Livro-Trigonometria

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

CENTRO EDUCIONAL SOL NASCENTE 
 
SARA SOUSA QUEIROZ
TRIGONOMETRIA
SALVADOR-BA
2019
SARA SOUSA QUEIROZ
TRIGONOMETRIA
Projeto de pesquisa apresentado ao
curso de matemática, das faculdades
integradas do centro educacional sol 
nascente, a ser utilizado como diretrizes
manufatura do trabalho de conclusão de curso
SALVADOR-BA
2019
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO.....................................................................................................04
2. TRIGONOMETRIA NA HISTÓRIA.......................................................................06
3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRIGAS.......................................................................08
3.1 Cateto oposto....................................................................................................08
3.2 Cateto adjacente...............................................................................................08
3.3 Hipotenusa........................................................................................................09
3.4 Seno (sen).........................................................................................................11
3.5 Cosseno (cos)...................................................................................................11
3.6 Tangente (tan ou tag).......................................................................................11
3.7 Cotangente (cot)...............................................................................................14
3.8 Cossecante (csc)..............................................................................................17
3.9 Secante (sec)....................................................................................................19
4. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO...........................................................................21
5.TEOREMA DE PITÁGORAS................................................................................23
6. GEOMETRIA EUCLIDIANA................................................................................27
6.1 Lei dos senos...................................................................................................28
6.2 Lei dos cossenos.............................................................................................30
6.3 Lei das tangentes.............................................................................................32
7.Exercicíos.............................................................................................................35
 
INTROTUÇÃO
Trigonometria é a área da matemática que estuda as relações envolvendo os lados de um triângulo retângulo, que um polígono que possui três ângulos.
A trigonometria surgiu com o intuito de calcular distâncias com base na medida de ângulos. Os estudos são oriundos dos trabalhos de Hiparco, astrônomo grego que relacionou os lados e os ângulos de um triângulo. A astronomia foi a grande responsável pelo desenvolvimento da trigonometria, pois foi a partir dos astrônomos que surgiram os seus primeiros fundamentos.
A Trigonometria está relacionada a diversas áreas do conhecimento humano, na Matemática está ligada ao triângulo retângulo, triângulo qualquer e ao círculo trigonométrico. Abordaremos as definições e demonstrações referentes ao 9º ano do ensino fundamental, enfatizando as relações no triângulo retângulo.
O professor deve mostrar ao aluno as grandes descobertas atribuídas à trigonometria, detalhando a sua importância para o desenvolvimento da sociedade, principalmente em áreas como a Engenharia, Agrimensura, Navegação Aérea e Marítima. Para que o aluno tenha um ótimo entendimento defina de forma intuitiva os conceitos de seno, cosseno e tangente, pois essas relações são a base dos estudos trigonométricos. Observe um modelo de apresentação e explicação das relações trigonométricas:
O ângulo α representa a inclinação da rampa, demonstre que quanto maior a medida do ângulo α mais íngreme será a rampa, e quanto menor o ângulo menos íngreme a rampa. Ressalte que todas as medidas estão relacionadas entre si, da seguinte forma: altura x percurso, altura x afastamento e afastamento x percurso. Destaque que para cada valor do ângulo de inclinação existe uma determinação para os elementos, percurso, altura e afastamento.
A partir dessa definição de relação existente no modelo apresentado, mostre ao aluno que a situação se assemelha a um triângulo retângulo, dessa forma temos que em relação ao ângulo α: 
Altura = cateto oposto
Afastamento = cateto adjacente
Percurso = hipotenusa
Os estudos apresentados são de extrema importância para um bom conhecimento e entendimento por parte dos alunos, pois de uma forma bem simples o aluno irá notar a relação existente entre os elementos do triângulo retângulo e as situações cotidianas. Os conhecimentos fornecidos servem de base para uma aula sobre introdução aos estudos trigonométricos, deixando a critério do profissional novas metodologias e ferramentas auxiliares.
Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende na outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc.
TRIGONOMETRIA NA HISTÓRIA
Não se pode precisar a origem da trigonometria. Como toda área da matemática, a trigonometria surgiu por diversos estudiosos, principalmente através do estudo da astronomia, agrimensura e navegação. Povos como os egípcios e os babilônios deram importantes contribuições para a descoberta e aperfeiçoamento desse ramo matemático tão importante à época, bem como em dias atuais.
No Papiro Rhind, documento egípcio que data de aproximadamente três mil anos, foram encontrados problemas relacionados à cotangente. Na tábua cuneifor Plimpton 322, tábua babilônia com texto escrito entre 1900 e 1600 a.C., foram localizados problemas envolvendo secantes.
Papiro Rhind
Euclides de Alexandria, em sua obra mundialmente conhecida, Os Elementos, apresentou alguns conceitos trigonométricos, porém representados através de formas geométricas. Mas foi Hiparco de Nicéia, na segunda metade do século II a.C., quem recebeu o título de Pai da Trigonometria, isso porque apresentou um tratado com cerca de 12 volumes nos quais tratava da trigonometria com a autoridade de quem conhecia profundamente o assunto. Naquele mesmo período, Hiparco apresentou ao mundo uma tábua de cordas, sendo ele o responsável pela elaboração da primeira tabela trigonométrica que se tem registro. Ainda naquela época, Ptolomeu apresentou sua tábua de cordas contendo o cálculo do seno dos ângulos de 0º a 90º, ângulos que seriam utilizados nos estudos astronômicos em que ele estava engajado. Hiparco e Ptolomeu deram imensas contribuições para o desenvolvimento da Matemática e da Astronomia.
Ptolomeu
Hiparco, ao lado de Ptolomeu, é, sem dúvida, um dos nomes mais ilustres dos estudos antigos da trigonometria. É atribuída a ele, também, a divisão do círculo em 360º. Advindos do estudo da Astronomia surgiram os conceitos de seno e cosseno. A tangente supostamente surgiu da necessidade de se calcular alturas e/ou distâncias.
A obra matemática mais influente da antiguidade foi escrita pelo astrônomo e matemático Ptolomeu de Alexandria, a Syntaxis Mathematica, obra de 13 livros relacionados à trigonometria. Ainda em terreno grego, Menelau de Alexandria escreveu três volumes destinados ao estudo da trigonometria, sendo o primeiro atido à ideia de triângulos esféricos, o segundo é uma aplicação da geometria esférica a astronomia e o terceiro tratam do Teorema de Menelau.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRIGA
As funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, são as relações no triângulo retângulo
(triângulo com um angulo que mede 90°) das razões entre os lados do triângulo em função do ângulo. Podemos encontrar essas funções através dos catetos, oposto e adjacente e da hipotenusa.
