). 
EPM
UNOESC - Joaçaba
P
a d
A
B
T
 
5 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m, F 
= 2000 N e T = 250 N.m calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste 
(pontos A e B). 
EPM
UNOESC - Joaçaba
a d
A
B
T
F
 
6 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m, P 
= 2500 N, F = 2000 N e T = 250 N.m calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no 
engaste (pontos A e B). 
EPM
UNOESC - Joaçaba
a d
P
A
B
T
F
 
Elementos de Máquinas I 32 
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7 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m, P 
= 2500 N e F = 2000 N calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste 
(pontos A e B). 
EPM
UNOESC - Joaçaba
a d
P
A
B
F
 
 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 33 
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2 SOLICITAÇÕES ESTÁTICAS 
2.1 PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO 
Símbolo Descrição da variável Unidade Descrição da variável em inglês 
σ~ Tensão efetiva de Mohr modificada Pa Modified-Mohr efective stress 
Kt Fator de concentração de tensões aplicado a 
tensão normal 
- Geometric stress concentration 
factor – normal stress 
Kts Fator de concentração de tensões aplicado a 
tensão cisalhante 
- Geometric stress concentration 
factor – shear stress 
Suc Limite de resistência a compressão Pa Ultimate compressive strenght 
Sus Limite de resistência ao cisalhamento Pa Ultimate shear strenght 
Sut Limite de resistência a tração Pa Ultimate tensile strenght 
Sy Resistência ao escoamento a tração Pa Tensile yield strenght 
Sys Resistência ao escoamento ao cisalhamento Pa Shear yield strenght 
Ν Coeficiente de Segurança - Safety factor 
σ Tensão normal Pa Normal stress 
σ’ Tensão efetiva de von-Misses Pa Von Mises effective stress 
σ1 2, 3 Tensões principais Pa Principal stresses 
σmax Tensão normal máxima aplicada Pa Maximum applied normal stress 
σmin Tensão normal mínima aplicada Pa Minimum applied normal stress 
σx Tensão normal na direção x Pa 
σy Tensão normal na direção y Pa 
τ Tensão tangencial ou cisalhante Pa Shear stress 
τmax Tensão de corte máxima aplicada Pa 
τxy Tensão cisalhante aplicada no plano x e na 
direção y 
Pa Shear stresses that act on the x 
face and whose direction of action 
are paralel to the y axes 
τyx Tensão cisalhante aplicada no plano y e na 
direção x 
Pa Shear stresses that act on the y 
face and whose direction of action 
are paralel to the x axes 
2.2 INTRODUÇÃO 
Porque as peças falham? 
Essa é uma pergunta que tem instigado o estudo de cientistas e engenheiros a séculos. Atualmente se 
possui muito mais conhecimento para responder a esta pergunta do que algumas décadas atrás. Isso se 
deve ao grande número de ensaios em materiais que se desenvolveu até o momento e também devido ao 
melhoramento nas técnicas de medição. 
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Se você respondesse a pergunta acima provavelmente diria que a peça falhou porque a tensão aplicada 
ultrapassou o limite de resistência da peça e certamente você não estaria errado porém, devido a qual tipo 
de tensão? Compressão? Tração? Cisalhamento? A resposta para esta pergunta é o tradicional “depende”. 
A falha depende do material em questão e de sua resistência a compressão, a tração, ao cisalhamento. 
Depende também das características do carregamento (estático ou dinâmico) e certamente da presença ou 
ausência de trincas ou fissuras no material. 
Neste capítulo estaremos preocupados em estudar as solicitações estáticas, especificamente as teorias 
usadas no dimensionamento de peças mecânicas sujeitas a carregamentos estáticos. Também daremos 
atenção a concentração de tensões. 
A solicitação estática é aquela caracterizada pelo valor constante da tensão ao longo do tempo, ou 
então com variação tão lenta ao longo do tempo que o efeito de massa ou inércia é desprezível. No caso 
de haver variação, a mesma chega a um máximo e então permanece constante conforme ilustrado na 
Figura 2.1. 
 
