Funções trigonométricas: tangente e cotangente

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Matemática 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: TANGENTE E 
COTANGENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Funções trigonométricas: tangente e cotangente .............................................................. 2 
1.1. Função tangente ............................................................................................................... 2 
1.2. Função cotangente ........................................................................................................... 5 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila Funções Trigonométricas: seno e cosseno, estudamos com mais 
riqueza de detalhes as funções trigonométricas: seno e cosseno. Foi possível 
conhecer o comportamento delas, bem com suas respectivas representações 
gráficas. 
 Nesta apostila continuaremos estudando as funções trigonométricas, que são 
funções angulares e caracteriza uma grande importância no estudo dos triângulos e 
na modelação de fenômenos periódicos. Assim aprenderemos mais sobre a função 
tangente e cotangente. A função cotangente é considerada a função inversa da 
função tangente. 
Objetivo 
• Ler, identificar e representar a função tangente; 
• Ler, identificar e representar a função cotangente. 
1. Funções trigonométricas: tangente e cotangente 
1.1. Função tangente 
A função tangente é definida por: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) e associa a cada número 
real x o número 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥) . A ela são atribuídas as seguintes características: 
• Seu domínio é um subconjunto do conjunto dos números reais, isso 
porque 𝑡𝑔(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos⁡(𝑥)
 e existem valores que podem zerar este denominador, assim 
o domínio são todos os números reais exceto os valores que podem zerar o cos (x) 
assim: 𝐷 = {𝑥𝜖ℝ/𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ} 
• O contradomínio da função tangente é definido pelo conjunto dos 
números reais; 
• O conjunto imagem é o conjunto dos números reais, ou seja,⁡𝐼𝑚 = ℝ 
ou 𝐼𝑚 = [−∞,∞]; 
• A função tangente é periódica de período π, o que significa que a 
função tangente assume os mesmos valores de π em π. Funções que estão na forma 
𝑦 = 𝑡𝑔(𝑚𝑥), onde m é um inteiro qualquer, o período pode ser encontrado pela 
relação 
𝜋
𝑚
. Observe a figura seguinte: 
 
 
 
3 
 
 
Representação gráfica da função tangente 
 
Sinal da função: Tangente é a ordenada que representa a intersecção de 
uma reta que passa pelo centro da circunferência trigonométrica e o ponto 
extremidade do arco com o eixo das tangentes, logo, conclui-se que se 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) 
é negativa no 2° e 4° quadrante e 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) é positiva no 1° e 3° quadrante. 
 
 
 Na figura a seguir, temos a localização do eixo dos senos, das tangentes, das 
cotangentes e cosenos. 
 
Tangente
 
4 
 
 
Ciclo trigonométrico 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o exemplo acima, onde f(x) = tg(2x), teríamos o seguinte gráfico: 
 
Determine o domínio, imagem e período da 
seguinte função: 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(2𝑥) 
• A imagem é o conjunto dos números reais; 
• O domínio é: 2𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, logo é definido por: 
𝑥 ≠
𝜋
4
+ 𝑘
𝜋
2
 
• Para determinar o período, faremos t = 2x, para 
que tg t complete um período, t deve variar de 0 a 
𝜋, logo: 
 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋⁡𝑒𝑛𝑡ã𝑜⁡0 ≤ 2𝑥 ≤ 𝜋⁡𝑒⁡0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
, 
o período da função corresponde a variação de x: 
𝜋
2
− 0 =
𝜋
2
, ou pela relação 
𝜋
𝑚
. 
 
 
 
 
5 
 
 
 
1.2. Função cotangente 
A função cotangente, inversa da função tangente é definida por: 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) e associa a cada número real x o número 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) . A ela são atribuídas 
as seguintes características: 
• Seu domínio é um subconjunto do conjunto dos números reais, isso 
porque 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
sen⁡(𝑥)
 e existem valores que podem zerar este denominador, 
assim o domínio são todos os números reais exceto os valores que podem zerar o 
sen (x) assim: 𝐷 = {𝑥𝜖ℝ/𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ}; 
• O contradomínio da função cotangente é definido pelo conjunto dos 
números reais; 
• O conjunto imagem é o conjunto dos números reais, ou seja,⁡𝐼𝑚 = ℝ 
ou 𝐼𝑚 = [−∞,∞]; 
• A função cotangente é periódica de período 𝜋,o que significa que a 
função cotangente assume os mesmos valores de 𝜋 em 𝜋 .Funções que estão na 
forma 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑚𝑥), onde m é um inteiro qualquer, o período pode ser encontrado 
pela relação 
𝜋
𝑚
. Observe a figura a seguir: 
 
 
6 
 
 
Representação gráfica da função cotangente 
 
Sinal da função: A função cotangente é positiva quando o ângulo de 
referência se apresenta no 1° ou 3° quadrante e negativo quando o ângulo está 
disposto no 2° ou 4° quadrante. Estas informações são possíveis de visualizar através 
da figura disposta anteriormente. É importante destacar que, mesmo sendo a 
cotangente a inversa da tangente, temos que o sinal dessas é igual, ou seja, positivos 
no primeiro e terceiro quadrantes e negativo no segundo e quarto quadrantes. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que f(x)=cotg x, podemos dizer que f(α) = cotg α, observe a figura 
abaixo: 
Determine o domínio, imagem e período da 
seguinte função: 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(4𝑥) 
• A imagem é o conjunto dos números reais. 
• O domínio é dado por 𝐷 = {𝑥𝜖ℝ/𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ}, 
logo: 𝐷 = 4𝑥 ≠ 𝑘𝜋 → 𝑥 ≠ 𝑘.
𝜋
4
 