As demais funções trigonométricas são denominadas por cotangente, cossecante e secante.
Cateto oposto
O cateto oposto é o que fica no lado oposto ao ângulo referência (θ), são os lados do triângulo que formam o ângulo reto, ele é classificado em: cateto adjacente e cateto oposto.
Cateto adjacente
O cateto adjacente é o que está ao lado (adjacente) do ângulo de referência (θ), mas não é a hipotenusa.
Hipotenusa
A hipotenusa é o lado mais longo do triângulo, oposto ao ângulo reto, ela é o maior lado do triângulo retângulo.
Seno, Cosseno e Tangente
Para definir seno, cosseno e tangente, é necessário escolher um ângulo como referência. Considere o ângulo α: o cateto BC é o cateto oposto, e o lado AC é o cateto adjacente, pois BC é o lado oposto ao ângulo α. Se escolhermos β com referência, será o contrário: AC será o cateto oposto, e BC, o cateto adjacente, pois, nesse caso, é AC que se opõe ao ângulo em questão.
Seno (Sen)
O seno do ângulo θ é o nome dado a uma razão entre a medida do cateto oposto a θ e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Razão é o resultado de uma divisão em que a ordem imposta deve ser respeitada. Sendo assim, seno é o resultado da divisão da medida do cateto oposto pela medida da hipotenusa:
Uma propriedade importante das razões trigonométricas é a seguinte:
O valor do seno, por exemplo, sempre será o mesmo independentemente do comprimento dos catetos ou da hipotenusa. Sua variação ocorre apenas no momento em que se varia o ângulo θ. Isso acontece porque, se dois triângulos retângulos possuem mais um ângulo congruente, esses dois triângulos são semelhantes, logo, a razão entre seus lados possui o mesmo resultado. Para ilustrar essa situação, observe o exemplo a seguir:
Note que existem três triângulos retângulos nessa figura: ACG, ADH e AEF. Note também que os catetos opostos ao ângulo de 30° em cada um desses triângulos são, respectivamente, CG, DH e EF, e as respectivas hipotenusas são AG, AH e AF.
Note também que a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de cada um desses triângulos aproxima-se de 0,5. Aumentando a medida do ângulo θ, aumentamos também o seu seno.
Cosseno (Cos)
O cosseno do ângulo θ é a razão entre a medida do cateto adjacente a θ e a hipotenusa do triângulo retângulo.
A propriedade discutida anteriormente para os senos também é válida para os cossenos.
Tangente (Tan ou Tg)
A tangente de um ângulo é a única razão que não envolve a medida da hipotenusa. Ela é dada pela razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo θ.
A propriedade mencionada tanto para seno quanto para cosseno também vale aqui.
Para que servem essas razões?
Definitivamente não queremos saber o resultado da divisão entre o cateto oposto e a hipotenusa, por exemplo. Todavia, sabendo que esse resultado vale para quaisquer triângulos com o mesmo ângulo θ, podemos definir uma tabela trigonométrica e usá-la para descobrir valores de lados de um triângulo retângulo quando conhecemos as medidas de um de seus ângulos. Observe o exemplo:
Observe que o triângulo acima possui um ângulo reto e um ângulo de 30°. Note também que x é justamente a medida do cateto oposto a 30° e que a hipotenusa mede 5 cm. Com essas informações, qual das três razões trigonométricas é a mais adequada?
A resposta para essa pergunta deve ser seno, pois essa é a única razão trigonométrica que envolve o cateto oposto e a hipotenusa. Substituindo os valores na razão seno, teremos:
Sen30° = X 
 5
Como dito, não importam as medidas dos lados de um triângulo. O seno de 30° sempre será igual a 0,5. Assim, podemos substituir:
0,5 = X
 5
5·0,5 = x
x = 2,5
Os valores de seno, cosseno e tangente de cada ângulo podem ser encontrados em uma tabela de razões trigonométricas, ou podem ser calculados em uma calculadora científica. Geralmente, é exigido que os alunos saibam os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30°, 45° e 60°, que podem ser encontradas na tabela a seguir:
 
O círculo trigonométrico representa medidas de seno, cosseno e tangente
Secante, cossecante e cotangente
Secante, cossecante e cotangente são funções trigonométricas secundárias que se relacionam de maneira inversa com as funções seno, cosseno e tangente.
Cotangente (cot) 
A cotangente de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto a esse ângulo. Assim, a relação cotangente depende do ângulo considerado, veja:
Em relação ao ângulo α:
cotg(α)= cateto adjacente a α cateto oposto a α
cotg(α)= ACAB
cotg(α)= bc
A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente desse mesmo ângulo, assim:
cotg(α)= 1tg(α)
cotg(α)= cos(α)sen(α)
Tangente dos ângulos notáveis
Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor da tangente é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°.
Como a cotangente de um ângulo é o inverso da tangente desse ângulo, basta inverter os valores das tangentes dos ângulos acima, na tabela.
Tabela da tangente
	α
	30º
	45º
	60º
	tg(α)
	3√3
	1
	3–√
Tabela da cotangente
	α
	30º
	45º
	60º
	cotg(α)=1tg(α)
	3–√
	1
	3√3
Exemplo prático:
Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. A cotangente de α mede?
cotg(α)=cateto adjacente a αcateto oposto a α
cotg(α)=86
cotg(α)=1,33
Função cotangente
Definimos a função cotangente como:
f(x)=cotg(x), x≠kπ
Lembrando alguns conceitos do círculo trigonométrico, fica claro que a função cotangente tem imagem Real, ou seja, é válida para todo x real.
A cotangente de um ângulo sempre estará paralela ao eixo das abscissas (x). Nesse sentido, a cotangente de um ângulo será sempre positiva no 1º e 3º quadrantes e negativo no 2º e 4º quadrantes
Gráfico da função cotangente
Vamos ilustrar o gráfico da função cotangente. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:
Cossecante (csc)
A cossecante de um ângulo é a razão entre a hipotenusa e o Cateto oposto a esse. Assim, a relação cossecante depende do ângulo considerado, veja:
Em relação ao ângulo α:
cossec(α)=hipotenusacateto oposto a α
cossec(α)=BCAB
cossec(α)=ac
A cossecante de um ângulo é o inverso do seno desse ângulo, assim:
cossec(α)=1sen(α)
Cossecante dos ângulos notáveis
Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor da cossecante é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°.
Como a cossecante é o inverso do seno, basta inverter os valores dos senos dos ângulos acima, na tabela.
