Torque e Torção em Engenharia Civil

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TORÇÃO
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
1
PROFESSORA: ENG. DANIELA TAMWING
TORQUE E TORÇÃO
▪ O que é torção?
▪ Torção é a deformação
por efeito do torque.
▪ O que é torque?
▪ Torque é um esforço
que deforma, em torno
do eixo longitudinal.
TORQUE E TORÇÃO
▪ Preocupação em eixos
TORQUE E TORÇÃO
O momento torçor em vigas usais de edifícios pode ser classificado em
dois grupos:
- Momento Torçor de Equilíbrio
a) Viga em balanço b) Laje em balanço
TORQUE E TORÇÃO
- Momento Torsor de Compatibilidade:
TORQUE E TORÇÃO
▪ Definição:
▪ Torque é o momento que tende a
torcer a peça em torno de seu
eixo longitudinal. Seu efeito é de
interesse principal no projeto de
eixos ou eixos de acionamento
usados em veículos e
maquinaria.
TORQUE E TORÇÃO
▪ Torque é um momento.
▪ Momento = Força x Distância
▪ No corte da seção transversal,
verifica-se as força atuantes internas
na barra.
DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO
Fisicamente, podemos ilustrar o que acontece
quando um torque é aplicado em um eixo
circular, considerando o eixo como feito de
um material altamente deformável, como a
borracha (Figura 5.1a)
Quando o torque é
aplicado, os
círculos e as retas
longitudinais da
grelha
originalmente
marcada no eixo
tendem a se
distorcer com o
padrão mostrado
DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO
Seções permanecem 
planas e paralelas 
entre si
▪ Por inspeção, a torção faz os círculos
permanecerem como círculos e cada reta
longitudinal da grelha deforma-se em uma
hélice que intercepta os círculos em ângulos
iguais.
▪ A partir dessas observações, podemos supor
que, se o ângulo de rotação for pequeno, o
comprimento do eixo e seu raio permanecerão
inalterados.
DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO
DEFORMAÇÕES PEQUENAS:
• Raio não muda
• Comprimento não muda 
ÂNGULO DE TORÇÃO
▪ A experiência mostra que o ângulo de torção da
barra é proporcional ao torque aplicado e ao
comprimento da barra.
▪ 𝛷 é 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 T
▪ 𝛷 é 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝐿
▪ Quando submetido à torção, cada seção
transversal de um eixo circular permanece plana e
indeformada.
▪ Seções transversais para barras circulares cheias
ou vazadas permanecem planas e indeformadas,
porque a barra circular é assimétrica.
▪ Seções transversais de barras não circulares são
distorcidos quando submetidas à torção.
ÂNGULO DE TORÇÃO
▪ Se o eixo estiver preso em uma
extremidade e for aplicado um torque na
outra extremidade, o plano sombreado na
Figura 5.2 se distorcerá e assumirá uma
forma oblíqua como mostrado.
▪ Nesse caso, uma linha radial localizada na
seção transversal a uma distância x da
extremidade fixa do eixo girará por meio
de um ângulo Φ(x).
▪ O ângulo Φ(x), assim definido, é
denominado ângulo de torção.
▪ Ele depende da posição x e varia ao longo
do eixo como mostrado.
Figura 5.2
ÂNGULO DE TORÇÃO
▪ Pode-se definir a
deformação por
ângulo Φ(x)
Φ(x) : varia com
a distância do
engastamento
Figura 5.2
Engastamento
ÂNGULO DE TORÇÃO
▪ Considerando torção pura...
▪
𝑑𝜑
𝑑𝑥
= 𝑐𝑡𝑒. = 𝜃
▪ θ = âng. de torção por un. de comp.
▪ θ = φ/L
▪ 𝛾 = 𝜌 ∙
𝑑𝜑
𝑑𝑥
▪ 𝛾 = 𝜌 ∙
𝜑
𝐿
▪ 𝛾 = 𝜌 ∙ 𝜃
Quanto maior 
o raio...
Maior o γ
FÓRMULA DE TORÇÃO
Quando um torque externo é aplicado a um eixo ele cria um torque
interno correspondente no interior do eixo. Desenvolveremos uma
equação que relaciona esse torque interno com a distribuição da tensão
de cisalhamento na seção transversal de um eixo ou tubo circular.
Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica, e, por
consequência, uma variação linear na deformação por cisalhamento,
resulta em uma variação linear na tensão de cisalhamento
correspondente ao longo de qualquer linha radial na seção transversal.
FÓRMULA DE TORÇÃO
▪ Pela lei de Hooke, para
material linear elástico
▪ 𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀
▪ Para a torção...
▪ 𝜏 = 𝐺 ∙ 𝛾
▪ No entanto...
▪ 𝛾 = 𝜌 ∙
𝜑
𝐿
▪ Logo...
▪ 𝜏 = 𝐺 ∙ 𝛾
▪ 𝜏 = 𝐺 ∙ 𝜌 ∙
𝜑
𝐿
▪ 𝜏 =
𝐺∙𝜌∙𝜑
𝐿
▪ 𝜑 =
𝜏∙𝐿
𝐺∙𝜌
O valor de 𝜏 cresce 
com o raio...
𝜏 =  se 𝜌 = 
•  = Tensão
• E = Módulo de elasticidade 
do material
•  = Deformação linear
•  = Tensão de cisalhamento
• G = Módulo de elasticidade 
ao cisalhamento
•  = deformação de 
cisalhamento
•  = Raio
•  = Ângulo de torção
• L = Comprimento
FÓRMULA DA TORÇÃO
Pela proporcionalidade de triângulos, 
temos quer:
▪ 𝜏 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 ∙
𝜌
𝑐
•  = posição radial intermediária
• 𝜏𝑚𝑎𝑥= tensão de cisalhamento máxima
• c = raio externo
FÓRMULA DA TORÇÃO
▪ Ou seja... Podemos definir T 
como...
▪ 𝑇 = 𝐴 𝜌 ∙ 𝜏𝑚𝑎𝑥 ∙
𝜌
𝑐
∙ 𝑑𝐴
▪ Como 𝜏𝑚𝑎𝑥 e R são constantes:
▪ 𝑇 =
𝜏𝑚𝑎𝑥
𝑐
∙ 𝐴 𝜌
2 ∙ 𝑑𝐴
▪ 𝑇 =
𝜏𝑚𝑎𝑥
𝑐
∙ 𝐽
▪ Define-se a fórmula da torção
▪ 𝑇 =
𝜏𝑚𝑎𝑥∙𝐽
𝑐
𝑜𝑢 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑇∙𝑐
𝐽
• 𝜏𝑚𝑎𝑥= tensão de cisalhamento máxima
• c = raio externo
• T = torque interno
• J= momento polar de inércia da área da 
seção transversal.
Lembre-se que só é usada se o
eixo for circular e o material
homogêneo e comportar-se de
maneira linear.
ÂNGULO DE TORÇÃO
▪ Voltando ao ângulo de torção...
▪ 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑇∙𝑐
𝐽
▪ 𝜑 =
𝜏∙𝐿
𝐺∙𝜌
▪ 𝜑 = 𝜏 ∙
𝐿
𝐺∙𝜌
▪ 𝜑 =
𝑇∙𝑐
𝐽
∙
𝐿
𝐺∙𝜌
▪ 𝜑 =
𝑇
𝐽
∙
𝐿
𝐺
▪ 𝝋 =
𝑻∙𝑳
𝑱∙𝑮
▪ Se o eixo estiver sujeito a diversos
torques diferentes, ou a área da seção
transversal e o módulo ao cisalhamento
mudarem abruptamente de uma região
para outra, o ângulo de torção pode ser
determinado a partir da adição dos
ângulos de torção para cada segmento
do eixo, assim:
▪ 𝝋 = 
𝑻∙𝑳
𝑱∙𝑮
CONVENÇÃO DE SINAIS
▪ A direção e o sentido do
torque aplicado é definido a
partir da aplicação da regra
da mão direita.
▪ Torque e ângulo serão
positivos se a direção
indicada pelo polegar for no
sentido de afastar-se do eixo.
