tarefas desafiadoras de matemática ao nível do ensino médio

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Tarefas desafiadoras
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1. Caminhando
A figura seguinte mostra as pegadas de um homem a andar. O comprimento do passo, p , é a distân-
cia entre a parte de trás de duas pegadas consecutivas.
Para os homens, a fórmula estabelece uma relação aproximada entre n e p em que:
n : número de passos por minuto
p : comprimento do passo em metros
1.1. Se esta fórmula se aplicar ao caminhar do Pedro e ele der 70 passos por minuto, qual é o 
comprimento do passo do Pedro? Apresenta os cálculos que efetuares.
1.2. O Bernardo sabe que o comprimento do seu passo é de 0,80 metro. A fórmula aplica-se ao
caminhar do Bernardo.
Calcula, em metros por minuto e em quilómetros por hora, a velocidade a que o Bernardo
caminha. Apresenta os cálculos que efetuares.
1.3. Indica uma expressão algébrica que defina o número de passos por minuto, n , em função do
comprimento do passo em metros, p .
1.4. Entre as grandezas n e p existe uma relação de proporcionalidade.
a) De que tipo de proporcionalidade se trata?
b) Indica qual é a constante de proporcionalidade.
c) O gráfico que descreve a relação de proporcionalidade entre as grandezas n e p está 
contido:
(A) numa reta que passa pela origem do referencial. 
(B) numa semicircunferência. 
(C) numa reta que passa pelo ponto de coordenadas (1 , 1) . 
(D) numa linha poligonal aberta.
(Adaptado de PISA, 2003)
n
p
= 140
p
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Paralelogramo Base (b) Altura (a) Área 
A 2 6 12 
B
C
D
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2. Proporcionalidades
Na figura seguinte estão representados alguns paralelogramos equivalentes em que as medidas da base
e da altura são números inteiros.
2.1. Observa os paralelogramos e preenche a tabela seguinte.
2.2. Apresenta, pelo menos, quatro exemplos de outros paralelogramos de área 12 em que a base
e/ou a altura não sejam números inteiros.
2.3. Considera todos os paralelogramos de área 12 . Observa a tabela e responde às seguintes
questões.
a) Quando duplica a medida do comprimento da base o que acontece à medida da altura? 
E quando triplica? Explica o que observaste.
b) A altura a e a base b não são grandezas diretamente proporcionais. Porquê?
c) A altura a e a base b são grandezas inversamente proporcionais. Porquê?
Indica a constante de proporcionalidade. Qual é o seu significado no contexto do problema?
2.4. Num referencial cartesiano Oxy marca os pontos de coordenadas (b , a) associados aos
paralelogramos considerados.
2.5. Escreve uma expressão algébrica que traduza a altura a em função da base b .
(Adaptado de DGIDC, Funções: proposta de sequência de tarefas para o 9.º ano, 2011)
B
1 unidade
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3. Ângulo de visão
A condução de um veículo automóvel produz um efeito chamado “visão em túnel”. Quanto maior é a
velocidade a que se conduz mais reduzido é o ângulo de visão e, como consequência, as dificuldades de
condução aumentam. 
O esquema seguinte relaciona a velocidade de condução e o ângulo de visão.
Ângulo de visão de 100° Ângulo de visão de 75° Ângulo de visão de 45° Ângulo de visão de 30° 
3.1. Tendo em conta os dados da figura, desenha o gráfico que relaciona a velocidade de condução
com a amplitude do ângulo de visão.
3.2. Prova que a afirmação seguinte é verdadeira:
A relação entre a velocidade de condução e a amplitude do ângulo de visão 
não é nem direta nem inversamente proporcional.
3.3. Entre que valores deve ter variado a velocidade de condução se o ângulo de visão tiver variado
entre 45° e 75° ?
3.4. Se a velocidade de um veículo for de 150 km/h , o ângulo de visão será um ângulo…
(A) raso. 
(B) reto. 
(C) obtuso. 
(D) agudo.
(Adaptado de GAVE, 1001 itens) 
40
km/h
70
km/h
100
km/h
130
km/h
Velocidade (km/h)
100 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Â
ng
ul
o 
de
 v
is
ão
 (
gr
au
s)
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4. Energia consumida
Sempre que ligamos o computador a uma televisão ou a uma
consola estamos a consumir energia.