Tabela do seno:
	α
	30º
	45º
	60º
	sen(α)
	12
	2√2
	3√2
Tabela da cossecante:
	α
	30º
	45º
	60º
	cossec(α)=1sen(α)
	2
	2–√
	23√3
Exemplo prático:
Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. A cossecante de α mede?
cossec(α)=hipotenusa cateto oposto a α
cossec(α)=106
cossec(α)=1,66
Função cossecante
Definimos a função cossecante como:
f(x)=1sen(x), x≠kπ
Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função cossecante tem imagem R -] -1,1[, ou seja, cossec(x) ≤ -1 ou cossec(x) ≥ 1, para todo x real.
A cossecante de um ângulo sempre estará sob o eixo das ordenadas (y). Nesse sentido, o cossecante de um ângulo será sempre positivo no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4º quadrantes
Gráfico da função cossecante
Vamos ilustrar o gráfico da função cossecante. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:
	x
	f(x) = cossec(x)
	0
	∄
	π2
	1
	π
	∄
	3π2
	-1
	2π
	∄
As retas onde a função cossecante não existe, x=kπ são chamadas de assíntotas.
Secante (sec)
A secante de um ângulo é a razão entre a hipotenusa e o Cateto adjacente a esse ângulo. Assim, a relação secante depende do ângulo considerado, veja:
Em relação ao
ângulo α:
sec(α)=hipotenusa cateto adjacente a α
sec(α)=BCAC=ab
A secante de um ângulo é o inverso do cosseno desse ângulo, assim:
sec(α)=1cos(α)
Secante dos ângulos notáveis
Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor da secante é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°.
Como a secante é o inverso do cosseno, basta inverter os valores dos cossenos dos ângulos acima, na tabela.
Tabela do cosseno:
	α
	30º
	45º
	60º
	cos(α)
	3√2
	2√2
	12
Tabela da secante:
	α
	30º
	45º
	60º
	sec(α)=1cos(α)
	23√3
	2–√
	2
Exemplo prático
Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. A secante de α mede?
sec(α)=hipotenusa cateto adjacente a α
sec(α)=108=1,25
Função Secante
Definimos a função secante como:
f(x)=sec(x), x≠π2+kπ
Lembrando alguns conceitos do círculo trigonométrico, fica claro que a função secante tem imagem R -] -1,1[, ou seja, sec(x)≤−1 ou sec(x)≥1, para todo x real.
A secante de um ângulo sempre estará sob o eixo das abscissas (x). Nesse sentido, o secante de um ângulo será sempre positivo no 1º e 4º quadrantes e negativo no 2º e 3º quadrantes.
Gráfico da função secante
Vamos ilustrar o gráfico da função secante. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:
	x
	f(x) = sec(x)
	0
	1
	π2
	∄
	π
	-1
	3π2
	∄
	2π
	1
Círculo Trigonométrico
O Círculo Trigonométrico, também chamado de Ciclo ou Circunferência Trigonométrica, é uma representação gráfica que auxilia no cálculo das razões trigonométricas.
Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas
De acordo com a simetria do círculo trigonométrico temos que o eixo vertical corresponde ao seno e o eixo horizontal ao cosseno. Cada ponto dele está associado aos valores dos ângulos.
Ângulos Notáveis
No círculo trigonométrico podemos representar as razões trigonométricas de um ângulo qualquer da circunferência.
Chamamos de ângulos notáveis aqueles mais conhecidos (30°, 45° e 60°). As razões trigonométricas mais importantes são seno, cosseno e tangente
	Relações Trigonométricas
	30°
	45°
	60°
	Seno
	1/2
	√2/2
	√3/2
	Cosseno
	√3/2
	√2/2
	1/2
	Tangente
	√3/3
	1
	√3
Radianos do Círculo Trigonométrico
A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou radiano (rad).
1° corresponde a 1/360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 partes iguais ligadas ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que corresponde a 1°.
1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é igual ao raio da circunferência do arco que será medido.
Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos
Para auxiliar nas medidas, confira abaixo algumas relações entre graus e radianos:
π rad = 180°
2π rad = 360°
π/2 rad = 90°
π/3 rad = 60°
π/4 rad = 45°
Obs: Se quiser converter essas unidades de medidas (grau e radiano) utiliza-se a regra de três.
Exemplo: Qual a medida de um ângulo de 30° em radianos?
π rad -180°
x – 30°
x = 30° . π rad/180°
x = π/6 rad
Quadrantes do Círculo Trigonométrico
Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos os quatro quadrantes que o constituem. Para compreender melhor, observe a figura abaixo:
1.° Quadrante: 0º
2.° Quadrante: 90º
3.° Quadrante: 180º
4.° Quadrante: 270º
Círculo Trigonométrico e seus Sinais
De acordo com o quadrante em que está inserido, os valores do seno, cosseno e tangente variam.
Ou seja, os ângulos podem apresentar um valor positivo ou negativo.
Para compreender melhor, veja a figura abaixo:
Como Fazer o Círculo Trigonométrico?
Para fazer um círculo trigonométrico, devemos construí-lo sobre o eixo de coordenadas cartesianas com centro em O. Ele apresenta um raio unitário e os quatro quadrantes.
Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras está diretamente relacionado ao triângulo retângulo, os egípcios e os Babilônios já o utilizavam, mas ainda não se tinha a formulação e o rigor matemático adequado. A história do Teorema de Pitágoras perpassa pela Grécia antiga, onde o filósofo e também matemático Pitágoras realizou a primeira demonstração desse teorema.
Conjectura-se que talvez o filósofo e matemático grego Pitágoras tenha observado mosaicos antigos que possuíam as formas geométricas triângulos retângulos isósceles e triângulos retângulos escalenos para assim conceber o teorema que leva o seu nome. 
Veja a seguir a estrutura geométrica desses dois triângulos:
Triângulo retângulo isóscele e escaleno
Triângulo retângulo isóscele:
 Esse triângulo possui um ângulo que mede 90°, seus outros dois ângulos são agudos, ou seja, menor que 90°. Em relação aos lados, dois são congruentes possuindo a mesma medida.
Triângulo retângulo escaleno: 
Esse triângulo possui um ângulo que mede 90°, seus outros dois ângulos são agudos, ou seja, menor que 90°. Já a medida dos seus lados são todas diferentes.
A relação entre triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras
Após Pitágoras observar esses mosaicos, ele estabeleceu importantes relações geométricas, sendo uma delas:
“A área do quadro construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos”.
Para entender essa definição de forma mais clara, observe a figura geométrica abaixo, nela está representada a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo.
Triângulo retângulo
A hipotenusa sempre será o lado aposto ao ângulo de 90°, já os catetos são os segmentos de reta que formam o ângulo de 90°. Agora que já sabemos as características de um triângulo retângulo, vamos representar a relação enunciada anteriormente utilizando um exemplo geométrico que segue a condição de existência de triângulo.