EIXO SUJEITO A DIVERSOS TORQUES
▪ Diagrama Representativo
EIXO SUJEITO A DIVERSOS TORQUES
▪ Diagrama Representativo
EIXO MACIÇO
▪ Se o eixo tiver uma seção transversal
circular maciça, o momento polar de
inércia J será determinado por:
J=
𝝅
𝟐
𝒄𝟒
Observe que J é uma propriedade
geométrica da área circular e é sempre
positivo. As unidades de medida comuns
para J são𝑚𝑚4 e 𝑝𝑜𝑙4.
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑇 ∙ 𝑐
𝐽
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
2𝑇 ∙ 𝑐
𝜋𝑐4
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝟐𝑻
𝝅𝒄𝟑
EIXO TUBULAR
▪ Se o eixo tiver uma
seção transversal
circular tubular, com
raio interno 𝑐𝑖 e raio
externo 𝑐𝑜, então temos:
J=
𝝅
𝟐
(𝒄𝒐
𝟒−𝒄𝒊
𝟒)
EXEMPLOS
1) Uma barra engastada de comprimento 10m e raio r=50mm está submetido
à seguinte distribuição de cisalhamento. Calcule o torque total agindo
sobre a barra.
EXEMPLOS
1) 1º Passo – Dados
L=10m
r=50mm
2) 2º Passo – Fómula
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑇 ∙ 𝑐
𝐽
→ 𝑇 =
𝜏𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝐽
𝑐
3) 3º Passo – Momento de
Inércia
𝐽 =
𝜋 ∙ 𝑐4
2
4) 4º Passo – Aplicar o Momento de
Inércia na Fórmula do Torque
𝑇 =
𝜏𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝐽
𝑐
=
𝜏𝑚𝑎𝑥
𝑐
∙
𝜋 ∙ 𝑐4
2
→
𝑇 =
𝜏𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜋 ∙ 𝑐
3
2
5) 5º Passo – Resultado
𝑇 =
𝜏𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜋 ∙ 𝑐
3
2
=
56 ∙ 106 ∙ 𝜋 ∙ 0,053
2
𝑇 = 28 ∙ 𝜋 ∙ 125
𝑇 = 10.995,972 𝑁 ∙ 𝑚
𝑇 ≅ 11𝑘𝑁 ∙ 𝑚
EXEMPLOS
2) A distribuição de tensão em um
eixo maciço foi esquematizada
graficamente ao longo de três retas
radiais arbitrárias como mostrado
na Figura 5.10.
a) Determinar o torque interno
resultante na seção.
b) Converter o resultado para o SI.
EXEMPLOS
1º Passo – Momento de Inércia
Raio→ C=2pol
𝐽 =
𝜋
2
𝑐4 =
𝜋
2
2𝑝𝑜𝑙 4 = 25,13𝑝𝑜𝑙4
2º Passo - Determinar o torque.
𝜏𝑚𝑎𝑥= 8𝑘𝑠𝑖 = 8𝑘𝑖𝑝/𝑝𝑜𝑙
2
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑇∙𝑐
𝐽
→ 8𝑘𝑖𝑝/𝑝𝑜𝑙2=
𝑇∙2𝑝𝑜𝑙
25,13𝑝𝑜𝑙4
→
𝑇 =
8𝑘𝑖𝑝/𝑝𝑜𝑙2 × 25,13𝑝𝑜𝑙4
2𝑝𝑜𝑙
→
𝑻 = 𝟏𝟎𝟏𝒌𝒊𝒑 ∙ 𝒑𝒐𝒍
3º Passo – Converter p/ SI
𝑇 = 101𝑘𝑖𝑝 ∙ 𝑝𝑜𝑙
1𝑝𝑜𝑙 = 2,54𝑐𝑚 = 0,0254𝑚
𝑇 = 101𝑘𝑖𝑝 ∙ 0,0254𝑚 = 2,5654𝑘𝑖𝑝 ∙ 𝑚
1𝑘𝑖𝑝 = 4.448,22𝑁 = 4,45𝑘𝑁
𝑇 = 2,5654𝑘𝑖𝑝 ∙ 𝑚
𝑇 = 2,5654 × 4.448,22 𝑁 ∙ 𝑚
𝑇 = 11.411,4636𝑁 ∙ 𝑚
𝑻 = 𝟏𝟏, 𝟒𝟏𝟏𝒌𝑵 ∙ 𝒎
EXEMPLOS
3) O eixo mostrado
na Figura 5,12 a
está apoioado em
dois macais e
sujeito a três
torques. Determine
a tensão de
cisalhamento
desenvolvida nos
pontos A e B
localizados na seção
a-a do eixo (Figura
5.12c).