O cálculo do consumo de energia de um aparelho elétrico é
dado pela fórmula: 
em que: 
• E é a energia consumida em watts-hora (Wh) . 
• P é a potência do aparelho considerada em watts (W) .
• t é o tempo de utilização do aparelho em horas (h) . 
4.1. Completa a tabela seguinte, indicando, em watts, a potência (P) e, em horas, o tempo (t) , de
diferentes aparelhos elétricos com um consumo de 420 Wh .
4.2. Que tipo de relação existe entre a potência (P) , em watts, e o tempo de utilização (t) , em
horas, de aparelhos que consomem 420 Wh ?
Justifica a tua resposta.
4.3. Analisa os dados da tabela seguinte e dos gráficos, representados no referencial seguinte, que
relacionam a energia consumida com o tempo de utilização de vários aparelhos elétricos.
Identifica o aparelho que corresponde a cada um dos gráficos e justifica as tuas respostas.
(Adaptado de GAVE, 1001 itens) 
E = P * t
t (h)
a
b
c
d
E (Wh)
1200
780
40 8 12
240
Aparelho A Aparelho B Aparelho C
Potência (P em W) 20
Tempo (t em h) 105
Aparelho elétrico
Potência
(em W) 
Rádio 15 
Lâmpada económica 20 
Computador 65 
Televisor 150 
Secador de cabelo 300 
Torradeira 850 
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5. Breakdowns breakeven
A Associação de Estudantes de uma escola está a organizar uma festa de final de ano no ginásio. 
O ginásio tem capacidade para cerca de 300 pessoas, simultaneamente.
A Maria e o António estimaram o valor das despesas com a decoração e com os equipamentos de som
e de iluminação em 500 € (breakdown).
Em linguagem de espetáculo, chama-se breakdown ao valor total de gastos realizados para organizar
um evento e chama-se breakeven ao número mínimo de bilhetes que é necessário vender para atingir o
valor do breakdown.
5.1. A Maria e o António, para decidirem o valor de cada bilhete, de modo a assegurar o break-
down, construíram a tabela seguinte. Completa-a.
5.2. A Maria estima que cerca de 100 pessoas vão entrar durante a festa tendo em conta que
outras tantas vão sair. Assim, sugeriu que o preço de cada bilhete seja de 1,25 Æ . Mas o Antó-
nio considera que não é suficiente. Apresenta um argumento a favor da proposta de cada um
deles.
5.3. Calcula o valor do breakeven se o preço do bilhete for de 1,50 Æ .
5.4. Entre o preço de cada bilhete, em euros, e o breakeven existe uma relação de proporcionali-
dade.
a) De que tipo de proporcionalidade se trata?
b) Indica qual é a constante de proporcionalidade e o seu significado.
c) Escreve uma expressão algébrica que relacione o preço de cada bilhete, p , em euros, e o
breakeven , b .
(Adaptado de GAVE, 1001 itens) 
Preço de cada bilhete 
(euros)
0,50 1
Breakeven 1000 250
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6. TAS versusTAE
A condução sob influência de álcool é uma das principais causas de acidentes de viação em Portugal.
A seguir, apresenta-se um extrato do Decreto-Lei n.º 44/2005 que regulamenta a condução sob
influência de álcool.
Alcoolímetro utilizado pelas 
Brigadas de Trânsito
O alcoolímetro, habitualmente designado por balão, é o instrumento utilizado para avaliar o teor de
álcool no sangue de um condutor (TAS) a partir do teor de álcool no ar expirado (TAE).
A tabela indica, para alguns valores, a equivalência entre o teor de álcool no sangue (TAS) e o teor de
álcool no ar expirado (TAE),de acordo com o ponto 3 do artigo 81.° do Decreto-Lei n.° 44/2005.
6.1. Qual é o valor do teor de álcool no ar expirado (TAE) a partir do qual a lei diz que um condutor
está sob influência de álcool?
6.2. Constrói o gráfico da relação entre o teor de álcool no sangue (TAS) e o teor de álcool no ar
expirado (TAE), para valores do TAE entre 0 e 2,5 mg/l (inclusive). Escolhe escalas adequa-
das para cada um dos eixos e gradua-os, com o maior rigor possível.