TempoTe
ns
ão
 Nível de Tensão constante no 
tempo 
 
Figura 2.1 - Solicitação Estática 
Este tipo de solicitação geralmente ocorre em estruturas de sustentação de máquinas e equipamentos. 
2.3 TEORIAS PARA FALHAS ESTÁTICAS 
Durante os últimos 300 anos, inúmeros cientistas, engenheiros e pesquisadores tentaram explicar os 
fenômenos das falhas estáticas. Após muito trabalho, foram determinadas algumas teorias que são até o 
momento muito utilizadas no dimensionamento de elementos mecânicos. As teorias são divididas para 
materiais dúcteis e frágeis, uma vez que os mecanismos que originam a falha são diferentes. 
Apresentaremos aqui, as teorias para materiais dúcteis e para materiais frágeis. 
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2.3.1 Teoria da Tensão Normal Máxima 
Esta teoria, estabelece que a falha ocorre sempre que a maior tensão principal se iguala ao limite de 
escoamento ou à resistência a ruptura do material. 
Se estabelecermos que σ1 é a maior das tensões principais, esta teoria estabelece que a falha por 
escoamento ocorrerá sempre que σ1 = σe e a falha por ruptura ocorrerá sempre que σ1 = σr. 
Esta teoria estabelece que somente a maior tensão principal conduz à falha e deve-se desprezar as 
demais. 
Devido a este fato, esta teoria é importante somente para fins de comparação. Suas previsões não 
concordam com a experiência e ela pode conduzir a resultados inseguros. 
Elaborando-se um gráfico com as tensões σe t e σe c e marcando-se as tensões σ1 e σ2, num sistema de 
eixos ortogonais, esta teoria estabelece que a falha ocorrerá sempre que um ponto cujas coordenadas 
sejam σ1 e σ2 cai sobre ou fora do gráfico. Os pontos situados no primeiro e terceiro quadrantes estão na 
região segura, enquanto que os pontos nos demais quadrantes estão numa região insegura. 
Neste critério, nota-se que só se obtém um verdadeiro ponto de teste onde o diagrama corta o eixo 
 
+ σ1 − σ1 
− σ2
+ σ2 
+ Sy 
+ Sy − Sy 
− Sy 
Sut 
Sut 
Suc 
Suc 
Critério de escoamento 
Critério de ruptura 
 
Figura 2.2 - Gráfico da Teoria da Tensão Normal Máxima 
Conforme o critério de falha escolhido (escoamento ou ruptura), a teoria da tensão norma máxima 
estabelece que a falha ocorrerá quando: 
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Equação 2.1 σ1 = Sy ou σ1 = -Sy e σ1 = Sut ou σ1 = Suc 
Se o critério de falha for o escoamento, o fator de segurança N pode ser determinado por: 
N
Sy=1σ ou N
Sy−=1σ 
Se o critério de falha for a ruptura, o fator de segurança N pode ser determinado por: 
Equação 2.2 N
Sut=1σ ou N
Suc=1σ 
Exemplo 1 - Um certo componente mecânico é fabricado com um aço SAE 1015 onde sua resistência 
a tração Sut= 400 MPa e seu limite de escoamento a tração é σy=300 MPa. Suponha que a peça esteja 
submetida a um nível de tensão σ1=300 MPa e σ2=200 MPa. Calcular o coeficiente de segurança usando 
o critério da ruptura, utilizando a teoria da máxima tensão normal. 
Solução: 
Inicialmente deve-se montar o gráfico com as tensões Sut e Suc Lembre-se que para os aços, Sut = -Suc 
. Neste gráfico, as tensões principais σ1 são plotadas no eixo x e as tensões principais σ2 são plotadas no 
eixo y. 
 σ2 
σ1 
Sut = 400 MPa
Suc = -400 MPa S
ut
 =
 4
00
 M
Pa
 S
uc
 =
 -4
00
 M
Pa
 
