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118 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II Unidade II 5 TEORIA DA FIRMA Desenvolveremos aqui o modelo tradicional da firma, no qual é fundamentada a oferta do produtor. Serão demonstradas quais são as decisões empresariais quanto à produção, valendo-se da premissa padrão de que um produtor (ou firma individual) procura maximizar seus lucros. Inicialmente, modelaremos a capacidade técnica da firma – no curto e no longo prazo – a partir de uma função de produção. A partir daí, explicaremos a tecnologia de produção da firma, as medidas de produtividade e os retornos de escala. Desses conceitos poderemos responder as seguintes perguntas: • Como os insumos – mão de obra, matérias-primas e capital – são transformados em produtos? • Qual a combinação ótima de insumos a ser utilizada? • Qual o volume de produção que uma firma pode atingir utilizando certa quantidade de insumos com uma dada tecnologia de produção? 5.1 Tecnologia de produção Produção é o processo de transformação de insumos em produtos finais. Os insumos ou fatores de produção são conjuntos de bens e serviços que entram no processo produtivo, tais como trabalho (a mão de obra empregada) e capital (composto por máquinas, instalações, edificações, ferramentas, matérias- primas, infraestrutura, energia, recursos naturais etc.). A forma pela qual os fatores de produção são combinados para gerar uma unidade de produto é chamada de tecnologia de produção. A tecnologia, por sua vez, é formada por conhecimentos acumulados pelos indivíduos sobre como transformar mercadorias a partir dos fatores de produção. Esse conhecimento está, de modo geral, incorporado nas máquinas, equipamentos, instalações, ferramentas e outros insumos básicos empregados na produção. A tecnologia também pode ser constituída de conhecimentos quanto ao método organizacional e gerencial do processo de produção. Dessa forma, podemos dizer que a tecnologia determina a quantidade de fatores de produção necessária para se produzir certa quantidade de um bem. Por esses aspectos, a tecnologia também é um fator de produção. A figura a seguir apresenta de forma esquemática o processo produtivo que leva à produção de bens e serviços a partir dos fatores de produção e da tecnologia empregada. 119 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA Fatores de produção: • Mão de obra • Capital (máquinas, instalações, equipamentos e insumos básicos) Tecnologia: • Conhecimento e qualificação da mão de obra • Qualidade e inovação dos equipamentos • Métodos organizacionais e gerenciais Produto final: • Bens • Serviços Processo produtivo Figura 56 – O processo produtivo Por suposição, consideraremos que as firmas operam apenas com três fatores de produção: capital (K), trabalho (L) e tecnologia (A). Função de produção é a relação que associa as quantidades empregadas de fatores de produção (A, K, L) e o produto final (Q): Q = Q(A,K,L) (5.1) Saiba mais A variável tecnológica A pode ser empregada como poupadora de mão de obra ou como aumentadora de capital. Tais especificações podem ser encontradas detalhadamente em: JONES, C. I.; VOLLRATH, D. Introdução à teoria do crescimento econômico. 3. ed. Rio de Janeiro: Campus, 2015. A função definida em (5.1) indica o produto total (Q), ou seja, a quantidade total de bens e serviços que uma empresa pode obter para cada combinação especificada de fatores de produção. Essa é uma relação tecnológica (e não econômica) e possui os seguintes pressupostos: • a função Q é contínua e possui derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas; • as quantidades envolvidas do produto final e dos insumos não podem ser negativas; • a função de produção pressupõe eficiência técnica: há uma quantidade máxima de produtos que pode ser obtida por um conjunto específico de fatores de produção. A tecnologia do processo de produção é conhecida e não devem ser usados mais insumos do que os necessários para a fabricação dos produtos. Portanto, a quantidade de insumos K e L a ser utilizada no processo de produção é um problema estritamente econômico. Com a tecnologia considerada exógena no curto prazo, a função em (5.1) pode ser simplificada da seguinte forma: Q = Q(K,L) (5.2) 120 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II A condição de operação da firma relaciona o emprego dos insumos com o tempo em que decorre o processo produtivo, em geral, definido como de curto e de longo prazo: • curto prazo: período em que as quantidades de um ou mais fatores de produção não podem ser modificados (fatores fixos); • longo prazo: tempo necessário para que todos os fatores de produção se tornem variáveis (fatores variáveis). Os exemplos utilizados aqui mostrarão que capital é um fator fixo no curto prazo e variável no longo prazo. O trabalho, por sua vez, é variável tanto no curto quanto no longo prazo. A tecnologia, entretanto, por representar conhecimento acumulado ao longo do tempo, é considerada um fator fixo tanto no curto quanto no longo prazo. Medidas de retornos de proporções variáveis Para analisarmos as condições de produção de uma empresa, algumas medidas de produtividade serão necessárias. • produtividade média (ou produto médio): é a razão entre a quantidade total produzida (Q) e a quantidade do insumo variável empregada na produção (K ou L). A partir da função definida em (5.2), é possível obter a produtividade média do trabalho (PMeL) e a produtividade média do capital (PMeK): (5.3)PMe Q L Q K L L PMe Q K Q K L K L K ( , ) , (5.4) • produtividade marginal (ou produto marginal): é a medida do produto adicional gerado ao acrescentar uma unidade a mais de um determinado fator de produção. A produtividade marginal, portanto, é a taxa de variação do produto total decorrente de um pequeno acréscimo no emprego do fator variável. A partir da função definida em (5.2), é possível obter a produtividade marginal do trabalho (PMeGL) e a produtividade marginal do capital (PMeGK). (5.5) PMg Q L Q K L L PMg Q K Q K L K L K ( , ) , (5.6) Produção com um único fator de produção variável Na análise de curto prazo, o nível de produto varia apenas em função de alterações nas quantidades empregadas de insumo variável, enquanto o outro fator é considerado fixo. Consideremos as seguintes hipóteses: 121 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA • as quantidades de capital utilizadas na produção são fixas no curto prazo (K ); • as quantidades de trabalho (L) são variáveis e adicionadas uma unidade por vez ao longo do processo produtivo; • a função de produção de curto prazo passa a ser expressa por: Q f K L , A tabela a seguir apresenta o produto total (Q), a produtividade média do trabalho (PMeL) e a produtividade marginal do trabalho (PMgL) considerando as hipóteses que acabamos de apresentar. Tabela 8 – Produto total, produtividade média e produtividade marginal considerando um único fator variável K L Q = f(K,L) PMeL = Q/L PMgL = ∆Q/∆L 10 0 0 - - 10 1 3 3,0 3,0 10 2 8 4,0 5,0 10 3 12 4,0 4,0 10 4 15 3,8 3,0 10 5 17 3,4 2,0 10 6 17 2,8 0,0 10 7 16 2,3 -1,0 10 8 13 1,6-3,0 10 9 9 1,0 -4,0 10 10 5 0,5 -4,0 Os dados da tabela revelam que o produto total (Q) aumenta até o acréscimo da sexta unidade de trabalho (L). Após a sétima unidade de L acrescida, o valor de Q passa a decrescer. Esse resultado também é verificado nas colunas correspondentes a PMeL e a PMgL. No caso da PMeL, esta atinge o ponto máximo quando se empregam três unidades de L. Depois disso, torna-se decrescente. Por fim, a PMgL atinge seu ponto máximo após o acréscimo da segunda unidade de L, passando a ser decrescente depois disso. Ademais, após a sétima unidade de L, a PMgL torna-se negativa. As propriedades observadas nos dados da tabela referem-se à lei dos rendimentos marginais decrescentes. Lembrete Lei dos rendimentos marginais decrescentes: ao se aumentar a quantidade de fator variável sendo dada a quantidade do fator fixo, a produtividade marginal do fator variável passa a decrescer a partir de determinado ponto. Havíamos destacado anteriormente que a função de produção (5.2) descreve a maior produção que pode ser obtida com as combinações dos fatores K e L. O gráfico do produto total Q (painel superior