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ALEPI
Assembleia Legislativa do Estado do Piauí
Pós-edital
RACIOCÍNIO LÓGICO
TEORIA DOS CONJUNTOS. ANÁLISE COMBINATÓRIA
Livro Eletrônico
JOSIMAR PADILHA
Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas 
presenciais, telepresenciais e online de Matemá-
tica Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Finan-
ceira e Estatística para processos seletivos em 
concursos públicos estaduais e federais. Além 
disso, é professor de Matemática e Raciocínio 
Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. 
É servidor público há mais de 20 anos. Autor de 
diversas obras e palestrante.
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Teoria dos Conjuntos. Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
Teoria dos Conjuntos, Análise Combinatória (PFC), Probabilidade e Noções de 
Estatística .................................................................................................5
Teoria de Conjuntos ....................................................................................5
Introdução ................................................................................................5
Número de Subconjuntos.............................................................................7
Operações com Conjuntos ...........................................................................9
Análise Combinatória (Princípios de Contagem) ............................................19
Princípios de Contagem, Arranjos, Permutações e Combinações ......................20
Vamos lá! ................................................................................................20
Princípios de Contagem .............................................................................21
Arranjos ..................................................................................................41
Combinações ...........................................................................................44
Probabilidade ...........................................................................................48
Noções de Probabilidade ............................................................................49
Probabilidade ...........................................................................................50
Probabilidade com Eventos Independentes ...................................................53
Probabilidade Condicional ..........................................................................60
Probabilidade de Ocorrer a União de Eventos ................................................65
Noções de Estatística ................................................................................67
População X Amostra ................................................................................68
Censo X Estimação ...................................................................................68
Dados Estatísticos ....................................................................................69
Distribuição de Frequência .........................................................................72
Representação dos Dados Discretos ............................................................72
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Teoria dos Conjuntos. Análise Combinatória
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Amplitude Amostral (A) – Range .................................................................76
Representação de Dados em Classes ...........................................................76
Medidas de Tendência Central e Separatrizes ................................................77
3. Moda ...................................................................................................92
Medidas de Dispersão ...............................................................................94
Questões de Concurso ............................................................................. 112
Gabarito ................................................................................................ 134
Gabarito Comentado ............................................................................... 135
Autoavaliação ........................................................................................ 204
Gabarito ................................................................................................ 210
Questões Comentadas da Autoavaliação .................................................... 211
Desafio 01 – Comentário ......................................................................... 221
Desafio 02 – Comentário ......................................................................... 223
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Teoria dos Conjuntos. Análise Combinatória
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TEORIA DOS CONJUNTOS, ANÁLISE COMBINATÓRIA 
(PFC), PROBABILIDADE E NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
Teoria de Conjuntos
Primeiramente é importante que saibamos que “Teoria de Conjuntos” traz uma 
interpretação concreta dos fundamentos utilizados na lógica proposicional. É im-
portante ressaltar que é um conteúdo constante nas últimas provas de concursos 
públicos.
Introdução
O que é um conjunto? Pois bem, nada mais é do que uma coleção de objetos 
ou elementos que possuem características comuns. Um conjunto fica caracterizado 
por uma regra quando se permite decidir se um elemento pertence ou não ao con-
junto. Assim, se chamarmos por H o conjunto dos seres humanos, podemos dizer, 
por exemplo, que a José é um elemento de H, bem como o uma Orquídea não é 
elemento de H. Na linguagem de conjuntos, tais considerações serão simbolizadas 
(escritas) da seguinte forma:
José ∈ H (lê-se: José é um elemento do conjunto H)
Orquídea ∉ H (lê-se: Orquídea não é elemento do conjunto H)
Como em toda ciência é importante a questão da linguagem, ou seja, sua es-
crita, isto para que evite interpretações errôneas, desta forma vamos ressaltar 02 
(duas) relações essenciais que serão fundamentais para as futuras operações com 
conjuntos:
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• Relação de Pertinência: essa primeira consiste em relacionar um elemento 
a um determinado conjunto. Se por acaso queiramos relacionar um elemento 
“t” a um conjunto “T”, a relação deverá ser:
O elemento “t” pertence a T (t ∈ T)
ou
O elemento t não pertence a T (t ∉ T).
É importante ressaltar que os conjuntos são representados por letra maiúsculas 
e os elementos por letras minúsculas.
Há vários modos para descrever um conjunto, os mais comuns nas provas de 
concursos públicos são:
1) A = {a; a é um algarismo arábico}, que se lê “A é o conjunto do elemento 
“a” tal que “a” é um algarismo arábico. “
2) Outramaneira para definir conjunto consiste em escrever uma lista dos seus 
elementos entre chaves. Desse modo, representaríamos o conjunto A da se-
guinte forma:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...}
3) Um conjunto poderá ser representado por diagramas (o mais utilizado nas 
resoluções de questões) da seguinte forma:
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Para dar a descrição completa de um conjunto, nem sempre é preciso incluir 
todos os elementos na lista. Por exemplo, o conjunto dos algarismos poderia ser 
indicado da seguinte forma:
A = {0, 1, 2, 3,..., 8}
Nem sempre é possível descrever um conjunto relacionando todos os seus ele-
mentos, como é o caso do conjunto A formado pelos números naturais. Entretanto, 
A pode ser descrito por uma lista parcial, ou seja:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
•	 Relação de Inclusão: relação existente entre conjunto e subconjunto ou 
subconjunto e conjunto. Caso se queira relacionar um subconjunto A a um 
conjunto B, a relação deverá ser:
A ⊃ B (A contém B) e B ⊂ A (B está contido em A)
Exemplo: no diagrama a seguir, temos que A contém o conjunto B. Logo, A é um 
conjunto e B é um subconjunto.
Número de Subconjuntos
Exemplo de número de subconjuntos de um conjunto:
A = {a, b} = {a}, {b}, {a, b},∅; temos, neste caso, 4 subconjuntos de um con-
junto A com 2 elementos.
