AULA 03

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Reflexão e Transmissão
Adilton Carneiro
Universidade de São Paulo, FFCLRP, Departamento de Física
Ultrassom em biomedicina
Reflexão e transmissão
Quando uma onda acústica encontra a divisão entre dois meios 
parte da onda é refletida ao meio pela qual viajava e parte é 
transmitida para o outro meio.
1 2
pi
pr
pt
Coeficientes
pi→ Pressão da onda incidente;
pr→ Pressão da onda refletida;
pt→ Pressão da onda transmitida;
R → Coef. Reflexão da pressão;
T → Coef. Transmissão da pressão;
RI → Coef. Reflexão da intensidade 
acústica;
TI → Coef. Transmissão da intensidade 
acústica;
Rp→ Coef. Reflexão da potência acústica;
Tp → Coef. Transmissão da potência 
acústica.
1 2
pi
pr
pt
Reflexão
Coef.Reflexão da pressão:
Coef.Reflexão da intensidade acústica
Coef.Reflexão da potência acústica
2 2
21 1
2 2
1 1
r r r
I
i i i
I P c P
R R
I P c P

= = = =
1 2
pi
pr
pt
r
i
P
R
P
=
1
1
r r
I
i i
I A
R R
I A
p

= = =

Coef.Reflexão da pressão:
Coef.Reflexão da intensidade acústica:
Coef.Reflexão da potência acústica
2 2
21 1
2 2
1 1
r r r
I
i i i
I P c P
R R
I P c P

= = = =
1 2
pi
pr
pt
r
i
P
R
P
=
1
1
r r
I
i i
I A
R R
I A
p

= = =

Reflexão
Coef.Reflexão da pressão:
Coef.Reflexão da intensidade acústica:
Coef.Reflexão da potência acústica:
2 2
21 1
2 2
1 1
r r r
I
i i i
I P c P
R R
I P c P

= = = =
1 2
pi
pr
pt
r
i
P
R
P
=
1
1
r r
I
i i
I A
R R
I A
p

= = =

Reflexão
Transmissão
Coef.Transmissão da pressão:
Coef. Transmissão da intensidade 
acústica
Coef. Transmissão da potência acústica
2
22 2 1
2
1 1 2
t t
I
i i
I P c Z
R T
I P c Z


= = =
t
i
P
T
P
=
2
1
t t
I
i i
I A
T T
I A
p

= = =

Para: A2 = A1
Impedância acústica Z = 0 c
Coef.Transmissão da pressão:
Coef. Transmissão da intensidade 
acústica:
Coef. Transmissão da potência acústica
2
22 2 1
2
1 1 2
t t
I
i i
I P c Z
T T
I P c Z


= = =
t
i
P
T
P
=
2
1
t t
I
i i
I A
T T
I A
p

= = =

Para: A2 = A1
Impedância acústica Z = 0c
Transmissão
Coef.Transmissão da pressão:
Coef. Transmissão da intensidade acústica:
Coef. Transmissão da potência acústica:
2
22 2 1
2
1 1 2
t t
I
i i
I P c Z
I T
I P c Z


= = =
t
i
P
T
P
=
2
1
t t
I
i i
I A
T T
I A
p

= = =

Para: A2 = A1
Impedância acústica Z = 0 c
Transmissão
Incidência normal
Como a fonte é comum todas as ondas têm a
mesma frequência, mas as velocidades (c1 e c2)
dependem do meio.
1
1
2
( )
( )
( )
i t k x
i i
i t k x
r r
i t k x
t t
p P e
p P e
p P e