da figura a seguir), combina essa propriedade com os elementos encontrados na tabela 8, ou 122 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II seja, permitimos que Q cresça com o emprego do fator variável L. Para garantir a validade da lei dos rendimentos marginais decrescentes, a PMgL deve diminuir a partir de determinado ponto. O ponto B (painel superior da figura a seguir) mostra a inflexão da produção, ou seja, o ponto em que a PMgL é máxima. Até o ponto B, a PMgL é crescente e maior que a PMeL (painel inferior da figura). A partir desse ponto, a PMgL é declinante, mas ainda superior a PMeL. Quando a PMeL atinge seu ponto máximo (pontos C e E) verificamos a produtividade média máxima do fator trabalho. Nesse ponto: PMgL -PMeL Do ponto E em diante, a PMeL torna-se decrescente e superior a PMgL. O ponto D, por sua vez, mostra o Q máximo e, ao mesmo tempo, temos que PMgL = 0. A partir desse ponto, qualquer acréscimo de L torna Q decrescente e a PMgL negativa. Q I II III IV PMeL PMgL L L Q/L ∂Q/∂L Q = f(K,L) D C B Produto total máximo Ponto de inflexão Figura 57 – Estágios de produção com um fator de produção variável (trabalho) Da lei de rendimentos marginais decrescente são definidos, assim, quatro estágios de produção: • Estágio I: da origem até a PMgL máxima (ponto de inflexão). Corresponde ao trecho em que Q, PMgL e PMeL são crescentes. • Estágio II: da PMgL máxima até a PMgL máxima. É o trecho em que a PMgL torna-se decrescente, mas ainda maior que a PMeL (PMgL > PMeL ). 123 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA • Estágio III: da PMeL máxima até Q máximo. É o trecho em que PMgL e PMeL são decrescentes, mas PMgL < PMeL. • Estágio IV: Q passa a ser decrescente e a PMgL negativa. Assume-se que em estruturas de mercado em concorrência perfeita, a firma sempre deve atuar no Estágio III de produção. Nesse estágio entende-se que as firmas estão operando com a capacidade instalada máxima, ou seja, não existe ociosidade na utilização dos fatores de produção. Exemplo de aplicação Seja a seguinte função de produção simplificada, em que a produção total da firma é uma função apenas do número de trabalhadores (L): Q(L) = -L3 + 45L2. Dessa forma, determine: a) as funções de produtividade média e marginal do fator de produção utilizado. Resolução Aplicando as fórmulas (5.3) e (5.5), obteremos: PMe Q L L L L L L PMg Q L L L L L 3 2 2 2 45 45 3 90 b) o número de trabalhadores necessário para obter as máximas produtividades média e marginal. Resolução Para obtermos o max PMeL e o max PMgL devemos diferenciar as funções obtidas em (b) em relação a L e igualarmos a zero: PMe L L L PMg L L L L L 0 2 45 0 22 5 0 6 90 0 15 , Para checarmos se os valores são máximos, devemos fazer o teste da segunda derivada e conferir se os valores checados são negativos. Logo: 2 2 2 2 2 0 6 0 PMe L PMg L L L m ximo m ximo á á 124 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II Portanto, são necessários 22,5 trabalhadores para a firma alcançar a produtividade média máxima e 15 trabalhadores para alcançar a produtividade marginal máxima. Observe, ainda, que o ponto de inflexão da função de produção ocorre no ponto em que L = 15. Assim: • com L < 15, o produto cresce a taxas crescentes; • com L > 15 o produto passa a crescer a taxas decrescentes. c) os valores máximos para as produtividades média e marginal do fator trabalho. Resolução Substituindo os resultados de L obtidos em (b) nas funções calculadas em (a), obteremos: PMe PMg L L 22 5 45 22 5 506 25 3 15 90 15 675 2 2 , , , d) o nível de produto máximo que pode ser obtido. Resolução O produto máximo é obtido quando PMgL = 0 ou, ainda, quando ∂Q/∂L = 0. Nesse caso: Q L L L0 3 90 02 Calculando os pontos críticos da expressão, obteremos: L L e L ( ) . ( )( ) ( ) 90 8 100 4 3 0 2 3 0 301 2 Observação Os pontos críticos de uma equação do segundo grau são obtidos pela aplicação da fórmula: b b ac a 2 4 2 . Na prática, é impossível ter alguma produção produtiva com quantidade de trabalhadores nula. Formalmente, para identificarmos qual resultado de L deve ser considerado como o ponto de máximo, devemos realizar o cheque da segunda derivada, como segue: 125 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA 2 2 1 2 6 90 0 6 0 90 90 0 30 6 30 90 90 0 Q L L L L m ximá oo Substituindo L = 30 na função de produção original, obteremos a quantidade máxima produzida: Q L 30 30 45 30 13 5003 2 . Função de produção com dois insumos variáveis Devido à lei de rendimentos marginais decrescentes torna-se cada vez mais difícil elevar a produção com o aumento no emprego de um único fator de produção. Para que se possam obter aumentos no produto total máximo, devemos considerar as seguintes situações: • considerar inovações tecnológicas que permitam aumentar a produtividade marginal do trabalho; • permitir que mais de um fator de produção se torne variável. Ambas as situações descritas descrevem análises de longo prazo. No primeiro caso, o efeito de uma inovação tecnológica permite elevar a produtividade do trabalhador, mesmo considerando-se um processo produtivo sem acréscimos de outro fator de produção. ∆K ∆K C Q L Q3 Q2 QLP2 QLP1 QCP Q1 L1 L2 L3 B A Figura 58 – Efeito da inovação tecnológica na produtividade do trabalhador e na produção total 126 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II Osegundo caso é ilustrado na figura, em que há acréscimo de outro fator de produção, por exemplo, o capital que permite aumentar a capacidade instalada da firma. Os pontos B e C mostram que as produções máximas decorrentes de funções de produção de longo prazo (QLP) incorporaram aumentos na capacidade instalada que permitiram a contratação de mais trabalhadores. As quantidades produzidas maiores, correspondentes a esses pontos, contrastam com quantidade produzida a partir da função de produção de curto prazo (QCP), que apresenta produtividade do trabalho inferior. Para se efetuar um estudo gráfico da função de produção com dois fatores variáveis (capital e trabalho), deveremos lançar mão das curvas de isoquanta. Observação Isoquanta é o lugar geométrico que exibe todas as combinações possíveis entre os fatores de produção necessários na obtenção de uma quantidade de produto final constante. O mapa de isoquantas é a representação gráfica dessas curvas. Como se observa na figura a seguir, é possível descrever um número infinito de isoquantas nesse mapa e, normalmente, as mais afastadas da origem representam combinações de fatores de produção capazes de gerar um nível produto mais elevado. No entanto, todos os pontos sobre uma mesma isoquanta representam o mesmo nível de produção. Q3 = 125 Q2 = 100 Q1 = 50 A B C D E K L0 5 4 3 2 1 1 2 3 Figura 59 – Produção com dois fatores de produção variáveis: mapa de isoquantas O gráfico mostra também que, mesmo no longo prazo, quando capital e trabalho são variáveis, ambos os fatores de produção podem apresentar retornos decrescentes. Observe que no sentido dos pontos A até C, mantendo-se o nível e capital constante (K = 3), houve acréscimos de uma unidade de trabalho por vez, mas o nível de produto cresceu, respectivamente, 50 unidades e 25 unidades. Isso significa dizer que a produção apresentou retornos decrescentes decorrentes do acréscimo 127 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA do fator trabalho. Por outro lado, no sentido dos pontos D até C, mantendo-se o nível de trabalho constante (L = 3), observamos que o acréscimo de unidades de capital também gerou aumentos no produto total, porém a taxas decrescentes. O ponto E na figura, por sua vez, representa uma combinação de fatores de produção que gera o mesmo nível de produto que o ponto C. No ponto E da figura, observa-se que são utilizadas mais unidades de capital do que trabalho. Assim, dizemos que, nesse ponto, a produção é intensiva em capital. Ao contrário, quando são utilizadas mais unidades de trabalho do que capital no processo produtivo, a produção é intensiva em trabalho. Exemplo de aplicação Considere a função de produção dada pela equação: Q(K,L) = K1/2L1/2. Agora, responda: a) qual a isoquanta que corresponde à quantidade total produzida de 40 unidades (Q = 40)? Resolução Com Q = 40, a função de produção torna-se: 40 40 40 1 6001 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 K L K L K L K L/ / / / / / . b) qual a equação da isoquanta que corresponde a qualquer nível de produção (Q)? Resolução Da função de produção original podemos obter: Q K L K L K Q L K Q L 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 140/ / / / / / Substituição de fatores de produção A figura 59 ilustrou que mesmo com o emprego dos fatores de produção em quantidades diferentes, é possível que o nível do produto total permaneça o mesmo. Dessa possibilidade surge a seguinte indagação: se a quantidade de um insumo (por exemplo, trabalho) variar ligeiramente, qual a variação da quantidade do outro insumo (capital) necessária para manter constante o nível de produção? A taxa marginal de substituição técnica (TMST) entre fatores de produção traduz a variação de capital necessária para compensar uma pequena variação unitária da quantidade de trabalho, de forma a manter o nível de produção constante. 