5 Tensões no Entorno de um Ponto b V

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia Civil 
ENG01201 – Mecânica Estrutural I 
Profa Vanessa Fátima Pasa Dutra 
 
Material de Apoio 
 
5. Tensões no Entorno de um Ponto 
 
5.5 Círculo de Mohr 
A partir das características matemáticas apresentadas pelas equações de transformação, 
podemos constatar que é possível obter de forma gráfica componentes de tensão segundo 
diferentes sistemas de eixos, bem como tensões e direções principais para um dado estado de 
tensões em um ponto. A metodologia consiste em procedimentos geométricos simples, 
baseando-se no fato de que as equações de transformação são, na verdade, equações 
paramétricas de uma circunferência no plano coordenado -. Assim, círculos descrevendo 
as possíveis direções e componentes de um estado de tensões são obtidos, sendo denominados 
círculos de Mohr em homenagem ao engenheiro alemão que desenvolveu o método, Otto Mohr. 
Na sequência é demonstrada a relação entre as equações de transformação de tensões e a 
equação da circunferência nos casos de estado plano e estado geral de tensões. Em cada caso, 
são também mostrados os passos para a obtenção gráfica dos círculos de Mohr. 
5.5.1 Estado plano de tensões 
As equações de transformação de tensões para x’ e x’y’ são dadas por: 
.cos2 .sen2
2 2
x y x y
x xy
 +  −
 = + +  
 
.sen2 .cos2
2
x y
x y xy 
 −
 = − +  
 
Subtraindo o primeiro termo de x’, obtém-se: 
.cos2 .sen2
2 2
x y x y
x xy
 +  −
 − = +  
 
.sen2 .cos2
2
x y
x y xy 
 −
 = − +  
 
Elevando ao quadrado as equações acima e somando os resultados, tem-se: 
2 2
2 2
2 2
x y x y
x x y xy  
 +  −   
 − +  = +   
   
 
onde x, y e xy são constantes conhecidas através do estado de tensões apresentado pelo 
material no ponto analisado. A equação acima pode ainda ser escrita como: 
 
2 2 2
med Rx x y   − +  =
 
sendo: 
med
2
x y +
 =
 
 
2
2R
2
x y
xy
 − 
= +  
 
 
 2 
Portanto, constatamos que as equações de transformação de tensões são equações paramétricas 
de uma circunferência sobre o plano -, com centro em (méd,0) e raio R. Ou seja, todas as 
direções e componentes de tensão possíveis para a representação do estado de tensões em um 
dado ponto do material estão sobre uma circunferência, o círculo de Mohr. 
 
 
Figura 7. Círculo de Mohr. 
 
As tensões principais podem ser identificadas a partir dos pontos extremos do círculo de Mohr 
sobre o eixo das tensões normais  no plano -, sendo dadas pelo valor da tensão normal no 
centro méd mais ou menos o raio R, como indicado abaixo: 
2
2
min,max med R
2 2
x y x y
xy
 +  − 
 =   =  +  
 
 
As tensões tangenciais extremas são obtidas tomando-se mais ou menos o raio R do círculo de 
Mohr, isto é: 
2
2
min,max
2
x y
xy
 − 
 =  +  
 
 
Outra forma de identificar as tensões tangenciais extremas é considerá-las como a metade do 
diâmetro do círculo de Mohr. Em termos das tensões principais, tem-se: 
max min
min,max
2
 −
 = 
 
 
Para ilustrar os procedimentos adotados na construção do círculo de 
Mohr, vamos considerar o estado plano de tensões no entorno de um 
ponto representado pelo prisma ao lado. Os sinais das componentes 
seguem uma convenção onde as tensões normais são consideradas 
como positivas quando em tração e a componente tangencial em uma 
face é positiva quando tende a rotar o prisma no sentido horário. 
Inicialmente, deve-se definir o centro do círculo a partir das 
componentes de tensão x, y e xy referentes ao estado de tensões fornecido. Para isso, vamos 
determinar um ponto identificado por H no plano -, o qual se refere às tensões atuantes na 
face horizontal do prisma. Da mesma forma, determinamos o ponto V no plano - 
correspondendo às tensões atuantes na sua face vertical. Através da reta que une estes dois 
pontos, localizamos o centro do círculo de Mohr como sendo a interseção desta reta com o eixo 
de tensões normais , ou seja, a tensão média (x + y)/2. Agora, a circunferência pode ser 
desenhada considerando que o raio equivale à distância entre o centro do círculo e o ponto H 
ou o ponto V. 
O polo P é obtido pelo rebatimento do ponto V em relação ao eixo das tensões normais, ou seja, 
o ponto V com o sinal da tensão tangencial invertido. A partir da localização deste polo, 
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podemos determinar as tensões atuantes sobre um plano qualquer definido por  traçando uma 
reta passando por P e formando o mesmo ângulo  com a vertical. As tensões atuantes são 
definidas pela interseção da reta passando por P com o círculo de Mohr, com os sinais dados 
segundo a convenção indicada acima. Observe que os ângulos correspondentes às direções 
principais estão defasados de 90º, como verificado pelas equações de transformação. Podemos 
ver também que as tensões tangenciais máxima e mínima ocorrem em direções defasadas de 
45º em relação às direções principais. 
 
