DESCONTINUIDADE DE MF, MV Resistência dos Materiais I ESTUDAR

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MONITORIA DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
Eranilton de Jesus 
DESCONTINUIDADE NOS DIAGRAMAS 
Os diagramas de esforços Normais, Cortante e Momento Fletor são 
auxiliadores para o entendimento do que ocorre na estrutura, a qual solicitação 
está sujeita em cada ponto de sua extensão. 
Em Diagramas de Esforços Normais (DEN) existem descontinuidades no 
início ou término de um carregamento horizontal. 
Nos de Esforços Cortantes (DEQ ou DEC) devido a cargas verticais 
pontuais. Obs.: mudança de carga distribuída não causa descontinuidade 
exatamente, mas mudança no coeficiente angular da reta gráfica. 
Para os de Momento Fletor (DMF) apenas momentos aplicados. 
1.1 Observações 
 
 O DEN não sofre nenhuma alteração devido a cargas pontuais 
verticais, nem a momentos aplicados; 
 DEQ não tem descontinuidade em pontos com cargas horizontais ou 
momentos aplicados; 
 DMF também não possui descontinuidade em pontos que haja 
cargas pontuais verticais, ou horizontais, pois o momento causado 
por essas cargas em seu ponto de aplicação é nulo. Para se ter 
momento é necessário haver distância; 
Vale salientar que podemos construir o DMF de duas maneiras: 
matemática e analiticamente. A forma analítica é inversa a da matemática, mas 
mostra diretamente quais barras deverão ser reforçadas; 
Derivada de uma equação, quando igualada a zero, não garante 
encontrar ponto de máximo, mas ponto crítico, podendo ser observado a partir 
de uma equação do segundo grau, pois d(ax+b)/dx = 0, com a > 0, resulta em a 
= 0, que não é satisfeita. 
UTILIDADE DOS DIAGRAMAS 
 Os diagramas, conforme dito anteriormente, são um auxilio para o 
entendimento da estrutura. E a partir desses diagramas criamos parâmetros de 
dimensionamento. 
O DEN mostra os trechos em que a estrutura está sofrendo tração ou 
compressão 
DEQ é para dimensionamento da seção de aço transversal da estrutura 
(estribos). 
 DMF para dimensionamento das barras longitudinais sejam elas 
negativas ou positivas. 
 
GRAUS DAS EQUAÇÕES 
A equação do cortante é sempre um grau a mais que a do carregamento 
e a do momento, dois. 
Desse modo, carregamento uniformemente distribuído gera para o 
cortante a equação de uma reta inclinada, enquanto que para o momento uma 
parábola do segundo grau, e assim sucessivamente. 
Quando temos uma carga pontual vertical, o cortante é uma reta 
horizontal, ou seja, constante, tornando-se função de grau zero. Assim sendo, 
por tudo que foi assinalado acima, teria uma equação do carregamento com 
grau negativo (-1). O comportamento dessa equação não nos interessa ainda, 
mas será analisado na disciplina de Resistência dos Materiais 2, por meio das 
equações de Macaulay. 
 
 
 
ANÁLISE DOS CARREGAMENTOS PONTUAIS EM SEU LOCAL DE 
APLICAÇÃO DIRETA 
As análises de cargas pontuais, enquanto fazemos os cálculos para 
modelagem das equações de cada trecho da estrutura, podem ser feitas da 
seguinte forma (quando da esquerda para a direita): 
Suponha estar no lado direito posterior ao ponto de aplicação e, por 
meio das condições positivas dos esforços normais, cortantes e fletores, 
analisamos o comportamento desse carregamento com relação as 
condicionantes do lado esquerdo. Caso sejam iguais, significa que somamo-los 
aos valores que temos; de maneira análoga, quando diferentes, subtraímo-los. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VIGAS GERBER 
São sistemas de vigas combinadas, as quais, a primeira vista são 
hiperestáticas, e é justamente aí onde está o uso desse tipo de estrutura: para 
vencer grandes vãos e condições de hiperestaticidade. 
Essas estruturas possuem algumas particularidades. Os pontos de união 
entre as vigas que compreendem esse sistema de estrutura são denominados 
rótulas, que funcionam como apoios de primeiro ou segundo gênero. 
Nessas uniões há permissão de leves movimentos giratórios, portanto o 
momento fletor nesse ponto é igual a zero. 
Para o cálculo das reações nem sempre se pode seguir a sequência a 
que a estrutura está disposta. É necessário observar o trecho entre as rótulas 
que seja isostático, com estabilidade própria, para a partir dele construir a 
árvore de combinação e só depois chegar aos valores das reações. 
Vale ressaltar que, conforme assinalado acima, as rótulas funcionam 
como apoios, mas apenas para efeitos de cálculos e para mostrar qual 
estrutura está se apoiando em outra. 
Os valores encontrados nas rótulas não alteram em nada nos 
diagramas, pois são apenas internos e se cancelam entre si. Isso pode ser 
observado facilmente, pois encontrando uma força para cima em uma 
determinada rótula, coloca-se outra de mesma intensidade, mas sentido 
oposto, na viga que depende de si, resultando em zero sua soma. 
 