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Importante: o Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento e 
está contido em qualquer conjunto.
Representação: ∅ ou { }, nunca {∅}.
Agora, vejamos se o conjunto possui 03 (três) elementos:
C= {a, b, c} = {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, { } = 23 = 8 
subconjuntos.
Questão 1 Um mestre de cozinha dispõe de 06 (seis) frutas para preparar uma 
salada de frutas, sabendo que uma salada deve conter pelo menos duas frutas, 
quantas podem ser preparadas?
57 saladas.
É uma questão que poderia ser respondida por análise combinatória, em que iria-
mos calcular as combinações de com pelo menos duas frutas.
Uma maneira mais prática e rápida é se calcularmos o número de subconjuntos, 
ou seja:
2n = 26 = 64 subconjuntos, em que cada elemento é representado por uma fruta. 
Temos na composição dos subconjuntos, subconjuntos com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e ne-
nhum elemento. Sendo assim, temos saladas com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e nenhuma fruta, 
logo, temos que subtrair aquilo que não é salada, ou seja, os subconjuntos unitá-
rios e o subconjunto vazio, uma vez que para ser salada deve conter no mínimo 
duas frutas, isto é, 64 – 7.
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Agora que já sabemos um pouco da linguagem com as relações de pertinência, 
inclusão e número de subconjuntos que são importantíssimos para a matemática e 
para o estudo da lógica, podemos iniciar a operações com conjuntos que proporcio-
naram uma interpretação concreta do desenvolvimento do raciocínio.
Operações com Conjuntos
1) União ou Reunião
DICA
Identificaremos uma união entre dois conjuntos quan-
do tivermos o termo “OU”.
Consideremos os dois conjuntos:
A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}
Podemos pensar em um novo conjunto C, constituído por aqueles elementos 
que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão, esse novo 
conjunto é:
C = {1,2,3,4,5,6,7,8}
O conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, em que os elementos 
repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos 
que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou 
união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A ∪ B. Com 
esta notação tem-se:
C: A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Podemos, desta forma, expressar o seguinte conceito: dados dois con-
juntos quaisquer, A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado 
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pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, 
evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos 
que pertencem a A ou a B. Em muitas provas de concursos, os conceitos são 
expressos em símbolos, logo, é importante interpretá-los.
A ∪ B = {X ∈ U | X ∈ A ou X ∈ B}
A definição acima nos diz que se um elemento x pertencer a A ∪ B, é equivalen-
te dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. 
Desse fato, decorre que:
A ⊂ A ∪ B (o conjunto A está contido na união de A com B)
e
B ⊂ A ∪ B ( o conjunto B está contido na união de A com B)
Exemplos:
{x; y} ∪ {z; w} = {x; y; z; w}
{n, e, w, t, o, n} ∪ {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}
Vejamos uma questão comentada com a operação de União:
Questão 2 (CESPE/UNB) Com relação às operações com conjuntos, julgue o item 
abaixo.
Considere que os candidatos ao cargo de programador tenham as seguintes espe-
cialidades: 27 são especialistas no sistema operacional Linux, 32 são especialistas 
no sistema operacional Windows e 11 desses candidatos são especialistas nos dois 
sistemas. Nessa situação, é correto inferir que o número total de candidatos ao 
cargo de programador é inferior a 50.
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Certo.
É importante observar que ao inferir sobre o número total de candidatos, significa 
dizer: os candidatos que são especialistas no sistema operacional Linux ou os can-
didatos que são especialistas no sistema operacional Windows.
Temos, neste caso, uma operação de união, porém percebemos que existem espe-
cialistas nos dois sistemas operacionais, sendo assim, vem uma excelente dica para 
você, que é a seguinte: se há elementos em comum, construímos diagramas com 
interseção, vejamos a seguir:
2) Intersecção
DICA
Identificaremos uma intersecção entre dois conjuntos 
quando tivermos os termos “e”, “simultaneamente” e 
“ao mesmo tempo”.
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente e B o 
conjunto dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF, no 
primeiro turno das eleições de 2018. É certo suporque houve eleitores que vota-
ram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim, somos levados 
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a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao con-
junto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral:
Conceito: sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos intersecção de A 
e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:
A ∩ B = {X ∈ U| X ∈ A e X ∈ B}
Exemplos:
{1, 2} ∩ {3, 4} = Ø
{n, e, w, t, o, n} ∩ {h, o, r, t, a} = {o, t}
Da definição de intersecção resulta que:
(∀X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ A
(∀ X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ B
Os fatos nos dizem que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
A ∩ B ⊂ A
A ∩ B ⊂ B
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que 
A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos 
quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.
3) Diferença
DICA
Identificaremos uma diferença entre dois conjuntos 
quando tivermos os termos “apenas”, “somente” e “ex-
clusivamente”, ligados ao conjunto.
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente e B o 
conjunto dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF, no 
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primeiro turno das eleições de 2018. É certo pensar que teve eleitores que votaram 
em Josimar, mas não votaram em Enny Giuliana.
Isto nos leva ao conjunto dos elementos que pertencem a A que não são ele-
mentos que pertencem a B.
Conceito: sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos a diferença entre 
A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
A – B = {X ∈ U | X ∈ A e X ∉ B}
Exemplos:
{a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}
{a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}
{a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø
Temos, a seguir, uma interpretação concreta por meio do diagrama de Euler-
-Venn em que a diferença corresponde à parte branca de A.
4) Complementar de B em A
Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se comple-
mentar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:
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Exemplos:
A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b}. Complementar: A – B = {c, d, e, f}
A = B = {1}. Complementar: A – B = Ø
Verificamos que, no diagrama exposto, temos o conjunto B em relação a A de-
finido como: (B está contido em A).
Vejamos três aplicações das operações com conjuntos:
Questão 5 (CESPE/EBERSH/2018) Uma pesquisa revelou características da 
população de uma pequena comunidade composta apenas por casais e seus filhos. 