EXEMPLOS
1º Passo: As reações dos mancais sobre o eixo são nulas
contanto que o peso do eixo seja desprezado.
 𝑀𝑥 = 0 = 4250 − 3000 − 𝑇
 𝑀𝑥 = 0 = 1250 𝑘𝑁.𝑚 − 𝑇𝐴𝐵
T= 1250𝑘𝑁.𝑚
EXEMPLOS
2º Passo: Cálculo do Momento Polar de Inércia
𝐽 =
𝜋
2
𝑐4
𝐽 =
𝜋
2
(75𝑚𝑚)4
𝐽 = 4,97x107𝑚𝑚4
3º Passo: Cálculo da Tensão de Cisalhamento
𝜏𝐴 =
𝑇 ∙ 𝑐
𝐽
=
1250 𝑘𝑁.𝑚𝑚 𝑥 75 𝑚𝑚
4,97 𝑥 107𝑚𝑚4
= 1,89𝑁/𝑚𝑚²
𝜏𝐵 =
𝑇 ∙ 𝑐
𝐽
=
1250 𝑘𝑁.𝑚𝑚 𝑥 15 𝑚𝑚
4,97 𝑥 107𝑚𝑚4
= 0,377𝑁/𝑚𝑚²
EXEMPLOS
4) O tubo mostrado na figura tem
um diâmetro interno de 80 mm e
diâmetro externo de 100 mm.
Supondo que sua extremidade seja
apertada contra o apoio em A por
meio de um torquímetro em B,
determinar a tensão de
cisalhamento desenvolvida no
material nas paredes interna e
externa ao longo da parte central
do tubo quando são aplicadas
forças de 80N ao torquímetro.
EXEMPLOS
1º Passo – Somatório Torque
É feito um corte na localização intermediária
C ao longo do eixo do tubo, desse modo:
 𝑀𝑦 = 0
80𝑁 × 0,3𝑚 + 80𝑁 × 0,2𝑚 − 𝑇 = 0
𝑻 = 𝟒𝟎𝑵 ∙ 𝒎
2º Passo – Momento de Inércia
𝐽 =
𝜋 𝐶𝑒
4 − 𝐶𝑖
4
2
𝐶𝑒 = 50𝑚𝑚 = 0,05𝑚
𝐶𝑖 = 40𝑚𝑚 = 0,04𝑚
𝐽 =
𝜋 0,05𝑚4 − 0,04𝑚4
2
=
𝑱 = 𝟓, 𝟖 ∙ 𝟏𝟎−𝟔𝒎𝟒
3º Passo – Tensão de Cisalhamento Externo
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑇 ∙ 𝑐
𝐽
=
40𝑁 ∙ 𝑚 × 0,05𝑚
5,8 ∙ 10−6𝑚4
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 344.827,5862 𝑁/𝑚²
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 344.827,5862 𝑃𝑎
𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝟎, 𝟑𝟒𝟓𝑴𝑷𝒂
EXEMPLOS
4º Passo – Torque Interno
𝜏𝑖 =
𝑇 ∙ 𝑐𝑖
𝐽
=
40𝑁 ∙ 𝑚 × 0,04𝑚
5,8 ∙ 10−6𝑚4
𝜏𝑖 = 275.862,069 𝑁/𝑚²
𝜏𝑖 = 275.862,069𝑃𝑎
𝝉𝒊 = 𝟎, 𝟐𝟕𝟔𝑴𝑷𝒂
EXEMPLOS
5) O eixo BC é ôco com diâmetro
interno de 90mm e diâmetro
externo de 120mm. Os eixos AB e
CD são cheios e de diâmetro d.
Para o carregamento mostrado,
determine:
a) As tensões de cisalhamento
mínima e máxima no eixo BC,
b) O diâmetro d necessário para os
eixos AB e CD, se a tensão
admissível ao cisalhamento para o
material do eixo é de 65 MPa.
