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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – Campus Cabo Frio 
Curso: Sistema de Informação - Disciplina: Matemática Computacional - Profª Gilselene Guimarães 
 
Função Quadrática 
Toda função do tipo y = ax2 + bx + c, com {a, b, c} ∊ R e a  0, é chamada de função quadrática ou 
função do 2o grau. 
Exemplos: 
(a) y = 3x2 - x – 2 
(b) f (x) = 4x2 – 2 
 
GRÁFICO: uma função do tipo f (x) = ax2 + bx + c, com {a, b, c} ∊ R e a  0, é uma parábola. 
Considerando a parábola de equação f (x) = ax2 + bx + c, 
• Se a > 0, a parábola possui concavidade para cima. 
• Se a < 0, a parábola possui concavidade para baixo. 
 
 
 
PONTOS NOTÁVEIS DA PARÁBOLA 
Construção do gráfico da função do 2o grau 
Interseção com o eixo Ox 
Para y = ax2 + bx + c, basta atribuirmos o valor zero à variável y e resolver a equação: 
ax2 + bx + c = 0 (I) 
 
Utilizamos a fórmula de Bhaskara, x = 
 
 
Onde 
2 
 
Se a equação f (x) = ax2 + bx + c tiver  > 0 , TERÁ 
• Duas raízes reais e distintas: x1 e x2. 
• Pontos de interseção da parábola com o eixo Ox: (x1, 0) e (x2, 0). 
 
Se a equação f (x) = ax2 + bx + c tiver  = 0 , TERÁ 
• Duas raízes reais e iguais: x1 = x2. 
• Parábola será tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. 
 
Se a equação f (x) = ax2 + bx + c tiver  < 0 
• Não terá raízes reais. 
• Parábola não terá ponto em comum com o eixo Ox. 
3 
 
 
Resumindo: 
 
 
 
• pontos de interseção de seu gráfico com o eixo Ox: 2x2 - x - 1= 0. 
 = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 . 2. (-1) = 9. 
Como  > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: (x 1, 0) e (x 2, 0) 
• Determinando x1 e x 2, temos: 
 
x = x1 = 1 x2 = -1/2 
 
Sabemos ainda que a > 0  Parábola tem concavidade voltada para cima: 
Exemplo: y = 2x2 - x – 1 
4 
 
Exemplo: f (x) = - 4x2 - 12x – 9 
• - 4x2 - 12x - 9 = 0 
• raízes de f: 
b2 -4ac = (-12)2 - 4(-4)(-9) = 0. 
•  = 0, temos duas raízes reais e iguais (x1 = x2). 
• Parábola tangencia o eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. 
 
 
• Determinando essas raízes, temos: x = 
 
x1 = x2 = -3/2 
 
Sabemos ainda que a < 0  parábola tem concavidade voltada para baixo. 
 
 
 
O ponto de interseção da parábola com o eixo Oy 
Para obtê-lo a partir de y = ax2 + bx + c: 
• Assumir x = 0 
• O ponto de interseção da parábola com o eixo Oy é (0, c). 
 
 
 
Exemplo: Função y = x2 - 6x + 5 
• Interseção com os eixos Ox 
Fazendo y = 0, temos x2 - 6x + 5 = 0. 
= b2 - 4ac = (-6)2 -4 . 1. 5 = 16. 
 
 
Logo, x = 
então x1 = 5, x2 = 1 
Parábola intercepta o eixo Ox nos pontos (5, 0) e (1, 0). 
• Fazendo x = 0, temos y = 02 - 6 . 0 + 5 então y = 5. 
Parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0, 5). 
O esboço do gráfico é: 
5 
 
O vértice da parábola 
• Vértice V é o ponto de interseção da parábola com seu eixo de simetria. O vértice V(x v, y v) 
da parábola de equação y = ax2 + bx + c, com {a, b, c} ∊ R e a  0, é o ponto V, onde  = b2 - 
4ac. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Função y = x2 - 6x + 5. 
Abscissa de V é o ponto médio do segmento de extremos (1, 0) e (5, 0), ou seja, x = 3. 
Substituindo x por 3, obtemos a ordenada do vértice: y = 32- 6. 3 + 5 então, y = - 4. 
Portanto, o vértice da parábola é o ponto V = (3, -4). 
 
Variação de Sinal 
F (x) = ax2 + bx + c, recairá sempre em um dos seguintes casos: 
Exemplo: 
 
6 
 
 
 
 
Máximo e Mínimo de uma Função do 2º Grau 
Seja f : R → R tal que f (x) = ax2 + bx + c, com {a, b, c} R e a  0. 
 