Figura 8. Representação do Círculo de Mohr. 
 
Uma segunda alternativa para o traçado do círculo de Mohr é mostrada a partir da figura abaixo, 
onde é apresentado um determinado estado plano de tensões. O centro do círculo é obtido como 
anteriormente, definindo os pontos H e V sobre o plano - referentes às tensões atuantes nas 
faces horizontal e vertical do elemento de tensões, onde se utiliza a mesma convenção de sinais 
indicada logo acima. Neste caso, as componentes de tensão para um elemento com um ângulo 
de rotação  em relação à sua orientação inicial é obtida através do círculo de Mohr girando a 
reta VH em um ângulo 2 a partir da direção original, no mesmo sentido de giro indicado no 
elemento de tensões. 
 
Figura 9. Representação do Círculo de Mohr. 
 
Podemos constatar da figura abaixo que a partir do ângulo XCA obtém-se a equação que define 
a orientação dos planos principais, isto é: 
tg(XCA)
xy
x y

=
 −
 
 
V
H
P
1σ2σ
( ),x xyV  
( ),y xyH  
 4 
 
Figura 10. Representação do Círculo de Mohr e Tensões Principais. 
 
Assim, a orientação do plano principal, que corresponde ao ponto A do círculo, é obtida 
dividindo-se por 2 o ângulo XCA medido no gráfico. 
5.5.2 Estado tridimensional de tensões 
Considere um corpo qualquer em estado plano de tensões no plano xy, como mostrado na figura 
abaixo. Se um elemento é retirado do corpo no entorno do ponto P, podemos determinar as 
direções principais y’ e x’ e as tensões principais correspondentes 1 e 2, respectivamente. 
Neste caso, a tensão principal 3 na direção z seria nula. 
 
Se, no entanto, o elemento fosse retirado com as faces orientadas segundo as próprias direções 
principais, obteríamos uma representação do estado de tensões no qual as tensões normais nas 
faces seriam as próprias tensões principais, sendo as tensões tangenciais nulas. 
 
Se retirássemos agora um elemento não mais contido no plano xy, mas no plano x’z, com duas 
faces normais à tensão principal 2 (associada ao eixo x’) e as outras duas normais à tensão 3 
(associada ao eixo z), o círculo de Mohr apresentaria como valores extremos a tensão principal 
2 e um valor nulo correspondendo à tensão 3. 
 
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Finalmente, se retirarmos um elemento contido no plano y’z, com duas faces normais à tensão 
principal 1 e outras duas normais à tensão 3, o círculo de Mohr correspondente teria como 
valores extremos as tensões principais 1 e 3, que é nula. 
 
Portanto, podemos concluir que um estado de tensões tridimensional pode ser analisado atravésde três círculos de Mohr, que descrevem as componentes de tensão em cada um dos planos 
normais a uma das tensões principais. Consequentemente, a transformação de tensões em torno 
de um eixo principal é estudada como se fosse uma transformação em estado plano de tensões. 
A maior tensão tangencial que ocorre em um ponto corresponde ao raio do maior círculo de 
Mohr que pode ser obtido naquele ponto, ou seja: 
max
2
  − =
 
Esta tensão somente corresponderá ao raio do círculo de Mohr obtido de um elemento contido 
no plano da estrutura se as tensões principais contidas neste plano forem a máxima de tração 1 
e a máxima de compressão 3. 
Na figura abaixo, vemos que as tensões de cisalhamento atuando nas faces perpendiculares ao 
eixo c permanecem iguais a zero e a tensão normal c, perpendicular ao plano ab, não influi na 
transformação. Podemos então desenhar o círculo de diâmetro AB para determinarmos as 
tensões normal e de cisalhamento que atuam na face do elemento quando este gira em torno do 
eixo c. Do mesmo modo, os círculos de diâmetro BC e CA podem ser usados na determinação 
das tensões do elemento quando este gira em torno dos eixos b e c, respectivamente. Deve ficar 
claro que nossa análise limita-se a rotações em torno de eixos principais, mas pode ser mostrado 
que qualquer outra rotação de eixos leva a tensões que ficam representadas por pontos 
localizados dentro da área sombreada do gráfico abaixo. 
 
 
Figura 11. Representação do Círculo de Mohr e Tensões Principais. 
 
As configurações possíveis de círculos de Mohr para o estado plano de tensões são mostradas 
na figura a seguir. 
 
