UNIDADE+II++t+produtor_2019_1_C_Respostas

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Teoria do 
produtor:
Produção e Custos
no curto e longo prazo
Introdução à Economia
N. G. Mankiw
Cap.:13
ECONOMIA MICRO e MACRO
Marco Antonio Sandoval de Vasconcellos
Teoria do Produtor
A produção traduz-se no processo de combinar recursos
(imputs) a fim de produzir bens e serviços, utilizando uma
determinada tecnologia.
Em economia o conceito de tecnologia refere-se ao método que
pode ser usado para a combinação dos recursos a fim de
produzir bens e serviços.
2
https://sistemasprodutivos.wordpress.com/gerencia-de-producao-e-operacoes/
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us
a teoria da empresa (firma), que mostra como uma
empresa toma decisões de produção com base na
minimização dos custos e como os seus custos variam
com o volume produzido. O conhecimento da teoria da
produção e dos custos ajudará a entender as
características da oferta de mercado.
A teoria da produção e do custo é de importância
fundamental também para a administração econômica
da empresa. Pense em alguns dos problemas com os
quais uma empresa como a General Motors
frequentemente se defronta.
Quantos equipamentos e quanta mão-de-obra na linha
de montagem deverão ser empregados em suas novas
fábricas de automóveis? Caso a empresa queira
aumentar sua produção, será que deveria contratar
mais trabalhadores, construir novas fábricas, ou
ambos?
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Será mais lógico que determinada fábrica de
automóveis produza diferentes modelos ou que cada
modelo seja produzido cm uma fábrica separada?
Quais os custos que a GM deveria esperar para o
próximo ano? De que forma tais custos poderiam variar
ao longo do tempo e como poderiam ser influenciados
pelo nível de produção?
Questões como essas não se aplicam apenas a
empresas privadas, mas também a outros produtores
de bens e serviços, tais como órgãos governamentais e
organizações sem fins lucrativos.
Nesta aula nós
veremos:
✓Como a Tecnologia impõe limites às escolhas 
de produção das firmas;
✓Como a transformação de insumos em 
produto pode ser representado pela função de 
produção;
✓Como os limites impostos pela tecnologia e 
pelos custos de produção resultam nas 
escolhas ótimas das firmas;
✓Somatório das escolhas ótimas das firmas 
resulta na oferta de mercado.
✓CUSTOS
✓EXERCÍCIOS
https://start-up-booster.com/modernise-production-line-tips/
Nesta aula veremos:
✓Teoria dos custos
✓Custos fixos e variáveis
✓Custo médio total e marginal
✓Lucro da firma
✓ Curvas de custo
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http://agronegociointerior.com.br/custo-de-producao-na-agropecuaria/
A tecnologia é dada
Existem muitas firmas no 
mercado
Produtos homogêneos
Pressupostos:
Livre mobilidade de firmas
Racionalidade
Vamos introduzir agora o problema da 
Firma
Firmas: Realizam escolhas sob restrições
[I Restrição ] Tecnologia (Conhecimento).
▪ As transformações dos insumos em produtos são limitadas pela natureza.
[II Restrição] Concorrência perfeita.
▪ Preço é dado, a firma só escolhe a quantidade.
8
9
Processo de produção
A escolha do processo de produção depende de sua eficiência. A eficiência pode ser
avaliada pelo ponto de vista tecnológico ou pelo ponto de vista econômico.
• eficiência técnica (ou tecnológica): entre dois ou mais processos de produção, é
aquele processo que permite produzir uma mesma quantidade de produto, utilizando
menor quantidade física de fatores de produção;
• eficiência econômica: entre dois ou mais processos de produção, é aquele processo
que permite produzir uma mesma quantidade de produto, com menor custo de
produção.
Durante o processo produtivo, as empresas transformam insumos, também denominados 
fatores de produção, em produtos. Os fatores de produção são tudo aquilo que a empresa 
utiliza no processo produtivo. 