Cálculo da área triângulo retângulo
Veja que a área do quadrado sobre a hipotenusa é igual a soma da área dos quadrados construído sobre os catetos, ou seja:
Área do quadrado sobre a hipotenusa = soma dos quadrados construídos sobre os catetos
5 x 5 = (4 x 4) + (3 x 3)
25 = 16 + 9
25 = 25
Fórmula do Teorema de Pitágoras
A fórmula do Teorema de Pitágoras é descrita pela seguinte frase:
“Em todo o triângulo retângulo a medida da hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.
Verifique a seguir a representação geométrica e algébrica desse teorema:
Representação geométrica e fórmula do Teorema de Pitágoras
Podemos aplicar o Teorema para encontrar a medida desconhecida de um dos lados do triângulo retângulo. Acompanhe o exemplo abaixo é veja como isso pode ser feito:
Exemplo:
Encontre o valor referente à medida de (x) no triângulo abaixo.
Resposta:
 Substitua os valores referente a medida dos catetos na fórmula de Pitágoras é obtenha a medida de x.
Geometria Euclidiana
Na matemática, geometria euclidiana é a geometria sobre planos ou objetos em três dimensões baseados nos postulados de Euclides de Alexandria. O texto de Os Elementos foi a primeira discussão sistemática sobre a geometria e o primeiro texto a falar sobre teoria dos números. Foi também um dos livros mais influentes na história, tanto pelo seu método quanto pelo seu conteúdo matemático. O método consiste em assumir um pequeno conjunto de axiomas intuitivos, e então provar várias outras proposições (teoremas) a partir desses axiomas. Muitos dos resultados de Euclides já haviam sido afirmados por matemáticos gregos anteriores, porém ele foi o primeiro a demonstrar como essas proposições poderiam ser reunidas juntas em um abrangente sistema dedutivo.
Em matemática, linhas retas ou planos que permanecem sempre a uma distância fixa uns dos outros independentemente do seu comprimento. Este é um princípio da geometria euclidiana. Algumas geometrias não euclidianas, como a geometria elíptica e hiperbólica, no entanto, rejeitam o axioma do paralelismo de Euclides. 
Os postulados de Euclides são:
1. Dados dois pontos, há um segmento de recta que os une.
2. Um segmento
de recta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma recta.
3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada.
4. Todos os ângulos rectos são iguais.
Em especial, o quinto postulado de Euclides:
5.º Postulado de Euclides "Se uma linha recta cai em duas linhas rectas de forma a que os dois ângulos internos de um mesmo lado sejam (em conjunto, ou soma) menores que dois ângulos rectos, então as duas linhas rectas, se forem prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto no mesmo lado em que os dois ângulos são menores que dois ângulos rectos."
Paralelismo de Euclides."Há um ponto P e uma recta r não incidentes tais que no plano que definem não há mais do que uma recta incidente com P e paralela a r."
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo
"Existe um triângulo em que a soma das medidas dos ângulos é igual a dois rectos."
a + b + d = 2 rectos (a º + b º + d º = 180º)
Os comentários que têm sido feitos a estes postulados ao longo dos séculos encheriam um grosso volume, em particular no que respeita ao termo
 "continuamente" no segundo postulado e em especial no que respeita ao último, chamado o postulado de paralelismo.
lei dos senos
Quando é necessário relacionar um lado a um ângulo de um triângulo retângulo a fim de encontrar as medidas de um de seus lados ou de um de seus ângulos, podemos usar as relações trigonométricas: seno, cosseno e tangente. É possível calcular também a medida de um dos lados ou de um dos ângulos de um triângulo qualquer, isto é, não necessariamente de um triângulo retângulo. Para isso, um dos métodos utilizados é a lei dos senos.
Considere como exemplo o triângulo ABC, inscrito em uma circunferência de raio r.
Em um caso como esse, os lados e ângulos possuem medidas quaisquer.
 Assim, temos:
 a = b = c = 2r
senα senβ senθ 
Nesse triângulo, a, b e c são as medidas de seus lados; α, β e θ são seus ângulos internos, e os senos desses ângulos têm os mesmos valores dos senos encontrados nas tabelas trigonométricas.
Na primeira fração, a é a medida do lado oposto ao senα; na segunda fração, b é a medida do lado oposto ao senβ, e, na terceira fração, note que c é a medida do lado oposto ao senθ. Portanto, existe uma proporção entre as razões formadas pela medida de um lado e o seno do ângulo oposto a essa medida.
Note também que cada uma dessas razões é igual ao diâmetro da circunferência que circunscreve o triângulo.
Na maioria das vezes em que for necessário calcular a medida de um lado de um triângulo, conhecendo as medidas de um ângulo oposto a ele, de outro lado e do ângulo oposto a esse outro lado, devemos usar a lei dos senos. Essa lei também pode ser usada para descobrir a medida de um dos ângulos de um triângulo, caso conheçamos as medidas de outro ângulo e dos lados opostos a esses dois ângulos.
Exemplos:
1 – Calcule a medida do lado AB no triângulo a seguir.
 
Observe que o lado AB, representado por x, é oposto ao ângulo de 45°, e o lado CB, que mede 10 cm, é oposto ao ângulo de 30°. Assim, podemos usar a lei dos senos:
 a = b 
 senα senβ 
 x = 10 
 sen45 sen30 
Usando a propriedade fundamental das proporções, temos:
x·sen30 = 10·sen45
Na tabela dos valores trigonométricos notáveis, sen45 = √2/2 e sen30 = 1/2. Substituindo esses valores, temos:
x = 10√2
2 2 
x = 10√2 cm
2 – Calcule a medida do lado CB no triângulo a seguir.
 
O lado CB, representado por x, é oposto ao ângulo de 45°. Observe também que o lado AB, que mede 10 cm, é oposto ao ângulo de 120°. Usando a lei dos senos, podemos escrever:
 a = b 
senα senβ
 x = 10 
sen45 sen120
x·sen120 = 10·sen45
Para continuar, lembre-se de que senx = sen(180 – x), portanto: 
sen120 = sen(180 – 120) = sen60 substituindo o valor, temos:
x·sen60 = 10·sen45
x·√3 = 10·√2
 2 2
x·√3 = 10·√2
x = 10·√2
 √3
x = 10√3√2
 3
x = 10√6
 3
Obs:
A lei dos senos pode ser usada para encontrar as medidas de lados e ângulos internos de um triângulo qualquer.
Leis dos Cossenos
A lei do cosseno é um conjunto de expressões matemáticas que relaciona lados e ângulos de triângulos que não possuem um ângulo reto.