−
+
−
= 
= 
= 
1 2
pi
pr
pt
Número de ondas:
1 1 2 2k c k c =  =
X = 0
Incidência normal
Condições de contorno:
• Pressões acústicas nos dois lados da interface
devem ser iguais;
• Componente normal das velocidades devem
ser iguais.
Em x = 0
pi + pr = pt (1)
ui + ur = ut (2)
u→ velocidade da partícula
1 2
pi
pr
pt
X = 0
Incidência normal
De acordo com Kinsler – Fundamentals of
acoustics. Cap. 6 pág. 151
A primeira condição, a continuidade da pressão, 
significa que não pode haver nenhuma força 
resultante sobre a (sem massa) plano que 
separa os fluidos. 
A segunda condição, continuidade do 
componente normal da velocidade, requer que 
os fluidos permaneçam em contato.
Incidência normal
i r t
i r t
p p p
u u u
+
=
+
Em x = 0
1 1 2
i tr
i r t
p pp
Z Z Z
u u u
= = − =
2
1 1
i r
i r
p p
Z
p p
Z Z
+
=
−
2 1
2 1
r
i
P Z Z
R
P Z Z
−
= =
+
Incidência normal
i tr
i i i
p pp
p p p
+ =
1 R T+ =
2 1 2
2 1 1 2
2
1
Z Z Z
T
Z Z Z Z
−
= + =
+ +
pi + pr = pt
Incidência normal
i tr
i i i
p pp
p p p
+ =
1 R T+ =
2 1 2
2 1 1 2
2
1
Z Z Z
T
Z Z Z Z
−
= + =
+ +
pi + pr = pt
Incidência normal
i tr
i i i
p pp
p p p
+ =
1 R T+ =
2 1 2
2 1 1 2
2
1
Z Z Z
T
Z Z Z Z
−
= + =
+ +
pi + pr = pt
Algumas análises
2 1
2 1
r
i
Z Z p
R
Z Z p
−
= =
+
2
1 2
2
1 t
i
pZ
T R
Z Z p
= + = =
+
Se Z2 > Z1 (por exemplo ar-água ) Pi está em fase com Pr
Algumas análises
2 1
2 1
i
r
pZ Z
R
Z Z p
−
= =
+
2
1 2
2
1
Z
T R
Z Z
= + =
+
Se Z2 < Z1 (por exemplo água-ar) Pi está fora de fase com Pr
Algumas análises
A pressão transmitida está sempre em fase com a 
incidente.
Se z2>>z1 a onda é refletida sem diminuição na amplitude
• Amplitude de pressão transmitida é o dobro do da onda 
incidente.
• T → 2
Se z2<<z1 a onda é refletida sem diminuição na amplitude 
mas fora de fase.
• T →0
2 1
2 1
i
r
pZ Z
R
Z Z p
−
= =
+
2
1 2
2Z
T
Z Z
=
+
Transmissão através de uma fina camada
1 2
pi
pr
pt
3
pa
pb
x = 0 x = L
Camada fina
Para x = 0
pi + pr = pa + pb
ui + ur = ua + ub
i r a b
i r a b
p p p p
u u u u
+ +
=
+ +
1 2
pi
pr
pt
3
pa
pb
x = 0 x = L
1 2
i r a b
i r a b
P P P P
Z Z
P P P P
   + +
=   
− −   
1 1
i r
i r
p p
Z Z
u u
= = −
2 2
a b
a b
p p
Z Z
u u
= = −
Camada fina
Para x = 0
pi + pr = pa + pb
ui + ur = ua + ub
i r a b
i r a b
p p p p
u u u u
+ +
=
+ +
1 2
pi
pr
pt
3
pa
pb
x = 0 x = L
1 2
i r a b
i r a b
P P P P
Z Z
P P P P
   + +
=   
− −   
1 1
i r
i r
p p
Z Z
u u
= = −
2 2
a b
a b
p p
Z Z
u u
= = −
Camada fina
Para x = 0
pi + pr = pa + pb
ui + ur = ua + ub
i r a b
i r a b
p p p p
u u u u
+ +
=
+ +
1 2
pi
pr
pt
3
pa
pb
x = 0 x = L
1 1
i r
i r
p p
Z Z
u u
= = −
2 2
a b
a b
p p
Z Z
u u
= = −
1 1 2 2
i r a b
i a br
p p p p
p p pp
Z Z Z Z
+ +
=
+ −
_
Camada fina
1 2
pi
pr
pt
3
pa
pb
x = 0 x = L
1 2
i r a b
i r a b
P P P P
Z Z
P P P P
   + +
=   
− −   
1 1 2 2
i r a b
i a br
p p p p
p p pp
Z Z Z Z
+ +
=
+ −
_
Para x = L
2 2
2 2
2 2
ik L ik L
a b t
ik L ik L
a b t
P e P e p
P e P e u
Z Z
− +
− +
 + 
=
 
−
1 2
pi
pr
pt
3
pa
pb
x = 0 x = L
( )i t kxp P e  −= 
2 2
2 2
3
2
ik L ik L
a b
ik L ik L
a b
P e P e Z
P e P e Z
− +
− +
 + 
=
 − 
Camada fina
2 2
2 2
3
2
ik L ik L
a b
ik L ik L
a b
P e P e Z
P e P e Z
− +
− +
 + 
=
 − 
1 2
i r a b
i r a b
P P P P
Z Z
P P P P
   + +
=   
− −   
r
i
P
R
P
=
1 2 1
2 2
3 3 2
1 2 1
2 2
3 3 2
1 cos( ) sin( )
1 cos( ) sin( )
Z Z Z
k L i k L
Z Z Z
R
Z Z Z
k L i k L
Z Z Z
   − + −   
   =
   + + +   
   
cos
2
ix ixe e
x
−+
=
sin
2
ix ixe e
x
i
−−
=
Coeficiente de reflexão
Camada fina
2
IR R= 2 1
2
I
Z
T T
Z
=
Para calcular o coeficiente de transmissão da intensidade 
é preciso lembrar que:
1T R=+
2
2 23 1 31 2
22 2
1 3 1 3 2
4
( )
2 cos ( ) sin ( )
( )
IT
Z Z ZZ Z
k L k L
Z Z Z Z Z
=
  + + + +   
   
Caso especial
L
Na ressonância
L =l/2 
L =l/4
Transdutor
Camada com 
dimensão L
Tecido
Caso especial
2
2
2 1
2
k L L n
p p
l
 
= = − 
 
Para n = 1 → L = l2/4 
1 3
2
1 3
2
2
4
I
Z Z
T
Z Z
Z
Z
=
 + 
 
Para TI = 1
2 1 3Z Z Z=
2
2 23 1 31 2
22 2
1 3 1 3 2
4
( )
2 cos ( ) sin ( )
( )
IT
Z Z ZZ Z
k L k L
Z Z Z Z Z
=
  + + + +   
   
2 2cos 0 sin 1k L k L 
Incidência oblíqua
Incidência oblíqua
1 1
1 1
2 2
( cos sin )
( cos sin )
( cos sin )
i i
r r
t t
i t k x k y
i i
i t k x k y
r r
i t k x k y
t t
p P e
p P e
p P e
  
  
  
− −
+ −
− −
= 
= 
= 
i
r t
x
y
Incidência oblíqua
Em x = 0
1 21sin sinsini trik y ik yik y
i r tP e P e P e
 − −− +  = 
1 1 2
1 2
sin sin sin
sin sin
i r t i r
i t
k k k
c c
    
  
= =  =
=
1
2
sin sini t
c
c
 =
i
r
t
x
y
Essa igualdade deve ser satisfeita em qualquer y, 
portanto os expoentes devem ser todos iguais
Incidência não perpendicular