Numa padaria, por exemplo, os insumos incluem o trabalho; matérias-primas, como farinha e 
açúcar; e o capital investido nos fomos, nas batedeiras e em outros equipamentos necessários à 
produção de pães, bolos e confeitos. Como se vê, podemos dividir os insumos em amplas 
categorias de trabalho, matérias-primas e capital, podendo cada uma dessas incluir subdivisões 
mais limitadas. 
O trabalho (mão de obra) abrange os trabalhadores especializados (carpinteiros, engenheiros) e 
os não especializados (trabalhadores agrícolas), bem como os esforços empreendedores dos 
administradores da empresa. 
As matérias-primas incluem o aço, o plástico, a eletricidade, a água e quaisquer outros 
materiais que a empresa adquira e transforme em um produto final. O capital inclui o terreno, 
as instalações, a maquinaria e outros equipamentos, bem como os estoques. 
https://www.ecobalanza.com/ecobalanzablog/safe-sofa-fabrics
Função de produção
A função de produção mostra a relação entre a
quantidade de insumos necessária para produzir
determinada quantidade de um bem.
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https://www.poder360.com.br/economia/bahia-e-nordeste-tiveram-maiores-altas-na-producao-industrial-em-julho/
As empresas podem transformar os insumos em produtos de várias
maneiras, usando várias combinações de mão-de-obra, matérias-primas
e capital.
Podemos descrever a relação entre os insumos do
processo produtivo e o produto resultante
como uma função de produção.
Uma função de produção indica o
produto máximo (volume de produção),
q, que uma empresa produz para
cada combinação especifica de insumos.
A FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
Função de produção e seus fatores
Versão simplificada da firma: Apenas 2 fatores:
K= Quantidade de capital ;
L = Quantidade de trabalho.
Preço (custos) dos fatores:
r= Preço do capital (Juros);
w= Preço do trabalho (Salários).
❖ No curto prazo o capital é fixo ( ), variações ocorrem
apenas em L (quantidade de trabalho).
13
K
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Produção com um insumo variável (Trabalho)
Quando uma empresa tem de decidir quanto vai adquirir de
determinado insumo, ela tem de comparar o benefício que obterá com
o custo.
Às vezes, é interessante olhar para o benefício e o custo em uma
perspectiva incremental, procurando saber qual seria o produto
adicional que resultaria de certo incremento do insumo. Outras vezes,
vem a ser mais interessante fazer comparações na média,
considerando o resultado de um aumento substancial do insumo.
Analisaremos os benefícios e os custos de ambos os modos. Quando
o capital é fixo, mas o trabalho é variável, o único jeito de a
empresa aumentar a produção é aumentando o insumo trabalho.
Imagine, por exemplo, que você esteja administrando uma fábrica de
roupas. Embora disponha de determinada quantidade de
equipamentos, você poderia contratar mais trabalho, ou menos, para
operar as máquinas. Você tem de tomar uma decisão sobre a
quantidade de trabalho que contratará e a quantidade de roupas que
produzirá. Para poder tomar essa decisão, necessitará saber de que
forma o volume de produção, q, aumenta (se é que aumenta) à
medida que o insumo trabalho, L, cresce.
http://br.fashionnetwork.com/news/Producao-industrial-brasileira-cresce-0-7-em-setembro,365935.html#.W41PCOhKjIU
Função de produção
15
),( KLfY =
Y
Conjunto de 
produção
Y
L
Matematicamente: 
Graficamente:
Possíveis 
combinações de Y 
e L
Quando o produto marginal 
declina, a função de produção 
se torna mais horizontal.
Formato da Função de produção
16
Quando mais trabalhadores são contratados pela firma, no curto
prazo, menor a produtividade do trabalhador adicional.
Ou seja, cada empregado adicional CONTRIBUI MENOS para a
produção, porque a firma tem uma quantidade limitada de
equipamentos disponíveis (Capital fixo).
https://vitrinedooeste.blogspot.com/2017/05/prefeito-juninho-alves-acertara.html
Formato da Função de produção
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Reflete: A Lei do Produto Marginal Decrescente.
