3 modulo calor 3

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 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS 
 
 
fluido h, T
oo
T
s
A
 
Como aumentar a transferência de calor entre a superfície e o fluido? 
( )∞−= TThAq s 
 
aumentar a área!!! 
 
 
 
aleta 
 
 2
Aleta: superfície estendida (alta condutividade, pequena espessura) 
aleta
 
 
Aleta plana: fixada a uma parede plana 
 
Seção reta uniforme X Seção reta não uniforme 
 
espessura, t
largura, w 
Aleta anular: fixada circunferencialmente a um cilindro 
 
 
 
 1
 
 
 
 
 2
Aleta piniforme: área de seção reta circular 
 
dx
q
x+dxq
x
dA
sup
A
sr
(x)
 
 
Balanço de energia: convdxxx dqqq += + 
 
( )
dx
dT
xkAq srx −= 
 
dx
dx
dT
kA
dx
d
dx
dT
kAdx
dx
dq
qq srsr
x
xdxx 


−+−=+=+ 
 
 
( )∞−= TThdAdq supconv 
 
( ) 0TThdAdx
dx
dT
kA
dx
d
supsr =−+


− ∞ 
 
 
 
 3
Considerando k constante: 
 
( ) 0TT
dx
dA
k
h
dx
dx
dT
A
dx
d sup
sr =−−



∞ 
 
 
( ) 0TT
dx
dA
k
h
dx
dA
dx
dT
dx
Td
A supsr
2
2
sr =−−+ ∞ 
 
 
equação genérica para condução de calor unidimensional em uma superfície estendida 
 
 
 4
Aletas com área de seção reta uniforme 
 
t
L
T
b
w
x
T
oo
, h
 
 
wtAsr = (constante) 0dx/dAsr = 
 
PxAsup = (P=perímetro da aleta) Pdx/dAsup = 
 
( )wt2P += 
 
( ) ( ) 0TTm
dx
Td
0TT
A
P
k
h
dx
Td 2
2
2
sr
2
2
=−−⇒=−− ∞∞ 
 
Seja ∞−=θ TT ⇒ 0m
dx
d 2
2
2
=θ−
θ
 
 
( ) mx2mx1 eCeCx −+=θ 
 
 
 
 5
Condições de contorno: 
 
( ) bb TT0 θ=−=θ ∞ 
 
( )( ) ( )Lh
dx
d
kTLThA
dx
dT
kA
Lx
sr
Lx
sr θ=
θ
−⇒−=−
=
∞
=
 
 
 
Resolvendo para C1 e C2: 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ]
[ ] ( ) [ ]mLsenhmk/hmLcosh
xLmsenhmk/hxLmcosh
b +
−+−
=
θ
θ
 
 
 
Calor total transferido pela aleta: 
 
( ) sup
A0x
sr
0x
sr dAxhdx
d
kA
dx
dT
kAq
a
∫ θ=
θ
−=−=
==
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6
Outras condições de contorno: 
 
⇒ Perda de calor por convecção na extremidade da aleta é desprezível 
 
0
dx
d
Lx
=
θ
=
 
⇒ Aleta muito longa 
 
∞→→θ L0L 
 
 
 7
Exemplo: bastão circular de cobre (k=398 W/mK) exposto ao ambiente (ar, 25oC, h=100 W/m2K) 
 
5 mm
100oC
 
 
Qual o comprimento para que o bastão possa ser considerado infinito? 
 
Bastão infinito: bsra hPkAMq θ== 
 
Considerando aleta adiabática: ( )mLtghMqa = 
 
( )
( )
18,14
4/105398
105100
kA
hP
m
23
3
sr
2 =
××π×
××π×
==
−
−
 
 
1% erro: ( ) m19,0L65,2mL99,0mLtgh =⇒=⇒≥ 
 
5% erro: ( ) m13,0L83,1mL95,0mLtgh =⇒=⇒≥ 
 
 
 8
Desempenho da aleta 
 
 
Efetividade: taxa de transmissão de calor com a aleta 
 taxa de transmissão de calor sem a aleta 
 
bb,sr
a
a hA
q
θ
=ε 
 
 área da base da aleta 
 
εa deve ser o maior possível!!! 
 