128 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II Lembrete Taxa marginal de substituição técnica (TMST) é a relação entre a redução no emprego de um insumo e o aumento no emprego do outro insumo necessário para manter a produção total constante. A TMST representa a taxa de variação entre os fatores de produção. Na figura a seguir podemos observar que, para que a produção permaneça constante em Q = 100, há uma redução no fator capital quando se utiliza uma unidade adicional do fator trabalho. Portanto, a taxa de substituição entre os insumos pode ser representada por uma tangente a uma isoquanta. Para variações infinitesimais, a TMST pode ser definida matematicamente como: TMST K L (5.7) Depreende-se do resultado da equação (5.7) que as isoquantas devem ter formato convexo e inclinação negativa. K 5 4 3 2 1 0,5 0 1 2 3 4 L Q = 100∆L = +1 ∆L = +1 ∆L = +1 ∆K = -0,5 ∆K = -1 ∆K = -3 Figura 60 – Substituição de fatores de produção Outra propriedade importante é que a TMST deve ser igual à relação entre as produtividades marginais dos fatores variáveis. Podemos demonstrar a partir da equação (5.5) que o produto adicional resultante da maior utilização do fator trabalho é igual a: ∂Q = PMgL x ∂L (5.8) 129 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA De modo similar, a redução de produção resultante do decréscimo de capital pode ser descrita, a partir da equação (5.6), como: -∂Q = PMgK x ∂K (5.9) Para manter o nível de produto total (portanto, permanecer na mesma isoquanta) devemos ter ∂Q = 0. Assim, a partir de (5.8) e (5.9), devemos ter: PMg L PMg K PMg L PMg K L K L K 0 TMST PMg PMg K L L K (5.10) De acordo com a fórmula (5.10), à medida que percorremos uma isoquanta, efetuando uma contínua substituição de capital por trabalho no processo produtivo, podemos constatar que a produtividade marginal do capital sobe (PMgK ↑) e a produtividade marginal do trabalho decresce (PMgL ↓). O efeito combinado dessas duas variações ocasiona um decréscimo na TMST, à medida que a isoquanta se torna cada vez mais plana. Exemplo de aplicação Uma nova fórmula de política salarial define como aumento de salário o acréscimo de produtividade do fator trabalho. A firma utiliza na produção do bem os seguintes fatores de produção: capital (K) e trabalho (L). As disponibilidades dos fatores utilizados na produção são as seguintes: K = 100 e L = 144. A função de produção é dada por: Q(K,L) = 1,5K0,5L0,5. Agora, responda: a) quais são (i) o produto total; e (ii) as produtividades média e marginal do fator trabalho? Resolução O produto total da firma é obtido substituindo-se os valores de K e L na função de produção designada: Q(K,L) = 1,5(100)0,5(144)0,5 = 180 Aplicando a fórmula (5.3) obteremos a PMeL: PMe Q LL = = = 180 144 125, Ou seja, cada trabalhador, na média, produz 1,25 unidade de produto. A PMgL, por sua vez, é obtida pela aplicação da fórmula (5.5) na função de produção: 130 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II PMg Q L K L K LL 0 75 0 750 5 0 5 0 5 , ,, , , Substituindo os valores de K e L no resultado: PMgL 0 75 100 144 0 625 0 5 , , , Logo, quando se é adicionada uma unidade a mais de trabalho no processo produtivo, o produto total se eleva em 0,625 unidade. b) qual a taxa marginal de substituição técnica (TMST)? Resolução Pela fórmula expressa em (5.10), devemos ter a PMgL e a PMgK. Em (a) descobrimos que PMgL = 0,625. Aplicando a equação (5.6), obtemos: PMg Q K K L L KK 0 75 0 750 5 0 5 0 5 , ,, , , Substituindo os valores de K e L no resultado: PMgL 0 75 144 100 0 9 0 5 , , , Aplicando, agora, a fórmula (5.10), obtemos: TMST PMg PMg L K = = = 0 625 0 9 0 694 , , , Portanto, para manter o nível de produto em Q = 180, para cada unidade de trabalho acrescida, deverá haver uma queda de 0,7 unidade do insumo capital. Elasticidades do produto A elasticidade do produto mede a relação entre os fatores de produção e a produção total. Essa é uma medida de sensibilidade parcial da quantidade produzida decorrente de variações na utilização dos fatores de produção. Dessa forma, sejam: ∆K a variação no emprego do capital na produção; ∆L a variação no emprego do trabalho na produção; e ∆K a variação no nível de produção total. Assim, as elasticidades do produto quanto ao capital (ηK) e quanto ao trabalho (ηL) são as seguintes: 131 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA K L Q Q K K Q K K Q Q Q L L Q L L Q / / / / Considerando pequenas variações ao longo da isoquanta, as elasticidades de produção podem ser reescritas da seguinte forma: K Q Q K K Q K K Q / / (5.11) L Q Q L L Q L L Q / / (5.12) Sabemos pelas equações (5.3) e (5.4) que Q/K e Q/L são, respectivamente, PMeK e PMeL. Por outro lado, pelas equações (5.5) e (5.6) as relações ∂Q/∂K e ∂Q/∂L expressam, respectivamente, PMgK e PMgL. Substituindo esses resultados nas equações (5.11) e (5.12), obtemos finalmente: (5.13) K K K K K L L L L L PMg PMe PMg PMe PMg PMe PMg PMe 1 1 (5.14) Portanto, a elasticidade de produção é uma relação entre as produtividades marginal e média dos fatores de produção. Elasticidade de substituição de fatores Vimos na figura 60 que, à medida que caminhamos pela isoquanta para baixo, há substituição de unidades de capital por unidades de trabalho, sendo que a produção mantém-se constante. Essa substituição faz com que a participação do fator capital diminua em relação ao fator trabalho. Assim, a relação capital-trabalho, K/L, deve diminuir. Como vimos anteriormente, a TMST também deve cair à medida que se substitui K por L. Assim, a elasticidade de substituição de fatores (σK,L) é uma medida da variação percentual da razão K/L devida a uma variação percentual na TMST: K L K L TMST K L K L TMST TMST, % / % / / / / (5.15) Pela equação (5.10) sabemos que: TMST = PMgL/ PMgK. Substituindo esse resultado na expressão (5.15) e considerando apenas pequenas variações percentuais obtemos, alternativamente: 132 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II K L L K L K L K L K L PMg PMg PMg PMg K L PMg PM , / / / / / / gg PMg PMg K L K L K (5.16) Exemplo de aplicação Suponha que, inicialmente, um determinado processo produtivo apresente as seguintes características no ponto 1 de uma isoquanta: TMST1 = 4 e (K/L)1 = 4. No entanto, é possível manter a produção no mesmo nível com outra combinação de fatores que produzem os seguintes dados no ponto 2 da isoquanta: TMST2 = 1 e (K/L)2 = 2. Qual é a elasticidade de substituição, à medida que se move ao longo da isoquanta do ponto 1 para o ponto 2? Resolução A variação da TMST, do ponto 1 para o ponto 2, é: TMST TMST TMST 2 1 1 4 3 A variação percentual da TMST é calculada da seguinte forma: % , %TMST TMST TMST ou 1 3 4 0 75 75 A variação da razão K/L, à medida que caminhamos do ponto 1 para o ponto 2, é assim determinada: K L K L K L 2 1 2 4 2 A variação percentual da razão K/L será, portanto: % , % K L K L K L ou 1 2 4 0 5 50 Aplicando a fórmula expressa em (5.15), obtemos: K L K L TMST K L K L TMST TMST, % / % / / / / , , , 0 5 0 75 0 67 Segundo esse cálculo, conclui-se que, partindo do ponto 1, uma redução de 1% na razão K/L resulta na redução de 0,67% na TMST. 133 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA Propriedades desejáveis de uma função de produção Em geral, uma