▪Se K é fixo, os aumentos de Y gerados pelosacréscimos de L são cada vez menores.
▪Há um limite ótimo de produção para cada firma 
maximizadora de lucro.
A Lei do Produto Marginal Decrescente
❖ Esta lei afirma que, em todos os processos
produtivos, se a quantidade de um bem for
aumentada e a quantidade dos outros bens
permanecer constante, a produção total por bem irá
cair. Isso não quer dizer porém, que a produção total
vai cair.
18
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us
O produto marginal decrescente do trabalho (e um produto marginal decrescente de outros
insumos) ocorre na maioria dos processos de produção. A lei dos rendimentos marginais
decrescentes diz que, à medida que aumenta o uso de determinado insumo em incrementos
iguais (mantendo-se fixos os demais insumos), acaba-se chegando a um ponto em que a
produção adicional resultante decresce.
Quando o insumo trabalho é pequeno (e o capital é fixo), pequenos incrementos de insumo
trabalho geram substanciais aumentos no volume de produção, à medida que os funcionários
são admitidos para desenvolver tarefas especializadas. Inevitavelmente, entretanto, a lei dos
rendimentos marginais decrescentes entra em ação. Quando houver funcionários em
demasia, alguns se tornarão ineficientes, e o produto marginal do insumo trabalho apresentará
uma queda.
A lei dos rendimentos marginais decrescentes geralmente aplica-se ao curto prazo, quando
pelo menos um dos insumos permanece inalterado. Entretanto, ela também se aplica ao longo
prazo. Mesmo que sejam variáveis todos os insumos da produção no longo prazo, um
administrador pode ter interesse em analisar opções de produção para as quais um ou mais
insumos devam permanecer inalterados. Suponhamos, por exemplo, que apenas dois
tamanhos de fábrica sejam viáveis e a administração tenha de tomar a decisão de construir
uma delas.
About
us
Então, a administração desejaria saber em que ponto a lei dos rendimentos marginais
decrescentes passaria a atuar em cada uma das duas alternativas. Não confunda a lei
dos rendimentos marginais decrescentes com possíveis alterações na qualidade da
mão-de-obra à medida que aumentam as unidades do insumo trabalho (por exemplo, se
todos os trabalhadores com alta qualificação fossem contratados em primeiro lugar, e
aqueles com menor qualificação fossem contratados por último).
Em nossa análise da produção, adotamos a premissa de que todas as unidades do
insumo trabalho têm igual qualidade; por conseguinte, os rendimentos decrescentes
resultam de limitações no uso dos demais insumos mantidos inalterados (por exemplo,
equipamentos), e não do declínio da qualidade dos trabalhadores. Também não
confunda rendimentos decrescentes com retornos negativos. A lei dos rendimentos
decrescentes descreve um produto marginal declinante, mas não necessariamente um
produto marginal negativo.
Função de produção
O produto marginal (produtividade marginal) de
qualquer insumo no processo de produção é o
aumento da produção obtido do uso de uma
unidade adicional deste insumo.
21
insumoinsumo 
produção


=


=
Y
Pmg
Função de produção
A produto média de qualquer insumo no processo de
produção é o aumento da produção obtido do uso
de uma unidade adicional deste insumo.
22
Insumo
 totalProdução
=Pmed
Função de produção (Representações)
23
YAXYXf =),( 5,05,04),( LKLKf = 6,05,0),( LKLKf = },min{),( LKLKf = LKLKf 42),( +=
LKY 42 +=
Coob-Douglas
Retorno de Escala
24
Retorno à escala
Quando mudamos a produção de q0 para q1, em que q1 >
q0, haverá necessidade de aumentar as quantidades
usadas de inputs (fatores de produção).
Ressalta-se que a alteração das quantidades de inputs é
um processo que demora TEMPO, no longo prazo
podemos pensar que existe a possibilidade de expandir a
produção.