Todos os casais dessa comunidade são elementos do conjunto A U B U C, em que
A = {casais com, pelo menos, um filho com mais de 20 anos de idade};
B = {casais com, pelo menos, um filho com menos de 10 anos de idade};
C = {casais com pelo menos 4 filhos}.
Considerando que n (P) indique a quantidade de elementos de um conjunto P, su-
ponha que n (A) = 18; n(B) = 20; n(C) = 25; n(A∩B) = 13; n(A∩C) = 11; n(B∩C) 
= 12 e n(A∩B∩C) = 8.
O diagrama a seguir mostra essas quantidades de elementos.
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Com base nas informações e no diagrama precedentes, julgue os itens a seguir.
Pelo menos 30 casais dessa comunidade têm 2 ou mais filhos.
Certo.
No conjunto C, temos 25 casais que têm pelo menos 4 filhos, logo, têm 2 ou mais. 
Na exclusividade da interseção do A e B, temos 5 casais que têm filhos com mais de 
20 anos e menos de 10 anos, ou seja, pelo menos 02 filhos. Total de casais igual a 
30.
Questão 6 Se um casal dessa comunidade for escolhido ao acaso, então a proba-
bilidade de ele ter menos de 4 filhos será superior a 0,3.
Errado.
Uma questão de probabilidade, porém é necessário conhecimento de Teoria de 
Conjuntos, logo, é interessante comentá-la.
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Dessa forma, o item se refere a quantidade de casais, logo, temos 35 casais (somar 
os valores que se encontram dentro dos diagramas).
Casos possíveis (Universo) = 35
Casos favoráveis (ter pelo menos 4 filhos) = conjunto C = 3+ 8 + 4 + 10 = 25
Logo, ter menos de 4 filhos = 35 - 25 = 10
P (n) = 10/35 = 0,285
Questão 7 A referida comunidade é formada por menos de 180 pessoas.
Errado.
Para que possamos encontrar a quantidade de pessoas, temos que calcular os nú-
meros de casais A, B e C e seus respectivos filhos:
Pelo diagrama, temos:
Vamos iniciar pelo diagrama com a possibilidade da maior quantidade de filhos:
Conjunto C:
25 (casais) x 2 = 50 (pais e mães)
10 x 4 + 4 x 4 + 8 x 4 + 3 x 4 = 100 (filhos)
Exclusivo do A:
2 x 1 = 2 (filhos)
Exclusivo do B:
3 x 1 = 3 (filhos)
Intersecção exclusiva do A e B:
5 x 2 = 10 (5 com + 20 anos e 5 com – 20 anos) = 10 (filhos)
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Casais restantes:
2+ 5 + 3 = 10 casais – 20 (pais e mães)
Soma total: 185 pessoas
Questão 8 (AOCP/SOLDADO COMBATENTE/2018) 70 soldados se inscreveram em 
três cursos, em que cada curso é direcionado para uma área de atuação de suas 
funções: Combate a Incêndio, Busca e Salvamento ou Atendimento Pré-hospitalar. 
Cada soldado podia optar por se inscrever em um, em dois ou nos três cursos 
disponibilizados e todos os soldados se inscreveram em pelo menos um dos três 
cursos oferecidos, da seguinte maneira:
• 59 soldados optaram por cursar Combate a Incêndio;
• 56 soldados optaram por cursar Busca e Salvamento;
• 33 soldados optaram por cursar Atendimento Pré-hospitalar;
• 50 soldados optaram por cursar Combate a Incêndio e Busca e Salvamento;
• 23 soldados optaram por cursar Buscae Salvamento e Atendimento Pré-hos-
pitalar;
• 25 soldados optaram por cursar Atendimento Pré-hospitalar e Combate a In-
cêndio;
• 20 soldados optaram por cursar as três áreas oferecidas.
Dessa forma, o número de soldados que optaram por cursar somente uma das três 
áreas de atuação é igual a
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 12.
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Letra e.
Temos uma questão de aplicação de conjuntos (diagramas de Veen), vejamos a 
partir dos diagramas formados:
Somente um dos cursos: 4 + 3 + 5 = 12.
Questão 9 (AOCP/SOLDADO COMBATENTE/2018) Dados os conjuntos A = 
{1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, então o número de elementos de é igual a
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7
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Letra c.
Construindo os diagramas com interseção, uma vez que temos elementos em 
comum, vejamos:
Temos uma união, um total de 5 elementos.
Análise Combinatória (Princípios de Contagem)
Princípios de Contagem (aditivo e multiplicativo) – Análise Combinatória.
Propõe-se a desenvolver, gradualmente, o raciocínio lógico e criativo, promovendo 
maior independência na busca de soluções de problemas, aprendendo a interpretar 
tais questões por meio da prática.
Antes de começarmos, vamos brincar um pouco, ok? E nada melhor que o bom 
ânimo para respondermos a um desafio. Vejamos:
DESAFIO 01
Quem é bom de cartas?
André tem um conjunto de cartas. Cada carta tem apenas um número em uma das 
faces e a foto de apenas um animal na outra. André dispôs quatro cartas sobre a 
mesa com as seguintes faces expostas: cisne, gato, número 7 e número 10, como 
se mostra:
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Teoria dos Conjuntos. Análise Combinatória
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André disse: “Se na face de uma carta há número par, então no verso há um animal 
mamífero”.
Para verificar se a afirmação de André está correta, é
a) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e C.
b) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e C.
c) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e D.
d) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e D.
e) necessário que se verifiquem os versos das quatro cartas.
Comentário no final.
Princípios de Contagem, Arranjos, Permutações e 
Combinações
Vamos lá!
Quando um número de agrupamentos é pequeno, é fácil realizar sua contagem; 
porém, quando aumenta o número de elementos dados e o número de elementos 
em cada agrupamento, o processo intuitivo de formá-los, para depois realizar sua 
contagem, torna-se difícil e, muitas vezes, impreciso. Por isso, partindo do concre-
to, tentar-se-á chegar à compreensão de como determinar exatamente quantos 
são os agrupamentos que se quer realizar e quais são eles.
