Física Teórica II - Aula 03 - MHS

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31/03/2016
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Aula 05: Oscilações e Movimento 
Harmônico Simples.
Prof. Dr. Otacilio Leandro de M. Neto
CCE0848 - FÍSICA TEÓRICA EXPERIMENTAL II
Definição e Propriedades
Movimento periódico ou
movimento harmônico é todo 
tipo de movimento que se 
repete em intervalos 
regulares.
Frequência: é o número de 
oscilações por segundo.
Unidade: Hertz ou Hz.
Período: é o tempo necessário 
para completar uma oscilação 
completa (ciclo).
𝑓 =
1
𝑇
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Movimento Harmônico Simples
O deslocamento da partícula em 
relação a origem é dado por 
uma função do tempo:
𝑥 𝑡 = 𝑥𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
Onde 𝑥𝑚, 𝜔 e 𝜙 são constante.
Uma partícula oscila para 
cima e para baixo, em um 
movimento harmônico.
Este é um gráfico do 
movimento, com o período 
T indicado.
Nos pontos 𝑥 = ±𝑥𝑚, a 
velocidade é zero.
No ponto 𝑥 = 0, a 
velocidade é máxima.
D
es
lo
ca
m
e
nt
o
D
es
lo
ca
m
e
nt
o
Tempo (t)
Tempo (t)
• Amplitude (𝑥𝑚) representa os valores 
máximos de do deslocamento 𝑥.
• Fase (𝜔𝑡 + 𝜙) é a grandeza dependente 
do tempo.
• Constante de fase (𝜙) representa o 
deslocamento e a velocidade da partícula 
no instante inicial.
Movimento Harmônico Simples
Deslocamento 
no instante t.
Fase
Amplitude Tempo
Constante 
de fase ou 
ângulo de 
fase
Frequência 
Angular
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• Frequência Angular (𝜔):
Como o movimento é periódico a posição 
da partícula em 𝑡 deve ser igual em 𝑡 + 𝑇, 
fazendo 𝜙 = 0:
𝑥𝑚 cos𝜔𝑡 = 𝑥𝑚 cos𝜔 𝑡 + 𝑇
Os cossenos são iguais quando as fases são 
iguais e a função cosseno se repete depois 
de 2𝜋, então:
𝜔 𝑡 + 𝑇 = 𝜔𝑡 + 2𝜋
𝜔𝑇 = 2𝜋
𝜔 =
2𝜋
𝑇
= 2𝜋𝑓
Unidade no SI: 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Movimento Harmônico Simples
Deslocamento 
no instante t.
Fase
Amplitude Tempo
Constante 
de fase ou 
ângulo de 
fase
Frequência 
Angular
Exemplos
D
es
lo
ca
m
e
nt
o
As amplitudes são diferentes, 
mas a frequência e o período 
são iguais.
As amplitudes são iguais, 
mas a frequência e o período 
são diferentes.
D
es
lo
ca
m
e
nt
o
O valor negativo de 𝜙
desloca a curva do cosseno 
para a direita.
Na curva do cosseno sem 
deslocamento de fase, 𝜙 = 0.
D
es
lo
ca
m
e
nt
o
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Velocidade do MHS
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
[𝑥𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙 ]
𝑣 𝑡 = −𝜔𝑥𝑚 sen 𝜔𝑡 + 𝜙
O termo 𝜔𝑥𝑚 é chamado de amplitude da velocidade 𝑣𝑚.
Aceleração do MHS
𝑎 𝑡 =
𝑑𝑣 𝑡
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
[−𝜔𝑥𝑚 sen 𝜔𝑡 + 𝜙 ]
𝑎 𝑡 = −𝜔2𝑥𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
O termo 𝜔2𝑥𝑚 é chamado de amplitude da aceleração 𝑎𝑚.
Podemos ainda combinar relacionar 𝑎(𝑡) e 𝑥(𝑡):
𝑎 𝑡 = −𝜔2𝑥 𝑡
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Gráficos
D
es
lo
ca
m
en
to
V
el
o
ci
d
ad
e
Aceleração
Velocidade
Deslocamento
Os 
valores 
extremos 
aqui ...
Os 
valores 
extremos 
aqui ...
São 
valores 
nulos 
aqui ...
E valores 
extremos 
aqui.
As Leis do Movimento Harmônico 
Simples
𝐹 = 𝑚𝑎 = − 𝑚𝜔2 𝑥
Força Elástica (Lei de Hooke):
𝐹 = −𝑘𝑥
Igualando:
𝑘 = 𝑚𝜔2
𝜔 =
𝐾
𝑚
𝑇 = 2𝜋
𝐾
𝑚
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As Leis do Movimento Harmônico 
Simples
Período do Pêndulo:
A demonstração desta equação se 
dá através do torque e do 
momento de inercia do movimento 
circular. 
𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔
OBS: só é válido para pequenos 
ângulos.
Esta 
componente 
tensiona a 
corda.
Esta 
componente 
move o peso 
de volta para 
o centro.
Exemplo
Um bloco cuja massa 𝑚 é 680 𝑔 está preso a uma mola cuja constante elástica é 𝑘 =
65 𝑁/𝑚. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância 𝑥 =
11 𝑐𝑚 a partir da posição de equilíbrio em 𝑥 = 0 e liberado a partir do repouso no 
instante 𝑡 = 0.
a) Determine a frequência angular, a frequência e o período do movimento.
b) Determine a amplitude das oscilações.
c) Determine a velocidade máxima 𝑣𝑚 do bloco e o local onde se encontra o bloco 
quando tem essa velocidade.
d) Determine o módulo da aceleração máxima do bloco.
e) Determine a constante de fase 𝜙 do movimento.
f) Determine a função deslocamento 𝑥(𝑡) do sistema massa-mola.
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Energia do Movimento Harmônico 
Simples
A energia potencial da mola 
[𝑈 𝑡 =
1
2
𝑘𝑥2] é transformada em 
energia cinética [𝐾 𝑡 =
1
2
𝑚𝑣2].
Qual é a energia mecânica?