 6 
 
Figura 12. Configurações possíveis de círculos de Mohr para o estado plano de tensões. 
5.6 Exemplos 
Exemplo 6: 
Considerando o estado de tensões representado no elemento abaixo, determine: (a) o 
círculo de Mohr do estado plano; (b) as tensões principais; (c) a tensão máxima de 
cisalhamento e as tensões normais correspondentes. 
 
A partir do estado de tensões representado acima, podemos identificar dois pontos sobre o plano 
-, correspondendo às tensões atuantes nos planos horizontal e vertical do elemento de 
tensões, tomadas segundo a convenção de sinais adotada na construção de círculos de Mohr. 
No plano horizontal, definimos o ponto Y de coordenadas (-10; 40), enquanto que no plano 
vertical temos o ponto X de coordenadas (50; -40). Através destes pontos, podemos localizar o 
centro do círculo de Mohr C sobre o eixo das tensões normais  como sendo: 
x y
med
50 ( 10)
20MPa
 + + −
 = = =
 
 
O círculo de Mohr pode então ser traçado com um compasso, tendo centro em C e raio dado 
pela reta CX ou CY. No interior do círculo podemos 
construir um triângulo como o indicado pela área 
sombreada na figura abaixo, de onde se obtém que: 
CF OF OC 50 20 30MPa
FX 40MPa
= − = − =
=
 
Logo, o valor do raio do círculo de Mohr é: 
2 2 2 2R CX CF FX 30 40 50MPa= = + = + =
 
As tensões principais podem ser obtidas por: 
max OA OC R 20 50 70MPa = = + = + =
 
min OB OC R 20 50 30MPa = = − = − = −
 
Lembrando que o ângulo ACX representa 2.p, temos 
que: 
p p p
FX 40
tg(ACX) tg(2.θ ) 2.θ arctg(1,333) θ 26,6
CF 30
= = =  =  =
 
 7 
Como a rotação que leva CX a coincidir com CA no círculo de Mohr é anti-horária, a rotação 
que faz Ox coincidir com Oa (correspondente a max) será também anti-horária, como indicado 
na figura abaixo. 
 
Vemos na figura acima que uma rotação adicional de 90º a partir de CA faz com que CA 
coincida com CD, de modo que uma rotação adicional de 45º levará o eixo Oa a coincidir com 
o eixo Od, que corresponde à máxima tensão de cisalhamento. Logo, temos que máx = R = 50 
MPa e que a tensão normal correspondente é ’ = méd = 20 MPa. O ponto D localiza-se acima 
do eixo das tensões normais , de modo que as tensões de cisalhamento que atuam nas faces 
perpendiculares a Od devem ser dirigidas de modo a fazer o elemento rodar no sentido horário. 
 
Exemplo 7: 
Determine para o estado plano de tensões indicado abaixo: (a) os planos principais e as 
tensões principais; (b) as componentes de tensão em um elemento obtido pela rotação de 
30° no sentido anti-horário. 
 
De acordo com a convenção de sinais adotada na construção de círculos de Mohr, podemos 
determinar dois pontos sobre o plano -, sendo eles os pontos X e Y referentes às tensões 
atuantes nas faces vertical e horizontal, respectivamente, do elemento de tensões. Portanto, as 
coordenadas destes pontos são X = (100; 48) e Y = (60; -48). 
Unindo os pontos X e Y por uma reta, encontramos o centro do círculo de Mohr através da 
interseção desta reta com o eixo das tensões normais . Este ponto expressa a tensão média 
méd, a qual pode ser obtida graficamente ou determinada por: 
x y
med
100 0
80MPa
 + + 
 = = =
 
 
O círculo de Mohr pode agora ser traçado com um compasso, tendo seu centro C com 
coordenadas (méd, 0) e raio dado pela reta CX ou CY. No interior do círculo podemos construir 
um triângulo como o indicado pela área sombreada na figura abaixo, de onde se obtém que: 
CF OF OC 100 80 20MPa
FX 48MPa
= − = − =
=
 
 8 
Logo, o valor do raio do círculo de Mohr é: 
2 2 2 2R CX CF FX 20 48 52MPa= = + = + =
 
 
Girando a reta XY no sentido horário em um ângulo tal (2.p) que ela coincida com a reta AB, 
temos a orientação dos planos principais: 
p p p
FX 48
tg(CFX) tg(2.θ ) 2.θ arctg(2,4) θ 33,7
CF 20
= = =  =  =
 
