Material Didático_Aula_04

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3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.1. INTRODUÇÃO 
- VIBRAÇÃO FORÇADA É AQUELA EM QUE FORÇAS EXTERNAS AGEM DURANTE TODO 
O MOVIMENTO VIBRATÓRIO; 
- AS FORÇAS EXTERNAS PODEM SER DETERMINÍSTICAS E ALEATÓRIAS; 
- AS FORÇAS HARMÔNICAS E AS PERIÓDICAS SÃO OS MELHORES EXEMPLOS DE 
FORÇAS DETERMINÍSTICAS E REPRESENTAM A MAIORIA DO FENÔMENOS 
RESPOSÁVEIS POR VIBRAÇÃO NOS SISTEMAS FÍSICOS; 
- OS SISTEMAS QUE SERÃO ESTUDADOS A PARTIR DESTE PONTO SÃO DESCRITOS POR 
EDO´s LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS, CUJA SOLUÇÃO GERAL É COMPOSTA DE UMA 
SOLUÇÃO DA HOMOGÊNEA SOMADA Á SOLUÇÃO PARTICULAR; 
- A SOLUÇÃO PARTICULAR TEM A MESMA FORMA DA EXCITAÇÃO EXTERNA; 
- A SOLUÇÃO HOMOGÊNEA REPRESENTA A PARTE TRANSITÓRIA DO MOVIMENTO E É 
GERADA QUASE SEMPRE PELAS CONDIÇÕES INICIAIS; 
- A SOLUÇÃO PARTICULAR REPRESENTA A PARTE DE REGIME PERMANENTE E É 
GERADA PELAS FORÇAS EXTERNA; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.1. INTRODUÇÃO 
- UMA EXCITAÇÃO DO TIPO HARMÔNICA É AQUELA REPRESENTADA POR UMA 
FUNÇÃO SENOIDAL: 
𝐹 𝑡 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜙) OU 𝐹 𝑡 = 𝐹0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜙) OU 𝐹 𝑡 = 𝐹0𝑒
𝑖(𝜔𝑡−𝜙) 
ONDE 𝐹0 É A AMPLITUDE DA FORÇA, 𝜔 É A FREQUÊNCIA COM QUE A FORÇA É 
APLICADA E 𝜙 É O ÂNGULO DE FASE QUE MEDE O ATRASO DA RESPOSTA EM RELAÇÃO 
Á FORÇA; 
- RESSONÂNCIA: FENÔMENO QUE OCORRE QUANDO A FREQUÊNCIA DE EXCITAÇÃO 
COINCIDE COM A FREQUÊNCIA NATURAL DO SISTEMA. É UM FENÔMENO 
AMPLAMENTE CONHECIDO POR PRODUZIR GRAVES CONSEQUÊNCIAS À INTEGRIDADE 
DOS SISTEMAS. 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.2. EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO MOVIMENTO 
- A FIGURA ABAIXO MOSTRA O MODELO DE UM SISTEMA DE 1GDL, AMORTECIDO E 
SUJEITO A UMA FORÇA, E SEU RESPECTIVO DIAGRAMA DE CORPO LIVRE (DCL); 
 
 
 
 
 
- O APLICADA A 2º LEI DE NEWTON AO DCL,OBTEMOS: 
𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹(𝑡) 
- ESTA EQUAÇÃO DIFERENCIAL POSSUI UMA SOLUÇÃO GERAL CONSTITUÍDA DE UMA 
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA E UMA SOLUÇÃO PARTICULAR: 
𝑥 𝑡 = 𝑥ℎ 𝑡 + 𝑥𝑝(𝑡) 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.2. EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO MOVIMENTO 
- A SOLUÇÃO HOMOGÊNEA É OBTIDA FAZENDO 𝐹 𝑡 = 0, RESULTANDO NA VIBRAÇÃO 
LIVRE E DEPENDENTE APENAS DAS CONDIÇÕES INICIAIS; 
- A SOLUÇÃO PARTICULAR REPRESENTA A VIBRAÇÃO DE REGIME PERMANENTE 
PERSISTINDO ENQUANTO A FORÇA EXTERNA ATUAR NO SISTEMA, VEJA FIGURA: 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.3. SISTEMA NÃO AMORTECIDO SOB FORÇA HARMÔNICA 
- POR SIMPLICIDADE, ESTUADEMOS PRJMEIRO O SISTEMA SEM AMORTECIMENTO 
(𝑐 = 0) E COM 𝐹 𝑡 = 𝐹0 cos 𝜔𝑡 . A EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO MOVIMENTO 
ASSUME A FORMA: 
𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹0cos⁡(𝜔𝑡) 
A SOLUÇÃO HOMOGÊNEA DESTA EQUAÇÃO É DADA POR: 
𝑥ℎ 𝑡 = 𝐶1 cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛𝑡) 
A SOLUÇÃO PARTICULAR, POR SUA VEZ, É: 
𝑥𝑝 𝑡 = 𝑋𝑝cos⁡(𝜔𝑡) 
SE A SOLUÇÃO PARTICULAR É SOLUÇÃO À EQUAÇÃO DIFERENCIAL, É VERDADE: 
𝑥 𝑝 𝑡 = −𝜔𝑋𝑝𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 
𝑥 𝑝 𝑡 = −𝜔
2𝑋𝑝𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 
𝑋𝑝 𝑘 − 𝑚𝜔
2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = 𝐹0 cos 𝜔𝑡 → ⁡𝑋𝑝 =
𝐹0
𝑘 − 𝑚𝜔2
 
