Funções trigonométricas: tangente e cotangente
11 pág.

Funções trigonométricas: tangente e cotangente


DisciplinaMatemática107.143 materiais2.648.747 seguidores
Pré-visualização2 páginas
Matemática 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: TANGENTE E 
COTANGENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Funções trigonométricas: tangente e cotangente .............................................................. 2 
1.1. Função tangente ............................................................................................................... 2 
1.2. Função cotangente ........................................................................................................... 5 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila Funções Trigonométricas: seno e cosseno, estudamos com mais 
riqueza de detalhes as funções trigonométricas: seno e cosseno. Foi possível 
conhecer o comportamento delas, bem com suas respectivas representações 
gráficas. 
 Nesta apostila continuaremos estudando as funções trigonométricas, que são 
funções angulares e caracteriza uma grande importância no estudo dos triângulos e 
na modelação de fenômenos periódicos. Assim aprenderemos mais sobre a função 
tangente e cotangente. A função cotangente é considerada a função inversa da 
função tangente. 
Objetivo 
\u2022 Ler, identificar e representar a função tangente; 
\u2022 Ler, identificar e representar a função cotangente. 
1. Funções trigonométricas: tangente e cotangente 
1.1. Função tangente 
A função tangente é definida por: \ud835\udc66 = \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc61\ud835\udc54(\ud835\udc65) e associa a cada número 
real x o número \ud835\udc66 = \ud835\udc61\ud835\udc54(\ud835\udc65) . A ela são atribuídas as seguintes características: 
\u2022 Seu domínio é um subconjunto do conjunto dos números reais, isso 
porque \ud835\udc61\ud835\udc54(\ud835\udc65) =
\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b(\ud835\udc65)
cos\u2061(\ud835\udc65)
 e existem valores que podem zerar este denominador, assim 
o domínio são todos os números reais exceto os valores que podem zerar o cos (x) 
assim: \ud835\udc37 = {\ud835\udc65\ud835\udf16\u211d/\ud835\udc65 \u2260
\ud835\udf0b
2
+ \ud835\udc58\ud835\udf0b, \ud835\udc58\ud835\udf16\u2124} 
\u2022 O contradomínio da função tangente é definido pelo conjunto dos 
números reais; 
\u2022 O conjunto imagem é o conjunto dos números reais, ou seja,\u2061\ud835\udc3c\ud835\udc5a = \u211d 
ou \ud835\udc3c\ud835\udc5a = [\u2212\u221e,\u221e]; 
\u2022 A função tangente é periódica de período \u3c0, o que significa que a 
função tangente assume os mesmos valores de \u3c0 em \u3c0. Funções que estão na forma 
\ud835\udc66 = \ud835\udc61\ud835\udc54(\ud835\udc5a\ud835\udc65), onde m é um inteiro qualquer, o período pode ser encontrado pela 
relação 
\ud835\udf0b
\ud835\udc5a
. Observe a figura seguinte: 
 
 
 
3 
 
 
Representação gráfica da função tangente 
 
Sinal da função: Tangente é a ordenada que representa a intersecção de 
uma reta que passa pelo centro da circunferência trigonométrica e o ponto 
extremidade do arco com o eixo das tangentes, logo, conclui-se que se \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc61\ud835\udc54(\ud835\udc65) 
é negativa no 2° e 4° quadrante e \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc61\ud835\udc54(\ud835\udc65) é positiva no 1° e 3° quadrante. 
 
 
 Na figura a seguir, temos a localização do eixo dos senos, das tangentes, das 
cotangentes e cosenos. 
 
Tangente
 
4 
 
 
Ciclo trigonométrico 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o exemplo acima, onde f(x) = tg(2x), teríamos o seguinte gráfico: 
 
Determine o domínio, imagem e período da 
seguinte função: \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc61\ud835\udc54(2\ud835\udc65) 
\u2022 A imagem é o conjunto dos números reais; 
\u2022 O domínio é: 2\ud835\udc65 \u2260
\ud835\udf0b
2
+ \ud835\udc58\ud835\udf0b, logo é definido por: 
\ud835\udc65 \u2260
\ud835\udf0b
4
+ \ud835\udc58
\ud835\udf0b
2
 
\u2022 Para determinar o período, faremos t = 2x, para 
que tg t complete um período, t deve variar de 0 a 
\ud835\udf0b, logo: 
 0 \u2264 \ud835\udc61 \u2264 \ud835\udf0b\u2061\ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udc61ã\ud835\udc5c\u20610 \u2264 2\ud835\udc65 \u2264 \ud835\udf0b\u2061\ud835\udc52\u20610 \u2264 \ud835\udc65 \u2264
\ud835\udf0b
2
, 
o período da função corresponde a variação de x: 
\ud835\udf0b
2
\u2212 0 =
\ud835\udf0b
2
, ou pela relação 
\ud835\udf0b
\ud835\udc5a
. 
 