função de produção apresenta três propriedades importantes: (i) homogeneidade; (ii) ausência de produção livre; e (iii) retornos decrescentes do fator de produção: • homogeneidade: uma função de produção Q(K,L) é homogênea caso a multiplicação de suas variáveis por uma constante λ altere o valor na proporção da constante, ou seja: Q K L Q K L , , ; 0 (5.17) De modo geral, devemos considerar λr, onde r representa o grau da função. Para os exemplos indicados aqui, consideramos r = 1 e, nesse caso, a função de produção é considerada homogênea de primeiro grau (CHIANG; WAINWRIGHT, 2004). • ausência de produção livre: essa propriedade atesta que é impossível produzir algo a partir do nada. Portanto, para se produzir uma unidade de um bem qualquer é necessário o emprego de alguma quantidade positiva de insumos. Formalmente: Q(K = 0;L = 0) (5.18) • retornos decrescentes do fator de produção: essa premissa afirma que os produtos marginais são positivos, mas decrescentes. Em outras palavras, a produtividade de um fator cai quando se amplia o uso desse fator na produção, conforme atesta a lei dos rendimentos marginais decrescentes. Portanto, a função de produção deve apresentar cada fator de produção variável com produtividade marginal positiva, ou seja: PMg Q L PMg Q KL K 0 0; (5.19) Além disso, a produtividade marginal do fator variável deve crescer a taxas decrescentes, isto é: PMg L Q L PMg K Q K L K 2 2 2 20 0; (5.20) 5.2 Especificações da função de produção Podemos distinguir diversos tipos de funções de produção e, por consequência, vários formatos de isoquantas. As especificações mais amplamente utilizadas na análise econômica são: tecnologia linear (ou substitutos perfeitos); tecnologia Leontief (ou complementares perfeitos); e qualquer outra forma imperfeita de substituição de fatores, sendoque a mais conhecida é a tecnologia Cobb-Douglas. 134 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II Substitutos perfeitos na produção No caso de substituição perfeita na produção, a isoquanta deve indicar que os dois fatores de produção podem ser substituídos entre si a uma razão constante. O formato da isoquanta é verificado na figura a seguir. As funções de produção desse tipo são chamadas também de tecnologia linear e possuem a seguinte especificação: Q K L aK bL a b, ; , 0 (5.21) onde a e b são constantes positivas que indicam a participação dos fatores K e L no produto total. K A B Q(K, L) -∆K / ∆L = cte. TMST = cte. ∆L ∆K K0 K1 L0 L1 L Figura 61 – Substituição perfeita de fatores de produção (tecnologia linear) A TMST para substitutos perfeitos na produção é constante, ou seja, a taxa pela qual K e L podem substituir um ao outro e manter a produção total no mesmo nível é a mesma ao longo da isoquanta, não importando a quantidade de insumos que é utilizada. De acordo com as equações (5.4) e (5.5), os produtos marginais dos fatores variáveis para o caso de substitutos perfeitos na produção são: PMg Q L b PMg Q K a L K 135 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA Substituindo os resultados na fórmula da TMST em (5.10), obtemos: TMST PMg PMg b a L K = = (5.22) Para o caso particular em que a = b, ou seja, em que os fatores de produção estão sendo usados em quantidades iguais, teremos TMST = 1. Como a TMST é constante ao longo da isoquanta, a elasticidade de substituição para a uma tecnologia linear é infinita (σ = ∞). Complementares perfeitos na produção A isoquanta para complementares perfeitos na produção indica que os dois fatores de produção devem ser combinados em uma proporção fixa (figura a seguir). Qualquer quantidade empregada em excesso a essa proporção é supérflua. As funções de produção desse tipo, também chamadas de tecnologia Leontief, apresentam a seguinte fórmula: Q(K,L) = min {aK,bL} ; a,b > 0 onde a e b são constantes positivas que indicam a participação de utilização dos fatores K e L na quantidade total produzida. Observação A função de produção de proporções fixas leva esse nome em homenagem ao economista Wassily Leontief que utilizou esse modelo nas relações entre setores numa economia agregada doméstica. K K0 A B C TMST = 0 TMSC → ∞ Q(K, L)K1 L0 L1 L Figura 62 – Complementares perfeitos de fatores de produção (tecnologia Leontief) 136 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II A TMST para complementares perfeitos na produção é infinita na parte vertical da isoquanta, ou seja, apenas a redução de K não é capaz de alterar a o nível do produto total Q. Na parte horizontal da isoquanta, a TMST é nula, isto é, a redução de L não é capaz de alterar a quantidade produzida. Assim, apenas uma determinada proporção de trabalho e capital pode ser utilizada para se obter o produto total. Portanto, quando os fatores de produção são combinados em proporções fixas, a elasticidade de substituição é nula (σ = 0). Tecnologia Cobb-Douglas A maioria das isoquantas estritamente convexas, como a da figura 60, representa um caso intermediário em que há substituição imperfeita entre os fatores de produção. Funções de produção exponenciais que descrevem essa propriedade são chamadas de Cobb-Douglas. Observação A função de produção Cobb-Douglas leva esse nome em homenagem ao estudo publicado em 1928 por Charles Cobb e Paul Douglas. Nesse trabalho, os autores modelaram o desempenho da economia dos Estados Unidos durante o período de 1899 a 1922, em que a produção era determinada pela quantidade de capital investido e mão de obra empregada. Apesar de existirem muitos outros fatores que afetam o desempenho da economia, o modelo mostrou razoável precisão. A função de produção Cobb-Douglas para dois fatores de produção variáveis (K e L) é especificada da seguinte forma: Q K L K L a ba b, ; , 0 (5.23) com a e b sendo constantes positivos que representam as participações de utilização dos fatores K e L no produto final. É fácil demonstrar que as constantes a e b representam as elasticidades do produto em relação aos insumos. Para tanto, devemos calcular as produtividades médias e marginais dos fatores: PMe Q K K L K K L PMe L K K L L K L PMg Q K a K a b a b L a b a b K 1 1; KK L PMg Q L bK La b L a b 1 1; Aplicando as fórmulas expressas em (5.13) e (5.14), chegamos às fórmulas das elasticidades do produto em relação a K (ηK) e L (ηL), respectivamente: K K K a b a b PMg PMe aK L K L a 1 1 (5.24) 137 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA L L L a b a b PMg PMe bK L K L b 1 1 (5.25) Exemplo de aplicação Considere a seguinte função de produção Cobb-Douglas: Q(K, L) = 0,13K0,2L1,7. Calcule as elasticidades do produto em relação aos fatores de produção K e L. Resolução Considerando os resultados obtidos nas fórmulas (5.24) e (5.25), e os valores dos coeficientes a = 0,2 e b = 1,7, as elasticidades do produto são as seguintes: K L K L K L K L K L 0 2 0 2 17 1 0 2 1 17 0 2 1 17 0 2 17 1 0 2 17 1 , , , , , , , , , , , ,,7 Dos resultados, depreendemos que o produto é pouco elástico à utilização do fator capital (ηK < 1) e muito sensível à utilização do fator trabalho (ηK > 1). Dos resultados obtidos quanto às produtividades marginais, podemos aplicar a fórmula (5.10) para chegar à TMST: TMST PMg PMg bK L aK L b a K L L K a b a b 1 1 (5.26) Portanto, a TMST da função de produção Cobb-Douglas é variável ao longo da isoquanta, dependendo dos valores de K e L. Essa característica contrapõe-se a outra: a elasticidade de substituição é constante e igual a 1 (σ = 1). Observação Veja o próximo exemplo de aplicação para uma prova. 