Matéria- arquivo IV

Prévia do material em texto

8 
 
Derivadas parciais de segunda ordem 
 
De maneira análoga ao caso de derivadas ordinárias, podemos calcular derivadas parciais de segunda, de terceira 
ordem ou de ordens superiores. Para o caso de derivadas parciais de segunda ordem da função 
( , )z f x y=
, temos: 
 ( , )f x y 
 
 ( , )xf x y
 
( , )yf x y
 
 
 
 ( , )xxf x y 
 
( , )xyf x y
 
( , )yyf x y
 
( , )yxf x y
 
2 2
2 2
( )x x xx
f f z
f f
x x x x
    
= = = = 
    
 Diferenciar duas vezes em relação a 
x
 
2 2
( )x y xy
f f z
f f
y x y x y x
    
= = = = 
      
 
Diferenciar primeiro em relação a 
x
 e em seguida 
diferenciar em relação a 
y
 
2 2
( )y x yx
f f z
f f
x y x y x y
    
= = = = 
      
 
Diferenciar primeiro em relação a 
y
 e em 
seguida diferenciar em relação a 
x
 
2 2
2 2
( )y y y y
f f z
f f
y y y y
    
= = = = 
    
 
Diferenciar duas vezes em relação a 
y
 
 
Exemplos: 
1. Determine as derivadas parciais de segunda ordem de 
2 3 4( , )f x y x y x y= +
 
 
2. Determine as derivadas parciais de segunda ordem de 
3 2 3 2( , ) 2f x y x x y y= + −
 
 
3. Ache as derivadas parciais de segunda ordem de 
2 2 2( , ) 3 2 5f x y xy y x y= − +
 e calcule o valor de 
( 1, 2)xyf −
 
 
OBS.: Para uma função de três variáveis existem três derivadas parciais de primeira ordem (
, )x y zf f e f
e nove 
derivadas parciais de segunda ordem (
( , , , , )xx xy xz yx yy yz zx zy zzf f f f f f f f e f
: 
Exemplo: 3. Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de 
( , , ) lnxf x y z ye x z= +
. 
 
 
9 
 
EXERCÍCIOS 
1. Determine as derivadas parciais indicadas: 
2 3 4
5 4 4 3 2
3
2 3
) ( , ) 2 ;
) ( , , ) ;
) ln( 2 3 );
xxx
xyz
a f x y x y x y f
b f x y z x x y z yz f
u
c u x y z
x y z
= −
= + +

= + +
  
 
 
2. Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo: 
a) 
( , )f x y x y xy= + +
 
b) 
2( , ) cosf x y x y y ysenx= + +
 
c) 
( , ) 1yf x y xe y= + +
 
 
3. Encontre 
f
x


 e 
f
y


: 
a) 
2( , ) 2 3 4f x y x y= − −
 
b) 
2 2( , )f x y x xy y= − +
 
c) 
2( , ) ( 1)( 2)f x y x y= − +
 
d) 
2 2( , ) 5 7 3 6 2f x y xy x y x y= − − + − +
 
 
4. Seja 
2 4 5( , ) 4 2 7f x y x y x y= − +
. Determine: 
a) 
xxf
 b) 
yyf
 c) 
xyf
 d) 
yxf
 
 
5. Seja a função 
2( , ) yf x y xe=
. Determine: 
a) 
xxf
 b) 
yyf
 c) 
xyf
 d) 
yxf
 
 
6. Expresse as seguintes derivadas em notação 

. 
a) 
xxxf
 b) 
xyyf
 c) 
yyxxf
 d) 
xyyyf
 
 
7. Expresse as seguintes derivadas em notação “subscrito”: 
a) 3
2
f
y x

 
 b) 4
4
f
x


 c) 4
2 2
f
y x

 
 d) 5
2 3
f
x y

 