Utilizamos a lei do cossenos nas situações que envolvem triângulos não retângulos. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto, as relações trigonométricas de seno, cosseno e tangente não são válidas. Para determinar valores de medidas de ângulos e de lados, utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosθ
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cosβ
c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cosα
Triângulo não retângulo para o qual valem as expressões acima
Exemplos:
1º) Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:
72 = x2 + 32 – 2·3·x·cos60
49 = x2 + 9 – 6·x·0,5
49 = x2 + 9 – 3·x
x2 – 3x – 40 = 0
Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos: x’ = 8 e x” = – 5. Por se tratar de medidas, descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. O valor de x no triângulo é 8 cm.
2º) Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.
Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício:
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
a = 7, b = 6 e c = 5
7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2
O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.
3º) Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir utilizando a lei dos cossenos.
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5
x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7
Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.
Lei das Tangentes
Em trigonometria, a lei das tangentes estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos. Tal proposição foi descoberta por volta de 1580, pelo matemático François Viète.
Sejam a, b e c os comprimentos dos três lados do triângulo e α, β e γ, os respectivos ângulos opostos a estes três lados. A lei das tangentes estabelece que:
Proposição
Seja um triângulo não isósceles e não retângulo ABC cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:
Demonstração
Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:
Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:
 logo depois,
Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.
Vamos exercitar!
Questão 1
Um triângulo ABC possui os ângulos A = 30° e C = 120°. Além disso, o lado AB desse triângulo mede 100 cm. Qual é a medida do lado AC? (Considere √3 = 1,7).
 
a) 56,6 cm
b) 66,6 cm
c) 76,6 cm
d) 86,6 cm
e) 96,6 cm
Resolução
A + B + C = 180°
30° + 120° + C = 180°
150° + C = 180°
C = 180° – 150°
C = 30°
 x = 100 
 sen30° sen120°
 x = 100 
 sen30° sen60° 
x·sen60° = 100·sen30°
x·√3 = 100·1
 2 2
x·√3 = 100
x = 100
 √3
x = 100√3
 √3√3
x = 100√3
 3
x = 100·1,7
 3
x = 170
 3
x = 56,6 cm
Gabarito: Alternativa A
Questão 2
O triângulo ABC, na imagem abaixo, possui o lado AB = 50 cm e o lado CB = 30 cm. Sabendo que o ângulo C = 60°, qual é o seno do ângulo A? (considere √3 = 1,7 e sen31° = 0,51).
 
a) 30°
b) 31°
c) 32°
d) 33°
e) 34°
Resolução
30 = 50 
 senx sen60°
50·senx = 30·sen60°
50·senx = 30·√3
 2
50·senx = 15·√3
senx = 15·√3
 50
senx = 3·√3
10
senx = 3·1,7
 10
senx = 5,1
 10
senx = 0,51
x = 31°
Gabarito: Alternativa B
Questão 3
Qual o comprimento do lado AC do triângulo a seguir, sabendo que o ângulo C mede 60°, o lado oposto a ele mede 7 metros e o outro lado mede 5 metros.
a) 1 metro
b) 2 metros
c) 3 metros
d) 5 metros
c) 8 metros
Resolução
72 = 52 + x2 – 2·5·x·cos60°
49 = 25 + x2 – 10x·1/2
49 – 25 = x2 – 5x
24 = x2 – 5x
x2 – 5x – 24 = 0
x2 – 5x – 24 + 6,25 = 0 + 6,25
x2 – 5x + 6,25 = 6,25 + 24
√(x – 2,5)2 = √30,25
x – 2,5 = ± 5,5
x = ± 5,5 + 2,5
x’ = 5,5 + 2,5 = 8
x’’ = – 5,5 + 2,5 = – 3
Gabarito: Alternativa E
Questão 4
Calcule o cosseno do ângulo C no triângulo abaixo com base em suas medidas expostas na figura.
a) 1
b) – 1
c) 2
d) – 2
e) 3
Resolução
102 = 52 + 52 – 2·5·5·cosx
100 = 25 + 25 – 50·cosx
100 – 25 – 25 = – 50·cosx
50 = – 50·cosx
 50 = cosx
– 50 
cosx = – 1
Gabarito: Alternativa B
Questão 5
(Cefet – PR)
A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na avenida Teófilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Sabendo que o percurso do posto Estrela do Sul até a rua tenório quadros forma um ângulo de 90° no ponto de encontro do posto com a rua Teófilo Silva, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?
Resolução
 
Questão 6
Determine os valores de x, y, w e z em cada caso:
Resoluções
a) Através do cosseno de 30°, temos:
cos 30° = cat. adjacente a 30°
 hipotenusa
√3 = 16
2 x
√3 • x = 16 • 2
x = 32
 √3
x = 32•√3
 √3•√3
x = 32•√3
 3
 
Portanto, a hipotenusa mede 32•√3 unidades.
 3
b) Através do seno de y:
sen y = cat. oposto a y
 hipotenusa
sen y = 13
 26
sen y = 1
 2
O seno de y é ½. Podemos então concluir que y = 30°.
c) Pelo seno de 60°:
sen 60° = cat. oposto a 60°
 hipotenusa
√3 = w
 2 18
2 • w = 18√3
w = 18√3
 2
w = 9√3
Concluímos que w = 9√3 unidades.
d) Através do cosseno de 45°:
cos 45° = cat. adjacente a 45°
 hipotenusa
√2 = 20
2 z
√2 • z = 20 • 2
z = 40 . √2
 √2 √2
x = 40√2
 2
x = 20√2
Portanto, a hipotenusa mede 20√2 unidades.
Questão 7
Em um triângulo retângulo, determine as medidas dos ângulos agudos e da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede 3 cm e o outro mede √3 cm.
Resolução
(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² 
h² = 3² + (√3) ²
h² = 9 + 3
h = √12
h = 2√3 cm
tg α = cat. oposto a α
 cat. adjacente a α
tg α = 3
 √3
tg α = 3
 √3
tg α = 3 . √3
 √3 √3
tg α = 3√3
 3
tg α = √3
β + α + 90° = 180°
β + 60° + 90° = 180°
β + 150° = 180°
β = 180° – 150°
β = 30°
Questão 8
(Cesgranrio) 
Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:
a) 6√3 m.
b) 12 m.
c) 13,6 m.
d) 9√3 m.
e) 18 m.