5.3 Rendimentos de escala Rendimentos de escala são medidas do aumento na produção total da firma provocado pelo aumento proporcional na utilização dos fatores de produção. Os rendimentos poderão ser constantes, crescentes 138 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II ou decrescentes de escala dependendo do nível de alteração na quantidade produzida decorrente da mudança na utilização dos insumos: • rendimentos crescentes de escala: a produção cresce mais do que proporcionalmente ao aumento na utilização dos fatores de produção (figura a seguir). Q K Q3 = 600 Q2 = 250 Q1 = 100 Q (K, L) L L (a) Função de produção com 1 fator variável (b) Mapa de isoquantas (2 fatores variáveis) Figura 63 – Rendimentos crescentes de escala De acordo com as características da homogeneidade da função de produção apresentadas na propriedade (5.17), retornos crescentes de escala são identificados quando: Q(λK,λL)> λQ(K,L) ; ∀λ > 0 Os rendimentos crescentes de escala podem estar associados a: (i) existência de custos fixos que se diluem no tempo com o aumento da escala de produção (por exemplo, as instalações da uma fábrica); (ii) benefícios organizacionais derivados de melhor planejamento dos administradores; (iii) especialização no trabalho que permite ganhos de eficiência (por exemplo, linha de montagem); (iv) ganhos de produtividade que permitem produção em grande escala (por exemplo, descoberta de novas áreas de cultivo ou inovações tecnológicas na produção agrícola). • rendimentos constantes de escala: a produção cresce na mesma proporção do aumento na utilização dos fatores de produção (figura a seguir). 139 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA Q K Q3 = 400 Q2 = 200 Q1 = 100 Q (K, L) L L (a) Função de produção com 1 fator variável (b) Mapa de isoquantas (2 fatores variáveis) Figura 64 – Rendimentos constantes de escala Pelas características da expressão em (5.17), dizemos que a função de produção apresenta retornos constantes de escala quando: Q(λK,λL) = λQ(K,L) ; ∀λ > 0 Os rendimentos constantes de escala ocorrem quando o tamanho da firma não afeta a produtividade ou quando existe grande número de ofertantes atuando no mercado do mesmo produto. Nesses casos, a produtividade média e a produtividade marginal permanecem constantes. • rendimentos decrescentes de escala: a produção cresce menos que proporcionalmente ao aumento na utilização dos fatores de produção (figura a seguir). Q K Q3 = 175 Q2 = 150 Q1 = 100 Q (K, L) L L (a) Função de produção com 1 fator variável (b) Mapa de isoquantas (2 fatores variáveis) Figura 65 – Rendimentos decrescentes de escala No caso de funções de produção com retornos decrescentes de escala obteríamos, a partir da expressão (5.17): Q(λK,λL) < λQ(K,L) ; ∀λ > 0 140 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II Contribuem para a existência de rendimentos decrescentes de escala: (i) complexidade organizacional que leva a custos crescentes com funções não relacionadas com a atividade da firma; (ii) dificuldades de gestão e perda de eficiência; (iii) limitações tecnológicas e/ou defasagens da utilidade do produto; e (iv) impossibilidade física de aumentar a utilização de novos fatores de produção. Retorno de escala e a função de produção Cobb-Douglas Nos casos de funções de produção Cobb-Douglas, o grau de homogeneidade é obtido a partir da soma dos coeficientes a e b. Nesse caso, dizemos que essas funções são homogêneas de grau (a + b). A homogeneidade da função de produção Cobb-Douglas (5.23) é verificável a partir da propriedade (5.17) da seguinte forma: K L K L Q K La b a b a b a b ( , ) (5.27) Além de verificar a homogeneidade da função, os coeficientes a e b permitem que avaliemos os rendimentos de escala dos fatores de produção. Assim, teremos: • rendimentos crescentes de escala se a + b > 1, pois λa+b > λ; • rendimentos constantes de escala se: a + b = 1, pois λa+b = λ; • rendimentos decrescentes de escala se: a + b < 1, pois λa+b < λ. Como vimos no exemplo de aplicação anterior, podemos afirmar que a função de produção apresentada tinha rendimentos crescentes de escala (a + b = 0,2 + 1,7 = 1,9). Esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma: um aumento de 10% na utilização dos fatores de produção K e L provoca um aumento de 19% no nível de produto total da firma. Exemplo de aplicação início Mostre que a função de produção Q(K,L) = KaL1-a, com 0 < a < 1, apresenta as seguintes características: a) retornos constantes de escala. Resolução A função de produção apresentada é um caso particular da Cobb-Douglas, com b = 1 - a. A partir da equação (5.27) podemos demonstrar que: (λK)a(λL)1 - a = λa +(1 - a) (KaL1-a) = λQ(K,L) Portanto, essa relação garante que a função de produção tem retornos constantes de escala. 141 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA b) retornos decrescentes de fator. Resolução Tomando a primeira derivada da função de produção e sabendo que 0 < a < 1: Q K PMg aK L Q L PMg a K LK a a L a a1 1 0 1 0; Portanto, a produtividade marginal dos fatores deve ser positiva, conforme atesta a propriedade expressa em (5.19). Calculando, agora, a segunda derivada da função de produção, considerando ainda que 0 < a < 1: 2 2 2 1 2 2 11 0 1 0 Q K a a K L Q L a a K La a a a; Logo, a produtividade marginal dos fatores deve ser decrescente, visto que a segunda derivada em relação ao fator é negativa, de acordo com a propriedade descrita em (5.20). c) taxa marginal de substituição técnica variável. Resolução Dos resultados alcançados em (b) e aplicando a fórmula expressa em (5.10), obtemos: TMST PMg PMg a K L aK L a a K L L K a a a a 1 1 1 1 d) elasticidade de substituição constante e igual a 1 para qualquer valor de K e L. Resolução Sabemos, pelas respostas em (b), que: PMg Q K aK L PMg Q L a K LK a a L a a 1 1 1; Pelo resultado obtido em (c), a TMST é dada por: TMST a a K L 1 142 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II Rearranjando os termos para a razão K/L, temos: K L a a TMST 1 A variação da razão K/L pode ser representada por ∂(K/L) - (a/1 - a)∂TMST . Ou, ainda: K L TMST a a / 1 Além disso, podemos reescrever o resultado da TMST obtido da seguinte forma: TMST K L a a/ 1 Agora, utilizando a fórmula da elasticidade de substituição em (5.15), podemos reescrevê-la em termos infinitesimais da seguinte forma: K L K L K L TMST TMST K L TMST TMST K L, / / / / / / a a a a1 1 1 Portanto, a elasticidade de substituição ao longo da função de produção é igual a 1 para todos os valores de K e L. Esse resultado pode ser demonstrado para qualquer função de produção Cobb-Douglas especificada por Q K L K La b, . 6 CUSTOS DE PRODUÇÃO Estudamos qual o volume de produção que uma firma pode atingir utilizando certa quantidade de insumos a partir de uma dada tecnologia de produção. Aqui, iremos definir os custos da produção. Utilizando as teorias de produção e de custo, bem como os conceitos adicionais de economias de escala e de escopo a serem introduzidos, poderemos responder as seguintes perguntas: • quais custos considerar e como medi-los? • qual é a combinação de insumos que minimiza o custo de sua produção, dada certa quantidade de mercadorias a ser produzida? • caso a empresa queira aumentar sua produção, qual será o acréscimo nos custos? • será que há vantagens tecnológicas capazes de tornar a empresa mais produtiva à medida que aumenta sua escala de operação ou diversifica sua linha de produção?143 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA 6.1 Conceitos de custos O conceito de custos pode ser resumido como a medida do sacrifício da firma para produzir algum bem ou serviço. Os custos podem ser classificados conforme a finalidade para a qual as informações são usadas (contábil e econômico) e a possibilidade de variação ao longo do tempo (fixo e variável). Custos econômicos x custos contábeis O custo contábil representa a quantia desembolsada pela firma para produzir. Essa medida de custos procura visualizar retrospectivamente as finanças das empresas, pois sua função é manter sob controle os demonstrativos financeiros. O lucro contábil da firma é calculado a partir da diferença entre a sua receita (faturamento bruto) e a soma dos custos contábeis, também chamados de custos explícitos, ou seja: Lucro contábil = Receita - Custo explícitos Os custos econômicos, por outro lado, procuram avaliar as perspectivas futuras para fins de tomada de decisão. Nesse caso, analisam-se os custos que poderão ocorrer no futuro, bem como os critérios da empresa para reduzir seus custos e melhorar a lucratividade. Os custos econômicos estão diretamente associados ao conceito de custo de oportunidade. Lembrete Custos de oportunidade são aqueles associados às oportunidades que serão deixadas de lado, caso a firma não empregue seus recursos de maneira mais rentável. Existe uma espécie de custo – a depreciação – associado à utilização do capital (máquinas, equipamentos e edificações). A depreciação econômica é o custo associado ao