• Determinar o período consiste em identificar a 
constante c e substituir na relação: sem ter 
completado um período, ou seja, basta aplicar a 
relação: 𝑝 =
𝜋
4
 
 
7 
 
 
Podemos observar na primeira figura que, com o ângulo α e o ponto P da 
circunferência, associado a α, é possível estender uma reta OP para que encontre o 
eixo das cotangentes, que neste caso é BG e vamos encontrar com o ponto G. A 
medida BG é a cotangente de α, ou seja, cotg(x). 
A segunda figura nos mostra os quadrantes 1 e 3 positivos e 2 e 4 negativos 
para cotangente. 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) Assinale uma opção que representa uma afirmação incorreta 
quanto ao estudo das funções trigonométricas: 
 
a) A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. 
b) O gráfico da função seno é uma curva chamada de senoide. 
c) A função tangente é uma função periódica e seu período é π. 
d) O conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o 
conjunto dos números reais. 
e) A função cotangente possui O domínio e o contradomínio iguais ao 
conjunto dos números reais. 
 
2. (Autor, 2019) O período da função 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(⁡8𝑥) corresponde a: 
 
a) 
𝜋
2
 
 
b) 
𝜋
3
 
 
c) 
𝜋
4
 
 
8 
 
 
d) 
𝜋
5
 
e) 
𝜋
8
 
 
3. (Autor, 2019) O período da função𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(⁡7𝑥), corresponde a: 
 
a) 
𝜋
4
 
 
b) 
𝜋
6
 
 
c) 
𝜋
7
 
 
d) 
𝜋
8
 
 
e) 
𝜋
8
 
Gabarito 
1. A única alternativa incorreta é a opção “e”, uma vez que a função cotangente 
não possui domínio e contradomínio iguais ao conjunto dos números reais. 
 
2. Para determinar o período da função cotangente que é periódica no período 
correspondente a 𝜋, assumindo os mesmos valores de 𝜋 em 𝜋. Funções que 
estão na forma 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑚𝑥), onde m é um inteiro qualquer, o período pode 
ser encontrado pela relação 
𝜋
𝑚
. 
 
A função proposta é: 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(⁡8𝑥), logo m é igual a 8, substituindo na 
relação acima, encontramos: 
𝜋
8
 
 
3. Para determinar o período, é necessário relembrar que: a função tangente é 
periódica de período π, o que significa que ela assume os mesmos valores de 
 em Funções que estão na forma 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑚𝑥), onde m é um inteiro 
qualquer, o período pode ser encontrado pela relação 
𝜋
𝑚
. 
A função proposta é: 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(⁡7𝑥), logo m é igual a 7, substituindo na 
relação acima, encontramos: 
𝜋
7
 
 
9 
 
Resumo 
Nesta apostila foi apresentado o conceito funções trigonométricas; tangente 
e cotangente. O domínio da função tangente é dado por: 
 𝐷 = {
𝑥𝜖ℝ
𝑥
≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘⁡𝜖⁡ℤ} o da função cotangente é definido por 𝐷 =
{𝑥𝜖ℝ/𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ}; já a imagem de ambas é o próprio conjunto dos reais, assim 
para qualquer valor de x existe y real. O período de ambas as funções corresponde a 
π. Estas são as características essenciais para o conhecimento destas funções. 
Vejamos o quadro a seguir, pois resume sistematicamente o conteúdo estudado. 
 
 
 
É definida por y = f(x) = tg(x) 
associa associa a cada número real x o número y = tg(x)
O Domínio é D 
Imagem 
É periódica de período π assume os mesmos valores de π em π
Sua representação gráfica
Sinal da função
é negativa no 2º e 4º quadrante
é positiva no 1º e 3º quadrante
É inversa da função tangente y = f(x) = cotg(x) 
O Domínio é
Conj.imagem pelo intervalo
É periódica de período π período de π em π e sua curva se repete neste intervalo
Sua representação gráfica
Sinal da Função
(+) se ângulo referência 1º e 3º quadrante
(-) se ângulo referência 2º e 4º quadrante
Função Tangente
Função Cotangente
 
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Referências bibliográficas 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 2005 
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2014. 
MACHADO, A. dos Santos. Matemática: temas e metas 2 - Trigonometria e Progressões. São Paulo: Atual, 1986. 
PAIVA, M. Matemática: volume único. 1.ed. São Paulo, Moderna, 1999. 
Referências imagéticas 
Wikimedia. Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Tangent-
plot.svg/800px-Tangent-plot.svg.png. Acessado em: 05/03/2019 às 12h10 
Wikimedia. Disponível em: 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Circulo_Trigonometrico_tangente.png. Acessado em: 
05/03/2019 às 12h18 
Wikimedia. Disponível em: 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Cotangent.svg/1200px-Cotangent.svg.png. 
Acessado em: 05/03/2019 às 12h30