Em geral, só se justifica o uso de aletas se εa ≥ 2 
 
Exemplo: aleta de seção uniforme com comprimento infinito 
 
srbsr
bsr
bb,sr
a hA
Pk
hA
hPkA
hA
M
=
θ
θ
=
θ
=ε 
 
Resistência térmica: 
a
b
a,t q
R
θ
= 
 
a,t
b,t
a R
R
=ε razão entre resistências térmicas 
 
 9
Eficiência da aleta ( )aη 
 
Se toda a superfície da aleta se encontrasse à temperatura da base (Tb), o calor dissipado seria máximo.... 
 
ba
a
max
a
a hA
q
q
q
θ
==η 
 
Exemplo: aleta plana com seção reta uniforme e extremidade adiabática 
( ) ( )
mL
mLtanh
hPL
mLtanhM
b
a =θ
=η 
 
Estimativas precisas para aproximação de aletas adiabáticas: 
 
2/tLLc += (seção retangular) 
4/DLLc += (piniforme) 
 
Aletas com área de seção reta não uniforme 
 
Incluir a variação de Asr com x ou r 
 
 
 10 
 
 
 11 
 
 
 
 12 
Aproximação por métodos gráficos 
 
 
 
 
 13 
 
 
 
 
 14 
Bastões circulares de cobre (k=398 W/mK), com diâmetro D=1mm e comprimento L=25mm, são usados 
para aumentar a transferência de calor em uma superfície que é mantida a 100oC. Uma extremidade do 
bastão é presa a essa superfície e a outra extremidade é mantida a 0oC. Ar, que escoa entre as superfícies 
(e sobre os bastões), também se encontra a 0oC (h=100 W/m2K). 
Qual é a taxa de transferência de calor por convecção entre um único bastão de cobre e o ar? 
Qual a taxa total de transferência de calor dissipada de uma seção da superfície a 100oC de 1m por 1m. 
Os bastões encontram-se posicionados com uma distância entre centros de 4mm. 
 
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Eficiência global da superfície: Desempenho de um conjunto de aletas 
 
 
 
 
L
t
S
superfície primária (A
b,
 T
b
)
 
 
qmax: toda a superfície da aleta e a base estão a Tb 
 
 
 2
bt
t
max
t
g hA
q
q
q
θ
==η 
 
bat ANAA += 
 
bbbaat hAhANq θ+θη= 
 
( )ataabt NAAANhq −+ηθ= 
 
( ) ba
t
a
tt 1A
NA
1hAq θ





η−−= 
 
( )a
t
a
g 1A
NA
1 η−−=η 
 
 
tgt
b
g,t hA
1
q
R
η
=
θ
= 
 
 
 3
Devido ao grande número de componentes nos chips dos pc´s atuais, sorvedouros de calor aletados são 
usados com freqüência para manter os chips a uma temperatura de operação aceitável. Dois projetos de 
sorvedouros aletados devem ser analisados, ambos com a área da base (sem aletas) de dimensões de 
53mm X 57 mm. As aletas possuem seção reta quadrada e são fabricadas em uma liga de alumínio que 
possui condutividade de 175 W/mK. Ar para o resfriamento pode ser suprido a 25oC, e a temperatura 
máxima permissível para o chip é de 75oC. Outras características do projeto e das condições operacionais 
são apresentadas na tabela. 
 
Projeto Dimensões das Aletas Número 
de aletas 
na matriz 
h (W/m2K) 
 Seção reta 
w X w (mm) 
Comprimento 
(mm) 
 
A 3 X 3 30 6 X 9 125 
B 1 X 1 7 14 X 17 375 
 
Determine o melhor arranjo de aletas. Na sua análise, calcule a taxa de transferência de calor e a 
eficiência de uma única aleta, bem como a taxa total de transferência de calor e a eficiência global do 
conjunto de aletas. 
 
 4
Projeto A: o calor total dissipado é 114W 
Projeto B: o calor total dissipado é 160W – corresponde ao melhor arranjo 
 
1) Uma parede de um aquecedor elétrico blindado é feita de uma placa de cobre (k=400 W/mK), 160 mm 
x 160mm de largura e 5 mm de espessura. Para aumentar o calor transferido através da placa, 400 
aletas de cobre em forma de pinos, cada uma com 4 mm de diâmetro e 20 mm de comprimento, são 
integralmente fixadas nas duas superfícies da placa (200 em cada lado). Ar quente na blindagem está a 
uma temperatura de 65ºC, e a circulação natural fornece um coeficiente de convecção médio de 5 
W/m2K, na superfície interior da placa. Um escoamento forçado de ar ambiente a 20ºC desenvolve um 
coeficiente de convecção médio de 100 W/m2K na face externa da placa. 
a) Estime a taxa de transferência de calor através da placa (Dicas: monte o circuito térmico do 
problema; avalie as resistências térmicas de cada conjunto de aletas). (q = 16,2 W) 
b) Considerando o mesmo coeficiente de convecção sem aletas, determine a elevação do calor 
removido fornecido pelos pinos (194% - a taxa de transferência de calor sem os pinos é 5,5W)