desgaste da utilização do equipamento. Esse tipo de custo revela a preocupação em avaliar o custo efetivo do capital, que pode ser definido como o custo que se tem por possuir e utilizar um ativo de capital. Observação A depreciação econômica difere da depreciação contábil, pois visa apenas a uma vantagem fiscal, não refletindo necessariamente o real desgaste do equipamento. O custo efetivo do capital pode ser expresso como sendo igual ao custo da depreciação mais os retornos financeiros de uma aplicação alternativa desse capital (ou seja, o custo de oportunidade): custo efetivo do capital = depreciação econômica + (taxa de juros x valor do capital) 144 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II A depreciação econômica e os juros (ou retorno do capital), portanto, são os custos de uso do capital. Observação Becker (1964) formulou o conceito de custo de oportunidade da educação em que o estudante abre mão de salário enquanto conclui os estudos, em favor de remuneração maior no futuro, fruto da qualificação conquistada. Alguns custos são considerados irrecuperáveis, pois se referem a uma despesa que a firma incorreu no passado e não pode ser recuperada. Esses custos não devem exercer influência nas decisões econômicas futuras (custo de oportunidade nulo), mas estão diretamente associados à tomada de decisão de investimentos da firma. São exemplos de custos irreversíveis: • despesas com planejamento e análises de viabilidade de investimentos; • gastos com a elaboração de projetos; • aquisição de equipamentos especialmente utilizados nos projetos de investimento. Os custos recuperáveis, por outro lado, são aqueles que as firmas incorrerão caso houver uma decisão quanto à realização do investimento e, no futuro, deverão ser “recuperados” à medida que a firma passe a auferir lucros. Dessa forma, para efeito de planejamento, os custos econômicos consideram apenas os custos recuperáveis Os custos econômicos, portanto, englobam os custos explícitos (custos contábeis) e os custos implícitos (custos de oportunidade e custos de capital): Custos econômicos = Custos explícitos + Custos implícitos O lucro econômico da firma é obtido da diferença entre a sua receita (faturamento bruto) e a soma dos custos econômicos: Lucro econômico = Receita - Custo econômico Ou, ainda: Lucro econômico = Receita - Custos explícitos - Custos implícitos Exemplo de aplicação Mister “M” – o Senhor das Trevas – era funcionário administrativo de uma companhia seguradora e ganhava R$ 36.000 por ano. Ele decidiu abrir seu próprio negócio de mágicas e investiu R$ 50.000 de suas economias, que poderiam ser aplicados num investimento bancário à taxa de 10% ao ano. No 145 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA primeiro ano, a empresa do mágico obteve receita de R$ 81.000 e incorreu em custos operacionais de R$ 40.000 para aquisição dos equipamentos. Dessa forma, determine: a) o custo e o lucro contábil. Resolução Pelos dados do enunciado temos: Custos explícitos = 40.000 Como a receita do primeiro ano foi de R$ 81.000, então, o lucro contábil foi de: Lucro contábil = 81.000 - 40.000 = 41.000 b) o custo e o lucro econômico. Resolução Os custos implícitos são compostos da seguinte forma: No primeiro ano, ele poderia ter embolsado R$ 5.000 de receitas financeiras (10% × R$ 50.000). R$ 36.000 refere-se ao salário anual que ele deixou de ganhar. Como os custos contábeis foram de R$ 40.000, então, os custos econômicos foram de: Custos econômicos = 40.000 + 41.000 = 81.000 O lucro econômico, por sua vez, será de: Lucro econômico = 81.000 - 81.000 = 0 Custos no curto prazo Em geral, os conceitos de custo de produção estão associados ao nível de produção total da firma, sendo representado por CT(Q). O custo total da firma no curto prazo é composto por parcelas de custos fixo (CF) e custo variável (CV). O custo fixo é aquele que a firma incorre independentemente de seu nível de produção. Logo, o custo fixo não varia com o nível de produção. O custo variável, por outro lado, é aquele que se altera conforme o nível de produção. Dessa forma, a função custo total, CT(Q), pode ser descrita como: CT(Q) = CF + CV(Q) (6.1) 146 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II Além do custo total, também definimos o conceito de custo médio, CMe(Q), que é o custo incorrido pela firma por unidade de produto, ou seja: CMe Q CT Q Q CF Q CV Q Q ( ) ( ) (6.2) onde CF/Q representa o custo fixo médio; e CV(Q)/Q é o custo variável médio. Portanto, a diferença entre o custo total médio e o custo variável médio (CVMe) é dada pelo custo fixo médio (CFMe): CMe Q CVMe Q CFMe CMe Q CVMe Q CFMe( ) ( ) ( ) ( ) Exemplo de aplicação A produção semanal de uma fábrica de máquinas de lavar roupa é no máximo de 20 unidades. O proprietário da fábrica conhece a função de custo em termos da quantidade e pode descrevê-la por CT(Q) = 0,5Q3 - Q2 + 2Q + 100. Calcule: a) os valores do custo fixo (CF) e do custo fixo médio (CFMe) quando a produção for máxima. Resolução O custo fixo é obtido facilmente observando na função fornecida a parcela que não é afetada por Q. Portanto: CF = 100 O valor do custo fixo médio, quando a produção for máxima (Q = 20), é: CFMe Q = = = 100 100 20 5 b) a função e o valor do custo variável (CV) quando a produção for máxima. Resolução A porção variável da função custo é aquela que está diretamente influenciada por Q: CV(Q) = 0,5Q3 - Q2 + 2Q Quando a produção for máxima, o valor do custo variável será: CV(Q = 20) = 0,5(20)3 - (20)2 + 2(20) =3.640 Juntando esse resultado ao obtido em (a), o custo total será: CT(Q) = CF+CV(Q) - 100 + 3.640 = 3.740 147 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA c) a função e o valor do custo total médio (CMe) quando a produção for máxima. Resolução A função de custo total médio é obtida pela aplicação da equação (6.2): CMe Q CT Q Q Q Q Q Q Q Q Q ( ) , , 0 5 2 100 0 5 2 1003 2 2 Quando a produção for máxima, o valor do custo total médio será: CMe Q 20 0 5 20 20 2 100 20 1872, ( ) d) a função e o valor do custo variável médio (CMe) quando a produção for máxima. Resolução A expressão do custo variável médio é: CVMe Q CV Q Q Q Q Q Q Q Q ( ) , , 0 5 2 0 5 2 3 2 2 Quando a produção for máxima, o valor do custo variável médio será: CMVe Q 20 0 5 20 20 2 1822, ( ) O custo variável representa o aumento de custo ocasionado pela produção de unidade adicional de produto. Desse conceito, podemos extrair a ideia de custo marginal, CMg(Q), que representa o aumento no custo total ocasionado pela produção de uma unidade extra de bem ou serviço. O custo marginal pode ser definido, então, como: CMg Q CT Q Q ( ) Em seguida mostraremos como obter a curva de custo marginal a partir de um ponto específico da curva de custo total. Desse modo, o custo marginal passa a ser definido como a derivada do custo total em relação à quantidade produzida: CMg Q CT Q Q CF Q Q CV Q Q ( ) ( ) ( ) (6.3) 148 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II Como, no curto prazo, os custos fixos não variam com a quantidade produzida, então ∂CF(Q)/∂Q. Dessa forma, a equação (6.3) pode ser reescrita como: CMg Q CT Q Q CV Q Q ( ) ( ) (6.4) Ou seja, no curto prazo, o custo marginal é igual ao custo variável marginal. A partir das funções de custo no curto prazo, podemos traçar curvas que descrevem a evolução dos custos de uma firma à medida que se varia a quantidade produzida. A tabela a seguir apresenta a evolução do custo total, médio e marginal à medida que a produção aumenta. Tabela 9 – Custos de uma empresa no curto prazo Nível de produção (unidades por ano) Custo fixo ($ por ano) Custo variável ($ por ano) Custo total ($ por ano) Custo marginal ($ por ano) Custo fixo médio ($ por ano) Custo variável médio ($ por ano) Custo total médio ($ por ano) Q CF CV CT = CF + CV CMg = ∆CT / ∆Q CFMe = CF / Q CVMe = CV / Q CTMe = CT / Q 0 50 0 50 1 50 50 100 50 50,0 50,0 100,0 2 50 78 128 28 25,0 39,0 64,0 3 50 96 146 18 16,7 32,0 48,7 4 50 112 162 16 12,5 28,0 40,5 5 50 130 180 18 10,0 26,0 36,0 6 50 150 200 20 8,3 25,0 33,3 7 50 175 225 25 7,1 25,0 32,1 8 50 204 254 29 6,3 25,5 31,8 9 50 242 292 38 5,6 26,9 32,4 10 50 300 350 58 5,0 30,0 35,0 11 50 385 435 85 4,5 35,0 39,5 12 50 501 551 116 4,2 41,7 45,9 13 50 661 711 160 3,8 50,8 54,7 14 50 879 929 218 3,6 62,8 66,3 15 50 1.169 1.219 290 3,3 77,9 81,2 A partir dos dados da tabela, construímos os gráficos da figura 66, que mostra o formato das curvas de custo total, e da figura 67, que apresenta a forma das curvas de custos médio e marginal. Observe que, na primeira figura, o custo fixo é representado por uma linha horizontal, com ponto de intersecção no início da curva de custo total. Assim, mesmo com produção nula, há um custo fixo igual a $50. O custo variável, por sua vez, tem início na origem. A soma vertical do custo fixo ao custo variável forma a curva de custo total, com trajetória semelhante a do custo variável. A porção inicial da curva de custo total possui concavidade negativa (voltada para baixo). Na porção final, a concavidade está voltada para cima. O ponto em que a curva de custo total tem a concavidade alterada é denominado de ponto de inflexão. 