25
Retorno à escala
•Crescentes;
•Decrescentes;
•Constantes.
26
Retorno à escala
Se, em termos relativos, o aumento da produção (de
longo prazo) necessitar de um aumento mais que
proporcional dos inputs, então estamos na
presença de um processo com retornos
decrescentes à escala.
27
YL 
Retorno à escala
Se pelo contrário, em termos relativos, o aumento da
produção (de longo prazo) necessita de um
aumento menos que proporcional dos inputs,
então estamos em presença de um processo com
retornos crescentes à escala.
No caso intermédio temos retornos constantes à
escala.
28
Retorno à escala
A classificação dos retornos determina-se
multiplicando os inputs (fatores de produção) por
uma constante (k) e verificando se o aumento da
quantidade produzida é menor, igual ou maior que
essa constante.
29
Retorno à escala
Por exemplo. Sendo um processo produtivo que pode ser
condensado na função de produção
então, aumentando os inputs na proporção k,
30
6.0
2
5.0
121 ),( xxAxxy =),( 21 xkxky 
Retorno à escala
Obtemos o nível de output (produção)
que aumenta mais que a proporção k.
Então existem rendimentos crescentes à escala.
31
6.0
2
5.0
1
1.16.0
2
5.0
1 )()( xxAkxkxkA =
Retorno à escala
No caso da função Coob Douglas:
os retornos à escala são dados pela soma dos expoentes,
( + )
32

2121 ),( xxAxxy =
Função de produção - Exemplo
Na produção de consultas médicas, usam-se como inputs o tempo
do médico e da sua assistente (que agregamos como fator
Trabalho) e o consultório e equipamento (que agregamos como
fator Capital).
Sendo o processo produtivo condensado na função de produção:
qual será o nível de produção se utilizarmos 10 unidades de
trabalho/dia e 50 unidades de capital?
33
3,06,05 KLY −=
Função de produção - Exemplo
Sendo o processo produtivo condensado na função de produção:
qual será o nível de produção de utilizar 10 unidades de
trabalho/dia e 50 unidades de capital?
16,67 consultas pro dia.
34
3,06,05 KLY −=
67,1650)10(5 3,06,0 =−=Y
Função de produção - Exemplo
35
Determinada empresa tem a seguinte função de produção de curto
prazo:
Em que K e L são fatores de produção e Y é a quantidade produzida.
A empresa encontra-se produzindo com K = 18 .
1) Determine a expressão analítica do produto total.
2) A produtividade média.
3) A produtividade marginal do fator L.
32 LKLY −=
Função de produção - Exemplo
36
Determinada empresa tem a seguinte função de produção:
Em que K e L são fatores de produção e Q é a quantidade produzida. A
empresa encontra-se produzindo com K = 18 .
1) Determine a expressão analítica do produto total.
2) produtividade média 
3) produtividade marginal do fator L.
32 LKLY −=
3218 LLY −=
218 LL
L
Y
−=
2336 LLPmg −=
Função de produção - Exemplo
37
Considere a expressão genérica da função de produção do tipo
Cobb-Douglas com dois fatores, trabalho (L) e capital (K):
Determine as expressões algébricas da produtividade média.
da produtividade marginal de ambos os fatores.
KALKLf =),(
Função de produção - Exemplo
38
Considere a expressão genérica da função de produção do tipo
Cobb-Douglas com dois fatores, trabalho (L) e capital (K):
Determine as expressões algébricas da produtividade média.
da produtividade marginal de ambos os fatores.
KALKLf =),(
Produção com 
dois insumos 
variáveis
Longo prazo
Produção com dois insumos variáveis
Completamos nossa análise da função de
produção no curto prazo, na qual um dos
insumos, o trabalho, é variável, e o outro, o
capital, é fixo.
Agora nos voltaremos ao longo prazo, no qual
tanto o trabalho quanto o capital são variáveis.
A empresa pode agora produzir de vários modos,
combinando diferentes quantidades de trabalho
e capital.