Resolução
sen 30° = cat. oposto
 hipotenusa
1 = x
2 36
2x = 36
x = 36
 2
x = 18 m 
 Gabarito: Alternativa E
Questão 9
(UFAM) 
Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:
a) 2√3
b) √3
 3
c) √3
 6
d) √20
 20
e) 3√3
Resolução
(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²
(4a)² = (2a)² + c²
16a² = 4a² + c²
c² = 16a² – 4a²
c² = 12a²
c = √12a²
c = 2a√3
tg α = cat. oposto a α
 cat. adjacente a α
tg α = 2a
 2a√3
tg α = 1
 √3
tg α = 1 . √3
 √3 √3
tg α = √3
 3 
 Gabarito: Alternativa B
Questão 10
No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas. (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42; tg 65° = 2,14)
Resolução
cos 65° = y / 9
0,42 * 9 = y
y = 3,78
sen 65° = x /9
0,91 * 9 = x
x = 8,19
Questão 11
Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas. (Sen 60° = 0,866)
Resolução
sen 60° = / a
0,866 . a = 20,78
a = 24
cos 60° = b / 24
0,5 * 24 = b
b = 12
Questão 12
Nos triângulos das figuras abaixo, calcule tg Â, tg Ê, tg Ô:
A) B) 
C) 
Resolução
Letra a:
tg  = 48 / 14 = 24 / 7
tg Ê = 14 / 48 = 7 / 24
Letra b:
tg Ô = / = 1
tg Ê = / = 1
 Letra c:
16² = 2² + x²
x² = 252
x = 
tg  = 2 / = / 21
tg Ô = / 2 = 3
Questão 13
Sabendo que o triângulo retângulo da figura abaixo é isóscele, quais são os valores de tg  e tg Ê?
Resolução
Se sabemos que é um triângulo isósceles, então seus lados são iguais. Logo, tg  = 1 e tg Ê = 1.
Questão 14
Encontre a medida RA sabendo que tg  = 3.
Resolução
3 = 9 / x
3x = 9
x = 3
(RA)² = 9² + 3²
(RA)² = 90
(RA) = 
Questão 15
Encontre x e y:
A) 
B) 
Resolução
Letra a:
cos 45° = x / 
 * = x
x = 20
()² = 20² + y²
800 = 400 + y²
y² = 400
y = 20
Letra b:
cos 30° = / y
y = 18
18² = ()² + x²
324 = 243 + x²
x² = 81
x = 9
Questão 16 
Expresse
a) 45° em radianos π4 rad 
b) 330° em radianos 11π 
6 rad
c) 225° em radianos 5π 
4 rad
d) π3 rad em graus 60° 
e) 1112π rad em graus 
f) 3324π rad em graus 
165° 
247° 30’ 
Resolução
a) 180° π rad 45° x 180 ° 45° 5 π x 
→ x 5 π ? 45 180° ° 
→ x 5 π 4 rad 
 b) 180° π rad 
330° x 180 ° 330° 5 π x → x 5 π ? 330 → x 5 11π 6 rad 
c) 180° π rad 
225° x 180° 225° x 
° 180° 5 π → x 5 π ? → x 5 5π 4 rad 
d) 180° π rad 
x π3 rad 180° x 
3 
225° 180° 5 ππ → π x 5 180° ? π 3 → x 5 60° 
e) 180° π rad 
x 11π12 rad 180° 
x 5 π11π → π x 5 180° ? 11π 12 → x 
5 165° 12 
f) 180° π rad 
x 33π 
24 rad 180° 
x 5 π33π → π x 5 180° ? 33π 24 → x 5 247,5° 5 247° 30 ’ 
24 
Questão 17
(Mackenzie-SP) 
O ponteiro dos minutos de um relógio mede 4 cm. Supondo π 5 3, a distância, em centímetros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 25 minutos é: 
a) 15 
b) 12
c) 20
d) 25
e) 10 
Resolução
Em 60 minutos o ponteiro dá uma volta, que é o comprimento da circunferência C 5 2πr, em que π 5 3 e r 5 4. 60’ 2πr 25’ x x 5 2 π r? 25 
60 → x 5 2? 3? 4? 25 60 → x 5 10 cm
Gabarito: Alternativa E
Questão 18
 Um arco de circunferência mede 210° e seu comprimento é 2 km. Qual a medida do raio em metros? Use π 5 3,14. Aproximadamente 546 m
 Resolução
 a rad 5 ,r , 5 2 km 5 2 000 m 180° π rad 210° x 
x 
5 210 °? π 180° 5 
7 
π 6 rad 7 π 6 
5 2000 
r → r 
5 6 ? 
2000 7 π 45,9 
5 
A medida do raio é, aproximadamente, 546 metros. 
Questão 19
 Determine o comprimento de um arco de ângulo central 85°, cujo raio da circunferência é 5 cm. Use π 5 3,14. Aproximadamente 7,41 cm
Resolução
a rad 5, r r 5 5 cm 180° π rad 
85° x x 5 85 °? π 180° 5 
17 
17 
5 5 
5 ? π 36 rad π 36 , → , 5 17 
π 36 41 
7, 
O comprimento do arco é, aproximadamente, 7,41 cm. 
 
 Questão 20 
Considerando o raio da Terra igual a 6 370 km, qual a medida do comprimento da linha do equador? 
Resolução
C 5 2πr 5 2 ? 3,14 ? 6 370 → C 5 40 003,6 km A linha do equador tem, aproximadamente, 40 003,6 km. 
Questão 21
 (Unesp-SP) 
Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 rad. O perímetro do “monstro”, em centímetros, é: 
a) π 21 
b) π 11
c) 2π 21 
d) 2π
e) 2π 11
Resolução
A1 cm 
O 
1 rad 1 rad (1 cm) 
O comprimento do arco menor AB� é 1 cm. O perímetro do “monstro” é p 5 2πr 2 1 1 1 1 1 5 2π 1 1. 
 Gabarito: Alternativa B
Questão 22 
Na figura abaixo, os arcos AMB, ADC e CEB têm, respectivamente, determine os comprimentos desses arcos. O que podemos concluir? 
AMB 5 raios 94,2 30 cm; cm, ADC 10 cm 5 e 31,4 20 cm. cm e CEB 5 62,8 cm 
Resolução
arco AMB 5 2 π r2 
5 2 ? 3,14 2 
942 m e v 5 60π m/min ? 30 5 94,2
cm arco ADC �2 r2 3,14 31,4 cm 
arco CEB
5 π 5 2 ? 2 ? 10 5 5 2 π r2 5 2 ? 3,14 2 ? 20 5 62,8 cm 
 AMB -5 ADC - 1 CEB 
Questão 23
Um grado (1 gr) é um ângulo central que determina na circunferência um arco de comprimento igual a 1400 da circunferência. Quantos radianos tem um ângulo de 50 gr? π4 rad 
Resolução
 2π rad 400 gr x 50 gr x 5 50 ? 2 
π 400 → x 5 π 4 rad 
Questão 24
Um ciclista leva 5 minutos para dar uma volta numa pista circular de raio 150 m. Qual o comprimento da pista e qual a velocidade do ciclista em metros por minuto? 