149 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA 1.300 Cu st os ($ p or a no ) Produção (unidades por ano) 1.200 1.100 1.000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 1 2 83 94 105 116 127 13 14 15 CT = CF + CV CV CF Figura 66 – Custo total da empresa no curto prazo Cu st os ($ p or a no ) Produção (unidades por ano) 0 1 2 83 94 105 116 127 13 14 15 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 CMg CMe CVMe CFMe Figura 67 – Custos médio e marginal da empresa no curto prazo As curvas de custo marginal e médio da figura 67 são derivadas da curva de custo total. Nota-se que a curva de custo marginal intercepta as curvas de custo total médio e variável médio no ponto mínimo dessas curvas. Antes desse ponto, os custos médio e marginal apresentam comportamento decrescente em relação à evolução da quantidade produzida. Após esse ponto, os custos são crescentes com a produção. O custo fixo médio, por outro lado, é decrescente para qualquer nível de produção. Uma vez que o custo fixo médio é tanto menor quanto maior for Q, as curvas de custo médio e de custo variável médio tendem a ficar cada vez mais próximas na medida em que se aumenta a quantidade produzida. 150 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II O custo marginal é dado pela inclinação da curva de custo total. Esse custo deve inicialmente cair enquanto o produto marginal do fator variável for crescente. Por outro lado, o custo marginal passa a crescer a partir do momento em que o produto marginal do fator variável começar a diminuir. O ponto de custo marginal mínimo corresponde ao ponto de inflexão da curva de custo total. Exemplo de aplicação Uma indústria siderúrgica produtora de aços e ferro fundido conhece sua função de custos totais de curto prazo. Ela é dada por: CT Q Q Q Q 1 3 7 5 100 1 0003 2/ , . . A quantidade Q é medida em 1.000 toneladas e o custo em R$ milhões. Determine: a) a função de custo marginal (CMg) e o seu ponto mínimo. Resolução A função de custo marginal é determinada a partir da aplicação da fórmula (6.3) na função de custo total apresentada no enunciado: CMg Q CT Q Q Q Q ( ) 2 15 100 O ponto mínimo do custo marginal é obtido pela pesquisa da condição de primeira ordem, ou seja, diferenciando-se o custo marginal em relação a Q e igualando a zero: CMg Q Q Q Q2 15 0 7 5, O teste da condição de segunda ordem mostra que: 2 2 2 0 CMg Q Q m nimoí Portanto, o ponto mínimo do custo marginal ocorre quando este for equivalente a R$ 7,5 milhões. Como o valor de Q obtido na CSO é positivo e constante em todo o intervalo da curva de custo marginal, então esse ponto é considerado de mínimo absoluto. b) a função de custo variável médio (CVMe) e o seu ponto mínimo. Resolução A função de custo variável médio é dada por: 151 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA CVMe Q Q Q Q Q Q Q 1 3 7 5 100 1 3 7 5 100 3 2 2 , , O ponto mínimo do custo variável médio também é calculado a partir da condição de primeira ordem: CVMe Q Q Q Q 2 3 7 5 0 1125, , A condição de segunda ordem, por sua vez, mostra que: 2 2 2 3 0 CVMe Q Q m nimoí Logo, o ponto mínimo do custo variável médio ocorre quando este for equivalente a R$ 11,25 milhões. c) o CMg e o CVMe no ponto mínimo deste último. Resolução O ponto mínimo do CVMe é Q = 11,25. O valor do CMg nesse ponto é: CMg Q 1125 1125 15 1125 100 57 81252, ( , ) , , O valor do CVMe nesse mesmo ponto é: CVMe Q 1125 1 3 1125 7 5 1125 100 57 81252, ( , ) , ( , ) , Portanto, conforme observado na figura 67, os valores dos custos marginal e variável médio são iguais no ponto mínimo do custo variável médio. d) a função e o valor do custo variável médio (CMe) quando a produção for máxima. Resolução A expressão do custo variável médio é: CVMe Q CV Q Q Q Q Q Q Q Q ( ) , , 0 5 2 0 5 2 3 2 2 Quando a produção for máxima, o valor do custo variável médio será: CMVe Q 20 0 5 20 20 2 1822, ( ) 152 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II 6.2 Custos no longo prazo e relações com a produção O custo de produção pode ser avaliado pelo que se gastou com os fatores de produção necessários para a geração do produto. Dessa forma, o custo total de produção pode ser expresso pela seguinte fórmula: CT Q p q p q p qn n( ) 1 1 2 2 onde p1, p2, …,pn são os preços dos fatores de produção 1,2, …, n e q1, q2, …, qn são as quantidades empregadas desses fatores pela firma. De modo simplificado, podemos empregar apenas dois fatores de produção, de modo que o custo total passa a ser representado como: CT wL rK (6.5) em que w e r são, respectivamente, as remunerações do trabalho (L) e do capital (K). Além do preço do capital, o valor de r também representa o custo de uso do capital (ou seja, a depreciação econômica e o retorno do capital). Considerando uma função de produção com emprego de dois fatores de produção, o custo total dependerá da quantidade produzida a partir do uso desses insumos. Como vimos anteriormente, no curto prazo, uma parte dos custos de produção é variável (por exemplo, L) e a outra fixa (por exemplo, K). Assim, uma parcela desses custos (rK) não dependerá da quantidade produzida, enquanto a outra parcela (wL) dependerá da quantidade Q que a firma decide produzir. Dessa forma, os custos totais no curto prazo tomam a forma de: CT = wL + rK (6.6) onde K é constante. Podemos relacionar, ainda, as medidas de produtividade com o custo marginal. Por exemplo, tomando a derivada do custo total em relação a L na equação (6.6) obteremos: CT Q L w ( ) (6.7) ou seja, no curto prazo, o custo marginal é igual ao preço do fator trabalho. Quando todos os fatores de produção se tornam variáveis, a equação (6.5) passa a representar a equação de custos de longo prazo. A partir da relação linear descrita nessa equação, podemos traçar uma linha denominada de isocusto. Essa linha reta representa todas as combinações possíveis de trabalho e capital que podem ser empregadas pela firma mediante um preço dado, como na figura a seguir. Existe uma infinidade de linhas de isocusto. Aquelas mais próximas da origem representam combinações de capital e trabalho que geram os menores custos. 