 
] 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.3. SISTEMA NÃO AMORTECIDO SOB FORÇA HARMÔNICA 
- LOGO A SOLUÇÃO PARTICULAR À EQUAÇÃO DIFERENCIAL : 
𝑥𝑝(𝑡) = 𝑋𝑝 cos 𝜔𝑡 → ⁡ 𝑥𝑝(𝑡) =
𝐹0
𝑘 − 𝑚𝜔2
cos⁡(𝜔𝑡) 
- A SOLUÇÃO GERAL É A SOMA DAS SOLUÇÕES, LOGO: 
𝑥 𝑡 = 𝑥ℎ 𝑡 + 𝑥𝑝 𝑡 = 𝐶1 cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 +
𝐹0
𝑘 − 𝑚𝜔2
cos 𝜔𝑡 
- APLICANDO AS CONDIÇÕES INICIAIS, 𝑥 𝑡 = 0 = 𝑥0 E 𝑥 𝑡 = 0 = 𝑣0, À SOLUÇÃO 
GERAL, TEMOS: 
𝐶1 = 𝑥0 −
𝐹0
𝑘 − 𝑚𝜔2
; ⁡𝐶2 =
𝑣0
𝜔𝑛
 
- ASSIM, 
𝑥 𝑡 = 𝑥0 −
𝐹0
𝑘 − 𝑚𝜔2
cos 𝜔𝑛𝑡 +
𝑣0
𝜔𝑛
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 +
𝐹0
𝑘 −𝑚𝜔2
cos 𝜔𝑡 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.3. SISTEMA NÃO AMORTECIDO SOB FORÇA HARMÔNICA 
- ANALISEMOS O TERMO 𝑋𝑝 DA SOLUÇÃO PARTICULAR, CONSIDERANDO 𝛿𝑒𝑠𝑡 = 𝐹0 𝑘 : 
𝑋𝑝 =
𝐹0 𝑘 
(𝑘 − 𝑚𝜔2) 𝑘 
=
𝛿𝑒𝑠𝑡
1 − (𝜔 𝜔𝑛) 
2 
𝑋𝑝
𝛿𝑒𝑠𝑡
=
1
1 − 𝑟2
 
 
 