 
 
 
5 
 
 
 
1.2. Função cotangente 
A função cotangente, inversa da função tangente é definida por: \ud835\udc66 = \ud835\udc53(\ud835\udc65) =
\ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc61\ud835\udc54(\ud835\udc65) e associa a cada número real x o número \ud835\udc66 = \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc61\ud835\udc54(\ud835\udc65) . A ela são atribuídas 
as seguintes características: 
\u2022 Seu domínio é um subconjunto do conjunto dos números reais, isso 
porque \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc61\ud835\udc54(\ud835\udc65) =
\ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc60(\ud835\udc65)
sen\u2061(\ud835\udc65)
 e existem valores que podem zerar este denominador, 
assim o domínio são todos os números reais exceto os valores que podem zerar o 
sen (x) assim: \ud835\udc37 = {\ud835\udc65\ud835\udf16\u211d/\ud835\udc65 \u2260 \ud835\udc58\ud835\udf0b, \ud835\udc58\ud835\udf16\u2124}; 
\u2022 O contradomínio da função cotangente é definido pelo conjunto dos 
números reais; 
\u2022 O conjunto imagem é o conjunto dos números reais, ou seja,\u2061\ud835\udc3c\ud835\udc5a = \u211d 
ou \ud835\udc3c\ud835\udc5a = [\u2212\u221e,\u221e]; 
\u2022 A função cotangente é periódica de período \ud835\udf0b,o que significa que a 
função cotangente assume os mesmos valores de \ud835\udf0b em \ud835\udf0b .Funções que estão na 
forma \ud835\udc66 = \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc61\ud835\udc54(\ud835\udc5a\ud835\udc65), onde m é um inteiro qualquer, o período pode ser encontrado 
pela relação 
\ud835\udf0b
\ud835\udc5a
. Observe a figura a seguir: 
 
 
6 
 
 
Representação gráfica da função cotangente 
 
Sinal da função: A função cotangente é positiva quando o ângulo de 
referência se apresenta no 1° ou 3° quadrante e negativo quando o ângulo está 
disposto no 2° ou 4° quadrante. Estas informações são possíveis de visualizar através 
da figura disposta anteriormente. É importante destacar que, mesmo sendo a 
cotangente a inversa da tangente, temos que o sinal dessas é igual, ou seja, positivos 
no primeiro e terceiro quadrantes e negativo no segundo e quarto quadrantes. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que f(x)=cotg x, podemos dizer que f(\u3b1) = cotg \u3b1, observe a figura 
abaixo: 
Determine o domínio, imagem e período da 
seguinte função: \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc61\ud835\udc54(4\ud835\udc65) 
\u2022 A imagem é o conjunto dos números reais. 
\u2022 O domínio é dado por \ud835\udc37 = {\ud835\udc65\ud835\udf16\u211d/\ud835\udc65 \u2260 \ud835\udc58\ud835\udf0b, \ud835\udc58\ud835\udf16\u2124}, 
logo: \ud835\udc37 = 4\ud835\udc65 \u2260 \ud835\udc58\ud835\udf0b \u2192 \ud835\udc65 \u2260 \ud835\udc58.
\ud835\udf0b
4
 
\u2022 Determinar o período consiste em identificar a 
constante c e substituir na relação: sem ter 
completado um período, ou seja, basta aplicar a 
relação: \ud835\udc5d =
\ud835\udf0b
4
 
 
7 
 
 
Podemos observar na primeira figura que, com o ângulo \u3b1 e o ponto P da 
circunferência, associado a \u3b1, é possível estender uma reta OP para que encontre o 
eixo das cotangentes, que neste caso é BG e vamos encontrar com o ponto G. A 
medida BG é a cotangente de \u3b1, ou seja, cotg(x). 
A segunda figura nos mostra os quadrantes 1 e 3 positivos e 2 e 4 negativos 
para cotangente. 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) Assinale uma opção que representa uma afirmação incorreta 
quanto ao estudo das funções trigonométricas: 
 
a) A função seno é uma função periódica e seu período é 2\u3c0. 
b) O gráfico da função seno é uma curva chamada de senoide. 
c) A função tangente é uma função periódica e seu período é \u3c0. 
d) O conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o 
conjunto dos números reais. 
e) A função cotangente possui O domínio e o contradomínio iguais ao 
conjunto dos números reais. 
 
2. (Autor, 2019) O período da função \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc61\ud835\udc54(\u20618\ud835\udc65) corresponde a: 
 
a) 
\ud835\udf0b
2
 
 
b) 
\ud835\udf0b
3
 
 
c) 
\ud835\udf0b
4
 
 
8 
 
 
d) 
\ud835\udf0b
5
 
e) 
\ud835\udf0b
8
 
 
3. (Autor, 2019) O período da função