 
 
 
 
 
PÓRTICOS 
 Os pórticos são um pouco mais complexos para se entender, mas tendo 
compreendido os conceitos do início do semestre, então facilmente consegue-
se resolver questões que envolvam este tipo de estrutura. 
Os conceitos iniciais são os da análise de uma mesma viga para as 
reações internas em um determinado ponto de sua extensão: são de iguais 
valor, mas de sentidos opostos, quando analisados pelo lado esquerdo e direito 
da viga, garantindo que a estrutura esteja em equilíbrio. 
O detalhe está ao passar as componentes para a próxima barra: forças 
normais na anterior tornam-se forças cisalhantes da posterior; cisalhantes na 
anterior tornam-se normais na posterior; o momento permanece o mesmo 
devido à condição de equilíbrio no nó, ou seja, momento negativo continua 
negativo; e momento positivo também permanece. Todos, na transladação, 
devem estar em sentido oposto ao que foi encontrado na anterior. 
TRELIÇAS 
 As treliças são as mais fáceis em termos de diagramas, pois uma treliça 
é dimensionada para receber esforços axiais normais, ou seja, não possuem 
forças cisalhantes ou momentos fletores. 
Contudo, caso haja carregamento superior distribuído, são transferidos 
para os nós de apoio as reações que correspondam a ele, como se fosse uma 
viga apoiada na treliça. Assim, apenas esse trecho terá DEQ e DMF. 
 
 
 
 
 
 
FLEXÃO PURA 
Toda estrutura tende a sofrer deformação. A flexão pura é o dobramento 
que ocorre na estrutura devido ao peso próprio e às forças atuantes nela. 
Essa flexão gera forças infinitesimais em toda seção transversal dela. Da 
linha neutra acima há forças que comprimem ou tracionam, abaixo dessa 
mesma linha, outras forças aparecem, mas contrárias a estas. Isso gera um 
momento na seção transversal. 
De acordo com a dedução da fórmula e suas análises, essas forças 
infinitesimais, quando somadas resultam em zero. 
Tomemos como exemplo uma viga. A equação da tensão normal à 
seção transversal está diretamente proporcional ao momento máximo e à 
distância da linha neutra em que se deseja saber a tensão. De acordo com a 
equação a tensão na linha neutra é nula, havendo aí uma mudança de esforço 
sofrido pela estrutura. 
Quando a seção é simétrica, basta apenas verificar as tensões geradas 
pelo momento máximo da estrutura, devendo verificar somente qual das faces 
sofre compressão e tração. 
Havendo seção assimétrica, tem-se que verificar as tensões causadas 
pelo momento máximo positivo e negativo, pois nesse caso específico, nem 
sempre a tensão calculada para o maior momento resultará em máximas 
tensões. 
Pode-se, então, fazer a seguinte análise: 
a. A seção é simétrica? 
Se sim, verifica-se as tensões causadas pelo momento máximo da 
estrutura. 
Não sendo, calcula-se as tensões devido aos momentos máximos 
positivo e negativo.b. Quais barras serão reforçadas? 
As barras superiores devem ser reforçadas quando há momento 
negativo, daí o nome de ferragem/barra negativa; as inferiores, por sua vez, 
quando o momento é positivo. 
c. Onde ocorre tração? 
Ocorre tração onde se devem ter ferragens reforçadas, pois o concreto 
resiste bem à compressão, enquanto que o aço à tração. 
Portanto, se aplico na equação um momento máximo negativo, significa 
dizer que a seção acima da linha neutra está sofrendo tração. Caso o momento 
seja positivo, a seção sob a linha neutra é que estará sendo tracionada. 
Portanto, apenas depois de analisar as tensões causadas por cada um 
desses momentos (no caso de seção assimétrica), é que se pode dizer qual 
tração e compressão máxima a que a estrutura está sujeita. 
 
ANÁLISE DE TENSÕES NOS PLANOS (MOHR) 
 Conhecendo-se as tensões atuantes num pedaço infinitesimal da 
estrutura, pode-se construir o famoso círculo de Mohr, que possui várias 
formas de análise, sendo uma das mais simples sua comparação a uma 
circunferência com centro deslocado. 
Portanto, para um melhor entendimento do que se faz por meio dessa 
análise, entender de trigonometria e geometria facilita na aplicação dos 
conceitos abordados. 
Para a representação gráfica das tensões principais nesse círculo, 
devem-se plotá-las no eixo horizontal, em que a tensão horizontal é maior que 
a vertical. 
A tensão média está localizada no centro da circunferência, média das 
tensões principais. 
O cisalhamento máximo é o raio dessa circunferência. 
 
As tensões principais são plotadas no eixo horizontal, ou seja, 
cisalhamento igual a zero. Então ao analisar um plano de tensão em que haja 
cisalhamento, significa dizer que não está no plano principal, mas, sim, no 
genérico. 
A partir desse plano pode-se chegar ao plano principal, ao calcular o 
ângulo em que as tensões são máximas. A construção do circulo de Mohr, para 
as tensões, segue as seguintes orientações: 
a. Ângulo positivo ou negativo? 
Caso o ângulo seja negativo, significa dizer que o plano principal está 
rotacionado horariamente nessa mesma variação de ângulo. 
Ângulo positivo, diz-se que o plano principal está rotacionado anti-
horário. 
b. Esboçando o círculo 
Esboçam-se as linhas que geram o ângulo encontrado entre si. Depois 
rotaciona o eixo encontrado, a fim de que ele fique no eixo horizontal. 
Plotam-se as tensões principais neste eixo horizontal e estende da 
tensão 2 à tensão vertical, do plano genérico, uma reta orientada de acordo 
com o ângulo encontrado nos cálculos. 
 
 
 
“Omnia vincit amor. 
Et nos cedamus amori.”