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Frente a essa realidade nos concursos públicos e à necessidade de agilidade 
para resolver as questões, a estratégia será a resolução de problemas de Análise 
Combinatória, com poucos cálculos, apenas aplicando dois princípios básicos: o 
princípio Aditivo e o princípio Multiplicativo. Então, dessa forma, vamos começar 
com os seguintes princípios, logo após, iremos definir alguns tipos de agrupamen-
tos.
Princípios de Contagem
Os princípios de contagem, na matemática, incluem:
I – Princípio Aditivo: se um evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, 
E2, de N2 maneiras distintas... EK, de Nk maneiras distintas, e se quaisquer dois 
eventos não podem ocorrer simultaneamente, então um dos eventos pode ocorrer 
em N1 + N2 +... + Nk maneiras distintas.
II – Princípio Multiplicativo: considere que E1, E2,..., Ek são eventos que 
ocorrem sucessivamente; se o evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, 
o evento E2 pode ocorrer de N2 maneiras distintas... o evento Ek pode ocorrer de Nk 
maneiras distintas, então todos esses eventos podem ocorrer, na ordem indicada, 
em N1 × N2 ×... × Nk maneiras distintas.
O poder da palavra “POSSIBILIDADES”.
Exemplo:
Uma pessoa vai ao shopping e compra 3 blusas (B1, B2 e B3), 2 sapatos (S1 e S2) e 
2 calças (C1 e C2). Logo ao chegar em casa, ela se pergunta: “De quantas maneiras 
distintas eu posso me arrumar com as compras realizadas?”.
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No esquema construído acima, temos 12 maneiras distintas dessa pessoa se arru-
mar. O raciocínio utilizado é o seguinte:
• quantas possibilidades têm-se para blusas? Nesta situação, temos 3.
• quantas possibilidades têm-se para sapatos? Nesta situação, temos 2.
• quantas possibilidades têm-se para calças? Nesta situação, temos 2.
Logo, podemos concluir que:
Pelo Princípio Multiplicativo, temos de multiplicar as POSSIBILIDADES.
O que devemos perceber é que temos de nos basear sempre na palavra “Possibili-
dades”, pois ela trará o raciocínio correto.
Vamos resolver algumas questões, aplicando apenas o conceito do Princípio 
Multiplicativo, utilizando a palavra “POSSIBILIDADES”:
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DICA
Não se esqueça de pronunciar a todo instante a ex-
pressão: QUANTAS POSSIBILIDADES?
Nas questões com termos referentes a códigos, senhas, matrículas, filas, números 
telefônicos etc., enfim, termos que indicam ideia de ordem, teremos grupos nos 
quais a ordem importa, ou seja, se a ordem for modificada, teremos um novo 
agrupamento (a ordem dos elementos altera a natureza). Nesses casos, iremos 
multiplicar as possibilidades.
Questão 10 (ESAF) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma 
probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 
3 primeiros lugares é igual a:
a) 24.360.
b) 25.240.
c) 24.460.
d) 4.060.
e) 4.650.
Letra a.
Trata-sede uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento, logo, a “ordem” altera a “natureza”.
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Para os três primeiros colocados, temos: 30 × 29 × 28 = 24.360 (maneiras dife-
rentes). Possibilidades
Neste caso, as possibilidades vão diminuindo, uma vez que a possibilidade utiliza-
da (dupla de tênis) não tem como ser utilizada novamente (ninguém pode ocupar 
duas posições simultaneamente).
Questão 11 (ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos 
e não podem começar por 0. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sa-
bendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo 
não tem dígitos repetidos, então, o número de telefones que podem ser instalados 
nas farmácias é igual a:
a) 504.
b) 720.
c) 684.
d) 648.
e) 842.
Letra d.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento, logo, a “ordem” altera a “natureza”. 
Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar.
Os números telefônicos possuem 7 algarismos, então, temos 7 posições:
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
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Restrições: os números não podem começar com zero e os quatro últimos alga-
rismos são iguais a zero.
Nestas 4 posições, somente o 
número 0 é possibilidade
Nesta posição, o zero não 
é possibilidade
Preenchendo as posições, temos:
Não podemos ter algarismos repe-
tidos, logo, a possibilidade que foi 
utilizada não poderá ser usada no-
vamente. Com esse pensamento, 
temos para a primeira posição 9 
possibilidade, pois o zero não pode 
ser utilizado; na segunda, temos 
9 possibilidades, pois o zero neste 
caso voltou a ser possibilidade e na 
terceira posição, temos 8 possibili-
dades, uma vez que já foram usa-
das duas possibilidades.
9 x 9 x 8 x 1 x 1 x 1 x 1
Neste caso, todos os algarismos 
utilizados serão iguais a zero, logo, 
percebemos que não é número zero 
que será colocado nas posições, e 
sim, quantas possibilidades para a 
posição, portanto, temos 1 (uma) 
possibilidade para cada posição, 
isto é, o número zero.
Dessa forma, aplicando o Princípio Multiplicativo (multiplica as possibilidades), te-
mos:
Questão 12 (CESPE) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, 
foram distribuí das senhas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na 
portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma sequência 
de 3 letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de três 
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algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser 
formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição 
de algarismos, é igual a:
a) 26³ x 10³.
b) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8.
c) 26 x 25 x 24 x 10³.
d) 26³ x 10 x 9 x 8.
Letra c.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento, logo, a “ordem” altera a “natureza”. 
Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar.
As senhas são compostas por uma sequência de 3 letras (retiradas do alfabeto com 
26 letras), seguida de uma sequência de 3 algarismos (escolhidos entre 0 e 9).
Os códigos possuem 6 posições, 3 letras (26 possibilidades) e 3 algarismos (10 
possibilidades):
____ ____ ____ e(x) ____ ____ ____
Número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a re-
petição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos.