Veremos como uma empresa pode escolher
entre combinações de trabalho e capital quegeram a mesma produção.
Isoquantas
Começaremos examinando a tecnologia de produção
da empresa quando ela utiliza dois insumos e pode
fazer variações de ambos. Suponhamos, por exemplo,
que os insumos sejam capital e trabalho, e que estes
estejam sendo utilizados para produzir um bem.
Isoquantas
42L
K
0
Y1Y
As isoquantas são conjuntos de todas as
combinações possíveis de dois insumos que são
exatamente suficientes para produzir determinada
quantidade de produto.
Versão simplificada da firma: 
Apenas 2 fatores:
Y=Produção
K= Quantidade de 
capital;
L = Quantidade de 
trabalho.
SUBSTITUIÇÃO ENTRE INSUMOS
Havendo dois insumos que possam ser alterados, um
administrador deve considerar a possibilidade de substituir
um pelo outro. A inclinação de cada isoquanta indica o
volume de cada insumo que pode ser substituído por
determinada quantidade do outro, mantendo-se a produção
constante. Quando o sinal negativo é removido, a inclinação
passa a ser denominada taxa marginal de substituição
técnica (TMST).
A taxa marginal de substituição técnica do trabalho por
capital é a quantidade em que se pode reduzir o insumo
capital quando se utiliza uma unidade extra de insumo
trabalho, de tal forma que a produção seja mantida
constante.
A TMS mostra como os produtores substituem um bem
pelo outro, mantendo o nível de produção constante.
Taxa Marginal de Substituição Técnica
TMST
Taxa Marginal de Substituição Técnica: A proporção de
substituição dos fatores de produção (ex: K,L) que permite
manter o mesmo nível de produção.
44
K
L
TMST
Estando o trabalho no eixo das abcissas, a TMST traduz
quantas unidades de capital eu tenho que aumentar
para poder diminuir a quantidade de trabalho numa
unidade e manter o mesmo nível de produção.
É equivalente à TMS da Teoria do Consumidor
45
TMST – função implícita
Obtemos a TMST diretamente as partir das derivadas parciais da
função de produção
TMSTL,K = – f’L/ f’K.
46
TMST – função implícita
K
L
L
f
f
dK
df
dL
df
df
df
dL
dK
dL
dK
K
'
'
' −=−===
47
TMST - Exemplo
Considere a seguinte função de produção relativa a fabricação
de um certo bem:
Calcule a TMST
48
4/32/1 4),( KLKLf =
TMST - Exemplo
Considere a seguinte função de produção relativa ao fabrico de
um certo bem:
Calcule a TMST
49
4/32/1 4),( KLKLf =
Exercício
Na produção de comunicações telefonicas, tem-se a seguinte
função produção,
y(L, K) = 10L 0.1.K 0.8
determine a TMSTL,K (de trabalho por capital) quando K= 100
unidades e L = 10unidades.
50
Exercício
Quando se diminui L em 1u., para manter o mesmo nível de produção
será necessário aumentar K em 1.25 u.
51
25.1
10
100
125.0125.0
8
'
'
)(
2.01.0
8.09.0
,
−=−=−=−=
−=
−
−
L
K
KL
KL
f
f
TMSTLK
K
L
KL
Exercício
A afirmativa é verdadeira ou falsa?
Desde que seja usado um só fator na produção de um bem e
que a tecnologia apresente rendimentos decrescentes à escala,
a produtividade marginal do fator é decrescente.
52
Exercício
A afirmativa é verdadeira ou falsa?
Desde que seja usado um só fator na produção de um bem e
que a tecnologia apresente rendimentos decrescentes à escala,
a produtividade marginal do fator é decrescente.
Verdadeira
53
Exercício
A afirmativa é verdadeira ou falsa?
Se a tecnologia apresenta rendimentos constantes à escala 
então duplicar a quantidade usada de um fator de produção 
duplica a quantidade produzida.