Resolução
 C 5 2πr 5 2 ? 3,14 ? 150 → C 5 942 m v 5 s t 5 2 π? 1505 
→ v 5 60 π m/min 
p. 10 
Questão 25
Em que quadrante se encontra a extremidade dos arcos de: 
a) 21 690°
 b) 2 490° 
Resolução 
a) k 5 0→ a 5 
π 4 
b) k 5 7 → a 5 
π 4 
1 2 ? 7 ? π 5 57π 
Questão 26
(Vunesp) 
O cosseno do menor ângulo interno de um triângulo retângulo é √3/2. Se a medida da hipotenusa desse triângulo é 4 unidades, então é verdade que um dos catetos desse triângulo mede, na mesma unidade.
a) 1
b) √3
c) 2
d) 3
e) √3/3
Resolução
Alternativa c) 2
Questão 27
 (Unb)
Em um modelo para descrever o processo respiratório, considera-se que o fluxo de ar F na traquéia, em ambos os sentidos - inspiração e expiração -, e a pressão interpleural P - pressão existente na caixa torácica produzida pelo diafragma e por músculos intercostais - são funções periódicas do tempo t, havendo entre elas uma diferença de fase. Essas funções são descritas, para t > 0, por 
ý F (t) = A sen (Ÿt) þ ÿ P (t) = C - B F [t + (k/Ÿ)]
em que k, A, B, C são constantes reais positivas e Ÿ é a frequência respiratória. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
( ) O fluxo máximo de ar na traquéia é igual a A. 
( ) P (t) = C - BA sen (Ÿt + k). 
( ) As funções P e F têm o mesmo período. 
( ) Sempre que o fluxo de ar na traquéia for nulo, a pressão interpleural será máxima.
Resolução
V V V F
Questão 28
(Unb) Supondo que, em determinada região, a temperatura média semanal T(em °C) e a quantidade de energia solar média semanal Q que atinge a região (em kcal/cm£) possam ser expressas em função do tempo t, em semanas, por meio das funções, julgue os itens a seguir. 
( ) A maior temperatura média semanal é de 22°C. 
( ) Na 50.ò semana, a quantidade de energia solar média semanal é mínima. 
( ) Quando a quantidade de energia solar média é máxima, a temperatura média semanal também é máxima.
Resolução
V V F
Questão 29
(Ufal) 
Analise as alternativas abaixo.
( ) cossec 45° = (Ë2)/2
( ) sec 60° = 2 
( ) cotg 30° = Ë3 
( ) sec (™/2) = 0 
( ) sen (55™/2) = 1
Resolução
 F V V F F
Questão 30
(Ufpr)
 Um instrumento para medir o diâmetro de pequenos cilindros consiste em um bloco metálico que tem uma fenda com o perfil em V contendo uma escala, conforme ilustração abaixo. O cilindro é colocado na fenda e a medida de seu diâmetro, em centímetros, é o número que na escala corresponde ao ponto de tangência entre o cilindro e o segmento AB. Ao construir a escala de um instrumento desses, o número 2 corresponde a um certo ponto de AB.
Sendo x a distância deste ponto ao ponto A, é correto afirmar:
(01) x é igual a 2/[tg(š/2)]cm.
(02) x é igual a 1/[(tgš/2)]cm. 
(04) Se a medida de š for 90°, então x será igual a 2cm.
(08) Quanto menor for o ângulo š, maior será a distância x.
 Soma ( )
Resolução
02 + 08 = 10
Questão 31
(Ufpr)
 Com base nos estudos de trigonometria plana, é correto afirmar:
 (01) O período da função f(x) = sen [x - (™/4)] é ™/4. 
 (02) cos£x + (tg£x)(cos£x) = 1, qualquer que seja o número real x, desde que cos x · 0. 
(04) Existe número real x tal que 2sen£x + cos£x = 0. 
(08) Se os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm e 8 cm, então o menor dos ângulos desse triângulo tem co-seno igual a 4/5. 
(16) Se x, y e z são as medidas, em radianos, dos ângulos internos de um triângulo, então senz=(senx)(cosy)+(seny)(cosx). 
Soma ( )
Resolução
02 + 08 + 16 = 26
Questão 32
(Ufal)
 Analise as alternativas abaixo. 
( ) cossec 45° = (Ë2)/2 
( ) sec 60° = 2 
( ) cotg 30° = Ë3 
( ) sec (™/2) = 0 
( ) sen (55™/2) = 1
Resolução
F V V F F
Questão 33
Em trigonometria, é verdade: 
(01) Sendo sen x = - 4/5 e x pertencente ao terceiro quadrante, então cos (x/2) = -1/5. 
(02) se x + y = ™/3, então cos(3x - 3y) = 2 sen£3y - 1. 
(04) Existe x Æ [™/4, 5™/2], tal que sen£x + 3 cosx = 3. 
(08) A função inversa de f(x) = cos é g(x) = sec x. 
(16) Num triângulo, a razão entre dois de seus lados é 2, e o ângulo por eles formado mede 60°; então o triângulo é retângulo. 
Soma ( )
Resolução
02 + 04 + 16 = 22
Questão 34
(UF – PI)
Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?
Resolução
A altura será de 500 metros.
Questão 35
(Unisinos – RS)
Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20º. Após percorrer 2 000 metros em linha reta, qual será a altura atingida pelo avião, aproximadamente? (Utilize: sem 20º = 0,342; cos 20º = 0,94 e tg 20º = 0,364).
Resolução
 
A altura atingida pelo avião será de 684 metros.
Questão 36
De um ponto A, um agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de 45º. Ao se aproximar 50 metros do morro, ele passa a ver o topo T conforme um ângulo de 60º. Determine a altura do morro.
Resolução
Questão 37
A figura abaixo representa um avião que decolou sob um ângulo constante de 40º e percorreu em linha reta 8000 m. Nesta situação, qual a altura que se encontrava o avião ao percorrer essa distância?
Resolução
Considere:
sen 40º = 0,64 
cos 40º = 0,77
tg 40º = 0,84
 
Assim, ao percorrer 8 000 m, o avião se encontra a 5 120 m de altura.
Questão 38
Para uma feira de ciências um grupo de estudantes resolveu construir uma maquete de uma casa, conforme esquema abaixo. O telhado será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, que será dividida ao meio para fazer as duas partes do telhado. Sabendo que o telhado será feito segundo um ângulo de 55º, calcule a medida x da largura casa.