As tensões principais são obtidas pelas abscissas dos pontos A e B do círculo, que correspondem 
aos extremos na direção do eixo , ou seja: 
max OA OC R 80 52 132MPa = = + = + =
 
min OB OC R 80 52 28MPa = = − = − =
 
A rotação que faz a reta XY coincidir com a reta AB se dá no sentido horário. Portanto, a rotação 
que leva o eixo Ox a coincidir com o eixo Oa (correspondente à tensão máx) também será no 
sentido horário, como mostrado na figura acima. 
Para obtermos as componentes de tensão de um elemento segundo um sistema de eixos rotado 
de 30° no sentido anti-horário, devemos girar a reta XY do círculo de Mohr no mesmo sentido 
e com um ângulo 2. = 60°. Desta forma, localizamos os pontos X’ e Y’, que correspondem às 
tensões nas faces do elemento rotado a 30°. Do círculo de Mohr mostrado abaixo, podemos 
constatar que: 
180 60 67,4 52,6 = − −  =
 
x' OK OC KC 80 52.cos52,6 48,4MPa = = − = − =
 
y' OL OC CL 80 52.cos52,6 111,6MPa = = + = + =
 
x'y' KX 52.sen52,6 41,3MPa = = =
 
 
Como X’ localiza-se acima do eixo das tensões normais , a tensão de cisalhamento na face 
perpendicular a Ox’ tende a rotar o elemento no sentido horário. 
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Exemplo 8: 
O prisma abaixo foi retirado do ponto mais solicitado de um corpo. Encontrar as tensões 
e direções principais através dos círculos de Mohr correspondentes aos planos de tensão 
xy, xz e yz. Calcule também o valor da tensão tangencial máxima em cada plano. 
 
A partir do estado de tensões representado no prisma, vemos que no plano cuja direção normal 
está paralela ao eixo z, na há nenhuma tensão tangencial atuando. Logo, podemos concluir que 
esta é uma das direções principais e que a tensão principal correspondente é nula. Sendo assim, 
vamos desenhar o círculo de Mohr associado ao plano xy, a partir do qual obteremos as demais 
direções e tensões principais. 
De acordo com a convenção de sinais adotada na construção de círculos de Mohr, podemos 
determinar dois pontos sobre o plano -, sendo eles os pontos X e Y referentes às tensões 
atuantes nas faces vertical e horizontal, respectivamente, do prisma no plano xy. Portanto, as 
coordenadas destes pontos são X = (-30; -40)e Y = (50; 40). 
Unindo os pontos X e Y por uma reta, encontramos o centro do círculo de Mohr no plano xy 
através da interseção desta reta com o eixo das tensões normais . Este ponto expressa a tensão 
média méd, a qual pode ser obtida graficamente ou determinada por: 
x y
med
50 30
10MPa
 + −
 = = =
 
 
O círculo de Mohr pode agora ser traçado com um compasso, tendo seu centro C com 
coordenadas (méd, 0) e raio dado pela reta CX ou CY. 
No interior do círculo podemos construir um triângulo 
como o indicado pela área sombreada na figura abaixo, 
de onde se obtém que: 
CF OF OC 50 10 40MPa
FY 40MPa
= − = − =
=
 
Logo, o valor do raio do círculo de Mohr é: 
2 2 2 2R CY CF FY 40 40 56,6MPa= = + = + =
 
Girando a reta XY no sentido horário em um ângulo tal 
(2.p) que ela coincida com a reta AB, temos a 
orientação dos planos principais: 
p p p
FY 40
tg(CFY) tg(2.θ ) 2.θ arctg(1) θ 22,5
CF 40
= = =  =  =
 
As tensões principais no plano xy são obtidas pelas abscissas dos pontos A e B do círculo de 
Mohr correspondente, ou seja: 
max OB OC R 10 56,6 66,6MPa = = + = + =
 
min OA OC R 10 56,6 46,6MPa = = − = − = −
 
Portanto, temos as seguintes tensões principais: 
1
2
3
66,6MPa
0
46,6MPa
 =
 =
 = −
 
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As tensões tangenciais máximas podem ser calculadas por: 
1 3
xy,max
66,6 ( 46,6)
56,6MPa
2 2
 − − −
 = = =
 
1 2
1z,max
66,6 0
33,3MPa
2 2
 − −
 = = =
 
2 3
3z,max
0 ( 46,6)
23,3MPa
2 2
 − − −
 = = =
 
 
 
Bibliografia 
Mecânica dos materiais. 5. ed. Beer, Ferdinand Pierre e Johnston, E. Russell, Jr. Porto Alegre: 
AMGH, 2011. 
Mecânica dos materiais. Gere, James M. São Paulo : Cengage Learning, 2010. 
Resistência dos materiais. 7. ed. Hibbeler, Russell Charles São Paulo: Pearson Education, 2010. 
Resistência dos materiais 4. ed. Beer, Ferdinand Pierre, Johnston, E. Russell, Jr. e DeWolf, John 
T. São Paulo : McGraw-Hill, 2006. 
Introdução à Mecânica Estrutural, Masuero, João Ricardo e Creus, Guillermo Juan, Ed. da 
Universidade.