 
ONDE 𝑟 É A RAZÃO DE FREQUÊNCIA E 𝑋𝑝 𝛿𝑒𝑠𝑡 É 
CHAMADO DE FATOR DE AMPLIFICAÇÃO DINÂMICA. 
VEJA COMPORTAMENTO DO FATOR DE AMPLIFICAÇÃO: 
A CURVA APRESENTADA PELO FATOR DE 
AMPLIFICAÇÃO MOSTRA QUE A EXPRESSÃO PODE SER 
DIVIDIDA EM TRÊS DOMÍNIOS DISTINTOS; 
0 ≤ 𝑟 < 1 
𝑟 > 1 
𝑟 = 1 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.3. SISTEMA NÃO AMORTECIDO SOB FORÇA HARMÔNICA 
- CASO 1: PARA 0 ≤ 𝑟 < 1, NESTE CASO O DENOMINADOR SERÁ SEMPRE POSITIVO E 
A RESPOSTA DE REGIME PERMANENTE É DADA POR 𝑥𝑝 𝑡 = 𝑋𝑝cos⁡(𝜔𝑡); 
- DIZ-SE QUE NESTE CASO QUE A RESPOSTA HARMÔNICA ESTÁ EM COINCIDÊNCIA DE 
FASE COM A FORÇA EXTERNA; 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.3. SISTEMA NÃO AMORTECIDO SOB FORÇA HARMÔNICA 
- CASO 1: PARA 0 ≤ 𝑟 < 1, A SOLUÇÃO GERAL PARA ESTE CASO SERÁ: 
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 − 𝜙 +
𝛿𝑒𝑠𝑡
1 − 𝑟2
cos⁡(𝜔𝑡) 
ONDE 𝐴 E 𝜙 SÃO OBTIDOS PELAS CONDIÇÕES INICIAIS 
- A FIGURA ABAIXO MOSTRA O MOVIMENTO PRODUZIDO PELA EQUAÇÃO ACIMA: 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.3. SISTEMA NÃO AMORTECIDO SOB FORÇA HARMÔNICA 
- CASO 2: PARA 𝑟 > 1, NESTE CASO O DENOMINADOR SERÁ SEMPRE NEGATIVO E A 
RESPOSTA DE REGIME PERMANENTE É DADA POR 𝑥𝑝 𝑡 = −𝑋𝑝cos⁡(𝜔𝑡); 
ONDE 𝑋𝑝PODE SER REDEFINIDO PARA: 𝑋𝑝 = 𝛿𝑒𝑠𝑡 (𝑟
2−1) ; 
- NESTE CASO, A RESPOSTA PERMANENTE ESTÁ EM OPOSIÇÃO DE FASE COM A FORÇA 
EXTERNA; 
OBS.: QUANDO 𝑟 → ∞ AS 
AMPLITUDES TENDEM Á ZERO; 
 
NA PRÁTICA, SE EXCITAMOS UM 
SISTEMA COM UMA FORÇA DE 
FREQUÊNCIA MUITO ACIMA DA 
FREQUÊNCIA NATURAL, A 
RESPOSTA TERÁ AMPLITUDES 
MUITO PEQUENAS. 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.3. SISTEMA NÃO AMORTECIDO SOB FORÇA HARMÔNICA 
- CASO 1: PARA 𝑟 > 1, A SOLUÇÃO GERAL PARA ESTE CASO SERÁ: 
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 − 𝜙 −
𝛿𝑒𝑠𝑡
𝑟2 − 1
cos⁡(𝜔𝑡) 
ONDE 𝐴 E 𝜙 SÃO OBTIDOS PELAS CONDIÇÕES INICIAIS 
- A FIGURA ABAIXO MOSTRA O MOVIMENTO PRODUZIDO PELA EQUAÇÃO ACIMA: 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.3. SISTEMA NÃO AMORTECIDO SOB FORÇA HARMÔNICA 
- CASO 3: PARA 𝑟 = 1, NESTE CASO O DENOMINADOR TENDE Á ZERO E A AMPLITUDE 
VAI PARA O INFINITO, TEMOS O QUE CHAMAMOS DE RESSONÂNCIA; 
- ANALISEMOS A SOLUÇÃO GERAL Á E.D.O DO MOVIMENTO: 
𝑥 𝑡 = 𝑥0 cos 𝜔𝑛𝑡 +
𝑥 0
𝜔𝑛
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 + 𝛿𝑒𝑠𝑡
cos 𝜔𝑛𝑟𝑡 − cos⁡(𝜔𝑛𝑡)
1 − 𝑟2
 
- APLICANDO LIMITE (𝑟 → 1) E A REGRA DE L’HOSPITAL: 
 
lim
𝑟→1
cos 𝜔𝑛𝑟𝑡 − cos⁡(𝜔𝑛𝑡)
1 − 𝑟2
=
𝑑[cos 𝜔𝑛𝑟𝑡 − cos⁡(𝜔𝑛𝑡)/𝑑𝑟
𝑑(1 − 𝑟2)/𝑑𝑟
=
𝑡𝜔𝑛𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛𝑡)
2
 
