Lista1 - Econometria

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1ª Lista de Exercícios
Assunto: Revisão de Estatística e Econometria básica
Resolução:
01. Questão 1.1 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
a)
b) A taxa de inflação de cada um dos países tem uma tendência de aumento ao longo dos anos. 
c) O país que apresenta uma maior variação na taxa de inflação é o Reino Unido. Esse país até 1966 apresentou uma oscilação na inflação e a partir daí aumentou consideravelmente, onde chegou em seu pico em 1975.
02. Questão 1.3 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição. 
a)
b)
Y1i = 3118,48 − 22;50X1i
Y2i = 3149, 36 − 23; 35X2i
(c) Não. Pois a reta traçada é negativamente inclinada, enquanto que na função oferta, a relação quantidade ofertada e preços é positivamente inclinada. 
(d) Sim. A reta traçada sugere uma função demanda, pois existe uma relação negativa entre preços e quantidades.
(e) Como se ver os dados são bastante dispersos, a princípio não se sabe como a reta se comportará. Poderá ser negativamente ou positivamente inclinada. O que não deixa claro que tipo de função seja. Porém, ao fazer a regressão a reta se mostrou com uma declividade negativa, sugerindo uma função demanda.
(f) Não. Pois, a diferença de produção é muito elevada, o que faz com que os dados se dissipem bastante no gráfico (outliers). 
03. Questão 2.1 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
a) E(X) = (−20) (0, 10) + (−10) (0, 15) + (10) (0, 45) + (25) (0, 25) + (3) (0, 05) = 8, 75
b) E(X2) = (−20)2(0, 10) + (−10)2(0, 15) + (10)2(0, 45) + (25)2(0, 25) + (3)2(0, 05) = 301, 25
σ2 = E(X2) − [E(X)]2 = 301, 25 − (8, 75)2 = 224, 6875
c) 
= 1,7131x100=171,31%
d)(0,05)=
-1811,72
S= Assimetria negativa
e)(0,05)=
114488,77
K= Curtose platicúrtica, pois k<3, e assim, o topo desta distribuição é achatado.
04. Questão 2.2 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
Distribuição Marginal de X
f (X = 1) = 0, 03 + 0, 02 + 0, 09 + 0, 06 = 0, 20
f (X = 2) = 0, 06 + 0, 04 + 0, 18 + 0, 12 = 0, 40
f (X = 3) = 0, 06 + 0, 04 + 0, 18 + 0, 12 = 0, 40
 Distribuição marginal de Y:
f (Y = 1) = 0, 03 + 0, 06 + 0, 06 = 0, 15
f (Y = 2) = 0, 02 + 0, 04 + 0, 04 = 0, 10
f (Y = 3) = 0, 09 + 0, 18 + 0, 18 = 0, 45
f (Y = 4) = 0, 06 + 0, 12 + 0, 12 = 0, 30
Distribuição condicional de X
P(X=1|Y=1) = 0,20
P(X=1|Y=2) = 0,20
P(X=1|Y=3) = 0,20
P(X=1|Y=4) = 0,20
P(X=2|Y=1) = 0,40
P(X=2|Y=2) = 0,40
P(X=2|Y=3) = 0,40
P(X=2|Y=4) = 0,40
P(X=3|Y=1) = 0,40
P(X=3|Y=2) = 0,40
P(X=3|Y=3) = 0,40 
P(X=3|Y=4) = 0,40
Distribui¸c˜ao condicional de Y:
P (Y=1|X=1) = 0,15
P (Y=1|X=2) = 0,15
P (Y=1|X=3) = 0,15
P (Y=2|X=1) = 0,10
P (Y=2|X=2) = 0,10
P (Y=2|X=3) = 0,10
P (Y=3|X=1) = 0,45
P (Y=3|X=2) = 0,45
P (Y=3|X=3) = 0,45
P (Y=4|X=1) = 0,30
P (Y=4|X=2) = 0,30
P (Y=4|X=3) = 0,30
Pode-se dizer que X e Y são independentes, pois p(X|Y) = p(X) e p (Y |X) = p (Y). Em outras palavras, p (X, Y) = p(X)p (Y)
Esperança condicional de X
E (X|Y = 1) = 1(0, 20) + 2(0, 40) + 3(0, 40) = 2, 20
E (X|Y = 2) = 1(0, 20) + 2(0, 40) + 3(0, 40) = 2, 20
E (X|Y = 3) = 1(0, 20) + 2(0, 40) + 3(0, 40) = 2, 20
E (X|Y = 4) = 1(0, 20) + 2(0, 40) + 3(0, 40) = 2, 20
Esperança condicional de Y
