3 modulo calor 2

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1
CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO1 
 
CONDUÇÃO DE CALOR COM GERAÇÃO DE ENERGIA 
 
 
 
V/RIqRIE el
2
el
2
g == && 
Parede Plana 
T
s1
T
s2
x=-L x=L
fluido quente
T
oo 1
,h
1
fluido frio
T
oo2
,h
2
x
 
 
 
 
1 Ref. livro-texto: capítulo 3, Condução Unidimensional em Regime Estacionário 
 
 2
Considerações: 
 
(1) condução unidimensional; 
(2) regime permanente; 
(3) geração uniforme de energia térmica (q& constante ao longo de todo o volume) 
(4) condutividade térmica constante 
 
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
cp &+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
 
 
 
q
x
T
k
x
0 &+





∂
∂
∂
∂
= 
 
21
2
12
2
CxCx
k2
q
TCx
k
q
dx
dT
0
k
q
dx
Td
++−=⇒+−=⇒=+
&&&
 
 
Aplicação das condições de contorno: 
 
( ) ( ) 2s1s TLTeTLT ==− 
 
 
( )
2
TT
L
x
2
TT
L
x
1
k2
Lq
xT 1s2s1s2s
2
22 +
+
−
+







−=
&
 
0(2) 0(1) 
 
 3
 
Se as superfícies (1) e (2) são mantidas à mesma temperatura (Ts) 
 
( ) s2
22
T
L
x
1
k2
Lq
xT +







−=
&
 
(máxima para x=0) 
 
O que acontece com dT/dx em x=0? 
 
SIMETRIA.....dT/dx=0!!! 
 
Avaliação da temperatura da superfície: 
 
( )∞
=
−=− TTh
dx
dT
k s
Lx
 
k
Lq
L
x2
k2
Lq
dx
dT
Lx
2
2
Lx
&&
−=




 −
=
==
 
 
( )
h
Lq
TTTTh
k
Lq
k ss
&&
+=⇒−=




−− ∞∞ 
 
 
Posso calcular Ts a partir de T∞ !!! 
 
 
 
 4
 
Exemplo: 
água
h=1000W/m 2k
T=30oC
(A) (B)
T
0
T
2
T
1
 
 
Dados: mm50Lm/W10x5,1qmK/W75k A
36
AA === & 
 mm20L0qmK/W150k BBB === & 
 
Objetivo: avaliar T0 e T1 
 
 
a) Cálculo de T2: 
BAA LLxsaiLxentra
qq +== = 
( ) C105
h
Lq
TTTThLqq oAA22AA0xentra =+=⇒−=+ ∞∞=
&
& 
 
 
 
 
 
 5
 
b) Cálculo de T1: 
 
q
A
L
A
.
T
oo
T
1 T
2 
C115T
R
TT
Lq
h
1
k
L
R o1
t
1
AA
B
B
t =⇒
−
=+= ∞& 
 
 
c) Cálculo de T0 (temperatura máxima para problema com simetria) 
 
C140TT
k2
Lq
T o01
2
0 =⇒+=
&
 
 
 
 6
(3.73) Seja a condução térmica unidimensional em uma parede plana composta. Suas superfícies 
externas estão expostas a um fluido a 25oC com um coeficiente de transferência de calor por convecção 
de 1000 W/m2K. Na parede intermediária B há geração uniforme de calor (qB) enquanto não existe 
geração nas paredes A e C (qA = qC = 0). As temperaturas nas interfaces são de T1=261
oC e T2=211
oC. 
Supondo resistência de contato desprezível nas interfaces, determine a taxa volumétrica de geração de 
calor ( Bq& ) e a condutividade térmica kB. ( )Km/W4,15k;m/W4002q 2B
3
B ========& 
 
30 mm 60mm 20mm
B
k
A
 = 25 W/mK
A C
k
C
 = 50 W/mKT1 T2
 
 
 
 7
Uma barra retangular de combustível sólido nuclear de 30 mm de espessura (2L) é recoberta por um 
revestimento de aço de 3mm de espessura, conforme mostrado na figura a seguir. O combustível 
apresenta geração uniforme de calor, a uma taxa de 2,5 x107 W/m3. O revestimento interno de aço é 
isolado, e o revestimento externo está exposto a um fluido de resfriamento a 150oC (h=20000 W/m2K). 
As condutividades térmicas do combustível e do aço são iguais a 60 e 15 W/mK, respectivamente. 
Avalie as temperaturas interna (Ti) e externa (Te) do revestimento de aço em contato com o fluido. 
Obtenha uma expressão para a variação da temperatura ao longo de x no interior do combustível. Qual 
o ponto de temperatura mais elevada no combustível e qual o valor desta temperatura? 
 
x
L
aço
combustível
fluido
T
i
T
e
 
 
 
 
 8
Sistemas radiais com geração interna: 
fluido frio h, T
oo
r
0
L
T
s
 
 
Equação de condução de calor: 
k
q
dr
dT
r
dr
d
r
1
0
&
+




= 
Integrando: 1
2 Cr
k2
q
dr
dT
r +−=
&
 
Integrando novamente: 21
2 CrlnCr
k4
q
T ++−=
&
 
Condições de contorno: 
 
Condição de simetria: 0C1 = 
2
0s20s rk4
q
TCrremTT
&
+=⇒== 
 
 
 
 9
( ) s2
0
22
0 T
r
r
1
k4
rq
rT +







−−=
&
 
Correlacionar Ts e T∞ (balanço de energia na superfície) 
 
( ) ( )( )∞−π=π TTLr2hLrq s020& 
 
h2
rq
TT 0s
&
+= ∞ 
 
 
 
(3.95) Resíduos radioativos (krr= 20W/mK) são armazenados em um tanque esférico de aço inoxidável 
(kai=15W/mK) de raios interno e externo iguais a 0,5 e 0,6m, respectivamente. Calor é gerado 
volumetricamente no interior dos resíduos a uma taxa uniforme 510====q& W/m3 e a superfície externa do 
tanque encontra-se exposta a uma corrente de água a 25oC (h=1000 W/m2K). 
a) Encontre o valor da temperatura da parede externa do tanque em regime estacionário (36.6 oC) 
b) Encontre o valor da superfície interna do tanque em regime estacionário (129.4 oC) 
c) Partindo da equação geral de condução de calor, obtenha uma expressão para a distribuição de 
temperatura nos resíduos radioativos em função do raio. Qual o valor da temperatura em r=0? (337,7 
oC) 
 
 10 
2) A superfície exposta (x=0) de uma parede plana com condutividade térmica k encontra-se sujeita a 
radiação de microondas que causa um aquecimento volumétrico que varia conforme 





 −=
L
x
qq ex 1&& 
onde eq& (W/m
3) é uma constante. A fronteira em x=L está perfeitamente isolada, enquanto a superfície 
exposta é mantida a uma temperatura constante Te. Determine a distribuição de temperatura T(x) em 
termos de x,L, eq& e Te. Resposta: e2
3
e TLxx
L3
x
k2
q
)x(T ++++







++++−−−−====
&