𝑥 𝑡 = 𝑥0 cos 𝜔𝑛𝑡 +
𝑥 0
𝜔𝑛
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 +
𝛿𝑒𝑠𝑡𝜔𝑛
2
𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛𝑡) 
- VERIFICA-SE QUE A SOLUÇÃO GERAL É DE AMPLITUDE INDEFINIDAMENTE CRESCENTE 
POR CONTA DO ÚLTIMO TERMO SER DIRETAMENTE PROPORCIONAL AO TEMPO; 
 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.3. SISTEMA NÃO AMORTECIDO SOB FORÇA HARMÔNICA 
- FENÔMENO DE BATIMENTO: ESTE FENÔMENO OCORRE QUANDO A FREQUÊCIA DA 
FORÇA EXTERNA É MUITO PRÓXIMA DA FREQUÊNCIA NATURAL; 
- PARA ANALISARMOS ESTE FENÔMENO CONSIDEREMOS A SOLUÇÃO GERAL DO 
MOVIMENTO E AS CONDIÇÕES INICIAS: 𝑥0 = 𝑥 0 = 0: 
𝑥 𝑡 =
𝐹0
𝑘 − 𝑚𝜔2
[cos 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑛𝑡 ] =
𝐹0 𝑚 
𝜔𝑛2 − 𝜔2
[cos 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑛𝑡 ] 
SE PODE MOSTRAR QUE ESTA EXPRESSÃO É, TAMBÉM, IGUAL Á: 
𝑥 𝑡 =
𝐹0 𝑚 
𝜔𝑛2 − 𝜔2
[2𝑠𝑒𝑛
𝜔 + 𝜔𝑛
2
𝑡 𝑠𝑒𝑛(
𝜔𝑛 − 𝜔
2
𝑡)] 
SE A DIFERENÇA ENTRE FREQUÊNCIAS É PEQUENA, PODE-SE DIZER QUE 
𝜔𝑛 − 𝜔 = 2𝜀
𝜔𝑛 + 𝜔 = 2𝜔
 ⁡𝜔𝑛
2 − 𝜔2 = 4𝜀𝜔 
 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.3. SISTEMA NÃO AMORTECIDO SOB FORÇA HARMÔNICA 
LOGO A EXPRESSÃO: 𝑥 𝑡 =
𝐹0 𝑚 
𝜔𝑛2−𝜔2
[2𝑠𝑒𝑛
𝜔+𝜔𝑛
2
𝑡 𝑠𝑒𝑛(
𝜔𝑛−𝜔2
𝑡)] PODE SER 
REESCRITA: 
𝑥 𝑡 =
𝐹0 𝑚 
2𝜀𝜔
𝑠𝑒𝑛 𝜀𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
CUJO MOVIMENTO PODE SER MOSTRADO PELA CURVA ABAIXO: 
 
- O MOVIMENTO É COMPOSTO 
POR UM TERMO DE BAIXA E 
OUTRA DE ALTA FREQUÊNCIA; 
- A CURVA DE BAIXA FREQUÊNCIA 
POSSUI UM PERÍODO, CHAMADO 
DE PERÍODO DE BATIMENTO: 
 
𝜏𝑏 =
2𝜋
2𝜀
=
2𝜋
𝜔𝑛 − 𝜔
 
 
E A RESPECTIVA FREQUÊNCIA DE 
BATIMENTO 𝜔𝑏 = 2𝜀 = 𝜔𝑛 − 𝜔 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.3. SISTEMA NÃO AMORTECIDO SOB FORÇA HARMÔNICA 
EXEMPLO 1: UMA BOMBA ALTERNATIVA, CUJA MASSA É DE 70kg, ESTÁ MONTADA NO 
MEIO DE UMA VIGA DE AÇO DE ESPESSURA IGUAL A 0,0127m, LARGURA DE 0,508m E 
COMPRIMENTO IGUAL 2,54m. A VIGA ESTÁ ENGASTADA NAS DUAS EXTREMIDADES, 
COMO MOSTRA A FIGURA. DURANTE A OPERAÇÃO DA BOMBA, VERIFICOU-SE QUE A 
VIGA ESTÁ SUJEITA A UMA FORÇA HARMÔNICA 𝐹 𝑡 = 220 cos 62,8𝑡 N. ENCONTRAR 
A AMPLITUDE DE VIBRAÇÃO DA VIGA. (RESPOSTA: 3,33x10-3m) 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.3. SISTEMA NÃO AMORTECIDO SOB FORÇA HARMÔNICA 
EXEMPLO 2: A PARTIR DA RESPOSTA TOTAL NÃO AMORTECIDA DE UM SISTEMA DE UM 
1GDL DE MASSA 10 KG, PARA 0 ≤ 𝑟 < 1 , MOSTRADA NO GRÁFICO ABAIXO, 
DETERMINE: 
1) Frequência natural; 
2) Frequência da excitação; 
3) Amplitude da resposta forçada; 
4) Amplitude da resposta livre; 
5) Amplitude da força de excitação 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
X: 2.09
Y: 1.541
tempo [s]
am
pl
itu
de
 [
m
m
]
Resposta total não amortecida de um sistema de 1GDL
X: 2.492
Y: 0.859
X: 4.189
Y: 1.042
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.4. RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
SOB A ATUAÇÃO DE UMA FORÇA HARMÔNICA A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO AMORTECIDO, 
TORNA-SE: 
𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹0cos⁡(𝜔𝑡) 
DERIVANDO UMA E DUAS VEZES A SOLUÇÃO PARTICULAR DO TIPO: 
𝑥𝑝 𝑡 = 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜙) 
E SUBSTITUINDO NA E.D.O DO MOVIMENTO, RESULTA EM: 
−𝑚𝜔2𝑋𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝜙 − 𝑐𝜔𝑋𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝜙 + 𝑘𝑋𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝜙 = 𝐹0 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 
COLOCANDO A AMPLITUDE 𝑋 EM EVIDÊNCIA E REAGRUPANDO OS TERMOS: 
 