E (Y |X = 1) = 1(0, 15) + 2(0, 10) + 3(0, 44) + 4(0, 30) = 2, 90
E (Y |X = 2) = 1(0, 15) + 2(0, 10) + 3(0, 44) + 4(0, 30) = 2, 90
E (Y |X = 3) = 1(0, 15) + 2(0, 10) + 3(0, 44) + 4(0, 30) = 2, 90
05. Questão 2.3 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
a) P (X = −10) = 0, 27 + 0, 00 = 0, 27
P (X = 0) = 0, 08 + 0, 04 = 0, 12
P (X = 20) = 0, 16 + 0, 10 = 0, 26
P (X = 30) = 0, 00 + 0, 35 + 0 = 0, 35
E(X) = (−10) (0, 27) + (0) (0, 12) + (20) (0, 26) + (30) (0, 35) = 13
b) p (Y = 20) = 0, 27 + 0, 08 + 0, 16 + 0, 00 = 0, 51
p (Y = 50) = 0, 00 + 0, 04 + 0, 10 + 0, 35 = 0, 49
E (Y) = (20) (0, 51) + (50) (0,49) = 34,70
(c) E(XY) = (20)(−10)(0, 27) + (20)(0, 00)(0, 08) + (20)(20)(0, 16) + (20)(30)(0, 00) + (50)(−10)(0, 00) + (50)(0, 00)(0, 04) + (50)(20)(0, 10) + (50)(30)(0, 35) = 635
E(X)E(Y)= 13*34,70 = 451,1. 
Assim, E(XY)≠E(X)E(Y). As variáveis X e Y não são independentes.
07. Questão 2.4 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
a)
	X 
(média das linhas)
	Y 
(média das colunas)
	1
	1,5
	4,67
	7,5
	5
	4,67
	3,33
	3
	2,33
	1,67
	1,5
	2
b) 
c) Nos casais selecionados, há uma relação positiva da idade dos homens (Y) com a idade das mulheres (X).
d) 
08. Questão 2.5 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
a) 
	X
	Y
	1
	2
	3
	Total
	8,5
	0,26
	0,1
	0
	0,36
	11,5
	0,04
	0,28
	0,04
	0,36
	17,5
	0
	0,02
	0,26
	0,28
	Total
	0,30
	0,40
	0,30
	1,00
b) 
P(Y=8,5|X=1) = 0,87
P(Y=11,5|X=1) = 0,13
P(Y=17,5|X=1) = 0
P(Y=8,5|X=2) = 0,25
P(Y=11,5|X=2) = 0,70
P(Y=17,5|X=2) = 0,05
P(Y=8,5|X=3) = 0
P(Y=11,5|X=3) = 0,13
P(Y=17,5|X=3) = 0,87
c) 
E (Y |X = 1) = (8, 5) (0, 87) + (11, 5) (0, 13) + (17, 5) (0, 00) = 8, 89
E Y |X = 2) = (8, 5) (0, 25) + (11, 5) (0, 70) + (17, 5) (0, 05) = 11, 05
E (Y |X = 3) = (8, 5) (0, 00) + (11, 5) (0, 13) + (17, 5) (0, 87) = 16, 72
d)Não, pois esperava-se que o bônus condicionado à melhor classificação (Bbb) tivesse um valor esperado maior que os demais. Por outro lado, a classificação pior (B), é quem tem um valor esperado maior.
09. Questão 2.7 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
Sugere uma relação positiva dos salários com a idade e os anos de experiência.
Os anos de experiência. Fazendo as médias das linhas e colunas ver-se que o salário marginal decorrente dos anos de experiencia é maior que o salário marginal em relação a idade.
10. Questão 3.1 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
1) 
=0
Como = 0
=0 
3) 
=
= E [
=Var=
11. Questão 3.6 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
Seja: e 
O coeficiente de correlação r é dado por:
Onde: 
12. Questão 3.7 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
Embora pode ser importante (por casualidade e teoria) se Y for regredido em X ou X em Y, pois apenas o preço dos dois é igual a 1. Isso significa que .
13. Questão 3.9 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
Modelo I: 
Modelo II: 
No modelo II
Como 
Logo: 
No modelo II:
Como 
Assim, os valores previstos dos modelos I e II são idênticos. Então, a única vantagem do modelo II em relação ao I, pois a variância do estimador .
Já que, , ou seja, 
14. Questão 3.12 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
Se >0:
 e 
A média, variância e desvio padrão de -X e -Y são:
 