153 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA K K1 K0 C(Q)/r -∆K/∆L = -w/r C(Q)/w Linha de isocusto L1L0 A B L Figura 68 – A linha de isocusto Observação Ao longo da linha de isocusto são apresentadas combinações diversas das quantidades de insumos que apresentam o mesmo custo total. Esse conceito é associado à restrição orçamentária dos consumidores vista anteriormente. A equação (6.5) pode ser transformada em termos de K da seguinte forma: rK CT Q wL K CT Q r w r L (6.8) O ponto em que a linha de isocusto corta o eixo das abcissas é aquele onde o custo total é devido somente ao gasto com a aquisição de K. O valor do custo total com a aquisição desse fator é dado por C(Q)/r. O ponto em que a linha de isocusto corta o eixo das ordenadas é aquele onde o custo total é devido somente ao gasto com a aquisição de L. O valor do custo total com a aquisição desse fator é dado por C(Q)/W. Ainda temos, pela expressão em (6.8), que a linha de isocusto tem inclinação igual a: K L w r (6.9) A partir da equação (6.9), podemos estabelecer uma relação entre a inclinação da linha de isocusto e a TMST, apresentada anteriormente pela equação (5.10): 154 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II TMST K L PMg PMg w r L K (6.10) Portanto, a razão entre os produtos marginais deve ser igual à respectiva razão entre os preços dos insumos (inclinação da linha de isocusto). Da equação (6.10) também é possível que se estabeleça a seguinte condição: PMg w PMg r L K= (6.11) onde PMgL/w representa o produto adicional resultante do gasto de $1 a mais com o fator trabalho; e PMgK/r representa o produto adicional resultante do gasto de $1 a mais com o fator capital. Pelo resultado expresso em (6.7), vimos que: CT Q L w CT Q w L ( ) (6.12) Sabemos também que: PMg Q L PMg L Q L Q PMgL L L (6.13) Substituindo o valor de ∂L em (6.13) na equação (6.12): CT Q w Q PMg CT Q Q w PMgL L (6.14) Portanto, o custo marginal, ∂CT(Q)/∂Q, é igual ao preço do insumo multiplicado pelo inverso da produtividade marginal do trabalho. Por analogia, no longo prazo, o custo marginal total da firma é dado por: CMg Q w PMg r PMgL K (6.15) Exemplo de aplicação Determinada empresa apresenta uma relação de produtividade em que uma hora adicional de trabalho gera um aumento na produção de três unidades. O salário/hora médio dos trabalhadores é de R$ 30. Qual o custo marginal do trabalho dessa empresa? 155 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA Resolução De acordo com os dados do enunciado, temos: PMg w hora L = = 3 30 / Aplicando a fórmula expressa em (6.14): CMg Q w PMgL 30 3 10 Portanto, uma unidade a mais produzida pela firma requer 1/3 de hora de trabalho (1/PMgL - 1/3), gerando um custo adicional para a empresa de R$ 10. Maximização da produção Consideremos, agora, a seguinte questão: a firma deseja maximizar sua produção sujeita a um determinado custo total de aquisição dos insumos constante. Ou seja, que quantidades de K e L a firma deverá escolher de forma a obter o máximo de produto final? A solução desse problema deve atender a condição de que K e L pertençam à linha de isocusto. Como vimos anteriormente, o espaço (K,L) contém um número infinito de isoquantas que representam as combinações de fatores de produção que são capazesde gerar um nível produto. No entanto, apenas uma delas possibilita a maior produção: aquela que possui um ponto em comum com a linha de isocusto, como na figura a seguir. K KA LA A L Q0 Q1 Q2 Figura 69 – A maximização da quantidade produzida 156 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II O ponto A, na figura, resultado da tangência da isoquanta Q1 em relação à linha de isocusto, é a única combinação de quantidade de K e L que satisfaz a produção máxima, dados os custos desses insumos. Em outras palavras, o ponto de tangência em relação à linha de isocusto define o menor custo de produção que se deseja produzir. Dessa forma, o problema do produtor pode ser formulado matematicamente como: max , . . ,K L Q K L s a CT wL rK (6.16) A questão apresentada é um problema de otimização condicionada e deve ser resolvido a partir da construção do lagrangeano: K L Q K L CT wL rK, , , onde λ representa o multiplicador de Lagrange. As condições de primeira ordem (CPO) para o máximo da função Q(K,L) podem ser obtidas a partir da aplicação das derivadas parciais da função K L, , em relação a K, L e λ: (6.17) K Q K L K r L Q K L L w R p q p q ( , ) ( , ) 0 0 01 1 2 2 onde ∂Q(K,L)/∂K e ∂Q(K,L)/∂L são, respectivamente, as produtividades marginais do capital (PMgK) e do trabalho (PMgL). Resolvendo as duas primeiras equações para PMgK e PMgL, obtemos: (6.18) K PMg r PMg r L PMg w PMg w R p q p K K L L 0 0 1 1 2qq2 0 Fazendo a divisão dos dois primeiros resultados em (6.18), teremos: PMg PMg w r L K = 157 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA que é a TMST demonstrada em (6.10). Pela figura 69, fica claro que quando a firma substitui quantidades de K por L, mantendo-se a produção total constante, a PMgL cai e a PMgK sobe. Portanto, apenas no ponto ótimo de maximização da produção, a relação entre as produtividades marginais será igual a relação entre os preços dos fatores de produção. Fica demonstrado, portanto, que a inclinação da linha de isocusto é exatamente igual a TMST. Saiba mais A condição de segunda ordem, obtida a partir da construção da matriz hessiana orlada, é negativa garantindo que esse é um ponto de máximo. Ver capítulo 12 de: CHIANG, A. C.; WAINWRIGHT, K. Matemática para economistas. 4. ed. Rio de Janeiro: Campus, 2004. As condições de primeira ordem encontradas em (6.18) para a maximização da produção permitem encontrar, ainda, a seguinte relação: (6.19)PMg w PMg r L K Logo, as produtividades marginais por unidade de preço de cada insumo devem ser iguais entre si, conforme demonstrado na equação (6.11). Já o multiplicador de Lagrange λ representa a quantidade extra de produto obtida ao se variar o custo total de produção, ou seja, é o próprio custo marginal. Saiba mais O produtor pode desejar reduzir os custos de produção a um mínimo, mantendo a produção constante. A solução do problema de minimização do custo tem resultado idêntico ao problema de maximização. Leia mais em: BESANKO, D.; BRAEUTIGAM, R. R. Microeconomia: uma abordagem completa. Rio de Janeiro: LTC, 2004. Exemplo de aplicação Uma fábrica de caramelos possui a seguinte função de produção Cobb-Douglas: Q(K,L) - 1.000K1/4L1/3. Os preços unitários dos insumos, K e L, adquiridos em mercados competitivos são, respectivamente: r = R$1,00 e w = R$2,00. O proprietário da fábrica deseja maximizar a produção com a condição de que o custo total se mantenha no nível atual de R$ 20. Pergunta-se: 158 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II a) quanto deve ser adquirido dos insumos K e L? Resolução O problema é maximizar Q(K,L) sujeito à condição de que os custos totais para empregar K e L permaneçam constantes em R$ 20: max . , / / K L K L1 000 1 4 1 3 s.a. 20 - 1K + 2L O lagrangeano desse problema será: K L K L K L, , . / / 1 000 20 1 21 4 1 3 As CPOs para o máximo dessa função serão: x K L K L y K 1 000 1 4 0 1 000 1 4 1 000 1 3 3 4 1 3 3 4 1 3 1 . . . / / / / // / / /.4 2 3 1 4 2 32 0 1 000 1 3 2 20 2 0 L K L K L Fazendo a razão entre a primeira e a segunda CPO, teremos: 1 000 1 4 1 000 1 3 2 3 4 1 2 2 3 2 3 3 4 1 3 1 4 2 3 . . / / / / K L K L L K L K L K Substituindo agora o valor de L na terceira CPO: 20 2 2 3 0 7 3 20 60 7 8 6 2 3 60 7 40 7 5 7 K K K K L , , Portanto, o produtor deverá empregar, ao custo máximo de R$ 20, 8,6 unidades de K e 5,7 unidades de L. Observe, pelo resultado, que esse resultado atende a restrição: 159 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA PERFEITA 20 1 60 7 2 40 7 20 20 b) qual a quantidade máxima a ser produzida pela fábrica? Resolução Substituindo os resultados encontrados em (a) na função de produção descrita no enunciado, obteremos: Q K L uni 60 7 40 7 1 000 60 7 40 7 3 059 1 4 1 3 ; . . / / ddades Curvas de custo no longo prazo O formato das curvas de custo no longo prazo depende da relação entre a escala de operação da firma e os insumos que são necessários para minimizar seus custos. Portanto, podemos determinar diferentes trajetórias para as curvas de custos marginal e médio, dependendo dos rendimentos serem crescentes, constantes ou decrescentes de escala: • rendimentos crescentes de escala – ao variarmos a quantidade utilizada de ambos os insumos proporcionalmente, a produção varia mais que proporcionalmente. Isso significa dizer que os preços dos insumos estão em declínio à medida que a produção aumenta. Logo, os custos totais crescem com o aumento da produção, mas os custos marginal e médio são decrescentes, como vemos na figura a seguir. Custos ($) Q CTLP CMeLP CMgLP Figura 70 – Curvas de custo no longo prazo: rendimentos crescentes de escala 160 Re vi sã o: N om e do re vi so r - D ia gr am aç ão : N om e do d ia gr am ad or - d at a Unidade II • rendimentos constantes de escala – ao variarmos a quantidade utilizada de ambos os insumos proporcionalmente, a produção também varia. Nesse caso, os preços dos insumos permanecem inalterados à medida que a produção aumenta. Isso significa dizer que os custos totais crescem com o aumento da produção, mas os custos marginal e médio permanecem constantes, como vemos na figura a seguir. Custos ($) Q CTLP
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