𝑋 𝑘 −𝑚𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝜙 − 𝑐𝜔𝑋𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜙) = 𝐹0𝑐𝑜𝑠⁡(𝜔𝑡) 
USANDO AS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE SENO E COSSENO DA DIFERENÇA: 
𝑋 𝑘 −𝑚𝜔2 cos 𝜙 + 𝑐𝜔𝑠𝑒𝑛(𝜙) cos 𝜔𝑡 + 𝑘 − 𝑚𝜔2 𝑠𝑒𝑛 𝜙 − 𝑐𝜔 cos 𝜙 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
= 𝐹0cos⁡(𝜔𝑡) 
 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.4. RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
IGUALANDO OS COEFICIENTES DE 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) E cos⁡(𝜔𝑡) EM AMBOS OS LADOS DA IGUALDADE: 
𝑋 𝑘 −𝑚𝜔2 cos 𝜙 + 𝑐𝜔𝑠𝑒𝑛(𝜙) = 𝐹0 
𝑋 𝑘 −𝑚𝜔2 sen 𝜙 − 𝑐𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜙) = 0 
DO SISTEMA DE EQUAÇÕES ACIMA SE OBTÊM: 
𝑋 =
𝐹0
(𝑘 − 𝑚𝜔2)2+(𝑐𝜔)2
⁡E⁡ϕ = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑐𝜔
𝑘 − 𝑚𝜔2
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.4. RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
DIVIDINDO O NUMERADOR E DENOMINADOR POR 𝑘 TEM-SE: 
𝑋 =
𝐹0
𝑘 
1 −
𝑚
𝑘 𝜔
2
2
+
𝑐𝜔
𝑘
2
⁡𝐸⁡𝜙 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑐𝜔
𝑘 
1 −
𝑚
𝑘 𝜔
2
 
 
COMO: 
𝜔𝑛 =
𝑘
𝑚
, 𝜉 =
𝑐
𝑐𝑐
⁡→
𝑐
𝑘
=
𝜉𝑐𝑐
𝑘
=
𝜉2𝑚𝜔𝑛
𝑘
=
2𝜉
𝜔𝑛
, 𝛿𝑒𝑠𝑡 =
𝐹0
𝑘
⁡E⁡𝑟 =
𝜔
𝜔𝑛
 
ENTÃO: 
 
𝑋 =
𝛿𝑒𝑠𝑡
1 − 𝑟2 2 + 2𝜉𝑟 2
⁡E⁡𝜙 = 𝑡𝑎𝑛−1
2𝜉𝑟
1 − 𝑟2
 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.4. RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
GRAFICANDO A AMPLITUDE E A FASE: 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
 
 
X: 0.9045
Y: 1.747
A
m
p
lit
u
d
e
X versus r
Qsi=0.0
Qsi=0.1
Qsi=0.3
Qsi=0.5
Qsi=0.7
Qsi=1.0
Qsi=2.0
Qsi=5.0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
60
120
180
 
 
X: 1.005
Y: 90
Razão de Frequência - r
F
a
s
e
 versus r
Qsi=0.0
Qsi=0.1
Qsi=0.3
Qsi=0.5
Qsi=0.7
Qsi=1.0
Qsi=2.0
Qsi=5.0
1) 𝜉 = 0 → 𝜙 = 0⁡(𝑟 < 1) E 𝜙 = 𝜋⁡(𝑟 > 1) 
 