Resolução
Considere:
sen 55º = 0,82
cos 55º = 0,57
tg 55º = 1,43
Questão 39
Um menino avista o ponto mais alto de um morro, conforme figura abaixo. Considerando que ele está a uma distância de 500 m da base do morro, calcule a altura (h) deste ponto.
Resolução
Considere:
sen 20º = 0,34
cos 20º = 0,93
tg 20º = 0,36
Questão 40
(Cefet/MG - 2017)
Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo ângulo é
Resolução
a2 = b2+c2
25=(2c)2+c2
5c2=25
c=√5
Alternativa D: 2√5/5
Questão 41
(Epcar – 2016)
As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo.
Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC = 6√3 km, então CP é, em km, igual a
a) 6 +√3
b) 6(3 − √3 )
c) 9 √3 − √2
d) 9(√ 2 − 1)
O lado BA é oposto ao ângulo dado (30º) e o lado BC é adjacente a este ângulo, portanto, iremos calcular usando a tangente de 30º:
Resolução
Alternativa B: 6(3 − √3)
Questão 42
(Enem – 2011)
Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α= 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
a) 1000 m
b)
1000 √3 m
c) 2000 √3/3 m
d) 2000 m
e) 2000 √3 m
Resolução
90º+60º+x = 180º
x = 180º-90º- 60º= 30º
30º+120º+x = 180º
x = 180º-120º-30º = 30º
Alternativa B: 1000 √3 m
Questão 43
Reduza ao 1° quadrante o ângulo de 150°.
Resolução
180° – x = 150°
– x = 150° – 180°
– x = – 30°
x = 30°
Portanto, o ângulo de 30° é correspondente a 150°.
Questão 44
Reduza ao 1° quadrante o ângulo de 310°.
Resolução
360° – x = 310°
– x = 310° – 360°
– x = – 50°
x = 50°
O ângulo de 50° é o correspondente de 310° no primeiro quadrante.
Questão 45
Reduza ao 1° quadrante o ângulo de 4π/3.
Resolução
π + x = 4π
 3
x = 4π – π
3
x = 4π – 3π
 3
x = π
 3
Logo, o ângulo de π/3 é o correspondente de 4π/3 no primeiro quadrante.
Questão 46
(UFRGS) 
Considere as afirmações a seguir:
I. tan 92° = –tan 88°
II. tan 178° = tan 88°
III. tan 268° = tan 88°
IV. tan 272° = –tan 88°
Quais estão corretas?
a) I, III
b) III, IV
c) I, II, IV
d) I, III, IV
e) II, III, IV
Resolução
Vamos agora analisar cada uma das afirmações:
I. tan 92° = –tan 88°
Reduzindo o ângulo de 92° ao primeiro quadrante, temos:
180° – 92° = 88°
Os ângulos de 92° e 88° são correspondentes e possuem tangente de mesmo módulo. De acordo com a figura, podemos constatar que o sinal das duas tangentes é diferente. Logo, a afirmação I é verdadeira.
II. tan 178° = tan 88°
Reduzindo o ângulo de 178° ao primeiro quadrante, temos:
180° – 178° = 2°
Os ângulos de 178° e 88° não são correspondentes, logo suas tangentes são diferentes. Assim sendo, a afirmação II é falsa.
III. tan 268° = tan 88°
Reduzindo o ângulo de 268° ao primeiro quadrante, temos:
268° – 180° = 88°
Os ângulos de 268° e 88° são correspondentes e possuem tangente de mesmo módulo. Através da figura, vemos que é igual o sinal de suas tangentes. Logo, a afirmação III é verdadeira.
IV. tan 272° = –tan 88°
Reduzindo o ângulo de 272° ao primeiro quadrante, temos:
360° – 272° = 88°
Os ângulos de 272° e 88° são correspondentes e suas tangentes possuem o mesmo módulo. Através da figura, vemos que é diferente o sinal de suas tangentes. Logo, a afirmação III é verdadeira.
São verdadeiras as afirmações I, III e IV. A alternativa correta é a letra d.
Questão 47
Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura.
Resolução
Questão 48
(PUC)
 A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
Resolução
Pela informação do enunciado, sabemos que a2 + b2 + c2 = 32. Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras temos que a2 = b2 + c2 .
Substituindo o valor de b2+c2 por a2 na primeira expressão, encontramos:
a2 + a2 =32 ⇒ 2 . a2 = 32 ⇒ a2 = 32/2 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = √16
a= 4
Alternativa: b) 4
Questão 49
 (Enem)
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:
a) 1,9m
b) 2,1m
c) 2,0m
d) 1,8m
e) 2,2m
Resolução
O comprimento total do corrimão será igual a soma dos dois trechos de comprimento igual a 30 cm com o trecho que não conhecemos a medida.
Observamos pela figura, que o trecho desconhecido representa a hipotenusa de um triângulo retângulo, cuja medida de um dos cateto é igual a 90 cm.
Para encontrar a medida do outro cateto, devemos somar o comprimento dos 5 degraus. Sendo assim, temos que b = 5 . 24 = 120 cm.
Para calcular a hipotenusa, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para esse triângulo.
a2 = 902 + 1202 ⇒ a2 = 8100 + 14 400 ⇒ a2 = 22 500 ⇒ a = √22 500 = 150 cm
Note que poderíamos ter usado a ideia dos ternos pitagóricos para calcular a hipotenusa, visto que os catetos (90 e 120) são múltiplos do terno 3, 4 e 5 (multiplicando todos os termos por 30).
Desta forma, a medida total do corrimão será:
30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m
Alternativa b) 2,1m
Questão 50
A Secretaria de Turismo de uma cidade vai instalar um teleférico ligando os topos de duas montanhas, uma com 872m872m e a outra com 761m761m de altura, conforme a figura. Os engenheiros responsáveis pelo projeto mediram o ângulo de vértice AA e calcularam que o cabo de aço que sustentará o teleférico tem curvatura e, por isso, seu comprimento é 7%7% maior que a medida do segmento de reta AB.AB. Assim, calculem o comprimento do cabo.
Resolução
O desnível em metros entre os pontos AA e BB é a diferença 872−761872−761, ou seja, 111m111m. Assim, temos o triângulo retângulo abaixo.
A distância dd, em metros, entre os pontos AA e BB é, portanto, dada por d=111sen20∘d=111sen20∘ e assim d≈324,54md≈324,54m.
Como o comprimento do cabo deve ser 7%7% maior que a medida do segmento de reta ABAB, então esse comprimento é, aproximadamente, 347,26m347,26m.
Ver Resposta
Ver Resposta
	04