Quanto às três primeiras posições, temos:
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Quanto aos três últimos algarismos, temos:
Concluindo: os códigos possuem 6 posições – 3 letras (26 possibilidades) e 3 alga-
rismos (10 possibilidades):
Questão 13 (CESPE) Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sis-
tema com cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três 
algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as 
duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem.
a) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior 
a 650.000.
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b) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-
-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000.
c) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo 
que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é inferior a 
470.000.
Certo, Errado, Certo.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento, logo, a “ordem” altera a “natureza”. 
Nesta questão, as letras do código ocupam as duas primeiras posições.
�a) O número de processos que podem ser codificados é dado por 5 símbolos, logo, 
5 posições:
b)
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�c) Esse item significa que as letras e os algarismos devem ser distintos. Logo, te-
mos:
Questão 14 (FCC) Teófilo foi a um caixa eletrônico retirar algum dinheiro e, no 
instante em que foi digitar a sua senha, não conseguiu lembrar de todos os quatro 
algarismos que a compunham. Ocorreu-lhe, então, que sua senha não tinha alga-
rismos repetidos, era um número par e o algarismo inicial era 8.
Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que Teófilo lembrou?
a) 224.
b) 210.
c) 168.
d) 144.e) 96.
Letra a.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento, logo, a “ordem” altera a “natureza”. 
Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar.
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A senha a ser digitada possui 4 algarismos, logo, teremos 4 posições:
Questão 15 (POLÍCIA FEDERAL/2009) De acordo com o jornal espanhol El País, 
em 2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina, tendo 
crescido 16% nos últimos 12 anos. O crime é apontado como o principal problema 
desses países, provocando uma grande quantidade de mortes. O índice de homicí-
dios por 100.000 habitantes na América Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 
28 no Brasil, 45 em El Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala.
Internet: <www.noticias.uol.com.br>.
Tendo como referência as informações apresentadas no texto acima, julgue o item 
que se segue.
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Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com 
exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de 
armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de 
fazer essa escolha.
Errado.
No item acima, temos que uma organização criminosa escolhe seis das dezessete 
cidades, ou seja, temos onze possibilidades para agrupar as seis cidades.
Pelo princípio multiplicativo: 462.
Trata-se de uma questão de combinação, logo, podemos utilizar a fórmula:
É comum não utilizar todos os elementos para a construção de novos grupos, uma 
vez que, se todos forem utilizados, obteremos apenas um grupo. A ordem dos 
elementos não altera a natureza.
Questão 16 (POLÍCIA FEDERAL/2009) Considerando que, em um torneio de bas-
quete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para formar 
o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se segue.
A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o 
grupo A será inferior a 400.
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Errado.
Formamos agrupamentos com p elementos (p<m), de forma que os p elementos 
sejam distintos entre si apenas pela espécie.
Combinação simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo 
de p elementos.
Atenção: nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, 
comissões, turmas etc., enfim, termos que indicam ideia de conjunto, teremos 
grupos nos quais a ordem não importa, ou seja, se a ordem for modificada, não 
teremos um novo agrupamento. É comum não utilizar todos os elementos para 
construção de novos grupos, uma vez que, se todos forem utilizados, obteremos 
apenas um grupo (a ordem dos elementos não altera a natureza).
Respondendo pela fórmula, temos:
Neste instante, iremos estudar os seguintes assuntos que fazem parte de Análise 
Combinatória: Permutação, Arranjos e Combinações.
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Permutações
DICA
Na permutação, iremos utilizar todos os elementos 
(distintos) do grupo, realizando uma permutação (tro-
ca) dos elementos, em que a ordem irá influenciar.
“A ordem altera a natureza”.
Quando formamos agrupamentos com n elementos, de forma que os n elementos 
sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com 
repetição ou circulares.
Permutação simples: são agrupamentos com todos os n elementos distintos.
Fórmula: P(n) = n!. Em que: n = número de elementos a serem permutados.
Exemplo:
Cálculo para exemplo: P(5) = 5!= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Seja C = {A, B, C} e n = 3.
As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem 
ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo, mas podem aparecer na 
ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: P = {ABC, ACB, BAC, 
BCA, CAB, CBA}
Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua 
família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe 
apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como “Os 
doze trabalhos de Hércules”. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão 
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de Nemeia, capturar a corça de Cerineia e capturar o javali de Erimanto. Considere 
que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os 
doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente 
aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada 
vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, jul-
gue os itens subsequentes.
Questão 17 (CESPE) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia 
preparar é superior a 12 × 10!
Certo.
O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 
12 x 10!
Pn = n! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 12!
(Número máximo de diferentes listas).
Simplificando dos dois lados da igualdade:
12 × 11 > 12
Questão 18 (CESPE) O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho 
“matar o leão de Nemeia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.
Certo.
O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Nemeia” 
na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.
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A restrição é na primeira posição, ou seja, temos 1 (uma) possibilidade.
1 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 < 240 × 990 × 56 × 30.
Simplificando dos dois lados da desigualdade:
1 × 4 × 3 × 2 × 1 < 240
24 < 240
Questão 19 (CESPE) O número depossíveis listas contendo os trabalhos “capturar 
a corça de Cerineia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na 
terceira posição é inferior a 72 × 42 × 20 × 6.
Errado.
O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia” 
na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior 
a 72 × 42 × 20 × 6.
Simplificando dos dois lados da desigualdade:
1 × 10 × 1 × 1 < 1
Questão 20 (CESPE) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos 
“capturar a corça de Cerineia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas 
posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! x 8!.
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Certo.
O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de 
Cerineia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer 
ordem, é inferior a 6! x 8!
Simplificando dos dois lados da desigualdade:
10 × 9 × 2 × 1 < 6!