2) 𝜉 ↑⁡→ 𝑋 𝛿𝑒𝑠𝑡 ⁡ ↓ ⁡⁡∀⁡𝜔 
 
3) AS REDUÇÕES DE AMPLITUDE 
SÃO MAIS SIGNIFICATIVAS 
PROXIMAS Á RESSONÂNCIA; 
 
4) O MÁXIMO VALOR DE AMPLITUDE 
ESTÁ EM: 
 𝑟 = 1 − 2𝜉2 → 𝜔 = 𝜔𝑛 1 − 2𝜉2 < 𝜔𝑎 
 
5) O MÁXIMO VALOR DE 𝑋 ESTÁ EM 
𝑟 = 1 − 2𝜉2 E VALE: 
𝑋
𝛿𝑒𝑠𝑡
=
1
2𝜉 1−𝜉2
 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.4. RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
 
 
X: 0.9045
Y: 1.747
A
m
p
lit
u
d
e
X versus r
Qsi=0.0
Qsi=0.1
Qsi=0.3
Qsi=0.5
Qsi=0.7
Qsi=1.0
Qsi=2.0
Qsi=5.0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
60
120
180
 
 
X: 1.005
Y: 90
Razão de Frequência - r
F
a
s
e
 versus r
Qsi=0.0
Qsi=0.1
Qsi=0.3
Qsi=0.5
Qsi=0.7
Qsi=1.0
Qsi=2.0
Qsi=5.0
6) PARA 𝜉 > 1 2 (0,707) OBSERVA-SE 
QUE A RAZÃO DE AMPLITUDE É 
MENOR QUE A UNIDADE (𝑋 𝛿𝑒𝑠𝑡 < 1); 
 
7) O ÂNGULO DE FASE NÃO 
DEPENDE DA MAGNITUDE DA FORÇA 
EXCITADORA (𝐹0); 
 
8) PARA 𝑟 ≪ 1 , A FASE(∅ ) → 0 E A 
RESPOSTA VIBRATÓRIA ESTÁ 
APROXIMADAMENTE EM FASE COM A 
FORÇA DE EXCITAÇÃO. SE 𝑟 ≫ 1, A 
FASE (∅) → 𝜋, OU SEJA A RESPOSTA 
ESTARÁ EM OPOSIÇÃO Á FORÇA 
EXCITADORA; 
9) NA RESSONÂNCIA ( 𝑟 = 1 ), 
INDEPENDENTE DE 𝜉 O VALOR DA 
FASE SERÁ 𝜋 2 ; 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.4. RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
- RESPOSTA TOTAL: A RESPOSTA GERAL SERÁ A SOMA DA RESPOSTA Á EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
HOMOGÊNEA, JÁ CONHECIDA SOMADA Á SOLUÇÃO PARTICULAR: 
 
𝑥 𝑡 = 𝑋0𝑒
−𝜉𝜔𝑛𝑡 cos 𝜔𝑑𝑡 − 𝜙0 + 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜙) 
 
- AS CONSTANTES 𝑋0 E 𝜙0 SÃO OBTIDAS DA APLICAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE INICIAIS À 
EQUAÇÃO ACIMA [𝑥 𝑡 = 0 = 𝑥0, 𝑥 𝑡 = 0 = 𝑣0], RESULTANDO EM: 
 
𝑋0 =
1
𝜔𝑑
𝑣0 + 𝜉𝜔𝑛 𝑥0 − 𝑋𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝜔𝑋𝑠𝑒𝑛𝜙 2 + 𝑥0 − 𝑋𝑐𝑜𝑠𝜙 2𝜔𝑑
2 
 
𝜙0 = tan
−1
𝑣0 + 𝜉𝜔𝑛 𝑥0 − 𝑋𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝜔𝑋𝑠𝑒𝑛𝜙
𝜔𝑑 𝑥0 − 𝑋𝑐𝑜𝑠𝜙
 
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.4. RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
- FATOR DE QUALIDADE E LARGURA DE BANDA: PARA AMORTECIMENTOS DA ORDEM DE 
𝜉 < 0,05 ,PODE-SE USAR A SEGUINTE APROXIMAÇÃO: 
𝑋
𝛿𝑒𝑠𝑡
≅
𝑋
𝛿𝑒𝑠𝑡 𝜔=𝜔𝑛
=
1
2𝜉
= 𝑄 
ONDE 𝑄 É CHAMADO DE FATOR DE QUALIDADE. 
 