σ 1
 =
 3
00
 
σ2 = 200 N 
P 
 
Determine o ponto P com as coordenadas σ1 e σ2. Trace uma reta a partir da origem, passando pelo 
ponto P até interceptar a curva envelope do diagrama da tensão normal. Assim, usando a Equação 2.2 
temos que: 
1σ
utSN = ou seja, 
300
400
=N 3333,1=N 
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2.3.2 Teoria da Tensão Máxima de Cisalhamento 
Esta teoria se aplica somente a materiais dúcteis. Ela estabelece que o escoamento começa sempre que 
a tensão cisalhante máxima em uma peça for igual a tensão cisalhante máxima do corpo de prova quando 
este inicia o escoamento. Assim, o escoamento inicia quando
2max
yS=τ . 
Para um estado duplo de tensões, sabe-se que a máxima tensão de corte é: 
Equação 2.3 2
31
max
σσ
τ
−
= 
IMPORTANTE: Nesta teoria σ1>σ2>σ3 
Aqui é importante lembrar que no estado duplo de tensões, a menor tensão σ3 = 0; 
Equação 2.4 2
2
max 2 xy
yx τ
σσ
τ +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
= 
Deve-se notar que esta teoria prevê que o limite de escoamento ao cisalhamento seja a metade do 
limite de escoamento à tração, isto é
2
y
ys
S
S = 
Assim, se igualarmos as equações acima e aplicarmos um coeficiente de segurança N, obteremos a 
seguinte expressão: 
Equação 2.5 2
2
22 xy
yxy
N
S
τ
σσ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
⋅
 ou 
2
2
2
2 xy
yx
ySN
τ
σσ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
⋅
= 
A Figura 2.3 ilustra o gráfico da teoria da tensão cisalhante máxima para tensões biaxiais. Nota-se que 
o gráfico é o mesmo da teoria da tensão normal máxima, quando as duas tensões principais tem o mesmo 
sinal. 
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σ1 
σ3 
+ Sy 
+ Sy − Sy 
− Sy 
 
Figura 2.3 - Gráfico da Teoria da Tensão Cisalhante Máxima. 
Exemplo 2 - Um certo componente mecânico é fabricado com um aço SAE 1015 onde sua resistência 
a tração Sut = 400 MPa e seu limite de escoamento a tração é Sy=300 MPa. Calcular o coeficiente de 
segurança, utilizando a teoria da máxima tensão de cisalhamento para as dois casos seguintes: 
Quando : σ1=200 MPa e σ2=150 MPa e σ3=0 MPa 
Quando : σ1=100 MPa e σ3=-100 MPa. E σ2=0 MPa 
Solução: 
Inicialmente deve-se construir a curva envolvente do diagrama da tensão máxima de cisalhamento 
com Sy =300 MPa e -Sy = -300 MPa. 
a) Determine o ponto P1 com as coordenadas σ1 e σ3. Trace uma reta a partir da origem, passando 
pelo ponto P1 até interceptar a curva envolvente do diagrama da tensão máxima de cisalhamento. 
 σ3 
σ1 
Sy =300 MPa 
-Sy= -300 MPa 
S y
 =
 3
00
 M
Pa
 
-S
y 
= 
-3
00
 M
Pa
 
N1 
 P1 = A 
 σ1 
 
 x 
 
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O coeficiente de segurança N1 é a razão entre a componente “x” do ponto A com a componente σ1 do 
ponto P1 ou seja: 
1
1 σ
xN = 
Neste caso, nota-se que a componente x = Sy = 300 MPa. Como a componente σ1=200 MPa tem-se 
que: 
MPa
MPaN
200
300
1 = 
Assim, tem-se que: 
5,11 =N 
b) Determine o ponto P2 com as coordenadas σ1 e σ3 (Neste exemplo a menor tensão continua sendo σ3). 
Trace uma reta a partir da origem, passando pelo ponto P2 até interceptar a curva envolvente do diagrama 
da tensão máxima de cisalhamento. 
 σ3 
σ1 
Sy =300 MPa 
-Sy = -300 MPa 
S y
 =
 3
00
 M
Pa
 
-S
y =
 -3
00
 M
Pa
 
N2 
B
 P2
N2 
x 
y 
σ1 
 σ2 
 
O coeficiente de segurança N2 é a razão entre a componente “x” do ponto B com a componente σ1 do 
ponto P2 ou a razão entre a componente “y” do ponto B com a componente σ3 do ponto P2 ou seja: 
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1
2 σ
xN = ou 
3
2 σ
yN = 
Neste caso, a coordenada “x” não pode ser determinada diretamente pela observação do gráfico. Aqui 
o ponto “x” só pode ser determinado pela interseção de duas retas: uma que passa pela origem e pelo 
ponto P2 outra que passa pelas coordenadas (300,0) e (0,-300). 
A equação de uma reta que passa pela origem é calculada a partir de: 
bxay +⋅= 
Onde “a” é o coeficiente angular da reta e vale: 
1
3
σ
σ