6.3. Escreve uma fórmula que permita calcular o valor do teor de álcool no sangue (TAS) a partir
do valor do teor de álcool no ar expirado (TAE).
6.4. Entre as grandezas TAE e TAS existe uma relação de proporcionalidade.
a) De que tipo de proporcionalidade se trata?
b) Indica a constante de proporcionalidade.
(Adaptado de GAVE, 1001 itens) 
Artigo 81.°
Condução sob influência de álcool 
ou de substâncias psicotrópicas
1 – É proibido conduzir sob influência de álcool ou de
substâncias psicotrópicas.
2 – Considera-se sob influência de álcool o condutor que
apresente uma taxa de álcool no sangue igual ou superior
a 0,5 g/l ou que, após exame realizado nos termos
previstos no presente Código e legislação complementar,
seja como tal considerado em relatório médico.
3 – A conversão dos valores do teor de álcool no ar
expirado (TAE) em teor de álcool no sangue (TAS) é
baseada no princípio de que 1 mg de álcool por litro de ar
expirado é equivalente a 2,3 g de álcool por litro de sangue.
Teor de álcool num litro de ar expirado (mg/l) 0,10 0,50 1 1,50 2 
Teor de álcool num litro de sangue (g/l) 0,23 1,15 2,30 3,45 4,60 
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7. Precisão gráfica de um desenho 
De acordo com as normas técnicas, a menor dimensão que a
vista humana percebe – precisão gráfica de um desenho – 
é 0,0002 m . 
Assim, a dimensão do menor detalhe real representado num
desenho com a escala será calculada através da fórmula
seguinte:
Detalhes com dimensões reais inferiores a D não constam dos desenhos, a não ser através de uma
convenção.
7.1. A dimensão mínima que é possível representar com precisão num desenho depende da escala
do desenho. Completa a tabela tendo em conta a informação dada.
(*) Na construção da planta de uma casa cuja escala seja , só serão representados elementos cuja dimensão
real seja superior ou igual a 2 cm .
7.2. Qual é a escala mínima a utilizar para que um detalhe de 25 m de dimensão seja percetível?
7.3. Explica por que é verdadeira a seguinte afirmação:
A relação entre a escala e a dimensão mínima D é uma 
relação de proporcionalidade inversa.
7.4. O gráfico que descreve a relação de proporcionalidade inversa entre a escala de desenho ,
e a dimensão de menor detalhe, D , em metros, está sobre uma linha:
(A) reta que passa pela origem do referencial.
(B) que se chama hipérbole e cujos ramos da curva estão nos quadrantes ímpares.
(C) reta que não passa pela origem do referencial.
(D) que se chama hipérbole e cujos ramos da curva estão nos quadrantes pares.
Assinala a opção correta.
(Adaptado de GAVE, 1001 itens) 
1
N
D = 0,0002 * N
1
100
1
N
1
N
Escala do desenho, 
1
N
1
100
1
500
1
1000
1
2000
1
5000
Dimensão do menor
detalhe, D
(metros) 
0,02 (*) 
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8. Baloiço
Mohammed está sentado num baloiço. Começa a baloiçar-se e tenta chegar o mais alto possível.
Qual dos gráficos representa, de forma mais correta, a altura dos seus pés em relação ao chão
enquanto baloiça?
(A) (B)
(C) (D)
(Estudo-piloto de PISA, 2002)
Tempo0
A
lt
ur
a
do
s 
pé
s
A
lt
ur
a
do
s 
pé
s
Tempo0
A
lt
ur
a
do
s 
pé
s
Tempo0Tempo0
A
lt
ur
a
do
s 
pé
s
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9. A queda
A fotografia ao lado mostra um atração vertiginosa de um parque
de diversões.
Em cada viagem, as pessoas sentam-se numa cadeira que sobe até
ao cimo de uma torre e aí permanece alguns instantes. Em seguida,
a cadeira é largada, atingindo uma velocidade de cerca de 100 km/h
antes de se iniciar a travagem e chegar ao chão.