 
 
 
- LARGURA DE BANDA: A FIM DE CHEGAR A ESTA DEFINIÇÃO, DEFINAMOS ANTES PONTOS DE 
MEIA POTÊNCIA, QUE SÃO ÁQUELES PONTOS PARA OS QUAIS A RAZÃO DE AMPLITUDE 
CORRESPONDE Á 𝑄 2 ÀS LATERAIS DE 𝑟 = 1. A DIFERENÇA ENTRE AS FREQUÊNCIAS QUE 
CORRESPONDEM A ESTAS AMPLITUDES É CHAMADA DE LARGURA DE BANDA, VER FIGURA: 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.5. RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À EXCITAÇÃO COMPLEXA 
- A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO NESTE CASO TRONA-SE: 
𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹0𝑒
𝑖𝜔𝑡 
- A SOLUÇÃO PARTICULAR TEMA FORMA: 
𝑥𝑝 𝑡 = 𝑋𝑒
𝑖𝜔𝑡 
 QUE SUBSTITUÍDA NA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO, PERMITE CHEGAR AO VALOR DE 
AMPLITUDE DA SOLUÇÃO PARTICULAR: 
𝑋 =
𝐹0
𝑘 −𝑚𝜔2 + 𝑖𝑐𝜔
 
ESTA EXPRESSÃO PODE SER ESCRITA NA FORMA: 
𝑍 𝑖𝜔 =
𝐹0
𝑋
= 𝑘 −𝑚𝜔2 + 𝑖𝑐𝜔 
E 𝑍 𝑖𝜔 É CHAMADA DE IMPEDÂNCIA MECÂNICA. 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.5. RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À EXCITAÇÃO COMPLEXA 
- RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: MANIPULANDO 𝑋 =
𝐹0
𝑘−𝑚𝜔2 +𝑖𝑐𝜔
DIVIDINDO TODA EXPRESSÃO 
POR 𝑘E USANDO 𝜔𝑛 =
𝑘
𝑚
,
𝑐
𝑘
=
2𝜉
𝜔𝑛
 E 𝑟 =
𝜔
𝜔𝑛
, TEMOS: 
𝑘𝑋
𝐹0
=
1
1 − 𝑟2 + 𝑖2𝜉𝑟
= 𝐻(𝑖𝜔) 
QUE É CHAMADA DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA COMPLEXA. CUJOMÓDULO É: 
𝐻(𝑖𝜔) =
𝑘𝑋
𝐹0
=
1
1 − 𝑟2 2 + (2𝜉𝑟)2
 
DE MODO QUE A REPOSTA EM FREQUÊNCIA COMPLEXA PODE SER ESCRITA NA FORMA: 
𝐻(𝑖𝜔) = 𝐻(𝑖𝜔) 𝑒−𝑖𝜙 
ONDE: 
𝜙 = tan−1
2𝜉𝑟
1 − 𝑟2
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.5. RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À EXCITAÇÃO COMPLEXA 
- A RESPOSTA DE REGIME PERMANENTE OU SOLUÇÃO PARTICULAR PODE ENTÃO ASSUMIR A 
FORMA: 
𝑥𝑝 𝑡 =
𝐹0
𝑘
𝐻(𝑖𝜔) 𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝜙) 
 FINALMENTE, A RESPOSTA Á EXCITAÇÃO COSSENOIDAL E SENOIDAL PODEM SER 
REPRESENTADAS PELA PARTE REAL E IMAGINÁRIA, RESPECTIVAMENTE, DA RESPOSTA À 
EXCITAÇÃO COMPLEXA: 
EXCITAÇÃO COSSENOIDAL: 
𝑥𝑝 𝑡 =
𝐹0
𝑘 − 𝑚𝜔2 + (𝑐𝜔)2
cos 𝜔𝑡 − 𝜙 = 𝑅𝑒
𝐹0
𝑘
𝐻(𝑖𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝑅𝑒
𝐹0
𝑘
𝐻(𝑖𝜔) 𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝜙) 
EXCITAÇÃO SENOIDAL: 
𝑥𝑝 𝑡 =
𝐹0
𝑘 − 𝑚𝜔2 + (𝑐𝜔)2
sen 𝜔𝑡 − 𝜙 = 𝐼𝑚
𝐹0
𝑘
𝐻(𝑖𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝐼𝑚
𝐹0
𝑘
𝐻(𝑖𝜔) 𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝜙) 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.5. RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À EXCITAÇÃO COMPLEXA 
- REPRESENTAÇÃO VETORIAL COMPLEXA DO MOVIMENTO HARMÔNICO: 
- SE O DESLOCAMENTO É DADO POR: 𝑥𝑝 𝑡 =
𝐹0
𝑘
𝐻(𝑖𝜔) 𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝜙) 
- A VELOCIDADE SERÁ: 𝑥 𝑝 𝑡 = 𝑖𝜔
𝐹0
𝑘
𝐻(𝑖𝜔) 𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝜙) = 𝑖𝜔𝑥𝑝 𝑡 = 𝜔𝑒
𝑖
𝜋
2𝑥𝑝 𝑡 ; 
- A ACELERAÇÃO SERÁ: 𝑥 𝑝 𝑡 = −𝜔
2 𝐹0
𝑘
𝐻 𝑖𝜔 𝑒𝑖 𝜔𝑡−𝜙 = −𝜔2𝑥𝑝 𝑡 = 𝜔
2𝑒𝑖𝜋𝑥𝑝 𝑡 
VEJA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.6. RESPOSTA DO SISTEMA AMORTECIDO À MOVIMENTO HARMÔNICOS DE BASE 
 