10 × 9 × 2 × 1 < 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
180 < 720
Permutação com Repetição
Um bom exemplo para entendermos a permutação com repetição é a formação 
de anagramas em que as “palavras” ou “conjunto de letras” possuem letras repeti-
das. Com as 6 letras da palavra ARARAT? A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 
2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elemen-
tos do conjunto C={A, R, T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que 
contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem 
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
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Na permutação com repetição, iremos utilizar todos os elementos (DISTINTOS 
E NÃO DISTINTOS) do grupo, realizando uma permutação (troca) dos elementos, 
em que a ordem irá influenciar parcialmente (algumas vezes, isto é, quando não 
forem os elementos repetidos). Agora é importante ressaltar que alguns elementos 
são idênticos, o que não trará um novo agrupamento. Logo, devemos perceber que 
existirão grupos repetidos, então, deveremos retirar aqueles que se repetem.
DICA
A ordem de alguns elementos não altera a natu-
reza.
Questão 21 (CESPE/ADAPTADA) A respeito de contagem, que constitui um dos 
principais fundamentos da matemática, julgue o item a seguir.
O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas 
com as letras da palavra PAPILOSCOPISTA é inferior a 108.
Errado.
A palavra PAPILOSCOPISTA possui letras repetidas, que, se forem permutadas, não 
formarão um novo anagrama. Logo, trata-se de permutação com letras repetidas.
Calculando, temos:
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14×13×11×10×9×7×6×5×4×3×2×1< 108
Questão 22 (CESPE/ADAPTADA) Julgue o item que se segue quanto a diferentes 
formas de contagem.
Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, 
pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. 
Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e 
indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 
140 formas diferentes com essas faixas.
Certo.
Na questão, temos 7 faixas que deverão ser permutadas para se adquirir novas 
decorações, mas temos faixas de mesma cor, em que a troca de posição não 
produzirá decorações novas. Logo, é interessante fazermos uma analogia como 
uma palavra com letras repetidas, da seguinte maneira:
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V – V V A A A B
Temos 7 letras (faixas) sendo permutadas: P7 = 7! = 7×6×5×4×3×2×1
Sabendo que algumas decorações são as mesmas (devido a algumas faixas serem 
iguais), temos que retirar essas decorações que se repetem. Assim, se o princípio 
utilizado é a multiplicação que gera os novos agrupamentos, logo, temos que divi-
dir para retirar aquilo que se repete, da seguinte maneira:
Número de decorações = , sendo que no denominador temos 
3x2x1(3!) que se refere às cores verdes que se repetem e, logo após, 3x2x1 (3!), 
que se referem às cores amarelas que se repetem.
Usaremos a seguinte estratégia: dividir pelo fatorial da quantidade de letras que se 
repetem. Isto é, temos, nesta questão, três letras “V” e três letras “A” repetidas.
Calculando, temos: = 140 formas diferentes de decorações.
Permutação Circular
Será uma situação que ocorre quando temos grupos com n elementos distintos 
formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(n)=(n-1)!.
Em que: (n-1) = número total de elementos a serem permutados.
Exemplo:
Cálculo para exemplo: Pc(5)= 4!= 24
Seja um conjunto com 4 pessoas K={A, B, C, D}. De quantos modos distintos estas 
pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para 
realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
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Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, 
teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Acontece que, junto a uma mesa “circular”, temos:
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Obs.:� Vimos que na permutação circular a troca de alguns elementos não cria um 
novo agrupamento. Então, deveremos retirar aqueles que se repetem.
DICA
A ordem de alguns elementos não altera a natu-
reza.
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Questão 23 (CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados 
pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes 
para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102.
Certo.
Nesta questão, temos uma permutação circular:
P6 = (6–1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2× 1 = 120
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos (p < n) de forma que os p ele-
mentos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie.
Arranjo simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo 
de p elementos.
Fórmula: A (n,p) = , n = número total de elementos/
p = número de elementos a serem arranjados.
Cálculo para exemplo:
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Questão 24 (CESPE/ADAPTADA) Em uma promotoria de justiça, há 300 proces-
sos para serem protocolados. Um assistente da promotoria deve formar os códigos 
dos processos, que devem conter, cada um deles, 7 caracteres. Os 3 primeiros ca-
racteres são letras do conjunto {d, f, h, j, l, m, o, q} e os outros 4 caracteres são 
números inteiros de 1024 a 1674.
Com base nessa situação, julgue o item subsequente.
É superior a 340 o número máximo de possibilidades de se formar a parte do códi-
go referente às 3 letras iniciais, sem que haja repetição de letra.
Errado.
Referente às três letras iniciais, temos o seguinte:
1) Pela fórmula:
Temos: n = 8, {d, f, h, j, l, m, o, q} e p = 3, {primeira parte do código}.
2) Pelo princípio multiplicativo:
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Questão 25 (CESPE/BB/ADAPTADA) O número de países representados nos Jo-
gos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América 
Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base 
nessas informações, julgue o item que se segue.
Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 
de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então 
o número de possibilidades diferentes de classificação no 1º, 2º e 3º lugares foi 
igual a 6.
Certo.
Referente às três primeiras posições:
1º) Pela fórmula
Temos: p = 3, {países da América do Norte} e n = 3, {três primeiras classificações}
, sabendo que 0! = 1
2º) Pelo princípio multiplicativo
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Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos (p < m), de forma que os p 
elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie.
Combinação simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada 
grupo de p elementos.
Fórmula: Cm,p = em que m = número total de elementos/
p = número de elementos a serem combinados
Exemplo:
Cálculo para exemplo:
 
Seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. As combinações simples desses 4 elementos 
tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento 
nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, comis-
sões, turmas etc., enfim, termos que indicam ideia de conjunto, teremos grupos 
nos quais a ordem não importa, ou seja, se a ordem for modificada, não teremos 
um novo agrupamento.
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É comum não utilizar todos os elementos para construção de novos grupos, uma 
vez que, se forem utilizados todos os elementos, obteremos apenas um grupo.
“A ordem dos elementos não altera a natureza”.