►Seja f uma função real de variável real. A função f admite valor máximo se, e somente se: 
• existe x max, 
• x max ∊ D ( f ), 
• f (x max)  f (x), ∀x, x ∊D ( f ). 
O número f (x max) é chamado de valor máximo da função f. O número x max é chamado de ponto 
de máximo da função f. 
- f admite valor de máximo se, e somente se, a < 0. 
 
 
- Seu valor de máximo é yv = 
- Ponto máximo é 
►Seja f uma função real de variável real. A função f admite valor mínimo se, e somente se: 
• existe x min, 
• x min ∊ D ( f ), 
• f (x min)  f (x), ∀x, x ∊D ( f ). 
O número f (x max) é chamado de valor mínimo da função f. O número x max é chamado de ponto 
de mínimo da função f. 
- f admite valor de mínimo se, e somente se, a > 0. 
 
 
- Seu valor de mínimo é yv = 
 
- ponto mínimo é 
7 
 
Exemplo: Determine o valor mínimo, o ponto de mínimo, o ponto de interseção com o Ox e faça o 
estudo do sinal da função y = 2x2 + 2x + 1. 
 
O valor mínimo é yv = , com  = b2 - 4ac. Para a função temos, a = 2, b = 2 e c = 1 
Então  = - 4 . Logo yv = 1/2. O ponto de mínimo x v = -1/2. 
 
• pontos de interseção de seu gráfico com o eixo Ox: 
2x2 - x - 1 = 0. 
 = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 . 2. (-1) = 9. 
•  > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: (x 1, 0) e (x 2, 0), 
Determinando x1 e x 2, temos: x1 = 1, x2 = -1/2 
Sabemos a > 0  parábola tem concavidade voltada para cima. 
O valor da função será negativo para o intervalo do domínio ] -1/2, 1[ 
O valor da função será positivo, para o intervalo do domínio ] -  , - 1/2[ U ] 1, + [. 
 
Exercícios Propostos 
 
1- Calcular os zeros das seguintes funções: 
a) (x) = x2 - 3x – 10 
b) f(x) = -x2 - x + 12 
RESOLUÇÃO: 
1.a) 
 
1.b) 
 
2- Calcular m para que: 
a) a função f(x) = (m - 3)x2 + 4x - 7 seja côncava para cima. 
Resolução: 
m - 3 > 0 então m > 3. 
8 
 
3- O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 - 15x + 21. Se a 
venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) - C(x) seja 
máximo, devem ser vendidas: 
Solução: 
L(x) = 2x2 + x - (3x2 -15x + 21) = 2x2 + x - 3x2 + 15x - 21 = -x2 + 16x - 21. 
x v = 8 
 
4- Verifique a concavidade, se a função possui máximo ou mínimo e esboce o gráfico da 
função y = x² - 2x +1. 
• Temos que a = 1, b = -2 e c = 1. 
• a > 0, então a parábola possui concavidade voltada para cima 
• Possui ponto mínimo. 
• Vamos calcular as coordenadas do vértice da parábola. 
• Yv = 0 xv = 1 
 
 
 
5) Determine os pontos de intersecção da parábola da função 
 
f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas. f(x) = 0 
2x² – 3x + 1 = 0 
 
6) Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 4.x – 9, as coordenadas do vértice do gráfico da parábola 
definida por f(x), é: 
 
Resolução: 
Considerando que trata-se de uma função quadrática, vamos utilizar a fórmula do x do vértice: xv = - 
b/2a = -4/2(-2) = 4/4 = 1 
Para calcular o y, basta utilizar x=1: 
y = -2.1 + 4.1 – 9 = -2 + 4 – 9 = -7 
 
7) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 é: 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
8) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = 2x2 – 24x +1. O valor mínimo de f é: 
 
a) 73 b) 71 c) –71 d) –73 e) –79 
9 
 
9) Resolva as seguintes equações do 2 grau, em : 
a) 2x2 – 50 = 0 
b) 3x2 – 8x = 0 
c) x2+ 9 = 0 
d) (2x + 1 )2 – 5 ( 2x + 1 ) + 4 = 0 
 
 
e) 1 + 
𝐱𝟐 𝟓 
= 
𝟒 𝟐 
 
𝐱−𝟑 𝟏 
f) 
𝐱𝟐− 𝟒 
+ 1 = 
𝐱−𝟐 
g) f(x) = x2 - 3x – 10 Resposta: x’ = 5 e x’’ = -2 
h) f(x) = -x2 - x + 12 Resposta: x’ = -4 e x’’ = 3