- O SISTEMA TEM SEU MOVIMENTO PROVOCADO PELO MOVIMENTO DE SUA BASE 𝑦 𝑡 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
- PELO DIAGRAMA DE CORPO LIVRE MOSTRADO ACIMA, É POSSÍVEL, PELA 2º LEI DE NEWTON 
CHEGARMOS Á EQUAÇÃO DO MOVIMENTO: 
𝑚𝑥 + 𝑐 𝑥 − 𝑦 + 𝑘 𝑥 − 𝑦 = 0 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.6. RESPOSTA DO SISTEMA AMORTECIDO À MOVIMENTO HARMÔNICOS DE BASE 
 
- SE 𝑦 𝑡 = 𝑌𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) ENTÃO 𝑦 𝑡 = 𝜔𝑌𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) E A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO TORNA-SE: 
𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑘𝑌𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝑐𝜔𝑌𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 
- CUJA SOLUÇÃO PARTICULAR A ESTA EXCITAÇÃO É: 
𝑥𝑝 𝑡 =
𝑘𝑌𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝜙
𝑘 −𝑚𝜔2 2 + 𝑐𝜔 2
+
𝑐𝜔𝑌𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜙)
(𝑘 − 𝑚𝜔2)2+ (𝑐𝜔)2
 
CONSIDERANDO 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝜙1 − 𝜙2 = 𝑐𝑜𝑠 𝜙2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝜙1 + 𝑠𝑒𝑛 𝜙2 𝑠𝑒𝑛⁡(𝜔𝑡 − 𝜙1) 
𝑥𝑝 𝑡 = 𝑋𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝜙1 − 𝜙2 = 𝑌
𝑘2 + (𝑐𝜔)2
𝑘 − 𝑚𝜔2 2 + 𝑐𝜔 2
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝜙1 − 𝜙2 
A RELAÇÃO DE AMPLITUDE PODE SER DADA POR: 
𝑋
𝑌
=
𝑘2 + (𝑐𝜔)2
𝑘 − 𝑚𝜔2 2 + 𝑐𝜔 2
=
1 + (2𝜉𝑟)2
1 − 𝑟 2 + 2𝜉𝑟 2
 
3. VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 
 
3.6. RESPOSTA DO SISTEMA AMORTECIDO À MOVIMENTO HARMÔNICOS DE BASE 
 
A RELAÇÃO DE AMPLITUDE PODE SER DADA POR: 
𝑋
𝑌
=
𝑘2 + (𝑐𝜔)2
𝑘 − 𝑚𝜔2 2 + 𝑐𝜔 2
=
1 + (2𝜉𝑟)2
1 − 𝑟2 2 + 2𝜉𝑟 2
 
OS ÀNGULOS DE FASE: 
𝜙1 = tan
−1
𝑐𝜔
𝑘 − 𝑚𝜔2
= tan−1
2𝜉𝑟
1 − 𝑟2
 
𝜙2 = tan
−1
𝑘
𝑐𝜔
= tan−1
1
2𝜉𝑟
 
A RELAÇÃO ENTRE AS AMPLITUDES DO SISTEMA PELA AMPLITUDE DA BASE É CHAMADA DE 
TRANSMISSIBILIDADE;