Veja algumas questões envolvendo combinação:
Questão 26 Em uma festa com 20 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez. 
Dessa forma, são possíveis quantos apertos de mão?
190 apertos de mãos.
Nesta questão, a ordem não altera a natureza, uma vez que se a pessoa “A” cum-
primentar a pessoa “B”, não se torna necessário que a pessoa “B” cumprimente a 
pessoa “A”. Para que haja um aperto de mão são necessárias duas pessoas (p = 2).
Sendo assim, trata-se de combinação, podemos resolver de duas maneiras:
1) Pela fórmula:
 
apertos de mão.
2) Sem fórmula: para obter um aperto de mão, é necessária a presença de duas 
pessoas. Logo, iremos utilizar dois espaços: “_____X_____”; e para que pos-
samos retirar os agrupamentos que se repetem, iremos dividir pelo fatorial 
da quantidade de espaços utilizados.
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, o numerador expressa 20 possibilidades para a primeira pessoa, e 19 
para a segunda pessoa. No denominador, temos 2 × 1, uma vez que representa o 
fatorial de 2 = 2!. O denominador tem a função de retirar os agrupamentos repe-
tidos.
Questão 27 (QUESTÃO INÉDITA) Ao término de uma reunião, cada um dos parti-
cipantes cumprimentou os outros com um aperto de mão apenas uma vez. Quantas 
pessoas havia na reunião, se foram trocados 55 apertos de mão?
11 pessoas.
Esta questão apresenta a quantidade de apertos de mão e solicita a quantidade de 
pessoas presentes na reunião.
x2 – x = 110 → equação do 2º grau. x2 – x – 110 = 0, resolvendo a equação, 
teremos:
S {–10, 11}, logo, iremos considerar a solução positiva.
Questão 28 (ESAF) Na Mega-Sena são sorteadas 6 dezenas de um conjunto de 60 
possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02,..., 60). Uma aposta simples (ou aposta 
mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as 
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6 dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre 
as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples 
para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza 
matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:
a) 8.
b) 28.
c) 40.
d) 60.
e) 84.
Letra b.
Esta questão trata-se de uma combinação, uma vez que a ordem dos números 
não altera a aposta. Pedro sonhou com 8 números, sendo que 6 fazem parte de 
uma aposta simples. Logo, podemos ter:
 apostas simples diferentes 
(quantidade total).
Questão 29 (CESPE/ADAPTADA)No item a seguir é apresentada uma situação 
hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada, acerca de contagens.
Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões compos-
tas por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situação, 
a quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é 
superior a 12.
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Errado.
A questão indica a formação de comissões, na qual a ordem dos integrantes não 
altera a natureza da comissão. Sendo assim, trata-se de combinação.
Temos 10 comissões distintas.
Probabilidade
Noções De Probabilidade: o conceito de probabilidade permite que se calcule 
a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório, ou seja, é a 
chance de ocorrer um evento favorável (desejado) em um determinado universo 
de eventos.
Veremos que é um assunto muito comum nas provas de concursos públicos 
independentemente da banca, logo vamos detalhar o máximo possível para que 
você consiga assimilar todo o conteúdo e ao mesmo tempo aplicar métodos, técnicas 
e estratégicas eficazes, que facilitarão nas resoluções das questões.
Verificar a chance de um evento ocorrer em diversas situações. A palavra 
probabilidade deriva do latim probare (provar ou testar). Temos que a teoria da 
probabilidade é muito utilizada em outros ramos da Matemática (como o Cálculo e 
a Estatística), da Biologia (especialmente nos estudos da Genética), da Física (como 
na Física Nuclear), da Economia, da Sociologia etc.
Neste módulo, utilizaremos alguns conceitos da “Teoria de conjuntos” para 
resolver questões com facilidade e rapidez.
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Iremos abordar os seguintes assuntos:
• Probabilidade: construção e aplicações dos conceitos e propriedades; reso-
luções de questões de concursos públicos por métodos práticos e eficientes.
Temos mais um desafio antes de começarmos esse assunto.
DESAFIO 02
Uma comunidade para lá de especial!
Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filó-
sofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja 
responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente:
a) todo responsável é artista.
b) todo responsável é filósofo ou poeta.
c) todo artista é responsável.
d) algum filósofo é poeta.
e) algum trabalhador é filósofo.
Comentário no final.
Noções de Probabilidade
É importante, antes de qualquer coisa, entendermos os termos, as ferramentas 
que utilizaremos no cálculo de probabilidade.
Vamos lá então.
1) Evento aleatório: é aquele que quando executado repetidas vezes em 
iguais condições, fornece resultados diferentes, ou seja, são resultados que estão 
previstos dentro das possíveis respostas para este experimento. Isso ocorre devido 
ao acaso, pois não podemos ter certeza do resultado de cada um desses eventos. 
Fica fácil perceber se pensarmos assim: lançar um dado de seis faces não viciado 
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para cima e observar a face que ficará virada para cima, ou, até mesmo, escolher 
um aluno dentre 50 em uma sala de aula.
Dessa forma é importante perceber que é algo aleatório.
Vamos para o conceito importantíssimo, digo até que é o primeiro passo quando 
nos deparamos com uma questão de probabilidade, que é definirmos o nosso espaço 
amostral ou universo.
2) Espaço amostral ou universo: é o conjunto de todos os resultados possí-
veis de um experimento aleatório. É comum que a letra que representa o espaço 
amostral seja S ou U. Vejamos alguns exemplos para que você possa compreender 
melhor:
a) Lançar uma moeda para cima e observar a face que ficará virada para cima 
após a queda. O espaço amostral é {Cara ou Coroa};
b) De uma urna com 8 bolas vermelhas (v) e 3 bolas brancas (b), retirarmos 2 
bolas. O espaço amostral é {v, v; v. b ou b. v; b.b}.
Probabilidade
Agora, podemos falar o que é probabilidade. Qual seria o seu conceito? Va-
mos lá!