54
Exercício
A afirmativa é verdadeira ou falsa?
Se a tecnologia apresenta rendimentos constantes à escala 
então duplicar a quantidade usada de um fator de produção 
duplica a quantidade produzida.
Falso, como se comprova pelo seguinte contra-exemplo. 𝑄 =
𝐾0,5𝐿0,5 é uma função de produção que exibe retorno de escala 
constante. Se K = 4 e L = 9 , então Q = 6 . Duplicando apenas a 
quantidade de K, vem Q ≈ 8,485 que não é, obviamente, o dobro 
da quantidade produzida inicial. 55
Qual é a quantidade ótima 
de cada fator de produção?
Relação entre custo.
Qual é a quantidade 
ótima de cada fator 
de produção?
• É Possível utilizar a TMS para
identificar a quantidade ótima
de cada fator. Basta igualar a
TMS a razão de preços dos
insumos
Quantidades ótimas dos fatores
58
𝑇𝑀𝑆𝐿𝐾 =
𝑃𝑚𝑔𝑙
𝑃𝑚𝑔𝑘
=
𝑤
𝑟 insumoinsumo 
produção


=


=
Y
Pmg
Sendo Pmg a produtividade marginal do fator analisado (L ou K)
𝑤
𝑟
é a razão entre os preços dos fatores analisados, w para Trabalho e r para Capital.
Voltamos ao objetivo da firma
59
Maximizar lucro
• Até agora analisados as escolhas técnicas,
com as quais a empresa se depara. Agora
mostraremos um modelo de como as
empresas escolhem a quantidade que irão
produzir e o método que utilizarão.
• Primeiramente vamos mostrar o método
maximização de lucro.
60
O lucro econômico é definido como a diferença 
entre a receita de uma empresa recebe e os 
custos que incorrem.
Uma forma de ver o problema da 
firma.
Encontrar a maior diferença
possível entre receita e custos para
um determinado nível de
produção.
Maximização de Lucro
Maximização de Lucro
• Um pressuposto básico da análise econômica do
comportamento da empresa é esse uma empresa age
de modo a maximizar seus lucros, ou seja, uma
empresa escolhe ações (a1, ..., an), de modo a
maximizar R(a1, ..., an) - C (a1, ..., an).
• Uma simples aplicação de cálculo mostra que um
conjunto ótimo de ações a*=(a,...,an*)
ni
a
aC
a
aR
ii
,...,1 
*)(*)(
=


=


),...,(),...,(max
11,...,1 nn
aaCaaR
na
a
−
62
Maximização de Lucro
A intuição por trás dessas condições deve
ser clara: Se a receita marginal era maior do
que o custo marginal, pagaria para
aumentar o nível de a atividade; se a
receita marginal fosse inferior ao custo
marginal, pagaria para diminuir o nível da
atividade.
Maximização de Lucro 
(No curto prazo)
➢ Receita total da firma:
➢Custo total da firma:
➢Lucro da firma:
),( KLpfR =
KrwLC +=
CRT −=
64
Maximização de Lucro
(No curto prazo)
Problema da firma: rK)-wL-)Kf(L, (pMax 
)(Max 
0),('
),(
=−=


wKLpf
L
KLf
wKLpf =),('
Lembrando que: r= Preço do 
capital e w= Preço do trabalho.
Pmg do trabalho
Condição de 
primeira 
ordem (CPO)
65
Esta condição 
simplesmente diz 
que o valor do 
produto marginal 
de cada fator deve 
ser igual ao seu 
preço.
Maximização de Lucro
(No curto prazo)
• Podemos derivar a mesma condição (CPO) de maneira
gráfica. Ao utilizarmos y para representar a produção
da empresa, os lucros são dados por:
• Essa expressão também pode ser solucionada pra y,
para expressar a produção como função de L.