O gráfico ao lado representa a distância da cadeira em relação ao
chão, desde o momento em que inicia a viagem (nível do chão) até
ao momento em que regressa ao ponto de partida.
Explica a razão de nenhum dos gráficos seguintes constituir uma
representação da distância da cadeira em relação ao chão durante a
viagem.
Gráfico A Gráfico B Gráfico C
(Adaptado de GAVE, 1001 itens) 
D
is
tâ
nc
ia
ao
 c
hã
o
Tempo0
D
is
tâ
nc
ia
ao
 c
hã
o
Tempo0
D
is
tâ
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ia
ao
 c
hã
o
Tempo0
D
is
tâ
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ao
 c
hã
o
Tempo0
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10. Velocidade de um carro de corrida
O gráfico seguinte mostra a variação da velocidade de um carro de corrida num circuito plano de 3 km ,
durante a segunda volta.
10.1. Qual é, aproximadamente, a distância da linha de partida até ao início da reta mais longa do
circuito?
(A) 0,5 km (B) 1,5 km (C) 2,3 km (D) 2,6 km
10.2. Durante a segunda volta, em que local do circuito se registou a velocidade mais baixa?
(A) Na linha de partida.
(B) Aproximadamente, no quilómetro 0,8 .
(C) Aproximadamente, no quilómetro 1,3 .
(D) A meio do circuito.
10.3. O que se pode dizer sobre a velocidade do carro entre os quilómetros 2,6 e 2,8 ?
(A) A velocidade do carro é constante.
(B) A velocidade do carro vai aumentando.
(C) A velocidade do carro vai diminuindo.
(D) A velocidade do carro não pode ser determinada a partir do gráfico.
10.4. Observa a seguir o traçado de cinco circuitos. 
Em qual deles poderá ter o carro circulado, de forma que o gráfico da velocidade seja o
apresentado anteriormente?
(Adaptado de PISA, 2000)
V
el
oc
id
ad
e 
(k
m
/h
)
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6
2,51,50,5
Distância percorrida (km)Linha de partida
2,8 3,0
Velocidade de um carro de corrida num circuito de 3 km
(segunda volta)
P
P
P
P
P
A
B
C
D
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11. Distância de travagem
A distância percorrida por um automóvel entre o momento em
que o seu condutor inicia a travagem e o momento em que o
automóvel para denomina-se distância de travagem (Dt) . 
A distância de travagem pode ser calculada, em metros, 
utilizando a fórmula: 
em que v é a velocidade do veículo (km/h). 
11.1. Resolve a equação dada em ordem a v .
11.2. Completa a tabela seguinte.
11.3. Desenha o gráfico que relaciona a distância de travagem com a velocidade, graduando cada
um dos eixos com uma escala adequada.
11.4. O gráfico que relaciona a distância de travagem com a velocidade está contido:
(A) numa linha reta. 
(B) numa curva designada por hipérbole. 
(C) num quarto de circunferência. 
(D) numa curva designada por parábola. 
(Adaptado de GAVE, 1001 itens)
Dt = a v10b2 * 12
Dt (m)
v (km/h)
0
Velocidade (v) 
(km/h)
30 70 90 110
Distância de travagem (Dt) 
(m)
4,5 12,5 24,5 60,5 78 
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12. Gráficos e expressões algébricas
12.1. Associa cada representação gráfica à expressão algébrica que lhe corresponde.
(A) (B)
(C) (D)
(E)
12.2. Em cada caso, indica se existe proporcionalidade direta ou inversa e, caso exista, escreve a
constante de proporcionalidade.
12.3. Quais das expressões algébricas definem funções quadráticas?(Adaptado de DGIDC, Funções: proposta de sequência de tarefas para o 9.º ano, 2011)
5
4
3
2
1
10
y
x-1-2-3-4-5 2 3 4 5-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
10
y
x-1-2-3-4-5 2 3 4 5-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
10
y
x-1-2-3-4-5 2 3 4 5-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
10
y
x-1-2-3-4-5 2 3 4 5-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
10
y
x-1-2-3-4-5 2 3 4 5-1
-2
-3
-4
-5
y = x
2
y = 2x2
y = 3x y = - 3
x
y = 2x
y = - 2x
y = 3x y = 4
x
y = - 3x y = 8x y =
4x + 1