Equação Diferencial_crescimento e decaimento exponencial_-_gababito_pdf

Prévia do material em texto

UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 1 de 4 
Lista de Exercícios – Crescimento e 
Decaimento Exponencial - Gabarito 
 
 
1) Numa certa cultura a taxa de crescimento das bactérias é 
proporcional à população presente. Se existirem 1.000 bactérias 
inicialmente e a quantidade dobrar em 12 minutos, quanto tempo 
levará até que haja 1.000.000 de bactérias? 
 
kty Ce= 
 
0 1.000t y= ⇒ = 
01.000 kCe ⋅= 
1.000C = 
 
 12 2.000t y= ⇒ = 
 
122.000 1.000 ke ⋅= 
 
12 2ke ⋅ = 
12 ln2k = 
ln2
12
k = 
0,05776k ≅ 
 
0,057761.000 ty e= 
0,057761.000.000 1.000 te= 
0,05776 1.000te = 
0,05776 ln1.000t = 
ln1.000
0,05776
t = 
119,6mint ≅ 
2 ht ≅ 
 
2) A taxa de crescimento da população de uma certa cidade é 
proporcional ao número de habitantes. Se a população em 1950 era 
de 50.000 e em 1980, de 75.000, qual a população esperada em 
2010? 
 
kty Ce= 
 
0 50.000t y= ⇒ = 
050.000 kCe ⋅= 
50.000C = 
 
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 2 de 4 
 30 75.000t y= ⇒ = 
 
3075.000 50.000 ke ⋅= 
 
30 1,5ke = 
 
 
6050.000 ky e ⋅= 
( )23050.000 ky e= 
( )250.000 1,5y = 
112.500habitantesy = 
 
3) A taxa de decaimento do rádio é proporcional à quantidade 
presente em qualquer instante. Se houver 60 mg de rádio agora e 
sua meia-vida for 1.690 anos, qual a quantidade de rádio daqui a 
100 anos? 
 
kty Ce= 
 
0 60t y= ⇒ = 
060 kCe ⋅= 
60C = 
 
 1690 30t y= ⇒ = 
 
169030 60 ke ⋅= 
 
1690 0,5ke = 
1690 ln0,5k = 
ln0,5
1690
k = 
0,000410k ≅ − 
 
0,00041060 ty e−= 
0,000410 10060y e− ⋅= 
0,041060y e−= 
57,6mgy ≅ 
 
4) Há 100 milhões de litros de água fluorada no reservatório que 
abastece uma cidade e a água contém 700 kg de fluoreto. Para 
diminuir a concentração de fluoreto, é despejada água pura no 
reservatório a uma taxa de 3 milhões de litros por dia e a solução 
de fluoreto homogênea escoa do reservatório à mesma taxa. 
Quantos quilogramas restarão no reservatório 60 dias depois que a 
água pura começou a ser despejada no reservatório? 
 
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 3 de 4 
Seja t o número de dias decorridos desde que a água pura 
começou a ser despejada no reservatório. Seja y kg o número de 
quilogramas de fluoreto que restam no reservatório em t dias. 
Como 100 milhões de litros de água fluorada estão no 
reservatório o tempo todo, em t dias a quantidade de fluoreto por 
milhões de litros será de y/100 kg. Três milhões de litros de água 
fluorada escoam do reservatório a cada dia; assim o reservatório perde 
3(y/100) de fluoreto por dia. 
Como a taxa de variação do fluoreto é proporcional à quantidade 
de fluoreto presente, temos: 
 
, onde -0,03dy ky k
dt
= = 
 
kty Ce= 
 
0 700t y= ⇒ = 
0700 kCe ⋅= 
700C = 
 
 
kty Ce= 
0,03700 ty e−= 
0,03 60700y e− ⋅= 
1,8700y e−= 
115,7kgy = 
 
5) Numa certa reação química, a taxa de conversão de uma substância 
é proporcional à quantidade de substância que ainda não reagiu até 
aquele instante. Após 10 min, um terço da quantidade da 
substância original já reagiu e 20 g já reagiram após 15 min. Qual 
era a quantidade original da substância? 
 
kty Ce= 
 
210
3
t y C= ⇒ = 
2
3
C C= 10ke ⋅ 
10 2
3
ke = 
210 ln
3
k  =  
 
 
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 4 de 4 
2ln
3
10
k
 
 
 
= 
0,0405465k ≅ − 
 
0,0405465 1520C Ce− ⋅− = 
20 0,54433C C− = 
0,54433 20C C− = 
0,45567 20C = 
43,9gC ≅