EXEMPLOS
1º Passo: Corte o eixo através de AB e
BC e aplique as equações de equilíbrio
para encontrar os torques internos:
 𝑀𝑥 = 0 = 𝑇𝐴 − 𝑇𝐴𝐵
 𝑀𝑥 = 0 = 6 𝑘𝑁.𝑚 − 𝑇𝐴𝐵
𝑇𝐴𝐵 = 6𝑘𝑁.𝑚 = 𝑇𝐶𝐷
 𝑀𝑥 = 0 = 𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 − 𝑇𝐵𝐶
 𝑀𝑥 = 0 = 6𝑘𝑁.𝑚 + 14𝑘𝑁.𝑚 − 𝑇𝐵𝐶
𝑇𝐵𝐶 = 20𝑘𝑁.𝑚
EXEMPLOS
3) Para o eixo BC, temos:
𝐽 =
𝜋
2
𝑐𝑒
4 − 𝑐𝑖
4
𝐽 =
𝜋
2
0,064 − 0,0454
𝐽 = 13,92 ∙ 10−6𝑚4
4) Tensão de cisalhamento 
Máximo (Externo)
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑇 ∙ 𝑐𝑒
𝐽
=
20𝑘𝑁.𝑚 0,06𝑚
13,92 ∙ 10−6𝑚4
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 86,2𝑀𝑃𝑎
5) Tensão de cisalhamento 
Mínimo (Interno)
𝜏𝑚𝑖𝑛 =
𝑇 ∙ 𝑐𝑖
𝐽
=
20𝑘𝑁.𝑚 0,045𝑚
13,92 ∙ 10−6𝑚4
𝜏𝑚𝑖𝑛 = 64,7𝑀𝑃𝑎
EXEMPLOS
6) Determinação do Diâmetro 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑇 ∙ 𝑐𝑒
𝐽
=
𝑇 ∙ 𝑐𝑒
𝜋
2 𝑟
4
=
𝑇
𝜋
2 𝑟
3
→
𝑟 =
3 𝑇
𝜏𝑚𝑎𝑥 ×
𝜋
2
=
3 6𝑘𝑁.𝑚
65𝑀𝑃𝑎 ∙ 𝜋 2
𝑟 =
3 6𝑘𝑁.𝑚
65 ∙ 106𝑃𝑎 ∙ 𝜋 2
𝑟 = 38,9 ∙ 10−3𝑚 = 38,9𝑚𝑚
𝑑 = 2𝑟
𝑑 = 77,8𝑚𝑚 ≅ 80𝑚𝑚
EXEMPLOS
6) As engrenagens acopladas à extremidade fixa do eixo de aço estão sujeitas aos
torques mostrados na Figura a. Se o módulo de elasticidade ao cisalhamento for
80 GPa e o eixo tiver diâmetro de 14 mm, determine o deslocamento do dente P
da engrenagem A. O eixo gira livremente dentro do mancal em B.
EXEMPLOS
1º) Passo: Pela regra da mão direita e
pela convenção de sinal estabelecida,
encontramos os torques de cada
segmento.
𝑇𝐴𝐶 = +150𝑁.𝑚
𝑇𝐶𝐷 = −130𝑁.𝑚
𝑇𝐷𝐸 = −170𝑁.𝑚
EXEMPLOS
2º) Passo: Cálculo do momento polar de inércia.
𝐽 =
𝜋
2
(0,007)4= 3,77(10−9)𝑚4
3º) Passo: Somatório dos ângulos
∅𝐴 = 
𝑇𝐿
𝐽𝐺
=
(+150 𝑁.𝑚)(0,4𝑚)
3,77(10−9)𝑚4 80 109 𝑁/𝑚²
+
(−130 𝑁.𝑚)(0,3𝑚)
3,77(10−9)𝑚4 80 109 𝑁/𝑚²
+
(−170 𝑁.𝑚)(0,5𝑚)
3,77(10−9)𝑚4 80 109 𝑁/𝑚²
= -0,212 rad
EXEMPLOS
4º) Passo: Pela regra da mão direita,
visto que a resposta deu negativa,
tem-se que a engrenagem A girará
conforme mostra a figura.
O deslocamento do dente P na
engrenagem A é:
𝑆𝑃 = ∅𝐴𝑟 = (0,212 𝑟𝑎𝑑)(100𝑚𝑚)