Os desvios-padrão não se alteram.
Como os desvio-padrão e a covariância não se alteram, então, o coeficiente de correlação também não se alterará. Em outras palavras >0. Assim, a alternativa é verdadeira.
A covariância será negativa, já que . E como os desvio-padrão não se alteram, o coeficiente de correlação não será negativo. Assim, a alternativa é falsa.
c) Verdadeiro. Como r>0, isto sugere que X e Y são linear e positivamente correlacionadas, o que requer que ambas regressões apresentem coeficientes angulares positivos.
15. Questão 3.16 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
	Ordem
	Estudante
	
	A
	B
	C
	D
	E
	F
	G
	H
	I
	J
	Metade do período
	1
	3
	7
	10
	9
	5
	4
	8
	2
	6
	Final do Período
	3
	2
	8
	7
	9
	6
	5
	10
	1
	4
	di
di2
	-2
	1
	-1
	3
	0
	-1
	-1
	-2
	1
	2
	
	4
	1
	1
	9
	0
	1
	1
	4
	1
	4
 
Assim, existe um alto grau de correlação positiva entre as notas da metade do período e as notas do final de período. Ou seja, quanto maior for a nota parcial, maior será a nota final.
16. Questão 3.17 do livro Econometria
Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
Nesse caso, o valor de “r” pode ser positivo ou negativo. Mas, viu-se que o coeficiente angular estimado foi negativo, evidenciando uma correlação negativa entre as variáveis X e Y (se X aumenta, Y diminui e vice-versa). Assim, o valor de r será: 
 O coeficiente 0,286 significa que um aumento de 1 ponto percentual na taxa de desemprego, reduzirá a taxa de demissão em 0,2862.
 
É visto no gráfico que os resíduos oscilam bastante em torno de zero. Assim, ao fazer a soma dos seus valores, o resultado será zero, conforme a hipótese 
Tem-se 13 observações nas duas regressões (1960-1972 e 1966-1978), logo o grau de liberdade será 11. Ao nível de significância de 5% (α=0,05,
Para o intervalo de confiança de 95% de (1960-1972)
Para 1966-1978:
Portanto, há evidências estatísticas de que os estimadores de ambas as regressões não sejam totalmente diferentes.
17. Questão 3.18 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
Calculando o r amostral para os dados da questão:
O valor de r é, portanto, r= 0,9865, e não, r= 0,9758, conforme dito na questão. Para os dados de X e Y que foram colocados errados, tem-se: 
Considerando agora os valores (que não são corretos) obtém-se:
Os valores serão calculados como:
Substituindo esses valores na fórmula do r, temos:
O valor do verdadeiro foi menor do que o valor do falso em 1,32% (
18. Questão 3.19 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
As ações são melhores, pois um aumento de 1 ponto percentual no IPC aumentará o preço das ações em cerca de 2,13 pontos percentuais. Enquanto que o mesmo aumento no IPC no primeiro modelo, aumentará o preço do ouro em 1,84 US$/onça troy.
19. Questão 3.22 do livro Econometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
a) 
b) PIBcorrentet = 625,008 + 246,825Xt
PIBconstantet = 2931,264+ 97, 75Xt
c) O PIB em dólares constantes aumenta em média anual um valor de 97,68 bilhões de dólares. Enquanto que o PIB em dólares correntes há um aumento anual médio em cerca de 246,83 bilhões de dólares.
d) Intervalos de confiança de 95% para β2 do modelo em dólares correntes e dólares constantes, respectivamente,
IC: [234,2956:259,3544]
IC: [88,8078:106,5534]
Assim, as evidências mostram que os betas são totalmente diferentes estatisticamente.
e) Usando o deflator do PIB como medida da inflação, pode-se dizer que os preços mais que dobram a cada ano .
20. Reproduza detalhadamente a derivação de Estimativas por mínimos Quadrados no apêndice 3A do Livro Ecometria Básica de Damodar N. Gujarati – 3ª Edição.
O método de MQO permite estimar β1 e β2 de forma a minimizar a soma do quadrado dos resíduos. Assim: 
Condição de primeira ordem: 
Derivando com relação a β1 e β2 e igualando a zero:
Substituindo (3) em (2),
(4) 
Já que: 
Condição de segunda ordem
Tomando as derivadas segundas:
Colocando a matriz Hessiana: 
(5) 
Percebe-se que o determinante do primeiro menor, H1, da matriz dada em (5) é maior que zero
|H1|=2n>0
O segundo menor principal á a própria matriz H, isto é, H2=H, cujo determinante: 
Como o determinante do primeiro e segundo menor apresentaram valores positivos, então, tem-se um ponto de mínimo. Isto é, o estimador de MQO minimiza a soma do quadrado dos resíduos.