Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos

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 INTRODUÇÃO:
A Dinâmica de muitos sistemas, sejam eles mecânicos, elétricos,
térmicos, biológicos etc., pode ser descrita em termos de equações
diferenciais. Tais equações diferenciais podem ser obtidas
utilizando as leis físicas que governam um sistema em particular,
como por exemplo as leis de Newton para sistemas mecânicos, as
leis de Kirchhoff para sistemas elétricos. Deve-se sempre ter em
mente que a obtenção de um modelo matemático razoável é a
parte mais importante de toda a análise.
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 SISTEMAS LINEARES:
Um sistema é chamado linear se a ele se aplica o princípio da
superposição. O princípio da superposição estabelece que a
resposta produzida pela aplicação simultânea de duas excitações
diferentes é igual à soma das duas respostas individuais a cada
uma das excitações. Como resultado, para sistemas lineares, a
resposta para várias entradas pode ser calculada considerando-se
uma única entrada de cada vez e adicionando-se os resultados.
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 SISTEMAS NÃO-LINEARES:
Um sistema é não linear se à ele não se aplica o princípio da
superposição. Assim, nos sistemas não-lineares a resposta á duas
entradas não pode ser calculada tratando-se uma entrada de cada
vez e adicionando-se os resultados. Exemplo:
0)1(
2
2
2
2
2
2








x
dt
dx
x
dt
xd
Asenxx
dt
dx
dt
xd
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 SISTEMAS NÃO-LINEARES:
Embora muitas relações físicas sejam representadas por
equações lineares, na maioria dos casos as relações reais não são
exatamente lineares.
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 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos 
Translacionais pela Mecânica Newtoniana:
Objetivo: obter o modelo matemático de sistemas mecânicos
translacionais, a partir da aplicação da 2a Lei de Newton. Inicialmente,
apresentaremos as equações constitutivas de cada um dos elementos que
compõem o sistema mecânico e, após, mostraremos como tais equações
são inseridas na EDO que descreve o modelo matemático do sistema.
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Sistemas Mecânicos de Translação
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Sistema Mecânico de Translação Massa – Mola – Atrito Viscoso
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Diagrama de Corpo Livre para o sistema 
Massa – Mola – Atrito Viscoso
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Sistema Mecânico de Translação Massa – Mola – Atrito Viscoso
)(.
1
)(..
2
2
tf
m
tx
m
k
dt
dx
m
c
dt
xd v 


















 )()(...
2
2
tftxk
dt
dx
c
dt
xd
m v
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Sistema Mecânico de Translação Massa – Mola
)(.
1
)(.
2
2
tf
m
tx
m
k
dt
xd













 )()(..
2
2
tftxk
dt
xd
m
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 OUTROS EXEMPLOS:
Seja o sistema massa-mola-amortecedor viscoso montado sobre
uma carreta sem massa, conforme mostra a figura abaixo.
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A equação acima é um modelo matemático do sistema
considerado.
)(..)(..
2
2
tu
m
k
dt
du
m
b
ty
m
k
dt
dy
m
b
dt
yd

























)(
2
2
uyk
dt
du
dt
dy
b
dt
yd
m 






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 CIRCUITO ELÉTRICO RLC: 
Seja o circuito indicado na figura abaixo:
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Aplicando-se as leis de Kirchoff ao sistema, obtêm-se as
seguintes equações
Que é o modelo matemático que representa a dinâmica do
circuito.




0
1
1
eidt
C
eidt
C
Ri
dt
di
L i
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 SISTEMAS DE NÍVEL DE LÍQUIDO: 
Seja o sistema mostrado na figura abaixo:
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= valor da vazão em regime estacionário (antes da 
ocorrência de qualquer variação), m3/s
qi = pequeno desvio da vazão de entrada em relação a seu
valor de regime estacionário, m3/s
q0 = pequeno desvio vazão de saída em relação a seu valor de
regime estacionário, m3/s
= altura do nível em regime estacionário (antes da
ocorrência de qualquer variação)
h = pequeno desvio na altura do nível em relação a seu valor
em regime estacionário, m
Q
H
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Em mecânica dos fluidos, um sistema pode ser considerado linear
se o fluxo for linear. Baseado na hipótese de que o fluxo seja
linear, ou linearizado, a equação diferencial deste sistema pode ser
obtido como segue.
Uma vez que a vazão de entrada menos a vazão de saída, durante
um pequeno intervalo dt, é igual à quantidade adicional
armazenada no reservatório, constata-se que:
Cdh=(qi-q0)dt
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Considerando-se a definição de resistência, a relação entre q0 e
h é dada por:
q0= h/R
A equação diferencial para este sistema para um valor
constante de R é a seguinte
iRqh
dt
dh
RC 
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A Figura (a) mostra o diagrama esquemático de um sistema
de suspensão de automóvel. À medida que o carro se desloca
ao longo da estrada, os deslocamentos verticais dos pneus
agem como sinais de excitação do sistema de suspensão do
automóvel. O movimento deste sistema é composto de uma
translação do centro de massa e de uma rotação em tomo do
centro de massa. A modelagem matemática do sistema
completo é bastante complicada.
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Uma versão bastante simplificada do sistema de suspensão
é mostrada na Figura (b). Admitindo-se que o deslocamento xi
do ponto P seja a grandeza de entrada do sistema e que o
deslocamento vertical xo da carroceria do carro seja a
grandeza de saída (Considerar o movimento da carroceria
somente segundo o eixo vertical.) O deslocamento xo é
medido em relação a uma situação de equilíbrio, na ausência
de sinal de entrada xi.
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Solução: A equação do movimento referente ao sistema
mostrado na Figura (b) é:
ou
0).().(.  ioioo xxkxxbxm 
iiooo x
m
k
x
m
b
x
m
k
x
m
b
x .... 























 