Aula-1-FSC-II-Movimento harmonico

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MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
A Figura 1 mostra uma partícula que está oscilando nas vizinhanças da origem
de um eixo x, deslocando-se alternadamente para a direita e para a esquerda de uma mesma distância xm. A frequência f da oscilação é o
 
Figura 1
número de vezes por unidade de tempo que a partícula descreve uma oscilação completa (um ciclo). A unidade de frequência no SI é o hertz (Hz), definido da seguinte forma:
O tempo necessário para completar o ciclo é o período (T) da oscilação dado por
𝑇 = 1
𝑓
Todo movimento que se repete a intervalos regulares é chamado de movimento periódico. Trataremos aqui de um tipo específico de movimento periódico chamado Movimento Harmônico Simples (MHS). Esse movimento é uma função senoidal do tempo t, onde a posição da partícula pode ser descrita por:
Instantâneos. Vamos tirar uma série de instantâneos do movimento e mostrá-los em ordem temporal, de cima para baixo na Figura 2ª. O primeiro instantâneo foi tirado em t
= 0, quando a partícula estava no ponto à direita mais distante da origem do eixo x.
Chamamos de xm a coordenada desse ponto, é a constante que multiplica a função cosseno. No instante seguinte, a partícula está um pouco à esquerda de xm. a partícula continua a se mover no sentido negativo do eixo x até chegar ao ponto mais à esquerda distante da origem, cuja coordenada é –xm. Em seguida, a partícula começa a se mover no sentido positivo do eixo x, até chegar ao ponto xm. O valor de xm é o valor máximo das oscilações e é chamado de amplitude, com o movimento ocorrendo indefinidamente.
A unidade de frequência angular no SI é o radiano por segundo (rad/s), mostrado na Figura 3.
Obs: o parâmetro frequência angular pode ser obtido por:
𝜔 = 2 𝜋
𝑇
· - Velocidade do MHS
A velocidade varia em módulo sentido quando a partícula descreve um movimento harmônico simples. A velocidade é momentaneamente zero nos pontos extremos e máxima no ponto central do movimento. A função v(t) pode ser determinada por:
𝑣(𝑡) = 𝜔𝑥m
Dizemos que 𝜔𝑥m é a amplitude da variação de velocidade. Quando a partícula passa pelo ponto x = 0 e está se movendo da esquerda para a direita, a velocidade é positiva e o módulo da velocidade tem o maior valor possível. Quando a partícula passa pelo ponto x = 0 e está se movendo da direita para a esquerda, a velocidade é negativa e o módulo da velocidade tem novamente maior valor possível.
· - Aceleração do MHS
No MHS, a aceleração a é proporcional ao deslocamento x, tem o sentido contrário e as duas grandezas estão relacionadas pelo quadrado da frequência angular
𝜔.
𝑎(𝑡) = − 𝜔2𝑥
· – Lei da Força para o Movimento Harmônico Simples
Uma vez conhecida a relação entre aceleração e deslocamento do MHS, podemos usar a segunda lei de Newton para determinar qual é a força que deve agir sobre a partícula para que ela adquira essa aceleração.
O sinal negativo indica que a força deve ter sentido oposto ao do deslocamento da partícula.
Se a massa do objeto é conhecida, é possível calcular a frequência angular do movimento.
Também é possível determinar o período do MHS por:
Exemplo 1: Sistema bloco-mola: amplitude, aceleração e constante de fase
Um bloco cuja massa é 680 g está preso a uma mola cuja constante elástica é 65 N/m. O bloco é puxado em uma superfície sem atrito por uma distância de 11 cm a partir da posição em equilíbrio e liberado sem velocidade inicial no instante t = 0.
· Determine a frequência angular, a frequência e o período do movimento.
· Determine a amplitude das oscilações.
· Determine a velocidade máxima do bloco e o local em que se encontra o bloco quando tem essa velocidade.
A velocidade máxima é quando o bloco está passando pela origem, onde se pode constatar que a velocidade máxima é em x = 0.
· Determine o módulo da aceleração máxima do bloco.
· Determine a constante de fase ∅ do movimento.
 considerando que x = xm no instante t = 0, então:
𝑥 = 𝑥𝑚cos(𝜔𝑡 + ∅)
𝑥
𝑥𝑚
 
= cos( 𝜔 𝑥 0 + ∅) 1 = cos ∅
Tomando o inverso da função cosseno, obtemos ∅ = 0 𝑟𝑎𝑑
· Determine a função deslocamento x(t) do sistema bloco-mola.
𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + ∅)
𝑥 = (0,11 𝑚) cos[(9,8 𝑟𝑎𝑑 ) 𝑡 + 0
𝑠
𝑥 = 0,11 cos(9,8𝑡)
Onde x está em metros e t em segundos.
Exemplo 2 – cálculo da constante de fase do MHS a partir do deslocamento e da velocidade.
Figura 4
Em t = 0, o deslocamento x(0) do bloco de um oscilador linear como da Figura 4 é de – 8,5 cm. A velocidade v(0) do bloco nesse instante é – 0,920 m/s e a aceleração a(0) é + 47 m/s2.
· Determine a frequência angular 𝜔 do sistema.
· Determine a constante de fase ∅ e a amplitude xm das oscilações.
· Exercícios
· – Um objeto que executa um movimento harmônico simples leva 0,25 s para se deslocar de um ponto de velocidade nula para o ponto seguinte do mesmo tipo. A distância entre os pontos é de 36 cm. Calcule:
· O período. R: 0,5 s
· A frequência. R: 2 Hz.
· A amplitude do movimento. R: 18 cm.
· – Um corpo de 0,12 kg executa um movimento harmônico simples de amplitude 8m5 cm e o período de 0,20 s.
· Qual é o módulo da força máxima que age sobre o corpo? R: 10 N
· Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante elástica da mola? R: 118 N/m
· – Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,2 cm e uma frequência de 6,6 Hz? R: 38,6 m/s2
· – Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para frente e para trás, percorrendo uma distância de 2,0 mm, em um movimento harmônico simples com uma frequência de 120 Hz. Determine:
· a amplitude; R: 1,0 mm
· a velocidade máxima da lâmina; R: 0,75 m/s.
· o módulo da aceleração máxima da lâmina. R: 568 m/s2.
· – Em um sistema onde duas molas iguais, de constante elástica 7.580 N/m, estão ligadas a um bloco, de massa 0,245 kg. Qual é a frequência de oscilação no piso sem atrito? R: 39,6 Hz.
· – Um oscilador é formado por um bloco com massa de 500 g ligado a uma mola. Quando é posto em oscilação com uma amplitude de 35 cm, o oscilador repete o movimento a cada 0,5 s. Determine:
· O período. R: 0,5 s.
· A frequência. R: 2 Hz.
· A frequência angular. R: 12,6 rad/s.
· A constante elástica; R: 79 N/m.
· A velocidade máxima. R: 4,4 m/s.
· O módulo da força máxima que a mola exerce sobre o bloco. R: 27,6 N.