66
KrwLpY −−= Kp
r
L
p
w
p
Y ++=

Isolucro
Os conjuntos de níveis dessa função (Para p e w fixos) são
linhas retas que podem ser representadas como funções
da forma:
Y
L
p
w
Reta Isolucro
K
p
r
p
Y +=

67
L
p
w
p
Y +=

Maximização de Lucro
(No curto prazo)
• Isolucro e a Função de Produção (tangência)
Ponto E (A quantidade que maximiza o lucro) : Inclinação 
da Isolucro é igual a inclinação da Função de produção. 
68
Y
L
),( KLfY =
E
Reta Isolucro
*Y
*L
Inclinação = w/p
Exemplo com dois fatores de produção
Suponha a seguinte função de produção:
onde L representa horas de trabalho e K
as horas-máquina. Suponha ainda que
os preços de uma hora de trabalho e de
uma hora-máquina são,
respectivamente, de 1 e de 4 unidadesmonetárias.
Sabemos que CT=100
Encontre a quantidade de L e K ótimas
e a quantidade produzida (F(X)).
𝐹 𝑥 = 𝑋 = 𝐿 Τ1 4𝐾 Τ1 4
Exemplo
Encontre a quantidade de L e
K ótima.
Lembre-se:
𝐶𝑇 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾
Podemos então utilizar:
𝐹(𝑥) = 𝐿 Τ1 4𝐾 Τ1 4
𝑇𝑀𝑆𝐿𝐾 =
𝑃𝑚𝑔𝑙
𝑃𝑚𝑎𝑔𝑘
=
𝑤
𝑟
Exemplo
Queremos encontrar K e L ótimos 
𝑇𝑀𝑆𝐿𝐾 =
1
4𝐿
1
4−1𝐾 Τ1 4
1
4 𝐿
1
4 𝐾 Τ1 4 −1
=
𝑤
𝑟
𝑇𝑀𝑆𝐿𝐾 =
𝐾
𝐿
=
1
4
𝐹(𝑥) = 𝐿 Τ1 4𝐾 Τ1 4
𝑇𝑀𝑆𝐿𝐾 =
𝐿
−3
4 𝐾 Τ1 4
𝐿
1
4 𝐾 Τ−3 4
=
𝑤
𝑟
4𝐾 = 𝐿
Substituir na equação de custos
Exemplo
𝐹 𝑥 = 𝑋 = 𝐿 Τ1 4𝐾 Τ1 4
4𝐾 = 𝐿
Substituir na equação de custos
100 = 𝐿 + 4𝐾
100 = 4𝐾 + 4𝐾=8K
K=12,5
100 = 𝐿 + 4(12,5)
100 = 𝐿 + 50
𝑳 = 𝟓𝟎
Exemplo
𝐹 𝑥 = 𝑋 = (50) Τ1 4(12,5) Τ1 4
𝐹 𝑥 = 𝑋 = 2,65 1,88 ≅ 5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
Exemplo com dois fatores de produção
Suponha a seguinte função de produção:
onde L representa horas de trabalho e K
as horas-máquina. Suponha ainda que
os preços de uma hora de trabalho e de
uma hora-máquina são,
respectivamente, de 1 e de 4 unidades
monetárias.
Sabemos que CT=100
Encontre a quantidade de L e K ótimas
e a quantidade produzida (F(X)).
𝐹 𝑥 = 𝑋 = 𝐿 Τ1 4 + 2𝐾 Τ1 4
Exemplo
Encontre a quantidade de L e
K ótima.
Lembre-se:
𝐶𝑇 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾
Podemos então utilizar:
𝐹(𝑥) = 𝐿 Τ1 4 +2𝐾 Τ1 4
𝑇𝑀𝑆𝐿𝐾 =
𝑃𝑚𝑔𝑙
𝑃𝑚𝑎𝑔𝑘
=
𝑤
𝑟
Exemplo
𝐹 𝑥 = 𝑋 = 𝐿 Τ1 4 + 2𝐾 Τ1 4
𝑇𝑀𝑆𝐿𝐾 =
1
4𝐿
1
4−1
1