Probabilidade será o quociente entre duas situações, isto é:
A probabilidade de um evento A, ou seja, aquilo que você deseja (sendo que A está 
contido no Espaço amostral) é o número real P (A), tal que:
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Obs.:� Se todos os elementos do Universo têm a mesma chance de acontecer, 
o espaço amostral é chamado de conjunto equiprovável.
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, 
então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Exemplo:
Em um lançamento de dado (não viciado), a chance de um número par ocorrer é:
Em um espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de 
um evento A é sempre:
Propriedades/ Propriedades
Propriedade 1: a probabilidade do evento impossível é nula.
Sendo o evento impossível, o conjunto vazio (Ø), teremos:
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0
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Exemplo:
Se em uma urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma 
bola azul (evento impossível, neste caso) é nula.
Propriedade 2: a probabilidade do evento certo é igual a unidade. Com efeito, 
teremos:
p(A) = n(U)/n(U) = 1
Exemplo:
Se em uma urna só existem bolas azuis, a probabilidade de se retirar uma bola azul 
(evento certo, neste caso) é igual a 1.
Propriedade 3: a probabilidade de um evento qualquer é um número real situado 
no intervalo real [0, 1].
0 ≤ P(A) ≤ 1
Exemplo:
P(A) está entre 0 (zero), um evento que não pode acontecer, e 1 (um), um evento 
certo de acontecer.
Propriedade 4: a soma das probabilidades de um evento e do seu evento com-
plementar é igual à unidade.
Seja o evento A e o seu complementar A’.
Sabemos que A U A’ = U.
n (A U A’) = n(U) e, portanto, n(A) + n(A’) = n(U).
Dividindo ambos os membros por n (U), vem:
n(A)/n(U) + n(A’)/n(U) = n(U)/n(U), quando se conclui:
p(A) + p(A’) = 1.
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Obs.:� Essa propriedade simples é muito importante, pois facilita a solução de 
muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais 
fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade 
acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.
Propriedade 5: sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A B)
Observe que, se A ∩ B = Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é 
o conjunto vazio), então, p(A U B) = p(A) + p(B).
Conforme a Teoria dos Conjuntos, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).
Probabilidade com Eventos Independentes
Dizemos que E1 e E2 e... En-1, En são eventos independentes, quando a probabili-
dade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não ocorrido.
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Fórmula da Probabilidade dos Eventos Independentes
Questão 30 Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 
2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de 
a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira 
retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada 
condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na 
primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada é 20/30. Usando a 
regra do produto, temos:
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Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve 
reposição. Assim, P(B/A) = P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primei-
ra retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela já havia sido reposta 
na urna.
Obs.:� se a questão não tivesse estipulado uma ordem, deveríamos pensar que 
os eventos poderiam ser: a primeira vermelha e a segunda azul, ou a pri-
meira azul e a segunda vermelha.
 � VA ou AV
Sendo assim, o resultado de 2/9 deverá ser multiplicado por dois, uma vez que 
serve em qualquer ordem:
Questão 31 (FUNIVERSA/ADAPTADA) De um recipiente que contém 10 cubos 
azuis e 5 cubos vermelhos, serão retirados, aleatoriamente e com reposição, 3 
cubos. Nessa situação, a probabilidade de o primeiro cubo ser azul, o segundo 
cubo ser vermelho e o terceiro cubo ser azul é igual a:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair azul na primeira reti-
rada e vermelho na segunda retirada e azul na terceira retirada é igual ao produto 
das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e V e A) = P(A).P(V). P(A). Ora, 
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a probabilidade de sair azul na primeira retirada é 10/15 e a de sair vermelho na 
segunda retirada é 5/15 e de sair azul na terceira retirada é 10/5. Usando a regra 
do produto, temos: , observe que na segunda e terceira retiradas 
foram considerados todos os cubos, pois houve reposição.
Obs.:� Se a questão não tivesse estipulado uma ordem, deveríamos pensar que 
os eventos poderiam ser em qualquer ordem da seguinte maneira:
 � Cubos nas cores: AVA, AAV e VAA (podemos considerar uma permutação 
com repetição, em que temos 3 maneiras distintas).
Devemos, então, multiplicar o resultado por 3:
Questão 32 (CESGRANRIO/ADAPTADA) Dois dados comuns, “honestos”, são 
lançados simultaneamente. A probabilidade de que a soma dos dois resultados 
seja igual a 7 ou 10 é:
0,25 ou 25%.
Determinar o espaço amostral: 36 jogadas é o número de casos possíveis, verifique 
com a tabela de possibilidades a seguir:
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A questão indica que os dados são honestos, ou seja, a chance de sair qualquer 
uma das faces é a mesma.
P(7) = são as jogadas que a soma dos resultados seja igual a 7.
P(10) = são as jogadas que a soma dos resultados seja igual a 10.
Questão 33 (CESGRANRIO/ADAPTADA) Dois dados comuns, “honestos”, são 
lançados simultaneamente. A probabilidade de que saia pelo menos 5 é igual a:
Determinar o espaço amostral: 36 jogadas é o número de casos possíveis, verifique 
com a tabela de possibilidades a seguir:
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A questão indica que os dados são honestos, ou seja, a chance de sair qualquer 
uma das faces é a mesma.
Questão 34 Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 deseja-se formar números de 
quatro algarismos, não sendo permitida a repetição de algarismos em um número. 
Escolhendo-se um desses ao acaso, a probabilidade de ele ser múltiplo de 5 é:
Determinar o espaço amostral: para calcular a quantidade de números de quatro 
algarismos distintos será feito o arranjo de oito elementos tomados quatro a quatro.
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Espaço amostral: 1.680 números de casos possíveis.
Determinar o evento:
Pelo princípio multiplicativo, calcularemos a quantidade de números múltiplos de 5 
de quatro algarismos distintos:
Calculando, temos:
7 x 6 x 5 x 1 = 210 números de casos favoráveis.
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A realização